Analysis I. 8. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Analysis I 8. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching April 9, 207

2 Grenzwerte Korollar (Bernoulli-de l Hôpital) Seien f, g : [a, b] R stetig und differenzierbar in (a, b) mit g (x) 0, x (a, b). Weiter sei f(a) 0 g(a) und es existiere der Grenzwert Bemerkung. f (x) lim x a + g (x) : A. Bernoulli-de l Hôspital wird angewendet bei: 0 0, Beispiel : Serie 7 Aufgabe b) log( cos(x)) Berechne den Grenzwert von lim. x 0 log(x) log( cos(x)) lim x 0 log(x) BdH lim x 0 lim x 0 sin(x) cos(x) x x sin(x) cos(x) BdH lim x 0 sin(x) + x cos(x) sin(x) 0 0, 0 0 BdH cos(x) + cos(x) + x sin(x) lim x 0 cos(x) 2 cos(x) + x sin(x) lim x 0 cos(x) lim 2 + x sin(x) x 0 cos(x) }{{} Beispiel 2: Serie 7 Aufgabe d) Berechne den Grenzwert von lim log(x) log(log(x)). x + log(log(x)) lim log(x) log(log(x)) lim x + x + 2 BdH lim x + log(x) log(x) x log 2 (x) x lim x + log2 (x) log(x) lim x + log(x) lim x + log(x)

3 2 Differential und Differentiationsregeln Sei in diesem Kapitel immer Ω R offen, f : Ω R, x 0 Ω, sofern nicht anders definiert. Definition 5.. (i) f heisst differenzierbar an der Stelle x 0, falls der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim x x 0, x x 0 x x 0 : f (x 0 ) : df dx (x 0) existiert. In diesem Fall heisst f (x 0 ) die Ableitung (das Differential) von f an der Stelle x 0. (ii) Analog heisst f (f,..., f n ) : Ω R n an der Stelle x 0 differenzierbar, falls jede der Komponentenfunktionen f i an der Stelle x 0 differenzierbar ist undf (x 0 ) (f (x 0 ),..., f n(x 0 )). Definition 5..2 f : Ω R n heisst auf Ω differenzierbar, falls f an jeder Stelle x 0 Ω differenzierbar ist. Satz 5.. Ist f : Ω R differenzierbar an der Stelle x 0 Ω, so ist f an der Stelle x 0 auch stetig. Satz 5..2 Seien f, g : Ω R an der Stelle x 0 Ω differenzierbar. Dann sind die Funktionen f + g, f g und, falls g(x 0 ) 0, uach die Funktion f/g an der Stelle x 0 differenzierbar und es gilt (i) Linearität: (f + g) (x 0 ) f (x 0 ) + g (x 0 ) (ii) Produkteregel: (iii) Quotientenregel: (fg) (x 0 ) f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (f/g) (x 0 ) f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ). g 2 (x 0 ) Satz 5..3 (Kettenregel) Sei f : Ω R an der Stelle x 0 Ω differenzierbar und sei g : R R an der Stelle y 0 f(x 0 ) differenzierbar. Dann ist die Funktion f g : Ω R an der Stelle x 0 differenzierbar und es gilt (g f) (x 0 ) g (f(x 0 ))f (x 0 ). Beispiel 3: Berechne die Ableitung vom x x. 3

4 (x x ) (e log(xx) ) (e x log(x) ) Kettenregel e x log(x) e x log(x) (log(x) + ) x x (log(x) + ). ( log(x) + x ) x 3 Der Mittelwertsatz und Folgerungen Satz Sei f : [a, b] R stetig und streng monoton wachsend. Setze f(a) c, f(b) d. Dann ist f : [a, b] [c, d] bijektiv und f ist stetig. Satz Sei f : (a, b) R stetig und streng monoton wachsend mit monotonen Limites c inf f(x) < sup f(x) d. a<x<b a<x<b Dann ist f : (a, b) (c, d) bijektiv und f ist stetig. Satz 5.2. (Mittelwersatz) Seien < a < b <. Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar in (a, b). Dann existiert x 0 (a, b) mit f(b) f(a) + f (x 0 )(b a) f (x 0 ) f(b) f(a). b a f (x 0 ) ist die Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)), (b, f(b)) G(f). Beispiel 4: ( ) Zeige < für n N und α > 0. n α+ α (n ) α n α (Hinweis: Betrachte die Funktion auf dem Interval [n, n]) x α Wir betrachten die Funktion auf dem Interval [n, n]. Die Funktion ist auch [n, n] x α stetig und auf (n, n) differenzierbar. Die Ableitung ist f (x) α. Gemäss dem x α+ 4

