Einführung in die Kombinatorik

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1 Seite 1/46 Eiführug i die Kombiatorik Die folgede Kapitel sid im Rahme eier Arbeitsgemeischaft für besoders befähigte Schülerie ud Schüler im Fach Mathematik (Jahrgagsstufe 8/9) am Clara-Schuma-Gymasium i Lahr/Schwarzwald etstade. Meier Meiug ach eige sich die Theme bis eischließlich Kapitel 5 sowie Kapitel 6.3 ud 6.4 auch für Schülerreferate. Ich dake Frau Dr. Aja Kohl vo der TU Freiberg für ihre freudliche ud fachkudige Uterstützug bei de Lösuge zu de Kapitel 8 ud 9. Lahr, Mai 2007 (überarbeitet, Juli 2011 Dake a Dr. H. Plotke) Adreas Brike Geroldsecker Vorstadt Lahr

2 Seite 2/46 Ihaltsverzeichis 1. Was ist Kombiatorik Aufgabebeispiele Das Pascalsche Dreieck Permutatioe ud Fakultät Stichprobe aus eier -elemetige Mege Ziehe ohe Zurücklege Ziehug ohe Zurücklege mit Beachtug der Reihefolge Ziehug ohe Zurücklege ohe Beachtug der Reihefolge Ziehe mit Zurücklege Ziehug mit Zurücklege mit Beachtug der Reihefolge Ziehug mit Zurücklege ohe Beachtug der Reihefolge Wege im Gitter Das x m Gitter Vereibaruge Hiweis Aufgabe Bemerkuge Nicht alle Wege führe ach Rom Zshg. Kombiatorik Wahrscheilichkeitsrechug Das Geburtstagsproblem Das Lotto-Gitter Vereibaruge Beispiel Frage Zufallsvariable X Güstige Ziehuge für drei Richtige Summezeiche Σ ud Reihe Beispiele Umformugsregel bei Reihe Erste Awedug Laufidexverschiebug Dreieckszahle Summe der erste atürliche Zahle Woher kommt der Name Dreieckszahl? Allgemeie Formel für die -te Dreieckszahl...21 Tipps:... 22

3 Seite 3/46 Hiweis: Aufgabe Bemerkug Aufgabe Bemerkug Summe der erste Quadratzahle Die Summe der erste 5 Quadratzahle Verallgemeierug Vereifachug eier Dreifachreihe Erste Überlegug Zweite Überlegug Dritte Überlegug Ergebis Alterative zur 3. Überlegug Übuge Lösuge zu de Übuge Eie Schachtel mit Stäbche Lösug Ei kokretes Zahlebeispiel Zahl der güstige Möglichkeite, we c gegebe ist Aufsummierug aller güstige Möglichkeite...34 Gaußklammer [ ] Erste Vereifachuge Hiweise Weitere Vereifachuge Azahl der güst. Dreieckskostellatioe bei ugeradem Azahl der güst. Dreieckskostellatioe bei geradem Ergebis Eisatz des Computers Die Etwicklug der Wahrscheilichkeite Hiweise zur Formeleigabe Mit der Tabelle ei Diagramm erstelle Das Mosersche Kreisflächeproblem Erste Vermutug Lösug mit Eulerscher Polyederformel Schritt 1: (Bestimmug der Ecke) Schritt 2: (Bestimmug der Kate) Schritt 3: (Eisatz der Eulersche Polyederformel) Vereifachuge Alterative Lösug i drei Schritte... 43

4 Seite 4/46 9. Acht Türme auf dem Schachbrett Allgemeie Lösug Hiweis: Drehsymmetrische Lösuge Lösuge mit 180 -Drehsymmetrie (= Puktsymmetrie) Lösuge mit 90 -Drehsymmetrie Achsesymmetrische Lösuge Vereibaruge Fall 1: (symmetrisch zu D1 ud D2) Vorüberlegug Fall 2: (symmetrisch zu D1) Vorüberleguge Verallgemeierug Fall Ergebis Ausblicke:... 50

5 1. Was ist Kombiatorik 1. Was ist Kombiatorik Seite 5/46 Kombiatorik ist ei iteressates Teilgebiet der Mathematik ud beschäftigt sich mit der Berechug vo Azahle. Mit weige Ketisse ist ma i der Lage, auf de erste Blick völlig udurchschaubare Fragestelluge zu löse. I viele Fälle lasse sich mit kombiatorische Ketisse auch Wahrscheilichkeite für das Eitreffe bestimmter Ereigisse bereche. Vgl. Kap Aufgabebeispiele 1.) Lotto 6 aus 49 : a) Wie viele Tipp-Möglichkeite gibt es isgesamt? Vgl. Kap b) Wie viele Möglichkeite gibt es für 5 Richtige? Vgl. Kap ) I eier Schachtel liege Stäbche. Das k-te Stäbche sei k Lägeeiheite lag. Nu werde zufällig drei dieser Stäbche ohe Zurücklege gezoge. Mit welcher Wahrscheilichkeit ka ma damit ei Dreieck bilde? Vgl. Kap. 7 3.) Auf eier Kreisliie liege Pukte. Alle Pukte werde paarweise miteiader verbude. Bestimme die maximale Azahl der Fläche, i die dadurch der Kreis zerfällt. Vgl. Kap. 8 4.) Es werde acht Türme auf ei Schachbrett gesetzt. Vgl. Kap. 9 a) Auf wie viele verschiedee Arte ka ma die Türme auf de 64 Felder platziere, so dass sie sich gegeseitig icht bedrohe? b) Wie groß ist die Azahl der drehsymmetrische Möglichkeite? c) Wie groß ist die Azahl der achsesymmetrische Möglichkeite?

6 2. Das Pascalsche Dreieck 2. Das Pascalsche Dreieck Seite 6/46 k =1 =0 1 =1 1 1 k =2 = k=6 k = = = Die obige Zahleaordug wird ach dem frazösische Gelehrte Blaise Pascal (* ) Pascalsches Dreieck geat. Der Aufbau begit i Zeile 0 ( =0 ) mit eier Eis. Am Rad jeder eue Zeile steht auf beide Seite eie weitere 1. Alle adere Eiträge etstehe aus der Summe der beide darüber liegede Zahle: Zuächst scheit es ei eifaches Zahlespiel zu sei, doch der Ihalt steckt voller schöer Mathematik. So habe die Zahle im Pascalsche Dreieck ebe der Symmetrie viele weitere iteressate Eigeschafte: k =0 a) Die zweite Zahl etspricht immer der Zeileummer. Ma begit bei der Nummerierug mit der ullte Zeile. b) Die vorletzte Zahl i jeder Zeile etspricht immer der Diagoaleummer k. Wieder begit ma beim Zähle mit der ullte Diagoale. c) Die Summe aller Zahle der -te Zeile ergibt stets die 2-er-Potez 2. d) Die zweite Diagoale (k =2, Achtug ma begit bei der Nummerierug mit 0) ethält die Dreieckszahle (Summe der darüber liegede erste aufeiader folgede atürliche Zahle): 1 ;3,6,10,15 ;..., de 1 2=3, 1 2 3=6 usw. (vgl. Kap. 6.3) e) I der dritte Diagoale ( k =3) liege die Summe der darüber liegede Dreieckszahle 10=1 3 6 ;20= ;.... f) Allgemei beihaltet jeder Eitrag die Summe der darüber liegede Diagoaleeiträge. g) Die Zahle i der -te Zeile etspreche stets de Koeffiziete (=Zahlfaktore) der Biome a±b. (Sie werde daher auch Biomialkoeffiziete geat.)

