1 Strömungsmechanische Grundlagen 1

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1 Stömungsmechanische Gundlagen -i Stömungsmechanische Gundlagen. Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten.. Fluide.. Extensive und intensive Gößen..3 Zähigkeit und Fließvehalten 4. Bilanzgleichungen 0.3 Hydostatik.3. Eulesches Gundgesetz de Hydostatik.3. Auftieb Gleichgeicht und Duckveteilung beim Vohandensein allgemeine Volumenkäfte 7.4 Kinematik 0.4. Kinematische Gundbegiffe.4. Kontinuitätsgleichung Eulesche und Benoullische Gleichung fü stationäe Stömungen Einfache Anendungen de Benoullischen Gleichung Benoulli-Gleichung fü instationäe Stömungen Impulssatz Enegieehaltung 39.5 Zusammenfassung 4.6 Liteatu 4.7 Index 43 Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

2 Stömungsmechanische Gundlagen -ii Leaning Outcome Definition de Begiffe Fluid, Kontinuum, extensive und intensive Gößen Fließvehalten von netonschen, stuktuviskosen und dilatanten Fluiden Methodik de Bilanzieung von Enegie-, Impuls- und Stoffstömen Hydostatik: Duck- und Auftiebskäfte aus einfachen Käftebilanzen (Eulesches Gundgesetz de Hydostatik, Achimedisches Pinzip) Kinematik: Bescheibung de Beegung eines Fluids, obei de Otsvekto eines Fluidelements in Abhängigkeit von de Zeit bestimmt id Die Ehaltungssätze von Masse (Kontinuitäts-Gleichung), Impuls (Impulssatz) und Enegie (Enegieehaltung). Eule-Gleichung: Duck- und Geschindigkeitsveläufe in eine eibungsfeien Stömung, Veeinfachung fü stationäen Fall: Benoulli-Gleichung Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

3 Stömungsmechanische Gundlagen - Stömungsmechanische Gundlagen Enegie- und Stofftanspotvogänge können duch veschiedene Mechanismen efolgen, so basieen Wämeleitung bz. Diffusion auf molekulaem Tanspot. Enegie kann eitehin duch Stahlung übetagen eden. Fü technische Anendungen ist jedoch de konvektive Tanspot von eitaus gößee Bedeutung. Neben Enegie und Stoff id dann auch noch de Stömungsimpuls übetagen. De konvektive Enegie-, Impuls- und Stofftanspot ist also an die Beegung von Mateie gebunden, obei es sich nahezu ausschließlich um Flüssigkeiten ode Gase handelt. In diesem Kapitel eden deshalb zunächst esentliche Eigenschaften von gasfömigen bz. flüssigen Stoffen behandelt. Hiean schließt sich die Betachtung von uhenden Fluiden an, bei de vo allem das Duckfeld innehalb eines solchen hegeleitet id. Den Abschluss des Kapitels bilden einige fundamentale Beziehungen de Kinematik eibungsfeie Fluide, die im Wesentlichen auf de eindimensionalen Stomfadentheoie beuhen.. Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten Bei festen Köpen und Flüssigkeiten befinden sich die Moleküle alle ungefäh im sogenannten stabilen Abstand voneinande, so dass sie soohl de Veingeung als auch de Vegößeung des Molekülabstandes und damit ihes Volumens einen goßen Widestand entgegen setzen. De Molekülabstand liegt dabei in de Gößenodnung des Molekülduchmesses von eta 0-0 m. In Flüssigkeiten sind die Moleküle ie in amophen Festköpen unegelmäßig angeodnet, die Schingungsamplituden sind alledings göße und die Platzechsel esentlich häufige. Die mittlee Lage de Moleküle zueinande ändet sich also pemanent. In einem Gas betägt de mittlee Abstand de Moleküle bei nomalem Duck und Umgebungstempeatu eta das Zehnfache des stabilen Molekülabstandes von 0-0 m. Die potenzielle Enegie de Anziehungskaft de benachbaten Moleküle ist gegenübe de kinetischen Enegie ihe Beegung zu venachlässigen. Die Moleküle beegen sich im Wesentlichen unbeeinflusst voneinande im Raum, obei es alledings zu Zusammenstößen zischen Molekülen kommt. Die mittlee feie Weglänge zischen zei solchen Zusammenstöße betägt unte Nombedingungen ( ba, 0 C) ca. 0-7 m, also eta das Hundetfache des Molekülabstands. Die Beegungsgeschindigkeit liegt dabei zischen m/s... Fluide Viele Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten lassen sich duch ein Modellmedium bescheiben: das Fluid. Ein Fluid ist definitionsgemäß duch zei Eigenschaften bestimmt: Es ist ein Kontinuum. Es kann in de Ruhe an de Obefläche lediglich Duckkäfte, also ede Zug- noch Schekäfte (Käfte tangential zu Obefläche) aufnehmen. Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

4 Stömungsmechanische Gundlagen - In de Liteatu id de Begiff Fluid abeichend von diese stengen Definition häufig als bloße Sammelbegiff fü Flüssigkeiten und Gase veendet. Ein Kontinuum lässt sich mit auseichende Päzision duch das folgende mathematische Modell ekläen: Es besteht aus Teilchen, die ie Punkte keine Ausdehnung und keine Zischenäume besitzen. Man kann deshalb jedem Teilchen X des Fluids (in einem beegten Fluid: zu jedem Zeitpunkt t) einen Punkt x des Raumes zuodnen: X = X x,t (.) ( ) Die chaakteistischen physikalischen Gößen ie Dichte, Geschindigkeit, Duck, Tempeatu sind Eigenschaften de Teilchen und de Zeit. Wenn also ψ eine solche Göße ist, dann gilt unte Veendung von Gl. (.): ψ = ψ (.) ( X,t ) = ψ( X( x,t), t) = ψ( x,t) die Göße ψ lässt sich also ie das Teilchen X als Funktion von Ot und Zeit dastellen. Eine solche Göße id als eine Feldgöße bezeichnet. Im Allgemeinen änden sich die Feldgößen von Teilchen zu Teilchen und damit auch von Punkt zu Punkt stetig; die Funktionen ψ (s. Gl. (.)) sind dann stetige Funktionen. Es ist abe auch zugelassen, dass Feldgößen auf beiden Seiten einzelne Flächen veschiedene Wete annehmen; eine solche Fläche nennt man eine Diskontinuitätsfläche. Diese teten z.b. an Phasengenzen auf. Ein Fluid kann definitionsgemäß keine Schubspannungen aufnehmen. Noch so geingfügige Schubspannungen fühen demzufolge zu eine Fomändeung also eine Beegung, elche die Schubspannung abbaut. Als Folge diese Eigenschaft bedeckt eine uhende Flüssigkeit unte dem Einfluss de Schekaft den aageechten Boden eines Gefäßes stets vollständig. (Diese Betachtung setzt eine auseichende Flüssigkeitsmenge voaus, sodass z. B. keine Topfenbildung aufgund de Genzflächenspannung auftitt.).. Extensive und intensive Gößen Eine esentliche Eigenschaft eines Fluids besteht in dem möglichen Genzübegang von de Masse M zu Massendichte (kuz: Dichte ρ ): dm ρ (.3) dv und somit auch dm = ρ dv, M = ρ dv (.4) Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

