UNIVERSITÄT BIELEFELD -
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- Kristina Flater
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1 UNIVERSITÄT BIELEFELD - FAKULTÄT FÜR PHYSIK LEHRSTUHL FÜR SUPRAMOLEKULARE SYSTEME, ATOME UND CLUSTER PROF. DR. ARMIN GÖLZHÄUSER Thermodynamik Der Elektrolytische Trog Durchgeführt am Dozent: Praktikanten (Gruppe 1): Dr. Udo Werner Marcus Boettiger Sigrun Henkenjohann Marius Schirmer
2 Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis II 1 Ziel des Versuchs 1 Allgemeine Theorie 1 3 Versuchsaufbau und Durchführung 4 Messwerte und Auswertung 4 5 Fehlerberechnung und Analyse Fehler beim Ablesen Fehlerrechnung Abbildungsverzeichnis 1 Versuchsaufbau Häufigkeitsverteilung der Schwingungsdauer für 0 Schwingungen bei verschiedenen Gasen Tabellenverzeichnis 1 Messwerte Messwerte 100 Schwingungen Schwingungsdauer bei verschiedenen Gase Vergleich von κ mit Literaturwert II
3 1 ZIEL DES VERSUCHS 1 1 Ziel des Versuchs In diesem Versuch geht es darum den Adiabatenexponenten κ für verschiedene Gase zu bestimmen. Dabei erhält man, durch ein auf einem adiabatisch komprimierten Gaspolster schwingenden Massestück, die für die Berechnung notwendigen Werte. Allgemeine Theorie Mit Hilfe der kinetischen Gastheorie versucht man von experimentell nachweisbaren Eigenschaften der Gase Rückschlüsse auf das verhalten im atomaren Maßtab zu schließen. Nach dem Gleichverteilungssatz ist die mittlere kinetische Energie E kin der Moleküle, welche proportional zur absoluten Temperatur T ist, gleichmäßig auf seine Freiheitsgerade aufgeteilt. Dabei hat jeder die mittlere Energie von 1 kt mit k = 1, , der Boltzmann-Konstante. Es gibt Translationsfreiheitsgrade, Rotationsfreiheitsgrade und Vibrationsfreiheitsgrade. Letztere können hier allerdings vernachlässigt werden, da für diese die absolute Temperatur weit über Zimmertemperatur liegen muss. Bei einatomigen Gasen gibt es lediglich 3 Translationsfreiheitsgrade. Bei mehratomigen Molekülen kommen noch 3 Rotationsfreiheitsgrade dazu, nämlich um die Hauptträgheitsachsen. Sind die Atome des Moleküls jedoch auf einer Geraden angeordnet, linear, gibt es nur zwei und zwar diejenigen, welche jeweils senkrecht zur Molekülachse stehen. Wird die Temperatur erhöht, so werden die Anregungsenergien der einzelnen Schwingungsmodi überschritten und Anzahl beitragender Freiheitsgrade steigt in Abhängigkeit der Temperatur steigt. Man schreibt auch: E kin = E T rans + E Rot + E V ib = f 1 kt (1) f ist dabei die Zahl der beitragenden Freiheitsgrade. Man muss jedoch beachten, dass die Schwingungsfreiheitsgrade doppelt gezählt werden. Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik und der idealen Gasgleichung erhält man folgende Beziehung: pv κ = const. () Der Adiabatenkoeffizient ist durch die Wärmekapazität bei festem Druck C p und festem Volumen C V bestimmt. Diese sind nach der kinetischen Gastheorie durch die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmt: κ = C p = f + C V f (3)