7 Beispiel: (a b) 2 =(1 )a 2 2 ab+(1 )b 2 2. Das Pascalsche Dreieck Seite 7/46 (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3 ab 2 +b 3 (a b) 5 =a 5 5a 4 b+10a 3 b 2 10a 2 b 3 +5a b 4 b 5 h) Nummeriert ma auch jede. Eitrag eier Zeile begied mit 0, da hat der k-te Eitrag i der -te Zeile eie kombiatorische Bedeutug: Dies ist die Azahl der Möglichkeite, aus eier Gruppe vo Elemete geau k Elemete ohe Beachtug der Reihefolge auszuwähle. Vergleiche mit Kapitel i) Etwas versteckt liege die ach Leoardo da Pisa (auch Fiboacci, * 1180 (?) (?)) beate Fiboacci-Zahle 1 ;1 ; 2=1 1 ;3 =1 2 ; 5 =2 3 ; 8 ;13; 21;34 ;... Die Summe der Eiträge i de flache Diagoale ergibt jeweils eie Fiboacci-Zahl. Als Beispiel sid im obige Dreieck die zweite, die vierte ud die siebte Flachdiagoale blau bzw. rot gekezeichet: 3=F 4 bzw. 13=F 7 j) Addiert ma zwei uter eiader stehede Zahle der zweite Diagoale, so ergibt sich stets eie Quadratzahl. (Vgl. Kap ) 3. Permutatioe ud Fakultät Permutatio ist die Veräderug eier Aordug. Wir wähle us drei verschiedee Forme. Diese köe wir umlege (permutiere), so dass sich die Reihefolge ädert. Bei zwei Forme gibt es zwei Möglichkeite der Aordug. Bei Hizuahme der dritte Form ka jede der drei Forme a erster Stelle stehe ud mit de zwei adere auf je 2 Arte kombiiert werde. Somit sieht ma sofort, dass bei eier Gruppe vo 3 Elemete 3 2=6 Permutatioe existiere. Nimmt ma ei viertes Elemet hizu, so ka ma jedes dieser vier Elemete wiederum mit de adere drei auf 6 Arte kombiiere. Dies liefert 4 6= = =24 verschiedee Permutatioe. Allgemei gibt es damit für eie Gruppe aus Elemete geau =! Permutatioe. Das Ausrufezeiche hiter dem heißt Fakultät (sprich: Fakultät ).

8 4. Stichprobe aus eier -elemetige Mege Seite 8/46 4. Stichprobe aus eier -elemetige Mege Beim userem Lotto zieht ma (ohe Zusatzzahl) 6 Kugel aus 49. Der Mathematiker spricht hier vo eier Stichprobe vom Umfag 6. Beim Lotto ist die Reihefolge, i der die Kugel gezoge wurde, gleichgültig die Zahle werde am Ede immer der Größe ach geordet. Somit gibt es für jede Tipp 6! Möglichkeite, dass dieser tatsächlich gezoge wird. Aber wie viele Tippmöglichkeite gibt es isgesamt? Im Folgede utersuche wir vier Möglichkeite, Stichprobe aus eier - elemetige Mege zu etehme Ziehe ohe Zurücklege Ziehug ohe Zurücklege mit Beachtug der Reihefolge Zur Bestimmug aller Tippmöglichkeite beim Lotto ehme wir zuächst a, die Reihefolge der Kugelziehug spiele für das Ergebis eie Rolle. Damit wäre die Ziehuge (1,10,25,34,36,43) ud (25,34,10,43,1,36) verschiede. Bei der erste Ziehug sid och alle 49 Kugel i der Ure. Es gibt daher für die erste Zahl geau 49 Möglichkeite. Zwischeergebis 49 Möglichkeite für 1 aus 49 Bei der zweite Ziehug sid ur och 48 Kugel i der Ure. Zu jeder der 49 Möglichkeite für die erste Zahl ka ma somit 48 Möglichkeite für die 2. Zahl kombiiere. Zwischeergebis Möglichkeite für 2 aus 49 Da zu jeder dieser Möglichkeite mit der 3. Kugel weitere 47 eue Möglichkeite hizu komme, erhält ma als eues Zwischeergebis Möglichkeite für 3 aus 49 Hiweise Schließlich sid es bei 6 aus 49 mit Beachtug der Reihefolge geau Möglichkeite der Ziehug. Durch Kürze der erste 43 Faktore aus 49! ka ma das obige Produkt bereche. Die Zahl 43 hägt direkt mit der Gesamtzahl der Kugel ud der Azahl der gezogee Kugel zusamme 43= = 49! 49 6! Möglichkeite der Ziehug mit Reihefolge Große Fakultäte sprege die Rechekapazität eies Tascherechers (ab ca. 70!). Mit eiem wisseschaftliche Tascherecher erhält ma die Zahl zum obige Ergebis über die Pr-Taste. (Eigabe: 49 Pr 6 =) Hiermit spart ma sich Tipparbeit.

9 Verallgemeierug: 4. Stichprobe aus eier -elemetige Mege Seite 9/46 Zieht ma aus eier Ure mit Kugel isgesamt k Kugel ud beachtet die Reihefolge der Ziehug, so gibt es hierfür geau k 1 =! k! Möglichkeite Ziehug ohe Zurücklege ohe Beachtug der Reihefolge Wir habe beim Lotto gesehe, dass jeweils 6! Ziehuge zum gleiche Tipp führe. Damit ka ma die Möglichkeite zu Pakete der Größe 6! packe. Es ergebe sich ! Hiweise verschiedee Tippmöglichkeite. Mit eiem wisseschaftliche Tascherecher erhält ma die Zahl zum obige Ergebis über die Cr-Taste. (Eigabe: 49 Cr 6 =) Im Pascalsche Dreieck fidet ma die Zahl i der 49. Zeile a der 6. Stelle (jeweils begied mit 0). Statt ka ma kurz 6! 49 6 schreibe (sprich: 49 über 6 ). Eie solche Zahl heißt Biomialkoeffiziet (vgl. Kap. 2). Verallgemeierug: Zieht ma aus eier Ure mit Kugel isgesamt k Kugel ohe Beachtug der Reihefolge, so gibt es hierfür geau k 1 k! 4.2. Ziehe mit Zurücklege =! k! k! = k Möglichkeite Ziehug mit Zurücklege mit Beachtug der Reihefolge Beispiel: Ei 5-stelliges Zahleschloss. Wie viele verschiedee Zahlekombiatioe existiere, we a jeder Stelle siebe verschiedee Ziffer eigestellt werde köe? Auch hier köe wir das Beispiel abstrahiere ud us eie Ure mit siebe verschiedee Kugel deke. Mit dem Ziehe der erste Kugel wähle wir die Ziffer für die erste Stelle des Schlosses. Hierfür gibt es geau 7 Möglichkeite. Wir otiere das Ergebis, lege die Kugel zurück ud ziehe die ächste. Wieder gibt es 7 Möglichkeite. Kombiiert mit der erste

10 4. Stichprobe aus eier -elemetige Mege Seite 10/46 Ziehug sid es für die erste beide Ziffer 7 7=49 Möglichkeite. Nachdem wir füf Mal eie aus siebe Kugel gezoge habe, erhalte wir eie vo =7 5 verschiedee Kombiatioe. Verallgemeierug: Zieht ma aus eier Ure mit Kugel k mal eie Kugel mit Zurücklege, so gibt es hierfür mit Beachtug der Reihefolge geau k Möglichkeite Ziehug mit Zurücklege ohe Beachtug der Reihefolge Zu dieser Variate gibt es verhältismäßig weige Beispiele. Nicht desto trotz fide ich die im folgede beschriebee Vorgehesweise mathematisch eifach schö. Beispiel: Aus drei verschiedee Briefmarkeserie mit 1,00-Marke solle alle Möglichkeite zusammegestellt werde, mit dee ma eie 5 -Brief frakiere ka, wobei die Reihefolge der Marke keie Rolle spielt. Da die Reihefolge keie Rolle spielt, sid die beispielsweise die Frakieruge AAABC ud ACABA für us gleichwertig. Wir sortiere daher aus Grüde der Übersichtlichkeit ach dem Alphabet. Jetzt kommt ei toller Trick: We wir vo eier Sorte auf eie adere wechsel, markiere wir dies mit eiem Bidestrich. We eie Markesorte gaz fehlt, mache wir dies ebefalls mit eiem Strich deutlich. Beispiele: AA B CC; BB CCC; AAAAA ; BBBBB Wir beötige somit 7 Plätze. Vo diese 7 Plätze wähle wir immer zwei für usere Bidestriche aus. Iteressaterweise ist mit der Wahl der Plätze für die Bidestriche die Frakierug bereits eideutig (bis auf die uiteressate Reihefolge) festgelegt. Nach ist die Wahl vo 2 aus 7 Plätze auf 7 2 =21 ( siebe über 2 ) Arte möglich. (Tascherecher: 7 Cr 2 =) Vergleiche auch de zweite Eitrag der siebte Zeile im Pascalsche Dreieck auf Seite 9. Wir beötige also bei eier Ure mit Elemete bei k-maligem Ziehe mit Zurücklege k 1 Plätze, vo dee wir 1 mit Trestriche belege.