5 Stömungsmechanische Gundlagen -3 dv id als Volumenelement und dm als Massenelement bezeichnet. Mit diesen Elementen können Rechnungen ie mit den Diffeenzialen de Infinitesimalechnung ausgefüht eden. Physikalisch chaakteisiet ein Volumenelement dv nichts andees als ein kleines Volumen, dessen Abmessungen alledings esentlich göße als atomae Gößenodnungen sind. Ein analoge Genzübegang kann auch fü die sog. Massen- ode Volumenkäfte duchgefüht eden unte Definition de Kaftdichte: d FV dfv f = (.5) dm ρ dv Veeinbaung: F bezeichnet, enn nichts andees ausdücklich festgelegt, imme die von außen auf die betachtete Fluidmenge ausgeübte Kaft. Von ebenso goße Bedeutung sind die an Obeflächen bz. Obeflächenelementen angeifenden Käfte. Wikt auf ein Obeflächenelement da die Obeflächenkaft df O, dann egibt sich de Spannungsvekto τ duch: df τ O (.6) da Soohl Kaftdichte als auch Spannungsvekto sind mit Ausnahme de Diskontinuitätsflächen stetige Funktionen des Otes. Gundsätzlich lassen sich zei veschiedene Aten von physikalischen Gößen untescheiden: es gibt eineseits Gößen ie die Dichte, das spezifische Volumen, die Kaftdichte und den Spannungsvekto, die fü jeden Punkt des Raumes definiet sind, und es gibt andeeseits Gößen ie das Volumen, die Fläche (offene Fläche ode Obefläche), die Masse, die Volumenkaft, die Obeflächenkaft und die (Gesamt-)Kaft, die nu fü einen äumlichen Beeich, d.h. ein Volumen, eine Fläche ode (as hie nicht vogekommen ist) eine Kuve definiet sind. Gößen, die fü den Punkt definiet und deshalb mathematisch Funktionen des Otes sind, eden als intensive Gößen bezeichnet; Gößen, die fü einen äumlichen Beeich definiet sind und die deshalb nicht Funktionen des Otes sind, heißen extensive Göße. Dass extensive Gößen keine Funktionen des Otes sind, ekennt man auch daan, dass sie mit intensiven Gößen übe Beeichsintegale (Volumen-, Flächen- ode Kuvenintegale; vgl. Gl. (.4)) zusammenhängen und solche Beeichsintegale sind bestimmte Integale übe die Otskoodinaten. Intensive Gößen ie die Dichte lassen sich nu in Kontinuen als stetige Funktionen definieen, sie sind soga die fü Kontinuen typischen Gößen. Extensive Gößen ie die Kaft sind soohl fü Kontinuen ie fü diskontinuieliche Systeme (z.b. Massenpunkte, Systeme von Massenpunkten) sinnvoll. Aus de Definition von extensiven Gößen als Beeichsintegalen esultiet die folgende ichtige Eigenschaft: Teilt man einen Beeich in mehee Teilbeeiche, so ist die Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

6 Stömungsmechanische Gundlagen -4 extensive Göße fü den Gesamtbeeich gleich de Summe de extensiven Gößen fü die Teilbeeiche. Intensive ie extensive Gößen können Skalae (Dichte, spezifisches Volumen; Masse) ode Vektoen (Kaftdichte, Spannungsvekto, Kaft) ode Tensoen höhee Stufe sein...3 Zähigkeit und Fließvehalten Mateie setzt de Veschiebung ihe Moleküle gegeneinande einen Widestand entgegen. Die einfachste Konfiguation zu Untesuchung diese Eigenschaft ist die ebene Scheung: Man bingt die Mateialpobe zischen zei paallele Platten und veschiebt z.b. die obee gegen die untee. Diese Veschiebung übetägt sich infolge de Wandhaftung auf die Mateialpobe, und deen Widestand gegen die Scheung lässt sich als Schubspannung an den Platten messen. Bei Fluiden kann eine einmalige Veschiebung de einen Platte nicht zu eine Schubspannung fühen: Sobald die Fluidteilchen ihe neue Lage eingenommen haben, ist das Fluid iede in Ruhe und kann dann definitionsgemäß keine Schubspannung meh übetagen. In einem Fluid kann eine Schubspannung also nu aufteten, solange sich die eine Platte beegt und damit zischen den Platten eine Schestömung aufechtehält ie in Abb.. dagestellt. F = x beegt L y fest x Abb.. : Ebene Schichtenstömung. In vielen Fällen hängt die Schubspannung nu vom Vehältnis de Plattengeschindigkeit zum Plattenabstand L ab; dieses Vehältnis ist gleich de zeitlichen Ändeung des Scheinkels, de sogenannten Schegeschindigkeit ode Scheate γ& = / L : τ = f () γ& = f. (.7) L Gundsätzlich bezeichnet man Medien mit einem solchen Vehalten als viskos ode zäh. Im einfachsten Fall ist die Schubspannung popotional zu Schegeschindigkeit; man füht dann im Allgemeinen die Quekoodinate y und die Geschindigkeit ( y) zischen den Platten ein und scheibt Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

7 Stömungsmechanische Gundlagen -5 d τ = η. (.8) dy Solche Medien nennt man linea-viskos ode Netonsche Fluide. Die Gleichung (.8) bezeichnet man auch als den Netonschen Schubspannungsansatz. Die Popotionalitätskonstante η heißt Viskosität ode Zähigkeit; zu Untescheidung von de häufig veendeten Göße η ν =, (.9) ρ die man kinematische Zähigkeit nennt, heißt η auch dynamische ode absolute Zähigkeit. Auch de Ausduck Scheviskosität ist gebäuchlich. η ist zunächst von Stoff zu Stoff veschieden, daübe hinaus abe auch eine Funktion de Tempeatu. Genau genommen hängt η soga noch vom Duck ab, die Duckabhängigkeit kann abe fast imme venachlässigt eden. Die kinematische Viskosität ν lässt sich auch als massenspezifische Viskosität intepetieen. Viskositäten eden in eindimensionalen Stömungen gemessen. Dahe id das Flüssigkeitsvehalten eingeteilt nach den Schekäften, die unte eindimensionale Beanspuchung entstehen. Die entspechenden gafischen Dastellungen (s. Abb..) eden als Fließkuven bezeichnet. Schubspannung τ τ 0 Bingham stuktuviskos n < dilatant n > 0 0 Scheate d dy Abb.. : Fließkuven fü veschiedene Fluide Netonsche Fluide Netonsche Fluide zeigen keinelei Veändeung de Viskosität unte veschiedenen Schebeanspuchungen, d. h. die entspechenden Fließkuven stellen Geaden da, deen Steigung de Viskosität η entspicht. Abb..3 enthält dynamische Viskositäten eine gößeen Zahl von Stoffen als Funktion de ezipoken Tempeatu. Die Dastellung zeigt, dass die Zahlenete de Gasviskositäten alle eta innehalb eine Zehnepotenz liegen. Dagegen untescheiden sich diejenigen de Flüssig- Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

