Test für Ausländische Studienbewerber, Konstanz

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1 TASK Anforderungen MATHEMATIK. Beherrschung der Grundlagen der Mengenlehre Nutzung verschiedener Schreibweisen für Mengen Aufzählende Schreibweise: M = {a, b, c, } Beschreibende Schreibweise: M = { Q - < } auch [a; b] = { R a b } bzw. ]a; b[ = { R a < < b } und halboffene Intervalle Kenntnis und Anwendung der Begriffe der Mengenrelation und Mengenoperation Mengenrelation: Mengengleichheit M = M Teilmenge M M bzw. echte Teilmenge M M Mengenoperationen: Vereinigung M M ; Durchschnitt M M ; Differenz M \ M Potenzmenge P(M) = { T T M}. Rechnen im Bereich der reellen Zahlen Rechenoperationen unter Verwendung von Variablen Addition und Subtraktion von Summen; Auflösen und Setzen von Klammern + ( a + b c ) = a + b c - ( a + b c ) = - a - b + c Multiplikation und Division von Summen; Ausklammern eines gemeinsamen Faktors Anwenden von binomischen Formeln ( a + b ) = a + ab + b ( a - b ) = a - ab + b ( a + b ) ( a - b ) = a - b Umformen von Produkt in Summe und umgekehrt Rechnen mit Brüchen (Quotienten) Erweitern und Kürzen; Addition (Subtraktion), Multiplikation und Division von Quotienten (auch Mehrfachbrüche) n a a a... a a R \ {0}, n Berechnen von Potenzausdrücken N n Faktoren a Anwenden der Potenzgesetze Berechnen von Wurzelausdrücken a b n b a a n R, a 0, N \ {0, } Anwenden der Wurzelgesetze; Umformen von Potenzen mit gebrochenen Eponenten n n m a a m (a>0; m, nz; n>0) Berechnung von logarithmischen Ausdrücken loga b c c a b a, b R, a > 0, a,b > 0 Anwenden der Logarithmengesetze

2 TASK. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Äquivalentes Umformen und Lösen von linearen Gleichungen und Ungleichungen Bestimmung der Lösungsmenge einer Ungleichung in Abhängigkeit des Grundbereichs der Variablen; Lösen von Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Anwenden von Lösungsverfahren, z.b. Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren Lösen quadratischer Gleichungen Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (für die allgemeine Form a +b+c=0 oder Normalform +p+q=0) Lösen von Wurzelgleichungen, Eponentialgleichungen, Logarithmengleichungen und goniometrischen Gleichungen Überprüfung der Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung (Probe) 4. Lösen praktischer Aufgaben unter Verwendung von Proportionen; Prozentrechnung Aufstellen und Lösen von Verhältnisgleichungen bei direkten Proportionalität ai bi a a i j a j b j bi b j oder Aufstellen und Lösen von Verhältnisgleichungen bei indirekter (umgekehrter) Proportionalität a b i j ai bi a j b j a j bi oder Lösen von Aufgaben der Prozentrechnung (Berechnung des Grundwertes, Prozentwertes oder des Prozentsatzes); Anwendung der Aussagen Steigerung (Senkung) um Prozent oder Steigerung (Senkung) auf Prozent 5. Kenntnisse der Elementargeometrie Kenntnis und Anwenden des Satzes des Pythagoras a b c Berechnung des Umfangesund des Flächeninhaltes von Dreiecken, Vierecken und des Kreises Berechnung des Oberflächeninhaltes und des Rauminhaltes eines Prismas, Kreiszylinders, Pyramide, Kreiskegels und einer Kugel 6. Eigenschaften elementarer Funktionen Anwenden der Kenntnisse über reelle Funktionen (, y R) lineare Funktionen y = m + n; Potenzfunktionen y = a n + b (n Z) und y a b (p, q Z; q>0); p q