11 Verallgemeierug: 4. Stichprobe aus eier -elemetige Mege Seite 11/46 Wir beötige also bei eier Ure mit Elemete bei k-maligem Ziehe mit Zurücklege ud ohe Beachtug der Reihefolge k 1 Plätze, vo dee wir 1 mit Trestriche belege. Dies ist auf geau k 1 Arte möglich Wege im Gitter 5.1. Das x m Gitter Im achfolgede x m Gitter gibt es verschiedee Wege vo A ach Z Vereibaruge Wege im Gitter begie immer obe liks. Im Gitter ka ma sich ur auf zwei Arte bewege: ei Weg ka etweder eie Schritt ach liks oder eie Schritt ach ute verlaufe. Alles adere ist verbote. Hiweis Um im x m Gitter vo liks obe ach rechts ute zu gelage, werde aus der Gesamtzahl der Schritte geau Schritte ausgewählt. Die Reihefolge der Auswahl spielt keie Rolle (ma muss die Schritte ja i jedem Fall acheiader gehe). Dieses Problem ist somit bekat: wir bilde eie Stichprobe durch Ziehe (vo Wege ach ute) ohe Zurücklege aus eier Mege (alle Wege) ohe Beachtug der Reihefolge (vgl. Kap ). A Aufgabe Wie viele verschiede Wege gibt es, um vo A ach Z gelage? Lösug Ma ka sich leicht vergewisser, dass i jedem Fall 15 10=25 Schritte vo A ach Z zu gehe sid. Davo gehe geau 10 ach ute. Im obige Fall sid es die Schritte 2, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 18 ud 21. Nach gibt es vo A ach Z isg = verschiedee Wege! Z

12 Bemerkuge 5. Wege im Gitter Seite 12/46 Beachte, dass bei eiem Weg durch ei x m Gitter immer m Schritte otwedig sid, vo dee geau m Schritte ach ute verlaufe. Im 43 x 6 Gitter etspricht die Azahl der mögliche Wege geau der Azahl der mögliche Tipps beim Lotto 6 aus 49. vgl. Kap Es ist gleichgültig, ob ma vo 25 Schritte 10 ach ute wählt oder 15 ach rechts. Aufgrud der Symmetrie der Biomialkoeffiziete ergebe sich gleiche Wegazahle: = bzw. allgemei: k = k. Diese Symmetrie folgt übriges bereits aus der Schreibweise der Biomialkoeffiziete mit Fakultäte (vgl. Ede Kap , Seite 9): k! k! =! k! k! = k k =! (Vergleiche die Symmetrie auch mit de Eiträge im Pascalsche Dreieck auf Seite 6) Nicht alle Wege führe ach Rom Stelle wir us eie Maus vor, die vom Pukt A ach Z gelage möchte. Im Pukt K wartet eie Katze, welche die Maus frisst, we diese dort vorbei kommt. Wie viele Wege vo A ach Z bleibe der Maus? A K Lösug: Für die Maus führe vo A aus 10 4 =210 Wege i de Tod (ach K). Achtug: Jeder dieser Wege hätte auf 15 6 =5005 verschiedee Arte fortgesetzt werde köe. Damit reduziere sich die afags berechete Wege um = Wege. Der Maus verbleibe somit och güstige Wege, geau Z

13 5. Wege im Gitter Seite 13/46 geomme ur ,678=67,8% vo alle Wege. Das ist wie ich fide überrasched weig Zshg. Kombiatorik Wahrscheilichkeitsrechug I der Wahrscheilichkeitsrechug fasst ma eie Weg im Gitter als Ausgag eies Zufallsexperimets auf. Wahrscheilichkeite sid stets Zahle zwische 0 ud 1. Sie werde oft mit dem Großbuchstabe P bezeichet ud werde oft i Prozet agegebe. Da im Beispiel vo Kap alle Wege gleich wahrscheilich sid, et ma de Bruch: Azahl der güstige Wege Azahl aller mögliche Wege Wahrscheilichkeit für de güstige Ausgag des Experimets. I der Mathematik bezeichet ma de Ausgag Maus überlebt auch als Ereigis. Das Ereigis Maus überlebt tritt somit mit der Wahrscheilichkeit P Maus überlebt 67,8 % ei. Das Gegeereigis hierzu heißt: Maus tot. Für dieses (tödliche) Ereigis sid Wege güstig Das Geburtstagsproblem = ,678=32,2 %=P Maus tot ) Aufgabe: Wie wahrscheilich ist es, dass i eier zufällig zusamme gesetzte Gruppe vo 20 (30 oder allgemei ) Persoe midestes zwei Gruppemitglieder am gleiche Tag Geburtstag habe. (Wir gehe vereifached davo aus, dass sich keie Zwillige oder gar Drillige i der Gruppe befide ud iemad der Gruppe i eiem Schaltjahr am 29. Februar gebore wurde.) Das obige Ereigis trifft icht ur zu, we geau zwei Mitglieder am gleiche Tag Geburtstag habe, soder auch we sogar 3, 4 oder im (uwahrscheiliche) Extremfall alle Gruppemitglieder am gleiche Tag Geburtstag habe. Die Gesamtwahrscheilichkeit setzt sich somit aus viele Teilwahrscheilichkeite zusamme. Es ist i diesem Fall wieder ratsam, die Lösug über das Gegeereigis zu bereche (Alle Gruppemitglieder habe a verschiedee Tage Geburtstag.) Lösuge hierzu fide Sie zu geüge im Iteret (z. B. Überrasched ist icht ur für de Laie, dass bereits ab eier Gruppestärke vo 23 Persoe, die Wahrscheilichkeit für gemeisame Geburtstage über 50% liegt. Sid es gar 50 Persoe, steigt die Wahrscheilichkeit auf über 97% (!).

14 5.4. Das Lotto-Gitter 5. Wege im Gitter Seite 14/46 Beim Ausfülle eies Lotto-Scheis, wählt ma beim Spiel 6 aus 49 pro Tipp mit Kreuze geau 6 Zahle aus 49 aus. (Wie bereits i Kapitel 4 verachlässige wir wieder die Zusatzzahl.) Vereibaruge Die 6 getippte Zahle seie die erste 6 Wege i eiem 43 x 6 Gitter. Getippt etspricht eiem Schritt ach ute. Nicht getippt bedeutet Schritt ach rechts. Damit gehe wir bei eiem eigee Tipp (obe liks begied) immer die erste 6 Schritte ach ute ud die restliche 43 Schritte ach rechts. (siehe ute schwarzer Weg) Beispiel Wir spiele jetzt Lotto ud gebe de auf Seite 14 abgebildete Tippschei ab. Aschließed orde wir i eiem 43 x 6 Gitter de erste 6 Wege ach ute usere Zahle 2, 11, 12, 38, 48 ud 49 zu. Die verbleibede Zahle ergebe die restliche 43 Wege ach rechts. So ergibt sich der schwarze Weg im Gitter. Nehme wir a, bei der aschließede Ziehug würde die Zahle 5, 9, 11, 38; 46 ud 48 gezoge. Zuächst kotrolliere wir, ob usere Zahle gezoge wurde, erst daach folge die Schritte für die übrige Zahle. Der rote Weg im Gitter etspricht userer Ziehug. Der erster Schritt zeigt a, dass die 2 icht gezoge wurde, de er führt ach rechts. Der zweite Schritt etspricht der Zahl 11. Diese wurde