8 Stömungsmechanische Gundlagen -6 keiten um meh als 5 Zehnepotenzen. Gundsätzlich egibt sich die Viskosität als innee Widestand gegen eine Beegung aufgund de Molekulabeegung. Diese füht zu Zusammenstößen von Molekülen unteschiedliche mittlee Geschindigkeiten und demzufolge zu einem Impulsaustausch. Makoskopisch id dies als Schubspannung ekennba. Aufgund de niedigen Dichte von Gasen ist die Zahl deatige Molekülstöße geing und damit deen Viskosität klein. Wegen de hohen Dichte de Flüssigkeiten ist die Zahl de Molekülstöße und dahe auch deen dynamische Viskosität vehältnismäßig goß. Wähend Gase mit steigende Tempeatu zähe eden, fällt die Viskosität de Flüssigkeiten in alle Regel mit T ab. Dafü veantotlich sind zei unteschiedliche Mechanismen, von denen de eine in Flüssigkeiten, de andee in Gasen übeiegt. In Flüssigkeiten müssen bei eine Scheung die intemolekulaen Anziehungskäfte übeunden eden. Diese Käfte eden mit steigende Tempeatu in de Regel schäche, eil sich die Flüssigkeit ausdehnt und de mittlee Abstand ächst. Zusätzlich steigt die mittlee kinetische Enegie de Moleküle und damit die Häufigkeit von Platzechseln. Beides füht zu veingete Zähigkeit bei steigende Tempeatu. Da sich die Flüssigkeitsdichte kaum mit dem Duck ändet, kann die Duckabhängigkeit de Viskosität von Flüssigkeiten fast imme venachlässigt eden. Tempeatu in C 0 kg ms Schefel Glycein Gase Flüssigkeiten dynamische Viskosität η Methan Blei Wassestoff Quecksilbe Diphyl DT Wasse Wasse Polyglykolethe n-butanol Kohlendioxid Benzin Ammoniak Helium Ethanol Methanol Diethylethe Luft ,00 0,004 /K 0,006 ezipoke Tempeatu /T Abb..3 : Dynamische Viskosität von veschiedenen Gasen und Flüssigkeit abhängig von de Tempeatu [Kaume 004]. De mittlee Molekülabstand bei Gasen ist um eta eine Gößenodnung höhe als de von Flüssigkeiten. Dahe können intemolekulae Käfte zischen ihnen häufig venachlässigt eden (ideale Gase; die Viskosität ist deshalb fü ideale Gase bis zu Dücken von 00 ba nahezu duckunabhängig, obohl die Molekülabstände bei diese Duckändeung stak abneh- Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

9 Stömungsmechanische Gundlagen -7 men und damit die zischen den Molekülen ikenden Käfte um Zehnepotenzen anachsen). Mit steigende Tempeatu nimmt die Molekulabeegung und damit die Zahl de Molekülzusammenstöße und in de Konsequenz auch die Zähigkeit zu. Die kinetische Gastheoie füht zu einem Viskositätsanstieg mit T. Die in Abb..3 geählte Auftagungsfom zeigt, dass fü viele Flüssigkeiten zumindest in este Näheung eine Popotionalität ln η ~ T besteht, da sich ein annähend lineae Velauf in dem Diagamm egibt. Diese Zusammenhang kann duch einfache Modellvostellungen auf molekulae Ebene abgeleitet eden /Ey 36/. Das eale Vehalten zeigt alledings duchaus meh ode enige stake Abeichungen von de einfachen Popotionalität. Tab.. untesteicht nochmals, dass die Tanspotkoeffizienten von Flüssigkeiten in de Regel göße als die von Gasen sind. Tabelle.: Stoffdaten veschiedene Gase und Flüssigkeiten bei 0 C und ba ρ [kg/m³] η [mpas] ν [0-6 m²/s] λ [0-3 W/mK] a [0-6 m²/s] Luft,9 0,08 5,35 5,69,47 O,33 0,00 5,6 6,43 N,5 0,07 5,3 5,6,38 H 0,08 0,008 06, , CO,95 0,038 7,05 4,64 9,08 H O 998,,00,0 598,4 0,4 Ethanol 789,0,5 73 0,09 Glycein ,6 86 0,0 Jodassestoff 5, ,0 6 4,93 Quecksilbe 3600 ),500 0, ,9 Olivenöl 90 ) ,0 5, 0,0 Honig ) 0 C und ba Nicht-Netonsche Fluide Im Gegensatz zu Netonschen Fluiden esultiet bei nicht-netonschen Fluiden aus de Ändeung de Schebeanspuchung eine veändete Viskosität. Die esentlichen nicht-netonschen Fluide eden im Folgenden dagestellt. Pseudoplastische ode stuktuviskose Flüssigkeiten zeigen eine Viskositätsabnahme mit steigende Schebeanspuchung d / dy (Abb..). In Abb..4 ist exemplaisch die Abhängigkeit de Viskosität eine Polyacylamidlösung von de Scheate diekt aufgetagen. Fü kleine Scheaten egibt sich ein konstante Wet de Viskosität η 0, ähend bei seh hohen Schea- Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

10 Stömungsmechanische Gundlagen -8 ten ebenfalls ein konstante, abe geingee Viskositätset η eeicht id. Dieses Vehalten eklät sich bei Polymelösungen ode -schmelzen duch die Steckung de Molekülketten infolge de Scheung. Die Moleküle eden beegliche und die Viskosität nimmt bis auf einen bestimmten Endet ab. Geinge Scheaten fühen zu keine esentlichen Veändeung de Molekülknäuel, die Viskosität bleibt zunächst unveändet. Völlig analoge Vehältnisse können in biologischen Systemen aufteten, enn filamentöse (fädige) Bakteien zu Flockenstuktuen fühen, die unte de Wikung eine Schebeanspuchung aufgelöst eden können. Auch in diesem Fall esultiet stuktuviskoses Vehalten. Einige Suspensionen zeigen bei hohen Feststoffkonzentationen eine Zunahme de Viskosität mit de Scheate. Abb..5 veanschaulicht dies am Beispiel eine Titandioxid-Suspension. Bei de höchsten Feststoffkonzentation steigt die Viskosität ab eine kitischen Scheate deutlich an. Dieses Vehalten lässt sich am Beispiel nasse Sand gut eläuten: 0 Scheinbae Viskosität η Pa. s η 0 Polyacylamid-Lösung η s Scheate Abb..4 : Viskosität als Funktion des Geschindigkeitsgadienten fü eine Polyacylamid- Lösung (nach [Boge u. Yeo, 00]) 0 3 Pa Titandioxid-Lösung Schubspannung τ 0 0 4,5 % 30,0 % 0,8 % 8,3% s Scheate Abb..5 : Fließkuve fü eine Titandioxid-Lösung (nach [Boge u. Yeo, 00]) d dy Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

11 Stömungsmechanische Gundlagen -9 Bei geingem Schegefälle, z. B. niedige Rühedehzahl, existiet zischen den Sandkönen ein Wassefilm, de ie ein Schmiemittel ikt und die Reibung de Sandköne aneinande vemindet. Bei steigenden Geschindigkeitsgadienten eißt de Wassefilm auf, und die Sandköne eiben unmittelba aneinande. Auch dilatante Flüssigkeiten vehalten sich bei seh kleinen und seh goßen Geschindigkeitsgadienten ie Netonsche Fluide. Die chaakteistischen Fomen de Fließkuven fühen zu de Fage, ie de i. A. nichtlineae Velauf am zeckmäßigsten analytisch beschieben eden kann. Solche Ansätze sollen von möglichst einfache mathematische Fom sein, um fü die Lösung ingenieumäßige Aufgaben angeandt eden zu können. Alledings müssen die Genzen de Gültigkeit solche Ansätze besondes sogfältig beachtet eden. Innehalb bestimmte Genzen des Geschindigkeitsgadienten kann das Fließvehalten dilatante und stuktuviskose Flüssigkeiten duch einen Potenzansatz beschieben eden, de von Ostald und de Waele aufgestellt ude. n x τ = k (.0) y k ist ein empiische Zahlenet, de Ostaldfakto genannt id. n ist de Fließexponent. Flüssigkeiten, die sich duch diesen Ansatz näheungseise bescheiben lassen, eden auch Ostald-Flüssigkeiten, ode im angelsächsischen poe-la-fluids genannt. De Fakto k ist stak tempeatuabhängig, jedoch im Gegensatz zu Viskosität unabhängig von de Scheate. n ist üblicheeise unabhängig von de Tempeatu. Abb.. beinhaltet Fließkuven, die gemäß Gl. (.0) beechnet eden. Fü n = geht de Ansatz von Ostald - de Waele in den Netonschen Schubspannungsansatz übe, k ist dann mit de Viskosität η identisch. Fü n > ehält man eine Kuve fü dilatante, fü n < fü stuktuviskose Flüssigkeiten. Fü das Beispiel de Polyacylamid-Lösung in Abb..4 egibt sich ein Fließexponent von n = 0, 4. Die Fließkuve eine Bingham-Flüssigkeit ist ebenfalls in Abb.. dagestellt. Est enn eine Anfangsschubspannung τ 0 übeunden ist, beginnt die Bingham-Flüssigkeit zu fließen. De entspechende Bescheibungsansatz lautet: d τ = τ x 0 + η B (.) dy Abb..6 vedeutlicht dies am Beispiel des Fließvehaltens eines Fleischextaktes. Weitee Beispiele fü Bingham-Flüssigkeiten sind Zahnpasta, Lacke (Vemeidung von Lacknasen ) und Ketchup. Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