3 TASK Studienkolleg (STK) Eponentialfunktionen y= a + b; Logarithmusfunktionen y = log a ; trigonometrische Funktion y = sin, y = cos, y = tan, y = cot Bestimmen des Definitions- und Wertebereichs einer Funktion Skizzieren des graphischen Verlaufs einer Funktion; Einfluss von Koeffizienten a, b,m,n auf die Normalform einer Funktion Bestimmung der Umkehrfunktion Periodizität und Symmetrie einer Funktion 7. Differentialrechnung Kenntnis und Anwendung der Ableitungsregeln zur Ableitung elementarer Funktionen (Kostanten-, Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel); Bestimmen lokaler Maima bzw. Minima einer rationalen Funktion f(); Bestimmen von Nullstellen und Schnittpunkten mit der y-achse einer rationalen Funktion f(); Bestimmen des Verhaltens im Unendlichen einer rationalen Funktion f(); Bestimmen der Gleichung der Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion f(); Untersuchung von Stetigkeit und Unstetigkeit einer rationalen Funktion f(); Bestimmen der Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion f(); Skizzieren des Graph einer Funktion f(). 8. Integralrechnung Kenntnis und Anwendung der Regeln für das Ermitteln von unbestimmten Integralen Potenzregel n n d C, n Faktorregel, Summenregel () f() d f()d Berechnung bestimmter Integrale b a ist. f f() d. f()d F(b) F(a), wenn F() eine Stammfunktion der im Intervall [a; b] stetigen Funktion f()

4 TASK Literatur zur Wiederholung und Vorbereitung des Tests. Heinrich, Gottfried; Wenzel, Horst: Übungsaufgaben zur Analysis. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Wiesbaden: B. G. Teubner Verlag /GWV Fachverlage GmbH,. Auflage November 005; ISBN Knorrenschild, Michael: Vorkurs Mathematik : ein Übungsbuch für Fachhochschulen von Michael Knorrenschild. München : Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 004 dt.; 74 S. : graph. Darst.; ISBN Schäfer, Wolfgang: Mathematik-Vorkurs: Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger; 5., überarb. Aufl.; Stuttgart ; Leipzig ; Wiesbaden : Teubner, 00; dt.; 444 S.; graph. Darst.; ISBN

5 TASK Aufgaben zur Vorbereitung der Teilnahme am TASK (Technische oder wirtschafts-/sozialwissenschaftliche Fachrichtung) Fach Mathematik. Gegeben sind die Mengen A = { Z - < < 6} B = { N } C = { N ungerade und 9 } D = { N gerade und < 0 } a) Geben Sie Mengen durch Aufzählen der Elemente an! b) Bestimmen Sie A B, A \ B, B \ A, C D, A C, A D, C \ D, (C D) \ A. Schreiben Sie die Intervalle als Mengen reeller Zahlen in der beschreibenden Schreibweise mit Ungleichungen! Zum Beispiel: [ m; n ] = { R m n } a) ] m; n [ b) [ m; n [ c) ] m; n ]. Berechnen Sie! a),5 b) = c), 5 4 = d) log a 4. Multiplizieren Sie folgende Ausdrücke und fassen Sie zusammen! a) (7a 5b)(a + 4b) - (5a 9b)(4a - b) b) ( + )( ) c) 5. Verwandeln Sie in ein Produkt von Binomen! ( ) d) (a + b) a) 8ab + 0ac bd 5cd b) c) 5a + 40 ab + 6b d) y 6. Vereinfachen Sie! y y a) y b) a b a b c) y m n y n m y 7. Bestimmen Sie! Prüfen Sie das Ergebnis mit einer Probe! 4 a) b) c) lg(-)+lg = lg ( -) d) = 5 e) ln 9 = ln f) sin tan = 8. Bestimmen Sie und y! 4 + y = y = 9. Die Seite b eines Rechteckes ist doppelt so lang wie die Seite a. Wie groß ist die Diagonale e des Rechteckes? 0. Bestimmen Sie für die reelle Funktion y = den Definitionsbereich X und Wertebereich Y!. Bilden Sie die Umkehrfunktion von a) y = und b) y = - +!

6 . Bilden Sie die. Ableitung der folgenden Funktionen f()! a) f() = 7 b)f() = ln ( + ) c) f() = 4 4 d) f() = sin e)f() =. Gegeben ist die Funktion f(). a) Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen f, f und f! b) Untersuchen Sie die mögliche Symmetrie von f()! TASK e f) f() = c) Bestimmen Sie die Nullstellen, Etremstellen (Maimum; Minimum) und Wendestellen (Wendepunkt) von f()! d) Skizzieren Sie den Graph von f()! 4. Berechnen Sie! a) ( 4) d b) d d) 4 d e) cos d 0 c) sin cos d Für technische Fachrichtung T. Ein Auto fährt von A nach B mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 8 kmh -. Um wie viel Prozent der ursprünglichen Fahrzeit verkürzt sich die Fahrzeit, wenn sich die Geschwindigkeit um durchschnittlich 9 kmh - erhöht? Für wirtschafts-/sozialwissenschaftliche Fachrichtung 5W. In einer Verkaufsaktion wird der Preis des Produktes XXL für einen Monat um 0 % gesenkt. Auf der Grundlage des gesenkten Preises wird einen Monat später der Preis um 0 % wieder angehoben. Was kostet das Produkt XXL nach dieser Preiserhöhung, wenn der Preis vor der Marketingaktion 80 betrug? Lösungen. a) A = {0,,,, 4, 5} B= {0,,, } C = {,, 5, 7, 9} D = {, 4, 6, 8} b) A B = A, A \ B = {4, 5}, B \ A =, C D =, A C = {,, 5}, A D = {, 4}, C \ D = C, (C D) \ A = {6, 7, 8, 9}. a) { R m < < n } b) { R m < n } c) { R m < n }. a) oder 0,6 6 b) oder 0, 5 8 c) d) 0