15 5. Wege im Gitter Seite 15/46 gezoge, d. h. wir wader de zweite Schritt ach ute. Usw. Auf diese Art stelle wir bereits ach 6 Schritte fest, wie viele Zahle richtig getippt wurde. Frage Welche zusätzliche Erketisse köe wir mit diesem 43 x 6 Gitter bei Lotto gewie? Zufallsvariable X Die Darstellug der Trefferzahl im Gitter vereifacht sich mit der so geate Zufallsvariable X. X =4 bedeutet i userem Zusammehag: geau 4 Richtige. X = Betrachte wir das obige Gitter etwas geauer. Ma erket: 1. Bei jeder mögliche Ziehug ladet ma ach geau 6 Schritte auf der blaue Diagoale. Hier lasse sich aus de Werte der Zufallsvariable X die Azahl der richtig getippte Zahle ablese. 2. Für z. B. 3 Richtige gibt es für eie rote Streckezug viele Möglichkeite. (Für 6 Richtige gibt es dagege ur eie Variate.) Güstige Ziehuge für drei Richtige Jeder rote Zahleweg durch de blaue Pukt mit X =3 liefert geau 3 richtige Zahle. Die Azahl der verschiede (rote) Wege über die Markierug berechet ma ach Kap über de Term (Achtug: Es gibt icht ur 6 verschiedee Wege vo ihr weg.) mögliche Wege zur 3, soder auch 43 Damit gibt es Möglichkeite für eie 3-er. Die Wahrscheilichkeit hierfür beträgt ach de Kapitel ud

16 Wege im Gitter Seite 16/ ,8%=P X =3. 6 Auf die gleiche Weise berechet ma die Wahrscheilichkeite für 0, 1, 2,..6 Richtige. Hierbei leistet ei Tabellekalkulatiosprogramm (wie z. B. OpeOffice Calc) gute Dieste. Mit solch eiem Programm ka ma beispielsweise i der erste Zeile Formel mit Zellebezüge eigebe, die sich beim Kopiere i die achfolgede Zeile apasse. Trefferzahl k güstige Mögl. Möglichkeite isg. P(X=k) ,60% ,30% ,24% ,77% ,097% ,0018% ,000007%

17 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 17/46 6. Summezeiche Σ ud Reihe Lage Summe dere Summade eie bestimmte Regelmäßigkeit aufweise, bezeichet ma i der Mathematik als Reihe. Aufgrud der Regelmäßigkeite ka ma sie kurz mit dem Summezeiche (griechischer Buchstabe, sprich: Sigma ) beschreibe Beispiele Summe der erste atürliche Zahle: Bei i (sprich: Summe vo 1 bis über i ) durchläuft der so geate Laufidex i alle atürliche Zahle vo 1 bis. Dazwische stehe jeweils + -Zeiche. (Logisch, de es hadelt sich ja um eie Summe!) Summe vo Eise: Summe der erste ugerade Zahle: Summe der erste gerade Zahle: Summe der 10-te bis 20-te gerade Zahl: 6.2. Umformugsregel bei Reihe 1= Summade 2i 1 = i =1 2 i= i =1 20 i =10 2 i= Achtug! Hier stehe 11 Summade! Die wichtigste Recheregel bei Summe (zu dee die Reihe zähle) sid: 1. Ausklammer 15x 5 =5 3 x 1 Bei der Reihe der erste gerade Zahle ka ma jeweils eie 2 ausklammer. 2i=2 i =1 2. Positive Summade darf ma beliebig vertausche: i x 5 y=5 x y =y x 5=... (Nach Kap. 3 gibt es hier isgesamt 3! =6 Möglichkeite.) 3. Wiederholte Additio ka ma durch ei Produkt ersetzte: =5 2

18 Erste Awedug 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 18/46 Die Reihe der erste ugerade Zahle ka ma mit diese Regel vereifache: 2 i 1 = 2i 1 =2 i =1 i 1 1=2 i =1 i 1. Ma erket a dieser Umformug, dass die Summe der erste ugerade Zahle gleich dem Doppelte der Summe der erste Zahle mius ist Laufidexverschiebug I viele Fälle ist es geschickt, we ma de Laufidex verädert. Dies sei am folgede Beispiel demostriert: 20 i = i 20 = i 10= i 10 =2 k= =2 k= =110 (Vergleiche de letzte Schritt mit der Eigeschaft e) der Eiträge des Pascalsche Dreiecks auf Seite 6). Erklärug Uter dem erste Summezeiche wadel wir die Gleichug i =10 durch beidseitige Subtraktio vo 10 i i 10=0 um. Da heißt user Laufidex icht mehr i soder i 10. We wir allerdigs die Afagszahl um zeh reduziere, muss das auch mit der Edzahl geschehe (sost erhielte wir zeh zusätzliche Summade). Die größte Zahl für de Idex ist somit 10. Darüber hiaus ersetzte wir bei de Summade (rechts vom Summezeiche) de alte Laufidex i ebefalls durch i 10. Die Reihe vereifacht sich allerdigs erst, we wir userem eue Laufidex i 10 eie eue Name gebe. Wir substituiere also i 10 k Dreieckszahle Summe der erste atürliche Zahle Im Alter vo siebe (!) Jahre sollte der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß ( ) mit eier Recheaufgabe ruhig gestellt werde, damit desse Mathematiklehrer sich ugestört mit dem Rest der Klasse beschäftige kote. Die Aufgabe lautete sigemäß: Zähle die Zahle vo 1 bis 100 zusamme! Nach weige Miute war der Juge fertig. Er hatte icht ur diese Summe berechet, soder gleich eie Formel zur Berechug jeder beliebige Summe dieser Art mit geliefert. Seie Rechug ist elegat ud ist bereits für Grudschüler achvollziehbar.

19 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 19/46 Bereche eifach das Doppelte der Summe auf folgede Art ud Weise: Schreibe uter die Summe vo 1 bis 100 die selbe Zahle och eimal i umgekehrter Reihefolge: = Du siehst sofort, dass die utereiader stehede Summade zusamme alle gleich sei müsse (obe wird's immer eis mehr, ute dafür eis weiger). Es ergebe sich 100 gleiche Summade der Größe 101: = Nu hat der kleie Gauß aber bei seiem Trick das Doppelte der Summe berechet. Die Summe ist daher ur halb so groß = =5.050 (1) Woher kommt der Name Dreieckszahl? Die Summe der erste beide atürliche Zahle ergibt 1 2=3, die Summe der erste drei Zahle ergibt 1 2 3=6. Ma erhält die Zahlefolge 1 ;3 ; 6 ;... (A der 100. Stelle trifft ma hier auf die obe berechete Zahl ) Allgemei bezeichet ma das -te Glied dieser Zahlefolge als -te Dreieckszahl. Wir schreibe dafür kurz d. Tatsächlich gibt es eie geometrische Zusammehag zu Dreiecke: Iterpretiert ma die Dreieckszahle jeweils als Azahl vo Pukte, so ka ma mit diese Pukte Dreiecke beschreibe. (We die Pukte dreieckig sid, sieht es etwas schöer aus.) Allgemeie Formel für die -te Dreieckszahl Nimmt ma zwei Dreiecke zu je d Pukte, dreht eies davo um 180 ud legt es ebe das adere, erhält ma ei Rechteck aus 2 d Pukte. Die Puktzahl lässt sich aber ebeso aus der Formel Läge x Breite mit 1 bestimme. Dies liefert us die allgemeie Formel für die -te Dreieckszahl. Ma bezeichet sie ach dem schlaue Carl Friedrich übriges

20 auch als der kleie Gauß. Tipps: 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 20/46 -te Dreieckszahl d = (2) 1. Etweder oder sei Nachfolger ist gerade. Die Rechug vereifacht sich, we ma schell im Kopf die gerade Zahl halbiert ud mit der ugerade multipliziert. 2. Multipliziert ma eie zweistellige Zahl mit 101, so erhält ma das Ergebis, idem ma die Zahl zwei Mal hiter eiader schreibt. Damit ka ma die Summe der erste 100 atürliche Zahle problemlos im Kopf bereche: =50 101=5050. Hiweis: Die Dreieckszahle fide sich auch im Pascalsche Dreieck wieder. (Vgl. Eigeschaft c) auf Seite 6). Ma ka sie daher etweder als Summe vo Biomialkoeffiziete oder durch eie eizige Biomialkoeffiziete ausdrücke: Aufgabe 1 d = i 1 = 1 2 Beweise: Die Summe zweier aufeiader folgeder Dreieckszahle ergibt stets eie Quadratzahl. Lösug Die -te Dreieckszahl d() wird aus der Summe aller atürliche Zahle kleier gleich berechet. Wie scho gezeigt, gilt für die Dreieckszahle die Formel: d = = i = d d 1 = = Im letzte Schritt habe wir eifach die gemeisame Faktore der beide Summade ausgeklammert. Nu ist die Hälfte der Summe eier Zahl () ud ihrem Nach-Nachfolger 2 gleich dem Nachfolger 1. Damit ist bereits alles bewiese. q.e.d.

