Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

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1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen Druckfehlern stimmen überein. Schätze ab, wie viele Druckfeher unentdeckt geblieben sind. Annahmen: Lektor A und Lektor B sind unabhängig voneinander (genauer: Die Zufallsvariablen f A und f B, die die von A (B) gefundenen Fehler bezeichnen, sind unabhängig voneinander), und alle gefundenen Fehler sind wirklich Fehler (keine Fehlkorrekturen). Im ganzen Text befinden sich f = x = 25 + x Fehler (2 hat A gefunden, 5 wurden von B entdeckt, wobei doppelt gezählt wurden; x bezeichnet die Anzahl der unentdeckt gebliebenen Fehler). Die Wahrscheinlichket p A, dass Lektor A einen Fehler entdeckt, ist demnach und analog für B p A = x, p B = x. A und B haben übereinstimmende Fehler gefunden, also ist die Wahrscheinlichkeit p AB, dass ein Fehler von beiden gefunden wird p AB = 25 + x. Da A und B wie gesagt unabhängig sind, ist p AB gegeben durch p AB = p A p B, also: 25 + x = x x = x Es sind also etwa 5 Fehler unentdeckt geblieben. 2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von Studenten mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben? Bei wievielen Studenten ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben, gerade /2? Schaltjahre werden vernachlässigt, und es wird angenommen, dass alle Geburtstage gleich wahrscheinlich sind.

2 - Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P min2, dass von k (hier: k = ) Studenten mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben. Da dies auf verschiedene Arten der Fall sein kann (2 oder mehr am gleichen Tag, 2 mal 2 oder mehr am gleichen Tag etc.), ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit P, dass keine 2 Studenten am gleichen Tag Geburtstag haben, auszurechnen. Dann ist P min2 = P. wobei P = Günstige Mögliche Mögliche: Jeder der k Studenten kann an 365 Tagen Geburtstag haben, also: 365 k Möglichkeiten. Günstige: Student kann an 365 Tagen Geburtstag haben, Student 2 an 364 (einer ist ja von Student besetzt ) usw. Also: (365 k + ). Also: Damit erhalten wir (365 k + ) P = 365 k 365! = (365 k)! 365 k = k! ( ) 365 k 365 k P min2 =! ( ) =.7 - Um die Anzahl n der Studenten auszurechnen, die nötig sind, damit P min2 gerade /2 ist, müsste man P min2 = n! ( ) 365 n 365 n = 2 nach n auflösen. Obige Gleichung hat aber gar keine Lösung (n muss eine nichtnegative ganze Zahl sein); durch Ausprobieren (z.b. Plot oder Wertetabelle in Mathematica) findet man, dass P min2 =.57 bei n = 23 (und P min2 =.476 bei n = 22). Also braucht es mindestens 23 Studenten, damit P min2 2. Mit Hilfe der Gammafunktion Γ(n + ) = n! () lässt sich P min2 als kontinuierliche Verteilung interpretieren: P min2 = Diese Verteilung ist in Abb. zu sehen. Γ(366) Γ(366 k)365 k (2)

3 Abbildung : x-achse: Anzahl Personen ; y-achse: Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben 3. Idealer Spielwürfel. a) Betrachte die Zufallsvariable Anzahl geworfene Augen. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus? Erwartungswert? Standardabweichung? Entropie? b) Dem Zustand mit der Augenzahl 6 wird ein Wert y = zugeordnet, den übrigen der Wert y =. Wie gross ist der Erwartungswert von y und y 2, sowie die Schwankung (Streuung) von y? (a) - Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine diskrete Gleichverteilung der Form - Der Erwartungswert ist P(X = x) = E(X) = { 6, x (, 2, 3, 4, 5, 6) sonst 6 p i x i i= = ( ) 6 = Die Standardabweichung lässt sich berechnen durch σ = Var(X), wobei die Varianz gegeben ist durch Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 ( 6 6 ) 2 = p i x 2 i p i x i i= i= = ( ) (3.5)2 6 = und somit die Standardabweichung σ = Var(X) =.778.