5 Mittelwertsatz gibt es ein c [n, n] mit f (c) α c α+! f(n) f(n ) n (n ) n α (n ) α n n + n α (n ) α n α (n ) α α c α+ c α+ α (n ) ( α n α (n ) α n α Der Punkt c liegt im Intervall [n, n], so dass c < n, d.h. <. Also gilt n c Damit folgt n < α+ c ( α+ α (n ) ) α n α n < ( α+ α (n ) ) α n α ) <. n α+ c α+ Korollar 5.2. Seien < a < b <. Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar in (a, b) (wie in Satz 5.2.). (i) Falls f 0 auch (a, b), so ist f konstant. (ii) Falls f 0 (bzw. > 0) auf (a, b), so ist f (streng) monoton wachsend. Satz (Umkehrsatz) Sei f : (a, b) R differenzierbar mit f > 0 auf (a, b) und seien c inf f(x) < sup f(x) d. a<x<b a<x<b Dann ist f : (a, b) (c, d) bijektiv und die Umkehrfunktion f : (c, d) R ist differenzierbar mit (f ) (f(x)) (f (x)), x (a, b), bzw. (f ) (y), y (c, d). f (f (y)) Beweis: Gemäss Korollar 5.2..(ii) ist f streng monoton wachsend und zudem stetig nach Satz 5... Gemäss Satz ist f : (a, b) (c, d) bijektiv und f ist stetig. 5

6 Behauptung: f ist differenzierbar, (f ) (f(x 0 )) f (x 0 ), x 0. Beweis: Fixiere y 0 f(x 0 ). Sei (y k ) k N (c, d) mit y k f(x k ) k, y k y 0, (k N). Es folgt x k x 0 für alle k. Da f stetig ist, gilt zudem also folgt wie gewünscht. x k f (y k ) k x 0 f (y 0 ), (f ) (f(x 0 )) Mittelwertsatz x k x 0 f(x k ) f(x 0 ) f(x k ) f(x 0 ) x k x 0 f (y k ) f (y 0 ) y k y 0 k f (x 0 ) Beispiel 5: Berechne die Ableitung von arcsin(x) für x (, ) mit Hilfe vom Umkehrsatz. Bemerkung: arcsin(x) : sin (x), sin 2 (x) : (sin(x)) 2 Zuerst schreiben wir mal auf was wir über arcsin(x) und der Umkehrfunktion sin(x) wissen: arcsin(x) y x sin(y) sin (x) cos(x) Nun berechnen wir die Ableitung von arcsin(x): arcsin (x) Umkehrsatz sin (arcsin(x)) cos(arcsin(x)) cos 2 (x)+sin 2 (x) x 2 sin 2 (arcsin(x)) Somit ist arcsin (x) x 2. Beispiel 6: Berechne die Ableitung von x für x (0, ) mit Hilfe vom Umkehrsatz. Zur Kontrolle berechnen wir direkt: d x dx 2 x 6

7 Jetzt berechnen wir die Ableitung von x mit dem Umkehrsatz. Zuerst schreiben wir wieder auf was wir über x und dessen Umkehrfunktion x 2 wissen: f(x) x 2 f (y) y f (x) dx2 dx 2x f (x) d Umkehrsatz x dx f ( x) 2 x f (f (x)) Also erhalten wir das gleiche Resultat mit dem Umkehrsatz, wie wenn wir direkt die Ableitung berechnen. 4 Extrema Sei in diesem Kapitel immer Ω R offen, f : Ω R, sofern nicht anders definiert. Definition (i) f heisst auf Ω m-mal differenzierbar, falls f (m )-mal differenzierbar ist mit differenzierbarer (m )-ter Ableitung f (m ). In diesem Fall heisst f (m) (m ) df dm f dx dx m : Ω R die m-te Ableitung von f. (ii) f ist von der Klasse C m (Ω), falls f m-mal differenzierbar ist und falls die Funktionen f f (0), f f (),..., f (m) stetig sind. Korollar 5.5. Ein x 0 Ω heisst (strikte) lokale Minimalstelle von f, falls in einer Umgebung U von x 0 gilt f(x) f(x 0 ), x U (bzw. f(x) > f(x 0 ), x U \ {x 0 }). Korollar 5.5. Sei f C m (Ω), x 0 Ω mit f (x 0 )... f( (m ) (x 0 ) 0. (i) Falls m 2k +, x 0 lokale Minimalstelle, so folgt f (m) (x 0 ) 0. (ii) Falls m 2k und falls f (m) (x 0 ) > 0, so ist x 0 strikte lokale Minimalstelle. Satz Jedes Polynom p : C C vom Grad hat (mindestens) eine Nullstelle. 7