21 Bemerkug 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 21/46 Wir blicke wieder zurück auf die Biomialkoeffiziete ud das Pascalsche Dreieck: Mit der Defiitio, dass Beweis für N: k =0 für k gilt, erhalte wir mit dem obige =2 Dies etspricht im Kapitel 2 der Eigeschaft i) Aufgabe 2 Beweise: Multipliziert ma 4 aufeiader folgede atürliche Zahle, so erhält ma stets das Achtfache eier Dreieckszahl. Lösug Ma muss zeige, dass atürliche Zahle k ud existiere, so dass für die folgede Gleichug (3) eie wahre Aussage etsteht: k k 1 k 2 k 3 = (3) Die erste Umformug beihaltet bereits eie kleie Trick ud bereitet damit usere zetrale Schritt vor: 1 8 k k 1 k 2 k 3 =1 2 1 Wir verteile de Faktor 1 8 auf drei Faktore, so dass die like Seite, die gleiche Form erhält wie die rechte Seite. Außerdem stelle wir auf der like Seite der Gleichug die Faktore mit k etwas um, so dass wir (jeweils mit eiem Faktor 1 2 ) evetuell zwei aufeiader folgede atürliche Zahle achweise köe: 1 2 k k 3 k 1 k 2 (4) 2 2 Multipliziert ma die Klammer aus, ergibt sich: 1 3 k 2 k2 k 2 3 k 2 (5) 2 2 Ud tatsächlich erreiche wir durch eie weitere Termumformug: 1 3 k 2 k2 2 k2 3 k 2 1 (6) Bleibt zu zeige, dass der zweite Faktor vo (6) eie atürliche Zahl ist. (Da ist auch der dritte Faktor eie atürliche Zahl.) Dies ist der Fall, we der Zähler eie gerade Zahl ist. A (4) erket ma, dass usere Forderug erfüllt ist, de vo de beide

22 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 22/46 Zahle k ud (k +3) ist auf jede Fall eie Zahl gerade somit auch das Produkt. k k 3 Damit ist die Hälfte davo = k 2 3 k eie atürliche Zahl. Es ist gerade 2 2 die Nummer der etsprechede Dreieckszahl d(). q.e.d. Bemerkug Zu eier Zahl ka ma über Faktorevergleich eie Zahl (Zahle) k =k bereche, so dass die obige Gleichug erfüllt ist. Wie? Aber Achtug: Nicht zu jeder Dreieckszahl gibt es tatsächlich 4 aufeiader folgede atürliche Zahle. Die Aussage userer Aufgabe macht ur de Schluss i eie Richtug. Die Umkehrug ist i der Regel falsch Summe der erste Quadratzahle Leider ka ma die Quadratzahle 1, 4, 9, 16, 25, 36, usw. icht so schö paare wie die atürliche Zahle im Kapitel 6.3. Die Suche ach eier Summeformel für Quadratzahle gestaltet sich daher etwas komplizierter. Zuächst betrachte wir die Differeze aufeiader folgeder Quadratzahle: Differeze Ma ka leicht zeige, dass jede ugerade positive Zahl sich durch eie Differez zweier aufeiader folgeder Quadratzahle schreibe lässt: Damit ist gezeigt: = 1 1 = 2 1 1=2 1 Für jedes N ist die -te ugerade Zahl 2 1 gleich der Differez aus der -te Quadratzahl 2 ud ihrer Vorgägerquadratzahl 1 2. Aus diesem Grud ka ma die Quadratzahl 2 auch als Summe der erste ugerade Zahle schreibe. So ist beispielsweise 7 2 gleich =49. Ud Allgemei ausgedrückt: 2 = = 2k 1 (7) k=1

23 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 23/ Die Summe der erste 5 Quadratzahle Mit dieser Iformatio schreibe wir die Summe der erste füf Quadratzahle als Wert eies Dreiecks. Wir ee es im folgede Quadratsummedreieck Offesichtlich ist die Azahl der Zahle i diesem Dreieck (oberhalb des Strichs) gleich der füfte Dreieckszahl d 5 = =15. Allgemei Bildet ma die Summe der erste Quadratzahle auf die obe beschriebee Art mit eiem Quadratsummedreieck, so befide sich geau d = i Zahle i dem Dreieck. Trick: Wir addiere drei solcher Dreiecke zu eiem verdreifachte Quadratsummedreieck. Zuvor drehe wir aber zwei der Dreiecke so, dass die Summe der etsprechede Zahle a jeder Stelle stets das Gleiche ergibt Wow! Damit erhalte wir als dreifache Quadratzahlesumme der erste füf Quadratzahle das Elffache der 5. Dreieckszahl. Kurz: 5 i 2 5 =11 1 d 5 = =165 (8) i =1 2 =

24 Verallgemeierug 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 24/46 Dieses Ergebis wolle wir u auf die Summe der erste Quadratzahle verallgemeier. Das Verfahre bleibt gleich, aber atürlich muss ma beweise, dass i jedem verdreifachte Quadratsummedreieck a jeder Stelle ur gleiche Zahle stehe. Behauptug: Im dreifache Quadratsummedreieck steht a jeder Stelle die Zahl 2 1. Beweis: Betrachte wir usere Quadratsummedreiecke als Bauwerke: Im Ausgagsdreieck sid die Zahle a alle Stelle eier Etage jeweils gleich. Im Erdgeschoss stehe ur Eise, i der darüber liegede erste Etage ur Dreie, im zweite Stockwerk sid es ur Füfe usw. I de gedrehte Quadratsummedreiecke gilt dies icht. Wohl aber für die Summe der Zahle im doppelte Quadratsummedreieck = Daher utersuche wir die Summe der Zahle dieser beide gedrehte Quadratsummedreiecke. Wir erier us: die größte Zahl i de Dreiecke ist die -te ugerade Zahl 2 1. Jetzt wird s aufgrud der allgemeie Darstellug mit de Idexe etwas schwierig. (Als Schüler muss ma das icht ubedigt verstehe.) Tipp: Kotrolliere mit kokrete Zahle für j ud k die achfolgede mathematische Aussage am obige Beispiel. Im Erdgeschoss (0-ter Stock, j=0 ) trifft zuächst diese größte Zahl des eie Dreiecks auf die kleiste des adere (eie Eis), was zur Zahl 2 führt. Dies sei der 0-te Eitrag k=0 i der 0-te Etage des Summedreiecks. (Vgl. rote Markieruge i de Dreiecke). Daebe liegt als ächster Eitrag k=1 die Summe aus der zweitgrößte ud der zweit kleiste Zahl beider Dreiecke, also 2 3 3=2. Somit ergebe i der 0-te Etage j=0 alle Summe de gleiche Wert. Addiert ma die beide k-te Zahle für 0 k 1, erhält ma i jedem Fall 2 1 2k 1 2 k =2, also das doppelte vo. Im darüber liegede erste Stock j=1 trifft die zweitgrößte Zahl auf die kleiste, bzw. die drittgrößte auf die zweit kleiste usw. Hier gibt es aber ur och 1 Eiträge.