4 3 VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG 3 Versuchsaufbau und Durchführung Der Versuch ist folgendermaßen aufgebaut. Ein Glasrohr mit Querschnitt A = 1, 77cm steht senkrecht in einem Kolben, welcher ein Volumen von V = 370cm hat. Ein Massestück, welches genau auf das Rohr angepasst ist, führt auf dem Gaspolster, in Zylinder und Kolben, eine harmonische Schwingung aus, wobei das Gas periodisch komprimiert und expandiert wird. Diese Vorgänge sind jeweils adiabatisch, da die Schwingungsdauer T so kurz ist, dass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden kann. Da dieser Vorgang natürlich nicht reibungsfrei verläuft, wird ein geregelter Gasstrom durch die Abbildung 1: Versuchsaufbau Röhre geleitet, welcher durch ein kleines Loch in der Wand wieder hinausströmt. Da sich das Massestück zuerst unterhalb der Bohrung befindet, baut sich zunächst ein kleiner Überdruck auf, wodurch der Schwingkörper angehoben wird, bis schließlich oberhalb der Bohrung das Gas ausströmt und der Druck abgebaut wird. Dadurch erzeugt man eine angeregte Schwingung, die die Dämpfung ausgleicht. Wird der Koordinatenursprung in Gleichgewichtsposition gelegt, so führt eine geringe Auslenkung dx zu einer Druckänderung P mit der Volumenänderung V = A dx. Für die auf des Massestück wirkenden Kräfte gilt: m d x = A p (4) dt Der Gasdruck in Gleichgewichtsposition setzt sich aus dem Umgebungsdruck P 0 = 9919P a und dem Druck, welchen die Gewichtskraft des Massestücks auf die Fläche des Kolbens ausübt: p = p 0 + m g A (5) Differenziert man pv κ = const, so erhält man: p = κp V V (6)
5 3 VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG 3 Eingesetzt in (5) erhält man nun: d x dt + κpa mv x = 0 (7) Dies ist die Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz ω = κpa mv (8) Mit T = π ω ergibt sich für κ: κ = 4π mv pa T (9) Nachdem wir uns mit den Ventilen der Gasflaschen vertraut gemacht haben, führten wir nacheinander in drei verschiedenen Kolben die Messungen aus. Wir haben jeweils die Zeit von 0 Schwingungen gemessen und das zehn mal pro Gas. Obwohl man selber mit einer Stoppuhr messen musste, wodurch natürlich eine gewisse Verzögerung entstehen kann lagen die Werte sehr dich beieinander. Als Vergleich haben wir bei Ar und CO noch Dauer von 100 Schwingungen gemessen. Da die Schwingungsdauer sehr kurz ist kann man sich dabei leicht verzählen ohne das sich die Werte groß unterscheiden, das haben wir bei der ersten Messreihe allerdings noch nicht gemerkt, so dass dort ein paar Werte stärker abweichen.
6 4 MESSWERTE UND AUSWERTUNG 4 4 Messwerte und Auswertung Die folgende Tabelle zeigt die von uns gemessenen Daten für die verschiedenen Gase und die berechneten Mittelwerte für die die Dauer von 0 Schwingungen. N Ar CO Anz. Schwing. Zeit [s] Anz. Schwing. Zeit [s] Anz. Schwing. Zeit [s] 0 13,3 0 11,9 0 13,4 0 13,7 0 11,9 0 13,4 0 13, 0 11,9 0 13,3 0 13,6 0 1,0 0 13,4 0 13,0 0 11,9 0 13,3 0 13, 0 11,9 0 13,3 0 13, 0 11,9 0 13,4 0 13, 0 1,0 0 13,4 0 13, 0 11,9 0 13,4 0 13, 0 1,1 0 13,4 MW 13,8 11,94 13,37 Tabelle 1: Messwerte Die nächste Tabelle zeigt die Vergleichsdaten für jeweils 100 Schwingungen Der Ar CO Anz. Schwing. Zeit [s] Anz. Schwing. Zeit [s] , , , , , ,7 MW 59,7 66,67 MW/5 11,85 13,33 Tabelle : Messwerte 100 Schwingungen Umgebungsdruck P 0 lag bei Durchführung des Versuchs bei 744mmHg, das sind umgerechnetet 9919P a. Mit diesen Daten kann man nun T berechnen. Jetzt müssen wir nur noch p mit Hilfe von (5) bestimmen und können κ nach (9) ausrechnen. In der folgenden Tabelle stehen also die Zeiten für eine Schwingung (T ). Gas N Ar CO T[s] 0,66 0,60 0,67 Tabelle 3: Schwingungsdauer bei verschiedenen Gase