7 TASK Studienkolleg (STK) 4. a) a + 54ab 9b b) c) 0-6 d) a 4 + 6a b + 9b 5. a) (a d)(4b + 5c) b) ( ) c) ( 5 a 4 b ) d) ( y )( y ) 6. a) y y 6y b) b a b a c) - 7. a) 8. b) = 4, =, 7 e) ist keine Lösung c) =, = ist keine Lösung d) k 4 k Z f) b, y 9. e a 5 oder 5 0. X = [ -; [, Y = [ 0; [. a) y b) y 7. a) y b) y c) y d) y sin cos e) y f) y e. a) f' () b) f( ) f() 0) f' ' () c) Nullstellen P ;0, P 0;0, ;0 P f' ' ' () f() ist symmetrisch zu P(0; lokales Maimum P 4 ( ; ) lokales Minimum P 5 (; ) Wendepunkt P 6 (0;0 ) d) Graph 4. a) C b) C c) - cos - sin + C d) 5T. Die Fahrzeit verkürzt sich um 0%. 5W. Das Produkt XXL kostet nach der Preiserhöhung 76, e) 0

8 TASK Mathematik T/W Name: Prüfungsnummer: Hinweise: Tragen Sie ihren Namen und ihre Prüfungsnummer ein. Alle Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu lösen. Als Hilfsmittel ist nur die Formelsammlung erlaubt, die Sie mit den Aufgaben erhalten. Schreiben Sie auf die Rückseite, wenn der Platz nicht ausreicht. Arbeitszeit: 60 Minuten Aufgabe a) Berechnen Sie und Vereinfachen Sie den Term (Rechenweg und Ergebnis)! b) Vereinfachen Sie den Term (Rechenweg und Ergebnis)! Aufgabe Gegeben sind Zahlen). Es sei A N (N Menge der natürlichen Zahlen) und B A 5 und ] ;7 ] B. Z (Z Menge der ganzen 04 Geben Sie alle Elemente an! (zum Beispiel: = {; 4; 5})! a) A B =... b) B A =... c) A \ B =

9 Seite d) B \ A =... Aufgabe Ermitteln Sie die Lösungsmenge für R! (Rechenweg und Ergebnis)

10 Seite Fortsetzung Aufgabe : Berechnen Sie! (Rechenweg und Ergebnis).4 6 sin 0 für cot ; \{0} (a ) (a 5 9 ) Aufgabe 4 Bestimmen Sie von der reellen Funktion y f() a) den Definitionsbereich X, X = b) den Wertebereich Y, Y = 7 c) die Umkehrfunktion f () (Rechenweg und Ergebnis) 8 9 0

11 Seite 4 Fortsetzung Aufgabe 4: Bestimmen Sie von der reellen Funktion y f() d) die Nullstelle von f () (Rechenweg und Ergebnis) e) die. Ableitung f() 4 f) Zeichnen Sie das Bild (Graph) der Funktion f () mit drei Funktionswerten! X 4 7 y! Berechnen Sie dazu eine Wertetabelle 5 6

12 Seite 5 Lösen Sie nur eine der folgenden Aufgaben! Kreuzen Sie die gewählte Aufgabe an: Aufgabe 5T (Aufgabe nur für Bewerber der technischen Fachrichtung) Beantworten Sie! (Rechenweg und Ergebnis) Der Durchmesser d eines Öltanks (Kreiszylinder) soll um 0% verkleinert werden. Um wie viel Prozent verringert sich das Volumen V? Aufgabe 5W (Aufgabe nur für Bewerber der Fachrichtung Wirtschaft/Sozialwissenschaft) Die Mehrwertsteuer(= p % vom Nettopreis) ist eine Umsatzsteuer: Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer Ein Auto kostet mit Mehrwertsteuer.00 Euro. Wie viel kostet das Auto, wenn die Mehrwertsteuer von 6 % auf 9 % erhöht wird?

13 TASK

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