25 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 25/46 D. h. bei j=1 gilt für 0 k 2: 2 3 2k 1 2k =2 2 Allgemei gilt für die Eitäge der j-te Etage (0 j 1 ud 0 k 1 j ): j 2k 1 2k =2 2 j=2 j (9) Bemerkug: Am Ausdruck (9) ka ma zum eie erkee, dass im doppelte Quadratzahledreieck die Zahle eier Etage alle gleich sid. Zum adere werde die Zahle mit jedem Stockwerk um 2 kleier. Die größte auftretede Zahle sid jeweils 2 im Erdgeschoss, die kleiste Zahl 2 tritt ur eimal a der Spitze auf (im j 1 -te Stock). Da im Erdgeschoss useres Ausgagsdreiecks lauter Eise liege, ergibt sich mit (9) für das dreifache Quadratsummedreieck die Zahl 2 1. Da außerdem im Ausgagsdreieck die darüber liegede Zahle mit jeder Etage um 2 zuehme, ist gezeigt, dass im dreifache Quadratsummedreieck mit 2 1 ur gleiche Zahle zu fide sid. q.e.d. Das allgemeie verdreifachte Quadratsummedreieck besteht somit aus der d mal auftretede Zahl 2 1, bzw. aus mal 2 1. Teile wir das Produkt dieser Zahle durch 3, so erhalte wir als Wert des eifache Dreiecks usere -te Quadratzahlesumme. i 2 = = = i = Vereifachug eier Dreifachreihe x 1 x 1 x 1 Vereifache die folgede (etwas abgefahree ) Reihe: 1 i=0 j=i k =i (10) Lösug Wir hagel us vo ie ach auße durch. Erste Überlegug Wie viele Summade mit der 1 gibt es i der Summe 1? k=i Bilde wir zuächst ei kokretes Beispiel: Setzt ma für i eie Zahl ei (z. B. 5) ud für x 1 eie adere Zahl (z. B. 10), da sid es Summade. (Zähle zur Kotrolle mit de Figer vo 5 bis 10.) x 1

26 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 26/46 x 1 Etspreched ist 1= x 1 i 1=x i. k=i Zweite Überlegug Was bedeutet u x 1 x 1 j =i k =i x 1 1= x i? j =i Noch wisse wir ichts über i. Daher köe wir wieder ur die Azahl der Summade bestimme. Es sid geau wie bei der 1. Überlegug x 1 i 1 Summade. Im Uterschied zu obe wird u über x i summiert. Dritte Überlegug x 1 x 1 j =i k =i x 1 1= x i = x i x i = x i 2 j =i x 1 Was bedeutet x i 2? i=0 Der erste Summad (für i=0 ) ist x 2, der zweite ist x 1 2, da kommt x 2 2 usw. bis der letzte Summad schließlich x x 1 2 =1 ergibt. Aalog ist der vorletzte Summad x x 2 2 =2 2. Wir erhalte: x 1 x i 2 =x x 1 2 x 2 2 x (11) i=0 Der Ausdruck (11) ist also gerade die Summe der erste x Quadratzahle. ( x N, sost macht die Summedarstellug keie Si.) Für die Summe der erste Quadratzahle habe wir mit (10) im Kapitel 6.4 bereits eie Formel kee gelert. Wir erhalte das schöe Ergebis x 1 x 1 x 1 1= x x 1 2x 1 i=0 j=i k =i 6 (12) Alterative zur 3. Überlegug Die letzte Überlegug war ziemlich elegat. Es geht auch mit de Umformugsregel für Reihe aus Kapitel 6.2. Dazu schreibt ma zuächst mit der 2. Biomische Formel de Ausdruck x i 2 um. Aschließed wede wir das Kommutativgesetz der Additio a ud paare gleichartige Summade. Dadurch wadelt sich i (13) die eie Reihe i eie Summe vo drei Reihe.

27 x 1 i=0 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 27/46 x 1 x 2 2 xi i 2 = i=0 x 1 x 2 i =0 x 1 2 xi i 2 (13) i =0 Nu wede wir bei der rechte Seite vo (13) auf die erste beide Reihe das Distributivgesetz a. Wir ziehe hierbei gleiche Faktore aus der Summe heraus. Beachte: Nur der Wert für i ädert sich vo Summad zu Summad. x 2 oder x bleibe higege uverädert ud köe ausgeklammert werde. (Die Klammer um die Reihe darf ma weglasse.) x 1 i=0 x 2 x 1 i=0 x 1 2 xi i=0 i 2 =x 2 x 1 i =0 x x i =0 x 1 i i 2 (14) i=0 Die erste Summe vo (14) ergibt x Eise, also x, die zweite die x 1 -te Dreieckszahl d x 1 (= Summe der erste x 1 atürliche Zahle), ud die dritte ergibt die Summe der erste x 1 Quadratzahle. Mit de Formel (2) ud (10) aus de Kapitel ud folgt: x 1 x 1 x 1 1=x 3 2 x 1 i=0 j=i k=i 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 1 (15) 6 Durch Ausmultipliziere ud Zusammefasse der rechte Seite vo (15) erket ma ach kurzer Rechug die Gleichheit zum obige Ergebis (12). (Am eifachste vereifacht ma dabei die erste beide Summade i (15) zu x 2.) Übuge Schreibe uter Verwedug des Summezeiches: a) 4 a 0 2 4a 1 2 4a 2 2 4a 3 2 b) c) d) a 12 b 23 a 13 b 33 a 22 b 23 a 23 b Lösuge zu de Übuge 3 a) 2 2a i 1 i=0 8 b) 5 7i i =0 c) Die Summe besteht aus de Nachfolger der erste 11 Quadratzahle. Die k-te Quadratzahl erhält ma aus der Summe der erste k ugerade Zahle. 11 i = i 2 = i 1 j =1 2 j 1

28 6. Summezeiche Σ ud Reihe Seite 28/46 d) Hier habe wir eie fiese Doppelsumme. Beachte, dass beim Produkt aus a ud b jeweils der zweite bzw. der erste Idex gleich sid. (Der zweite Idex bei b bleibt uverädert.) Die bei a ud b gleiche Idexe laufe zwei Mal vo 2 bis 3. Eiziger Uterschied ist hierbei der erste Idex vo a. Dieser läuft vo 1 ach 2. 2 a 12 b 23 a 13 b 33 a 22 b 23 a 23 b 33 = 7. Eie Schachtel mit Stäbche 3 j=2 a ij b j3 (sigemäß ach: Aufgabe: I eier Schachtel liege N Stäbche. Das k-te Stäbche sei k Lägeeiheite lag. Nu werde zufällig drei dieser Stäbche ohe Zurücklege gezoge. Mit welcher Wahrscheilichkeit ka ma damit ei Dreieck bilde? 7.1. Lösug Spielt die Reihefolge keie Rolle, so gibt es beim Ziehe vo 3 Stäbche aus Stäbche ach Kapitel isgesamt 3 verschiedee Möglichkeite. (16) Aus de gezogee drei Stäbche soll ei Dreieck gelegt werde. Dazu müsse die beide Kleiere zusamme größer sei als das Lägste. Die Seitebezeichug spielt bei userer Aufgabe keie Rolle. Daher vereibare wir: das lägste Stäbche sei c, das zweit lägste b ud das kürzeste a Ei kokretes Zahlebeispiel Wir verschaffe us mit eiem Beispiel zuächst ei Gefühl für die aschließede allgemeie Lösug. Darüber hiaus köe wir später usere Lösug a de gefudee Zahle verifiziere. Für =9 fide wir relativ schell folgede für usere Forderug güstige Kostellatioe mit a b c (alterativ: a b c 1 ): c=3 geht icht, da da b=2 ud a=1 sei müsse. Das ergibt kei Dreieck! c=4 geht ur mit b=3 ud a=2. Mit a=1 ergibt sich ebefalls kei Dreieck. 1 Mögl. c=5 geht mit b=4 ud a=3 sowie mit b=4 ud a=3 2 Möglichkeite c=6 : b=5 : a=4 ;3 ;2 b=4 : a=3 4 Möglichkeite c=7 : b=6: a=5 ; 4 ;3 ;2 b=5 : a=4 ;3 6 Möglichkeite c=8 : b=7: a=6 ;5 ;4 ;3 ;2 b=6 : a=5 ; 4 ;3 b=5 : a=4 9 Möglichkeite c=9 : b=8 : a=7,6; 5 ;4 ;3 ;2 b=7 : a=6 ;5 ; 4 ;3 b=6: a=5 ; 4 12 Möglichkeite