7 4 MESSWERTE UND AUSWERTUNG 5 Für den Druck ergibt sich p = 9919P a + 0, 01935kg 9, 81 m s 0, m = 10064, 45 N = 10064, 45P a m Für Stickstoff ergibt sich dann aus (9) und den Werten: κ N = 4π 0, 01935kg 0, 0037m , 45P a (0, m ) (0, 66s) = 1, 33 Für Argon und CO ergeben sich analog die Adiabatenkoeffizienten: κ Ar = 4π 0, 01935kg 0, 0037m , 45P a (0, m ) (0, 60s) = 1, 601 κ CO = 4π 0, 01935kg 0, 0037m , 45P a (0, m ) (0, 67s) = 1, 84 Aus den Adiabatenkoeffizienten kann man auf die Anzahl der beitragenden Freiheitsgrade der verschieden Gase schließen (vgl.(3)) und es ergeben sich folgende Werte: f N = 6 f Ar = 3 f CO = 7
8 5 FEHLERBERECHNUNG UND ANALYSE 6 5 Fehlerberechnung und Analyse 5.1 Fehler beim Ablesen Eigentlich gab es nur eine Größe zu Messen, die Schwingungsdauer. Um den Fehler hier möglichst gering zu halten haben wir gleich 0 Schwingungen gemessen und das ganze 10 mal pro Gas. Es könnte jedoch auch eine gewisse Ungenauigkeit beim Ablesen des Druckes gegeben haben. Für diese Fehler haben wir folgende Werte geschätzt: 0T 0,s T 0,01s p 0,5 mmhg = 66,66 Pa 5. Fehlerrechnung Da die Messreihen mehrmals gemessen wurden bietet es sich an die Häufigkeitsverteilung graphisch darzustellen. Dadurch kann man gut sehen, wie die Werte sich in einem Bereich häufen oder ob es starke Streuung gibt. Die folgende Graphik zeigt die diese Verteilung bei der gemessenen Zeit für 0 Schwingungen und die verschiedenen Gase. Häufigkeit 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 Stickstoff Zeile 3 13,7-13,6 13,5-13,4 13,3-13, 13,1-13,0 Häufigkeit 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 Argon Zeile 6 1,1 1 11,9 11,8 Häufigkeit 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 Kohlendioxyd Zeile 9 13,5 13,4 13,3 13, Bereich Bereich Bereich Abbildung : Häufigkeitsverteilung der Schwingungsdauer für 0 Schwingungen bei verschiedenen Gasen
9 5 FEHLERBERECHNUNG UND ANALYSE 7 Nach der Gauß schen Fehlerrechnung ergibt sich für κ ein Fehler von: κ = = = ( ) ( ) κ κ T T + p p ( ) ( ) 4π mv pa T T + 4π mv 3 p A T p ( ) 4π 0, 01935kg 0, 0037m 3 0, 01s 10064, 45P a (0, m ) (0, 67s) 3 ( + = 0, 04 ) 4π 0, 01935kg 0, 0037m 3 66, 66P a (10064, 45P a) (0, m ) (0, 67s) Hier wurde der Fehler exemplarisch mit der für Kohlendioxid gemessenen Schwingungsdauer berechnet. Da sich aber die Fehlerabschätzung für die anderen Gase nicht ändert haben wir für alle Adiabatenkoeffizienten eine Fehler von ± 0,04. Die folgende Tabelle vergleicht die Literaturwerte mit den gemessenen Adiabatenkoeffizienten. Literaturwert Gemessener Wert Fehlerbereich κ N 1,401 1,33 1,99-1,347 κ Ar 1,648 1,601 1,577-1,65 κ CO 1,93 1,84 1,60-1,308 Tabelle 4: Vergleich von κ mit Literaturwert Wie man sieht, liegt nur bei dem Adiabatenkoeffizient für Kohlendioxid der Literaturwert im Fehlerbereich des von uns gemessenen. Dies könnte unter anderem daran liegen, dass wir zu knappe Schätzungen für die Messfehler gemacht haben. Es erfordert auch eine Reaktionszeit die Stoppuhr im richtigen Moment zu drücken und da es bei der letzten Messreihe am besten geklappt hat spricht das für einen gewissen Trainingseffekt.
10 LITERATUR 8 Literatur [1] Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 1, Springer Lehrbuch, viert neu bearbeitete und aktualisierte Auflage, 005 [] Horst Kuchling, Taschenbuch der Physik, Fachbuchverlag Leibzig, 18. neubearbeitete Auflage, 004 [3] Paul A. Tipler, Gene Mosca, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Akademischer Verlag,. Auflage, 004 [4] Udo Werner, Script für das Physik-Praktikum I, Universität Bielefeld Fakultät für Physik, 006
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