12 Stömungsmechanische Gundlagen -0 Auf das außeodentlich kompliziete Vehalten thixotope, heopexe und andee nicht- Netonschen Fluide soll an diese Stelle nicht eite eingegangen eden. Hie titt u. a. neben de Abhängigkeit de Viskosität von de Scheate noch ein Einfluss de Zeit auf. 00 Schubspannung τ Pa Fleischextakt τ 0 = 7,0 Pa s - Scheate Abb..6 : Fließkuve fü Fleischextakt (nach [Boge u. Yeo, 00]) d dy. Bilanzgleichungen Als Bilanzgleichungen bezeichnet man eine Gleichung von de Fom: Die zeitliche Ändeung eine extensiven Göße ist gleich eine andeen extensiven Göße. Eine Reihe von ichtigen Gleichungen de Physik sind Bilanzgleichungen. In de Stömungsmechanik sind dies vo allem vie Gundgleichungen, die hie zunächst stichotatig eähnt eden. Im Laufe de Veanstaltung eden sie im Einzelnen behandelt. Es sind dies die Bilanzgleichungen fü: Die Masse (Kontinuitätsgleichung): Die zeitliche Ändeung de Masse eines mateiellen Volumens ist null. Den Impuls (Impulssatz): Die zeitliche Ändeung des Impulses eines mateiellen Volumens ist gleich de am Volumen angeifenden äußeen Kaft. Den Dehimpuls (Dehimpulssatz): Die zeitliche Ändeung des Dehimpulses eines mateiellen Volumens ist gleich dem am Volumen angeifenden Dehmoment. Die Enegie (Enegiesatz,. Hauptsatz de Themodynamik): Die zeitliche Ändeung de inneen und de kinetischen Enegie eines mateiellen Volumens ist gleich de duch die äußeen Käfte zugefühten Leistung und de Wämezufuh. Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

13 Stömungsmechanische Gundlagen - Solche Bilanzgleichungen lassen sich fü Kontinuen eineseits fü ein endliches Volumen (integale Bilanzgleichung), andeeseits fü einen Punkt im Stömungsfeld (diffeenzielle Bilanzgleichung) scheiben. Reale Stömungen sind nicht eibungsfei. Infolge de Reibung bildet sich ein Stömungsfeld aus, das im Allgemeinen lokal als auch zeitlich veändeliche Geschindigkeiten aufeist. Tempeatu- und Konzentationsfelde egeben sich demzufolge nicht nu duch molekulaen Tanspot, also Wämeleitung und Diffusion, sonden eden in stakem Maße duch die Stömung bestimmt. Geschindigkeits-, Tempeatu und Konzentationsfelde egeben sich als Lösung de Bilanzgleichungen fü Impuls, Enegie und Masse. Die Basis zu Estellung von Stoff-, Enegie- (Wäme-) und Impulsbilanzen stellen die Ehaltungssätze fü Masse, Enegie und Impuls da. Diffeenzielle Bilanzgleichungen eden estellt, enn es gilt, einen Vogang in einem diffeenziellen Volumenelement eines Appaates ode an de Genzfläche zeie Phasen zu untesuchen. Dazu ist es notendig, die entspechenden Diffeenzialgleichungen soie die dazugehöigen Randbedingungen aufzustellen und diese zu integieen. Diffeenzielle Bilanzgleichungen eden unte andeem zu Beechnung de Geschindigkeits-, Konzentations- und Tempeatupofile in einem System bz. an dessen Genzflächen veendet. Integale Bilanzgleichungen dienen zu Emittlung de in ein System ein- bz. austetenden Stöme. Unte System id de endlich goße Bilanzbeeich vestanden, meist de deidimensionale Raum vom Volumen V. Technisch kann es ein Appaat, ein Teilbeeich (z.b. ein Katalysato, ein Topfen) eine Vefahensstufe ode eine vollständige Poduktionsanlage sein. Es inteessieen in diesem Falle nicht die Vogänge im Innen eines Appaates, sonden das beteffende System als Ganzes. Die Genze des Systems (Bilanzgenze) ist eine konkete Wand bz. Obefläche ode eine gedachte Genze, die bei einem geometisch deidimensionalen System dann als eine Fläche gegeben ist, die das System vollständig einschließt. Das betachtete System steht i. a. mit de Umgebung (als Rest des Gesamtsystems) in stoffliche, enegetische soie käftemäßige Wechselikung. Man untescheidet Systeme in folgende Guppen: abgeschlossenes System: geschlossene Systeme: offene Systeme: die Tanspotstöme sind null. alle Stofftanspotstöme sind null, Enegiestöme können aufteten. Stoffstöme teten übe die Systemgenzen. Die allgemeine Bilanzgleichung de einzelnen Austauschgößen lässt sich im Fall eines offenen Systems in nachstehende Weise fomulieen, obei unte eine Menge hiebei die Menge de beteffenden Austauschgöße vestanden id. Austauschgößen sind Enegie, Impuls und Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

14 Stömungsmechanische Gundlagen - Stoffmenge. Ändeung de im System gespeicheten Mengen S& + Summe aus dem System austetenden Mengen A& de Summe in das System eintetenden Mengen Z& de = Summe im System geandelten Mengen W& de (.) Bei einem abgeschlossenen System entfällt de zeite und ditte Tem..3 Hydostatik.3. Eulesches Gundgesetz de Hydostatik Die Hydostatik betachtet Fluide im Zustand de Ruhe. Hiebei ist insbesondee das Duckfeld in einem solchen Fluid aufgund von Volumenkäften (z.b. des Scheefelds) bedeutsam, das duch das sog. Eulesche Gundgesetz de Hydostatik beschieben id. Hiebei geht man von dem Käftegleichgeicht an einem seh kleinen Quade gemäß Abb..7 aus. p(x,y,z+ z) p(x,y+ y,z) z y x z+ z p(x,y,z) p(x,y,z) M f p(x+ x,y,z) y+ y z x y x+ x p(x,y,z) Abb..7 : Käftebilanz an einem seh kleinen Quade Im Mittelpunkt des Quades ikt de Duck p (x,y,z) und die Kaftdichte f (x,y,z) mit den dei Komponenten fx ( x,y,z ), fy ( x,y,z) und ( x,y,z) f f z : =. (.3) () f ( x,y,z) = e f ( x,y,z) + e f ( x,y,z) + e f ( x,y,z) x x y Auf die Seitenflächen des Quades ikt de Duck p(x,y,z). Das Käftegleichgeicht bedeutet, dass die Summe aus de (von de Kaftdichte heühenden) Volumenkaft und den (vom Duck heühenden) Obeflächenkäften null sein muss. Da Käfte Vektoen sind, muss diese Bedingung fü alle Koodinatenichtungen efüllt sein. Die y- Koodinate de Volumenkaft ist: y z z Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