29 7. Eie Schachtel mit Stäbche Seite 29/46 We i der Schachtel 9 Stäbche liege, gibt es für ei Dreieck 34 Kombiatioe. Da es ach (16) für die Wahl vo 3 Stäbche aus 9 isgesamt 9 3 =84 Möglichkeite gibt, beträgt ach Kapitel 5.3 die Wahrscheilichkeit für eie güstige Stäbchekombiatio ,5 % Zahl der güstige Möglichkeite, we c gegebe ist Am kokrete Beispiel erkee wir zwei Regelmäßigkeite: 1. We c gerade ist, ergebe sich Quadratzahle als Azahl der Möglichkeite jeweils durch Summebildug der erste ugerade Zahle 1 ;1 3=4 ;1 3 5=9 ; We c ugerade ist, addiert ma die gerade Zahle ud erhält die Zahlefolge 2 ; 2 4=6 ; 2 4 6=12;.... Es wird etwas Mühe koste, diese Vermutuge zu beweise. Aufgrud der beide obige Regelmäßigkeite mache wir auf alle Fälle eie Falluterscheidug. Hiweis Die Azahl der Stäbchekombiatioe bei ugeradem c beschreibe wir im Folgede mit der Variable c ug, die Möglichkeite bei geradem c seie demetspreched durch die Variable c g dargestellt. (Später müsse wir die Möglichkeite für alle c addiere): Fall 1: (c=2k 1 mit k 3, also c ugerade ud c 5) Wege der Bedigug für ei Dreieck gilt: a b c 1=2 k (17) Da a bestefalls der Vorgäger vo b sei ka, gilt weiter 2b 1 a b (18) Aus (17) ud (18) erhalte wir die Ugleichug 2 b 2 k 1 ud da b gazzahlig ist, folgt eie utere Schrake vo b (kotrolliere am Beispiel obe): k 1 b (19) (Da b c gilt, ist die obere Schrake vo b die Zahl c 1.) Zu jedem b gibt es eie uterschiedliche Azahl möglicher Werte für a. Hier ist die obere Schrake wege (18) b 1 a. Aus (17) folgt als uter Schrake 2 k b a. Bildet ma die Differez der beide Schrake ud addiert 1, so erhält ma die Azahl der Möglichkeite für a zum jeweilige b. Im Folgede werde diese Möglichkeite zu alle Werte vo b addiert. (Aus dieser Summe sollte wir als Probe 12 Möglichkeite für c=9 erhalte. Wege c=2k 1 ist hier k =5.)

30 c ug c 1 = b=k 1 7. Eie Schachtel mit Stäbche Seite 30/46 2k 2 [ b 1 2 k b 1]= b=k 1 2k 2 k [2 b k ]=2 b k=1 k 2 b k =2 i i =1 c ug = k 2 k 1 (20) (Der Wechsel des Laufidex vo b über b k zu i wurde i Kapitel erklärt.) Fall 2: (c=2 k mit k 2, also c gerade ud c 4) Wir gehe vor wie obe: a b 2 k 1 (21) Die Ugleichug (18) gilt auch i diesem Fall b 1 a ist die obere Schrake für a. Als utere Schrake für a liefert (21): 2 k b 1 a. Somit folgt: c g c 1 = b=k 1 2 k 1 k = b k =1 2k 1 [ b 1 2 k b 1 1]= k 1 [2 b k 1]= 2 i b=k 1 k 1 [2 b k 1] 1= k 1 k [ k 1 1 1] c g = k 1 2 (22) Aufsummierug aller güstige Möglichkeite Nu komme wir lagsam zur Lösug useres Problems. Bei gegebeem gibt es c Möglichkeite für Dreiecke. Die Seite c ist i dieser Summe c =4 abwechseld gerade ud ugerade. Tree wir die gerade vo de ugerade c, erhalte wir für de obige Ausdruck zwei Summe: Gaußklammer [ ] [ 1 2 ] k =3 [ 2] c ug k =2 c g (23) Wir habe bei (23) die Gaußklammer [ x ] eigesetzt. Diese etfert de Nachkommateil eier Zahl. I userem Fall, erhalte wir für jedes die Nummer des größte Wertes für c ug bzw. des größte Wertes für c g. Zwei Beispiele (für ugerades ud gerades ): 1. Sei =9. Da ist der größtmögliche ugerade Wert 9. Dies ist ach 1, 3, 5 ud 7 die füfte ugerade Zahl. Usere Gaußklammer ergibt: [ ] =[5]=5 Stimmt! Der größte gerade Wert für c ist 8. Dies ist die vierte gerade Zahl ach 2, 4 ud 6.

31 7. Eie Schachtel mit Stäbche Seite 31/46 Hier erreche wir mit der Gaußklammer: [ 9 2] =[ 4,5]=4 Stimmt auch. 2. Sei =10 Maximum für c ug ist 9 [ ] =[5,5]=5 Passt! Maximum für c g ist 10 [ 10 2 ] =[5]=5 Auch richtig. Mit (20) ud (22) wird aus (23): [ 1 2 ] k = Erste Vereifachuge [ 2] k 2 k 1 k 1 2 (24) Im der folgede Rechug (25) vereifache wir beide Reihe vo (24) mit dem Trick, de wir Kapitel vorgestellt habe der Laufidexverschiebug: Bei der erste Reihe wadel wir k =3 durch beidseitige Subtraktio vo 2 i k 2=1 um. Bei der zweite Reihe wird aalog aus k =2 k 1=1. Die Summe vereifacht sich aber ur, we wir de Laufidex umbeee: I der like Reihe wähle wir statt k 2 die eue Bezeichug i. Hierbei muss ma etwas aufpasse: da k 1 der Nachfolger vo k 2 ist, wird hier aus diesem Faktor i 1. Bei der zweite Reihe vo (24) ersetze wir i der gleicher Weise de Laufidex k zuächst durch k 1 ud ee diese Ausdruck da ebefalls i. [ 1 k 2=1 Hiweise 2 ] 2 k 2 k 2 1 k 1=1 k=2 [ 2] [ 1 1 k 1 2 = 2 ] 2 i i 1 i =1 [ 2] 1 i 2 (25) I (25) erket ma usere Vermutug aus dem kokrete Beispiel gleich zu Begi: Wie es scheit, lässt sich die Summe der erste k gerade Zahle als Produkt vo k mit seiem Nachfolger darstelle. (Beispiel für k =4: =4 5) Bei geradem c erhalte wir jeweils eie Quadratzahl Weitere Vereifachuge Wir köe (25) och weitere Geheimisse etlocke, we wir das Produkt i der like Summe ausmultipliziere ud (durch Umsortierug aller i =1

32 7. Eie Schachtel mit Stäbche Seite 32/46 Summade) die Summe i zwei Summe zerlege. [ 1 2 ] 2 i 2 i i =1 i =1 [ 2] [ 1 1 i 2 = 2 ] 2 2 ] 2 i 2 i [ 1 i =1 [ 2] 1 i 2 (26) Falls ugerade ist, gilt [ 1 2 ] 2= [ 2] 1. Sollte gerade sei, ist der rechte Ausdruck um 1 größer als der like. (Vergleiche dies mit de Beispiele zur Gaußklammer auf Seite 30.) Im erste Fall köe damit die Summe der Quadrate zusammefasse. ugerade: i =1 [ 2] 2 1 i i =1 [ i =1 2] 1 i 2 (27) Wir erhalte also für die Gesamtzahl der güstige Dreieckskostellatioe die Summe aus der Summe der erste atürliche Zahle ud dem Doppelte der Quadratzahlsumme dieser erste atürliche Zahle. Falls gerade ist, gilt [ 1 2 ] 2= [ 2 ] 2= 2 2. D. h. wir dürfe zum eie die Gaußklammer weg lasse, müsse aber zum adere vor dem Zusammefasse der Quadratsumme de größte Summade der rechte Summe bei (26) abspalte: gerade: i 2 2 i 2 2 (28) Bevor wir usere Rechug überprüfe, ersetze wir die Summe der atürliche Zahle ud die Summe der Quadratzahle durch die jeweilige explizite Formel. Damit komme wir zu gegebeem recht schell zu eiem Ergebis Azahl der güst. Dreieckskostellatioe bei ugeradem 1 2 [ 2 ] 1 [ 2 ] [ 2] 1 [ 2 ] 2 [ 2] 1 1 = 1 2 [ 2 ] [ 1 2 ] 1 3 [ 2] [ 1 2] [ 2 2 ] 1 (29)