4 - Die Entropie ist S = 6 p i ln(p i ) = ln( 6 ) =.798. i= (b) Dem Ereignis x = 6 wird der Wert y = zugeordnet und den übrigen den Wert y=. - Der Erwartungswert von y ist E(Y ) = 6 p i y i = 6. i= - Der Erwartungswert von y 2 ist E(Y 2 ) = 6 p i (y i ) 2 = 6. i= - Die Varianz ist demzufolge Var(Y ) = E(Y 2 ) E(Y ) 2 = 6 36 = Gleichverteilung über dem Intervall [a, b]. Leite die Formel für die Standardabweichung x = (b a)/ 2 her. Wir berechnen die Varianz Var(X) für eine stetige Gleichverteilung über dem Intervall [a, b]. Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 b ( ) a + b 2 = x 2 b a a 2 = b 3 a 3 ( ) a + b 2 3 b a 2 = ( 4b 2 + 4ab + 4a 2 3a 2 6ab 3b 2) 2 = (b a)2. 2 Somit ist die Standardabweichung σ = Var(X) = b a 2.

5 5. Eine in eine Programmiersprache eingebaute Funktion random erzeuge eine gleichverteilte (Pseudo-)Zufallszahl im Interval [, ]. a) Zeichne sowohl die Dichte f(x) als auch die Verteilung F(x), und berechne die Standardabweichung. b) Wie ist die Variable z = random+random verteilt? Zeichne sowohl die Dichte f(x) als auch die Verteilung F(x). (a) Die Standardabweichung lässt sich berechnen durch σ = b a 2 = 2 = Die Dichtefunktion ist in Abbildung 2 und die Verteilungsfunktion in Abbildung 3 zu sehen..5 f(x) x Abbildung 2: Dichtefunktion f(x)

6 .5 F(x) x Abbildung 3: Verteilungsfunktion F(X) (b) Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X und Y welche gleichverteilt auf dem Intervall [, ] sind. Die entsprechende Dichtefunktion ist {, für x f X (x) = f Y (x) = sonst Gesucht ist die Dichte der neuen Zufallsvariable Z = X + Y, welche gegeben ist durch f Z (z) = = + + f X (x)f Y (y)δ(z (x + y))dy f X (z y)f Y (y)dy. Für die Werte y ist f Y (y) = und somit vereinfacht sich das Integral zu f Z (z) = f X (z y)dy. Dieser Integrand ist ausser für z y. Wenn also z, so haben wir wenn < z 2 f Z (z) = f Z (z) = z z dy = z, dy = 2 z, und wenn z < oder z > 2 ist f Z (z) =. Die Dichtefunktion ist also

7 z, für z f Z (z) = 2 z für < z 2 sonst Die dazugehörige Dichtefunktion ist in Abbildung 4 abgebildet sowie die Verteilungsfunktion in 5..5 f(x) x Abbildung 4: Dichtefunktion f(x).5 F(x) x Abbildung 5: Verteilungsfunktion F(X)

8 6. Radioaktiver Zerfall: a) Rekapituliere die Annahmen, welche für eine radioaktive Substanz zu einem exponentiellen Zerfallsgesetz f(x) e x/λ führen. b) Von einem Präparat sei nach der Zeit T /2 noch die Hälfte vorhanden. Berechne den Parameter λ. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und die kumulative Verteilung F(x)? Was ist die physikalische Bedeutung der Funktion G(x) = F(x)? (a) Die Zerfallswahrscheinlichkeit ist unabhängig von der Zeit und der Anzahl Kerne N. N(t) bezeichne die Anzahl Kerne, die zur Zeit t noch nicht zerfallen sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern im Intervall [t, t+dt] zerfällt (wenn er bis zur Zeit t noch nicht zerfallen ist), sei dp = dt/λ. Die Anzahl der Kerne, die noch nicht zerfallen sind, ändert sich im Intervall [t, t + dt] also gemäss dn = dp N = dt N. λ Die Differentialgleichung dn dt = λ N lässt sich durch Separation der Variablen lösen: N N dn N ln N N = t = λt dt λ N(t) = N e t/λ (b) wobei N = N(). - Nach der Zeit T /2 sind noch N(T /2 ) = 2 N Kerne vorhanden, also 2 N = N e T /2/λ λ = T /2 ln2 T /2 ist die Halbwertszeit, und der Parameter λ entspricht hier der mittleren Lebensdauer τ (Vorsicht beim Vergleichen mit der Literatur; meistens ist λ = /τ). - Wahrscheinlichkeitsdichte f(t): Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern im Intervall [t, t + dt] zerfällt, also f(t) = dn dt = λ e t/λ

9 - Kumulative Verteilung: F(t) = t = e t/λ dt λ e t /λ - Bedeutung von G(t) = F(t) = e t/λ : Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern bis zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallen ist. Marti, Rothen, Steinhauer

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