15 Stömungsmechanische Gundlagen -3 F = ρ f x y z. (.4) Vy y Da die Duckkäfte auf den Flächen, an denen sie angeifen, senkecht stehen, liefen nu die beiden Duckkäfte Beitäge zum Käftegleichgeicht in y-richtung, die nomal auf de duch x und z aufgespannten Fläche stehen. Die esultieenden Käfte untescheiden sich za nu um einen kleinen Betag, da sie abe in unteschiedliche Richtungen iken, also ihe Diffeenz in das Käftegleichgeicht eingeht, muss diese geinge Diffeenz emittelt eden. Die Vaiation des Ducks innehalb eine Fläche muss nicht beücksichtigt eden, sonden nu die Duckändeung bezüglich de gegenübeliegenden Flächen, d.h. man behandelt bei de beteffenden Komponente die Queschnittsflächen als klein von höhee Odnung gegenübe dem Flächenabstand. Fü die Duckkäfte in y-richtung gilt demzufolge F 0y ( y) F ( y + y) = [ p( x,y,z) p( x,y + y,z) ] x z. (.5) 0y (Anmekung: Diese Gleichung stellt eine seh einfache Fom eine Impulsbilanz gemäß Gl. (.)da, denn hie teten keinelei Impulsstöme sonden ausschließlich Käfte auf.) Da de Duck von allen Koodinatenichtungen abhängen kann, muss de Taylosche Satz ie folgt geschieben eden: p p p p ( x + x,y + y,z + z) = p( x,y,z) + x + y + z (.6) x y z Fü die y-koodinate de Obeflächenkaft egibt sich entspechend: F p 0y y. (.7) ( y) F ( y + y) = y +... x z 0y Aus den Gln. (.4) und (.7) ehält man dann fü die y-koodinate de insgesamt auf das Fluidelement ikenden Kaft p Fy = ρ fy x y z + y +... x z y. Lässt man die Kantenlängen des Quades nunmeh gegen null gehen, so entfallen bei de Taylo-ρ Reihenenticklung alle Teme höhee Odnung und Fy id zu df y bz. das Podukt x y y geht übe in dv : df y p = ρfy dv (.8) y und eine entspechende Betachtung fü die beiden andeen Koodinatenichtungen füht aus Symmetiegünden auf die Beziehungen: Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

16 Stömungsmechanische Gundlagen -4 df x p = ρfx dv (.9) x df z p = ρfz dv. z Diese dei Gleichungen lassen sich mit p p p ex + ey + ez = gadp x y z (.0) (.) zu de Vektogleichung bz. df = ( ρ f gad p)dv (.) zusammenfassen. df i p fi dv x = ρ (.3) i Im Gleichgeicht muss diese Kaft veschinden. Da dv nicht null ist, egibt sich die Gleichgeichtsbedingung bz. ρ f = gad p (.4) p ρ fi = (.5) x i Dies ist das Eulesche Gundgesetz de Hydostatik. Man kann daaus ablesen, dass in einem uhenden Fluid de Duckgadient in Richtung de Kaftdichte eist, also die Isobaen (die Flächen gleichen Duckes) übeall auf dem Kaftfeld senkecht stehen. Duckveteilung in eine scheen Flüssigkeit Im Folgenden id ein inkompessibles Fluid betachtet, d.h. ein Fluid, dessen Dichte ρ ede von de Tempeatu noch vom Duck abhängt, also eine Mateialkonstante ist: ρ = const. Das kann man im Allgemeinen bei Flüssigkeiten, abe mit oft auseichende Näheung auch bei Gasen bei Höhenunteschieden unte 50 m voaussetzen. Dann lässt sich das Eulesche Gundgesetz (.4) in de Fom p f = gad. (.6) ρ Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

17 Stömungsmechanische Gundlagen -5 scheiben. Wenn in einem katesischen Koodinatensystem die z-achse entgegen de Schekaft oientiet ist, gilt: f = ( 0,0, g) Fü den Spezialfall des Scheefelds egibt sich: g ( z z ) + 0. (.7) p p. (.8) ρ = Als Beispiel sei die Zunahme des Duckes in einem Wassebecken mit de Tiefe, die sog. hydostatische Duckveteilung betachtet. Dabei ist es üblich, den Uspung des Koodinatensystems in die Wasseobefläche zu legen und die z-achse abeichend von den bisheigen Gleichungen in Richtung de Schekaft zu oientieen. Mit z = 0, z = z, p = p0 und p = p z folgt dann aus Gl. (.8) ( ) ( z) p + gz p = 0 ρ. (.9) Eine Folge diese Gleichung ist das Gesetz von den kommunizieenden Gefäßen: sind zei mit eine Flüssigkeit gefüllte Gefäße duch eine Rohleitung vebunden, so ist die Flüssigkeit in de Rohleitung genau dann in Ruhe, enn de Flüssigkeitsspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist. Zum Beeis sei die Rohleitung duch ein veschlossenes Ventil untebochen. Wenn jetzt, ie in Abb..8 de Flüssigkeitsspiegel links die Höhe Hund echts die Höhe H < H besitzt, hescht nach Gl. (.9) links vom Ventil de Duck p = p0 + ρgh und echts vom Ventil de Duck p = p0 + ρgh, d.h. es ist p > p. Öffnet man das Ventil stömt Flüssigkeit vom linken Gefäß in das echte, bis de Duckunteschied ausgeglichen, d.h. de Wassespiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist. H p p H Abb..8 : Kommunizieende Gefäße. Dies entspicht de Feststellung, dass eine feie Flüssigkeitsobefläche stets die Gestalt eine hoizontalen Fläche aufeist. Dies gilt auch dann, enn bei einem zusammenhängenden Volumen die Obeflächen za keine zusammenhängende Fläche bilden, abe denselben Duck an de Obefläche haben. Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

18 Stömungsmechanische Gundlagen -6 Eine eitee Konsequenz de Gl. (.9) besteht in dem sog. hydostatischen Paadoxon. Betachtet man die in Abb..9 dagestellten Flüssigkeitsbehälte de gleichen Gundfläche und Höhe, so ist de Duck am Boden p = p0 + ρgh in allen dei Fällen identisch. Bei gleiche Bodenfläche stimmt auch die Duckkaft übeein, obohl das Geicht de Flüssigkeit in den dei Behälten veschieden ist. Allgemein besagt das hydostatische Paadoxon, dass die Duckkaft auf einen Behälteboden esentlich kleine ode göße als die Geichtskaft des Wasses im Behälte sein kann. h Abb..9 : Hydostatisches Paadoxon. F F F.3. Auftieb Als Achimedisches Pinzip bekannt ist de Satz: Ein in eine Flüssigkeit eingetauchte Köpe beliebige Gestalt efäht eine Geichtsvemindeung, die dem Geicht de vedängten Flüssigkeitsmenge gleich ist (Auftieb). Diese Satz id ohne jede Rechnung duch ein Gedankenexpeiment einsichtig, indem man den betachteten Köpe vom Volumen V duch einen Köpe mit de Dichte de umgebenden Flüssigkeit ρf esetzt. Diese Köpe muss offensichtlich mit de umgebenden Flüssigkeit im Gleichgeicht sein, denn fü das statische Gleichgeicht ist die Dichte die einzige elevante Göße. Dann ist die esultieende Duckkaft F A abe entgegengesetzt gleich de auf den Köpe ikenden Geichtskaft, d.h. F A = g ρ V e. (.30) f Ihe Wikungslinie geht duch den Schepunkt des Köpes hinduch, de identisch ist mit dem Schepunkt de vedängten Flüssigkeitsmenge V. Füht man nun iede den uspünglichen Köpe mit de Dichte ρ K ein, so daf die Auftiebskaft F A, die nu vom Duck de umgebenden Flüssigkeit heüht, daduch nicht geändet eden, es gilt also Gl. (.30) unveändet. Die Ableitung lässt sich abe auch leicht diekt fühen, indem man den eingetauchten Köpe in eine Folge von vetikalen Pismen zelegt und fü diese den Beitag zu Auftiebskaft explizit beechnet (s. z Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