33 7. Eie Schachtel mit Stäbche Seite 33/ Azahl der güst. Dreieckskostellatioe bei geradem = (30) Mit der Formel (29) erhalte wir für =9 die bereits gezählte 34 Möglichkeite. Für =8 ergebe sich aus der Formel (30) 22 Möglichkeite. Auch dies bestätigt usere Zählug beim kokrete Beispiel Ergebis Nu sid wir i der Lage, zu jedem beliebige sofort die Azahl der güstige Kombiatioe zu bereche. Teile wir diese Zahl mit Hilfe vo (16) durch die Gesamtzahl aller Kombiatioe, so erhalte wir die Wahrscheilichkeit dafür, aus de Stäbche eie für ei Dreieck güstige 3-er-Kombiatio zu ziehe. Auf die allgemeie Darstellug dieser Wahrscheilichkeite wird hier aus Grüde der Übersichtlichkeit verzichtet Eisatz des Computers Die Etwicklug der Wahrscheilichkeite Mit eiem Tabellekalkulatiosprogramm (wie z. B. OpeOffice Calc) verschafft ma sich recht schell eie Überblick, wie sich die Wahrscheilichkeite bei steigedem etwickel Hiweise zur Formeleigabe 1. Mit der Fuktio Rest(Zellebezug;2) erhält ma i der Spalte H über de 2-er-Rest eie Idikator dafür, ob es sich bei dem jeweilige um eie gerade oder ugerade Zahl hadelt. 2. Die Wirkug der Gaußklammer erzielt ma mit der Fuktio Gazzahl(). 3. Die Fuktio We-Da(Bedigug; Aweisug 1; Aweisug 2) etscheidet (hier i der Spalte I) bei der Berechug der Azahl der güstige Stäbcheziehuge, ob die Formel für gerades (Aweisug 1) oder ugerades (Aweisug 2) beutzt wird. Trifft die Bedigug zu (hier: H4=1), da wird die Aweisug 1 ausgeführt (Formel (29)).

34 7. Eie Schachtel mit Stäbche Seite 34/46 Aderfalls gilt die Formel (30) für gerades : 4. Das Programm berechet die Gesamtzahl der Möglichkeite geau 3 aus Stäbche zu ziehe mit der Fuktio Kombiatioe(;3). (Leider liefert diese Fuktioe für 3 etgege userer Defiitio i Kapitel eie Fehlermeldug egal, wir lösche diese beide Zelle eifach wieder!) 5. Die Wahrscheilichkeit berechet sich aus dem Ateil der güstige Azahl vo der Gesamtzahl also durch Quotietebildug. Für mich ergab sich hierbei ei überraschedes Ergebis. Dieses sei a dieser Stelle aber icht verrate Mit der Tabelle ei Diagramm erstelle Die Tabelle ka i weige Schritte grafisch ausgewertet werde. Hierzu bietet eie gutes Tabellekalkulatiosprogramm eie Diagramm- Assistete. Die Bedigug ist i der jeweilige Programmhilfe uter dem Stichwort Diagramm erstelle leicht achvollziehbar. Ma beachte, dass beim Diagrammtyp das XY-Diagramm gewählt werde muss. Zur Markierug der icht ebeeiader liegede Spalte vo ud der Wahrscheilichkeite beutze ma die Strg-Taste zusamme mit der like Maustaste.

35 8. Das Mosersche Kreisflächeproblem Seite 35/46 8. Das Mosersche Kreisflächeproblem Aufgabe: (ach Leo Moser aus dem Jahre 1950) Pukte liege auf eiem Kreis. Alle Pukte werde paarweise miteiader verbude. Bestimme die maximale Azahl der Fläche, i die dadurch der Kreis zerfällt Erste Vermutug Für die maximale Flächezahl müsse die Kreispukte so liege, dass sich keie drei Verbidugsliie im Kreis scheide. Bei zwei Pukte etstehe geau zwei Kreisteile. Bei drei Pukte etstehe vier Gebiete im Kreis. Mit dem 4. Pukt auf der Kreisliie zerfällt der Kreis i 8 Fläche. Mit dem 5. Pukt sid es 16 Fläche (siehe Bild rechts). Sid es mit dem 6. Pukt 32=2 16 Fläche? Nei! Verdammt es sid höchstes 31 Fläche auch we ma och so oft achzählt. Setzt ma eie 7. Pukt, so bestefalls ur 57 Teilfläche. Mit dieser Aufgabe habe wir ei Beispiel, welches us mit de erste Zahle bei der Suche ach Regelmäßigkeite auf eie falsche Fährte schickt. Regelmäßigkeite bei eiige (edlich viele) Zahle köe daher iemals ei Beweis für eie Formel sei. Weitere Folgeglieder ud weitere Iformatioe zu dieser Zahlefolge (ud viele adere) erhält ma auf der folgede Iteretseite ach Eigabe der erste Folgeglieder (leider i Eglisch): Wir habe eie weitere Herausforderug gefude ud mache us auf die Suche ach eier Formel, die us zu eier gegebee Puktezahl die maximale Flächezahl liefert Lösug mit Eulerscher Polyederformel Wir betrachte de Kreis mit de Pukte als geplättete Polyeder. Dabei wurde vor dem Platt walze eie Polyederfläche aufgerisse ud ach auße gezoge. Sie bildet jetzt die Außefläche um de Kreis. Alle Fläche, Kate ud Ecke des Polyeders sid somit sichtbar ud zählbar.

36 8. Das Mosersche Kreisflächeproblem Seite 36/46 Vo dem schweizer Mathematiker Leoard Euler (* ) stammt die Eulersche Polyederformel. Nach ihr gilt: Eckezahl (e) + Flächezahl (f) Katezahl (k) = 2 Da die Außefläche us icht iteressiert, schreibe wir die Formel um: Schritt 1: (Bestimmug der Ecke) f =f 1=2 e k 1=k e 1 (31) Auf der Kreisliie liege geau Pukte. Jeder Schittpukt im Kreis etsteht durch de Schitt vo geau 2 Kreissehe. Jede Sehe wird durch 2 Edpukte festgelegt. Jeder Schittpukt wird durch die Wahl vo 4 Kreispukte eideutig beschriebe. Da die Reihefolge der Wahl keie Rolle spielt, beutze wir für die Azahl der Schittpukte im Kreis usere Lösugsformel aus Kapitel Es gibt i userem Graphe 4 Ecke. (32) Schritt 2: (Bestimmug der Kate) Vo eiem feste Pukt X auf dem Kreis führe -1 Sehe weg. Wir überlege us zuächst folgede Frage: I wie viele Teile wird eie Kreissehe durch Scheide mit adere Sehe zerlegt? X =P 0 X =P 0 P 1 P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 P i P i

37 8. Das Mosersche Kreisflächeproblem Seite 37/46 Die Sehe XP 1 ud XP 1 werde icht geschitte sie liefer je 1 Kate. Die Sehe XP 2 ud XP 2 werde jeweils vo -3 Sehe geschitte (siehe likes Bild). Sie liefer daher beide jeweils 3 1 Kate. ( Schitte erzeuge 1 Teilstücke). Die ächste Sehe XP 3 ud XP 3 werde beide vo 2 4 Sehe geschitte (siehe rechtes Bild) ud liefer jeweils Kate. P 1 X =P 0 P 1 Hier liege i 1 Pukte Hier liege 1 i Pukte P i Allgemei: Die i 1 Pukte liks vo der Sehe XP i müsse alle mit de 1 i Pukte rechts davo verbude werde. Die Verbidugsliie zerlege die Sehe XP i i i 1 1 i 1 Teilstücke (Kate). Damit habe wir u die Katezahl auf der Sehe XP i. Um die Kate aller vo X ausgehede Sehe zu bekomme, lasse wir de Pukt P i auf dem Kreis wader. Er soll alle Pukte P i vo i =1 bis 1 ablaufe. Vo X ausgehede Katezahl k X : 1 k X = i 1 1 i 1 2 (33) i =1 ( 2 für jeweils 2 Kate vo X auf der Kreisliie.) Nu darf auch X edlich alle Pukte auf dem Kreis durchwader. Wir erhalte damit k X raus gehede Kate.

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