19 Stömungsmechanische Gundlagen -7 Abb..0). Da die Obeflächenelemente da und da in de folgenden Weise mit dem Queschnitt da des Pismas zusammenhängen cos α da = cos α da = da, (.3) lässt sich die Auftiebskaft, d.h. die z-komponente de Duckkaft, auf eine einfache Fom bingen, obei Gl. (.9) benutzt id: df A = p da cos α p da cos α Die Integation übe sämtliche infinitesimale Pismen füht sofot zu = ( p p ) da = g ρ h da = g ρ dv f f (.3 ) F A = g ρf dv = gρf V (.33) Das ist die skalae Fom von Gl. (.30). Man zeigt leicht die Vollständigkeit de Übeeinstimmung, indem man nacheist, dass die auf den Köpe ikenden Duckkäfte keine esultieende Hoizontalkomponente besitzen. α p da da h p da α Abb..0 : Duckkäfte an einem eingetauchten Köpe Auf beide Weisen kann man einfach ableiten, dass fü einen nu teileise eintauchenden, also schimmenden Köpe das Achimedische Pinzip unveändet gilt. Da in diesem Fall die Auftiebskaft dem Geicht entgegengesetzt gleich ist, muss das Gesamtgeicht des Köpes gleich dem Geicht de vedängten Flüssigkeitsmenge sein..3.3 Gleichgeicht und Duckveteilung beim Vohandensein allgemeine Volumenkäfte In diesem Abschnitt eden die Ausikungen von beliebigen massebezogenen Volumenkäften f () e f ( x,y,z) + e f ( x,y,z) + e f ( x,y,z) auf eine dichtebeständige Flüssigkeit betachtet. = (.34) x x y y z z Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

20 Stömungsmechanische Gundlagen -8 Duckveteilung in otieenden Flüssigkeiten Bei de Rotationsbeegung eine Flüssigkeit handelt es sich im Allgemeinen nicht um ein statisches sonden um ein fluiddynamisches Poblem. Efolgt die Rotation abe stationä mit übeall gleiche Winkelgeschindigkeit, so kann man sie - vom Standpunkt eines mitotieenden Beobachtes aus - als statistisches Poblem auffassen. Zu Wikung de Schekaft titt dann diejenige de Zentifugalkäfte dazu. Efolgt die Rotation mit de Winkelgeschindigkeit ω um die vetikale z-achse (s. Abb..), so ist die Dichte de massenbezogenen Volumenkäfte gegeben duch f x = ω x, f = ω y, = g (.35) y f z z ω y y ρω ydv ρω dv dv ρω xdv p 0 ρ g ρω x x x Abb.. : Käfte auf ein otieendes Volumenelement Mit Gl. (.4) egibt sich duch Integation de dei Komponenten: p x ρ = ω x, Hieaus folgt die Duckveteilung: p y ρ = ω y, pz = p0 ρgz (.36) p ρ = 0 ρ (.37) (,z) p + ω g z De Duck nimmt nicht nu von oben nach unten zu, sonden ebenso mit achsendem Abstand von de Achse. Es seien 0 und z 0 und die Koodinaten de Flüssigkeitsobefläche fü elche p = p0 gilt. Dann folgt aus Gl. (.36) fü die Obefläche: z ω 0 0 = (.38) g Sie hat also fü Fom eines Rotationspaaboloids. Das Gleiche gilt fü alle Flächen konstanten Ducks p = p (Isobaen): ω p p0 z = (.39) g g ρ Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

21 Stömungsmechanische Gundlagen -9 Man sieht dies anschaulich leicht folgendemaßen ein: Wenn ρ f = gad p gilt, so muss diese Kaft auf den Niveauflächen von p, d.h. den Isobaen, senkecht stehen. Dies egibt fü die Steigung eine Isobaen: dz d f ρω = = (.40) f gρ oaus duch Integation sofot G. (.38), alledings mit unbestimmte Konstante folgt. z Bei de gleichmäßig otieenden Flüssigkeit ist die esultieende Duckkaft auf mitbeegte Festköpe - das Analogon zu Auftiebskaft - von Inteesse. Entspechend dem Gedankenexpeiment zum Auftieb (s. Abschn...) übelegt man hie, dass diese Kaft mit de Zentifugalkaft, die auf die vedängte Flüssigkeitsmenge ausgeübt id, im Gleichgeicht stehen muss. Sie ist also nach innen geichtet, und ih Betag ist ρ f V ω S, obei S den Abstand des Schepunktes de vedängten Flüssigkeitsmenge bedeutet. Hiemit ist die Wikungseise von Zentifugen zu ekläen. Die auf ein homogenes Teilchen mit de Dichte ρ ikende esultieende Radialkaft ist K F R ( ρk ρf ) V ω S = (.4) Fü ρ K > ρf ist sie nach außen, fü ρ K < ρf nach innen geichtet. De Edbeschleunigung g in de Auftiebsgleichung entspicht hie das Podukt ω S. Dieses kann in technischen Zentifugen um mehee Zehnepotenzen göße ealisiet eden als g, in den sog. Ultazentifugen soga bis zu einem Fakto von de Gößenodnung 0 6. De gleiche Effekt id in sog. Zyklonen zu Staubabscheidung aus Gasen veendet. Hie id das Gas in einem zylinde- ode tichtefömigen Gefäß auf Schaubenbahnen gefüht. Dabei schlägt sich de Staub an den Wänden niede. Fü die Duckveteilung in Zyklonen ode Gaszentifugen kann alledings Gl. (.36) nicht angeendet eden, da diese die Bedingung de Dichtebeständigkeit zu Voaussetzung hat. Hie gelten alledings die Gln. (.34)unveändet, und man kann diese in Gl. (.33) einsetzen. In Zylindekoodinaten lauten diese dann: = ρ ω p p, = g ρ. (.4) z Fü die Integation benötigt man Aussagen übe den Zusammenhang zischen Duck und Dichte. Wenn man den Scheeeinfluss venachlässigen und isotheme Bedingungen voaussetzen kann, so folgt fü ideale Gase meist ρ = p /RmT und anstelle de beiden patiellen Diffeenzialgleichungen die geöhnliche Diffeenzialgleichung dp p = ω, (.43) d R T m die duch Sepaation de Vaiablen gelöst id. Auf diese Weise findet man fü die Duckveteilung in eine Gaszentifuge: ω p = p0 exp. (.44) R T m Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

22 Stömungsmechanische Gundlagen -0 obei p 0 den Duck auf de Achse bedeutet. Duckveteilungen in eine gleichmäßig beschleunigten Flüssigkeit Auf analoge Weise kann man die Duckveteilung und insbesondee die Neigung de feien Obefläche bei eine in hoizontale Richtung gleichmäßig beschleunigten Flüssigkeit bestimmen, vgl. Abb... Man fasst das Podukt aus Dichte und Beschleunigung ρ a, mit negativem Vozeichen vesehen, als sog. d'alembet-kaft auf - sie stellt die Analogie zu Zentifugalkaft da. Dann folgt fü die Neigung de feien Obefläche, ebenso i fü diejenige de Isobaen: dz fx aρ a tanα = = = =. (.45) dx f gρ g z Die Neigung ist also duch das Vehältnis von Hoizontal- und Vetikalbeschleunigung gegeben. z x a ρ a α g ρ α Abb.. : Spiegelneigung in eine hoizontal beschleunigten Flüssigkeit.4 Kinematik Die Kinematik eine Stömung bescheibt die Beegung eines Fluids ohne Beücksichtigung de Käfte, die diese Beegung veusachen. Damit befindet sich die Kinematik in de Mitte zischen Geometie und Mechanik. Die Geometie betachtet äumliche Konfiguationen (Anodnungen), die entede als zeitlich unveändelich ode nu zu einem bestimmten Zeitpunkt untesucht eden. Die Mechanik dagegen behandelt Beegungen als Folge bestimmte Käfte. Das Ziel de Kinematik ist die Beechnung des Otsvektos x ( t) eines Fluidelements und damit die Bestimmung de Beegung dieses Elements in Abhängigkeit von de Zeit t bezüglich eines festgelegten Koodinatensystems ( x,y,z) fü ein vogegebenes Geschindigkeitsfeld (,, ) x y z. Unte einem Fluidelement id dabei eine abgeschlossene Flüssigkeitsmenge seh geinge Ausdehnung vestanden. Je kleine dieses Fluidelement ist, desto nähe kommt es einem Massenpunkt, fü den allein die kinematischen Betachtungen in stengem Sinn Gültigkeit besitzen. Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

23 Stömungsmechanische Gundlagen -.4. Kinematische Gundbegiffe Vefolgt man ie in Abb..3 die Bahn eines Fluidelements bz. die Teilchenbahn eines de Stömung beigefügten Teilchens mit fotscheitende Zeit, so id de Ausgangsot de Teilchenbeegung zu Zeit t = 0 mit dem Otsvekto x = ( x0 y0 z0 ) festgelegt. Zum Zeitpunkt t > 0 hat sich das Teilchen entlang de skizzieten Bahnkuve an den Ot x ( t ) beegt und zum Zeitpunkt t > t zum Ot x ( t ) us. Die momentane Position x des betachteten Teilchens ist also ein Funktion des Ausgangsotes x 0 und de Zeit t. Die Teilchenbahn ode Bahnlinie scheibt sich damit: x = f ( x0,t). (.46) Die geöhnliche Diffeenzialgleichung fü die Beechnung de Teilchenbahn lautet fü ein vogegebenes Geschindigkeitsfeld (,, ) : x y z dx = ( x,t). (.47) dt Dies ist nichts andees als die ohlbekannte Definitionsgleichung de Geschindigkeit. Fü die einzelnen Geschindigkeitskomponenten lauten die Diffeenzialgleichungen dx dt = ( x,y,z,t ), = ( x,y,z,t ), ( x,y,z,t ) x dy dt y dz = z. (.48) dt Es handelt sich um ein System geöhnliche Diffeenzialgleichungen. Odnung. Die Teilchenbahn beechnet sich duch Integation diese Diffeenzialgleichungen mit de Anfangsbedingung x 0 = x ( t = 0). Fü eine stationäe Stömung ist das Geschindigkeitsfeld ( x ) unabhängig von de Zeit t dx = ( x) (.49) dt t=0 Teilchenbahn t >0 x(t ) x 0 t >t t3 >t x(t ) x(t 3 ) z y Abb..3 : Teilchenbahn x Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

24 Stömungsmechanische Gundlagen - Im Allgemeinen ist nicht die Beegung in Fom von Gl. (.46), sonden das Geschindigkeitsfeld = ( x,t) gegeben. Die Teilchenbahn x egibt sich dann duch Integation de Gl. (.49). Eine eitee Möglichkeit Stömungen zu bescheiben sind Stomlinien (s. Abb..4). Diese zeigen zu einem bestimmten Zeitpunkt t n das Richtungsfeld des Geschindigkeitsvektos an. Da die Tangenten an jedem Ot und zu jedem Zeitpunkt paallel zum Geschindigkeitsvekto geichtet sind, lautet die Bestimmungsgleichung fü die Stomlinie dx = 0 (.50) Daaus folgt das Diffeenzialgleichungssystem. Odnung fü die Stomlinie: dx dy dz = = x y z (.5) z y ds = dt Stomlinie y t=t n z x Abb..4 : Stomlinie Die Stomlinien beechnen sich iedeum duch Integation nach Tennung de Vaiablen. Damit sind sie die Integalkuven des Richtungsfeldes des vogegebenen Geschindigkeitsvektos. Bei stationäe Stömung fallen Stom- und Bahnlinien zusammen: ein Teilchen entfent sich nie von de Stomlinie, auf de es sich einmal befindet. Andesfalls müsste sich nämlich das Teilchen que zu den Stomlinien beegen. Dann üde abe seine Geschindigkeitsichtung nicht mit de Stomlinienichtung übeeinstimmen, as de Definition de Stomlinien idespicht. Fü instationäe Stömungen untescheiden sich die Teilchenbahnen von den Stomlinien, as die Intepetation instationäe Stömungen schieig gestaltet. Ein einfaches Stömungsbeispiel soll dies veanschaulichen. In Abb..5 id ein Zylinde mit konstante Geschindigkeit duch ein uhendes Fluid beegt. Die Teilchenbahn duchläuft beim Vobeibeegen des Zylindes eine Schleife, ähend die Momentaufnahme de Stomlinien geschlossene Kuven zeigen. Dies ist das Stömungsfeld, das ein außenstehende, uhende Beobachte sieht. Ganz andes sieht das Stömungsbild aus, enn man sich mit dem Zylinde mitbeegt. Man sieht dann die konstante Anstömung auf sich zukommen, und die Stömung id zeitunabhängig. Statt de geschlossenen Stomlinien bilden sich stationäe Stomlinien von links nach echts Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

25 Stömungsmechanische Gundlagen -3 velaufend aus, die mit den Bahnlinien zusammenfallen. Je nachdem in elchem Bezugssystem man sich befindet, kann das Stömungsfeld also völlig andes aussehen. Physikalisch ausgedückt, heißt dies, Stomlinien und Teilchenbahnen sind nicht invaiant beim Wechsel des Inetialsystems (Otstansfomation mit konstante Tanslationsgeschindigkeit). Teilchen uhende Beobachte Stomlinen uhende Beobachte Stomlinen mitbeegte Beobachte Abb..5 : Zylindeumstömung; uhende und mitbeegte Beobachte.4. Kontinuitätsgleichung Vo de Ableitung de stömungsmechanischen Gundgleichungen fü allgemein deidimen- x,y,z,t x,y,z,t ρ x,y,z,t, sionale und zeitabhängige Stömungspobleme mit ( ), p ( ), ( ) e ( x,y,z,t ) id in diesem Abschnitt die eindimensionale Stomfadentheoie zunächst fü inkompessible Stömungen abgeleitet. Die Gundlagen und Methoden de eindimensionalen Stomfadentheoie eden auch heute noch in de Industie fü den Voentuf neue Podukte eingesetzt. Neben dem gundsätzlichen Veständnis fü Stömungsvogänge ist es deshalb auch aus paktischen Günden bedeutsam, die eindimensionale Stomfadentheoie als Einstieg in die theoetische Behandlung von Stömungen abzuleiten. Die eindimensionale Geschindigkeitskomponente ( s) ist ausschließlich eine Funktion eine Koodinate s, die als Stomfadenkoodinate bezeichnet id. Zu Einfühung diese eindimensionalen Stomfadenkoodinate s ist es nützlich den Begiff de Stomöhe zu definieen. Bilden die Stomlinien eine geschlossene Fläche, ie dies in Abb..6 dagestellt ist, nennt man diese Mantelfläche Stomöhe. Abb..6 : Stomöhe Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

26 Stömungsmechanische Gundlagen -4 Da die Stomlinien pe Definition die Tangenten de Geschindigkeitsvektoen sind, titt duch den Mantel de Stomöhe keine Fluidmasse. Das bedeutet, dass duchstömte Kanäle mit festen Wänden Stomöhen bilden. Sind die Ändeungen de Stömungsgößen übe den Queschnitt de Stomöhe klein gegenübe den Ändeungen längs de Stomöhe, lassen sich die näheungseise eindimensionalen Ändeungen de Stömungsgößen entlang des abstahieten Stomfadens beechnen. Das Bild eines Stömungsfeldes id umso genaue duch Stomfäden dagestellt, je kleine deen Queschnitte sind. Stömungen duch Rohe und in Geinnen können als einzige Stomfaden behandelt eden, enn man übe den Queschnitt gemittelte Wete de Stömungsgößen benutzt. Hiein liegt die Bedeutung de Stomfadentheoie in de Technik: Es ist mit ihe Hilfe oft möglich, zei- ode ga deidimensionale Stömungen näheungseise eindimensional zu behandeln. Fü einen solchen Stomfaden id die Kontinuitätsgleichung im Folgenden hegeleitet. Es sei s die Bogenlänge längs de Mittellinie des Stomfadens, dann sind alle Stömungsgößen im Stomfaden nu Funktionen von s und t, und fü das Volumenelement gilt: ( s,t) ds dv = A (.5) Es ede jetzt ein mateielles Volumen betachtet, das zum Zeitpunkt t das Stück eines Stomfadens zischen den Queschnitten A ( s () t, t) und A ( s ( t), t) und zum Zeitpunkt t + t das Stück zischen den Queschnitten A ( s ( t + t), t + t) und A ( s ( t + t), t + t) ausfüllt (vgl. Abb..7). Die Skizze ist fü einen aumfesten Mantel gezeichnet, um sie nicht unübesichtliche als nötig zu machen; die Übelegungen gelten abe auch fü einen beegten Mantel, also eine nicht ichtungsstationäe Stömung. s s (t) s (t+ t) s (t+ t) s (t) Abb..7 : Stomfaden in eine Stomöhe Da die Masse eines mateiellen Volumens konstant bleibt, gilt fü ein solches mateielles Stück eines Stomfadens: d dt s () t ρ( s,t ) A( s,t ) ds = 0 (.53) () t s Fü die Ableitung eines Integals nach de Zeit, dessen Integand und dessen Genzen von de Zeit abhängen, gilt die Leibnizsche Regel: Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

27 Stömungsmechanische Gundlagen -5 dt Damit id aus Gl. (.5) () t s () t F ( ) ( s,t ) ds ds F s,t ds = ds + F( s,t) F( s,t) (.54) () () t dt t s t dt d s s ( t) ρ A ds ds ds + ρa ρa = 0 (.55) () t dt dt t s s und mit ds / dt = ehält man schließlich s ρa ds + ρ A ρa = 0 (.56) t s (Anmekung: Zu diese Gleichung gelangt man auch duch Anendung de allgemeinen Bilanzgleichung (.), indem das als Menge die Masse bilanziet id.) Soohl in Gl. (.55) als auch (.56) ist jedes Glied ausschließlich eine Funktion de Zeit. Die Gleichung gilt also zischen zei beliebigen Queschnitten eines Stomfadens zum selben Zeitpunkt. Wie man sich das duch den Stomfaden und diese beiden Queschnitte gebildete Volumen zeitlich fotgesetzt denkt, ob man es also als ein mit de Stömung mitbeegtes ode als ein aumfestes Volumen betachtet, ist fü die Anendung de Gleichung ohne Bedeutung. Fü die stationäe Stömung eines inkompessiblen Fluids duch einen Stomfaden folgt: =, A = const., da + Ad = 0. (.57) A A In einem Stomfaden ist A geade de Volumenstom duch einen Queschnitt des Stomfadens V & = A. (.58) Fü die stationäe Stömung eines inkompessiblen Fluids ist demnach de Volumenstom duch einen Stomfaden und ie sich leicht zeigen lässt auch duch eine Stomöhe in jedem Queschnitt gleich: V & = &, V & = const., d V & = 0. (.59) V.4.3 Eulesche und Benoullische Gleichung fü stationäe Stömungen In eine stömenden Flüssigkeit teten auße dem Duck im Allgemeinen Schubspannungen auf (vgl. Abschnitt.). Dies ist imme dann de Fall, enn sich die Flüssigkeit bei de Beegung "defomiet", d.h. enn sie nicht ie ein stae Köpe als Ganzes beegt (z.b. otiet). Man kann diese Schubspannungen abe oft gegenübe dem Duck venachlässigen. Dann spicht man von eibungsfeie Stömung; das Aufteten de Schubspannungen bezeichnet man auch als Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

28 Stömungsmechanische Gundlagen -6 innee Reibung de Flüssigkeit. Nu einige Efahung leht, ob eine Stömung als eibungsfei angesehen eden kann ode nicht. Deatige Efahungen egeben sich duch die Beschäftigung mit konketen Stömungsvogängen. Bei eibungsfeien Stömungen kann man mit den Schubspannungen eine Escheinung venachlässigen, die in eine ealen Stömung imme auftitt: das Haften de Flüssigkeit an festen Wänden. Bei eine eibungsfeien Stömung daf man dahe annehmen, dass die Flüssigkeit an festen Wänden tangential mit endliche Geschindigkeit entlang stömt. In Wiklichkeit sinkt alledings die Geschindigkeit nahe eine uhenden Wand in eine Genzschicht auf null ab, ie dies Abb..8 zeigt. (In Abschn.. und.3 eden Genzschichtstömungen genaue behandelt.) Man kann deshalb die Bedingung dafü, dass eine Stömung als eibungsfei betachtet eden daf, meistens auch so fomulieen: Die Genzschichten an festen Wänden müssen so dünn bleiben, dass ihe Dicke gegen die übigen Abmessungen des Stömungsfeldes venachlässigt eden kann. Die Genzschichten bleiben im Allgemeinen dann dünn, enn eine bestimmte den Stömungsvogang chaakteisieende dimensionslose Zahl, die sog. Reynoldszahl, goß ist. Genzschicht Abb..8 : Geschindigkeitspofil bei de Umstömung eines festen Köpes Es soll zunächst die Beegungsgleichung fü einen Stomfaden fomuliet eden, de in eine eibungsfeie Außenstömung bz. eibungsfeie Kenstömung eines Kanals gelegt id. Diese Beegungsgleichung stellt eneut eine Fom de allgemeinen Bilanzgleichung (.)da, in de als zu bilanzieende Menge de Impuls eingesetzt id. Bei de Käftebilanz entlang eines ausgeählten Stomfadenelements dv (s. Abb..9) kann in este Näheung die Queschnittsändeung entlang des Stomfadens venachlässigt eden. Die Beegungsgleichung lautet Masse Beschleunigung = Summe alle angeifenden Käfte. Fü das Volumenelement dv gilt also Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe

29 Stömungsmechanische Gundlagen -7 ds Abb..9 : Käftebilanz am Stomfadenelement dv dm a = F i. (.60) i Allgemein gilt fü die Beschleunigung a eines Stömungsfeldes: d a = = + x + y + z = + ( ) (.6) dt t x y z t aus dem Geschindigkeitsvekto und dem Nabla-Opeato mit dem Skalapodukt ( ) = ( / x, / y, / z). Fü den eindimensionalen Stomfaden scheibt sich Gl. (.6): d a = = +. (.6) dt t s fü die angenommene stationäe Stömung gilt b ( d / ds) =. Die Masse des in Abb..9 betachteten Volumenelements dv ist dm = ρ da ds. Die am Volumenelement angeifenden Käfte sind die Duckkäfte und die Gavitation, deen Komponenten entlang de Stomfadenkoodinate ins Gleichgeicht gesetzt eden. Damit egibt sich: ρ da ds d dt = ρ da ds + t s p = p da p + ds da ρ g da ds cos( ϕ), s (.63) cos ( ) = dz / ds ϕ und Division duchρ da ds liefet die Eule-Gleichung fü den Stomfaden d dt p dz = + = g. (.64) t s ρ s ds Fü stationäe Stömungen sind alle Gößen nu Funktionen von s und es folgt: d d dp dz = = g ds ds. (.65) ρ ds ds Fachgebiet Vefahenstechnik Pof. D.-Ing. M. Kaume SoSe