I Rechengesetze und Rechenarten

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1 Propädeutikum September 2018

2 Primfaktoren I Natürliche und ganze Zahlen Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke Primfaktorzerlegung Jede natürliche (und auch ganze) Zahl n N kann in ein Produkt von ausschlieÿlich Primzahlen als Faktoren (Primfaktoren) zerlegt werden. Dies ist nützlich zur Bestimmung von kgv (kleinstem gemeinsamen Vielfachen) und ggt (gröÿter gemeinsamer Teiler). Beispiele Primfaktorzerlegung 228 = = = = = 15 4 = = Aufgabe in der VL Bestimmen Sie das kgv(60, 140) und ggt(60, 140)

3 Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke Beispiel 1 Bestimmung kgv und ggt 60 = = kgv(60, 140) = = 420 ggt(60, 140) = = 20 Beispiel 2 Bestimmung kgv und ggt 18 = = = kgv(18, 90, 114) = = 1710 ggt(18, 90, 114) = 2 3 = 6 Aufgabe 1 aus der VL Bestimmen Sie kgv(65, 225) und ggt(87, 99).

4 Klammerausdrücke I Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke Seien a, b, c N, dann gelten folgende Rechengesetze: Kommutativgesetz (K) a + b = b + a und a b = b a Assoziativgesetz (A) (a + b) + c = a + (b + c) und (a b) c = a (b c) Distributivgesetz (D) (a + b) c = a c + b c c (a + b) = c a + c b (K) = a c + b c

5 Klammerausdrücke II Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke binomische Formeln (B1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (B2) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (B3) (a + b) (a b) = a 2 b 2 Aufgaben 2 aus der VL 1 (5a 7b) 4a 5b (3a 8b) (7b 2a) 6a + 3b (5a b) 2 (3x 4) 2 + (2x 3) 2 3 (4x + y) 2 (2x + 3y) 2 4 2ax + ay 2bx by (Faktorisieren Sie!)

6 Bruchrechnung Potenzen Bruchrechnung Seien a, b, c, d Z; b, d 0. Dann gelten folgende Rechengesetze: Rechengesetze (i) (ii) (iii) a b + c d a b c d a b c d = = = ad + cb bd ad cb bd ac bd Folgerung Seien c, d Z; c, d 0 1 c d = d c (iv) a b : c d = (iii) = a b d c ad bc c 0 Beweis: Setze in (iv) a b = 1 1

7 Bruchrechnung Potenzen Aufgaben 3 aus der VL : ( p + q r ) ( p ) 2 22ax 2 y 2 27brx 2 35a 2 43b 2 : 14a : 66x 2 y 18r 2 s ( ) 15 3x 2 3xy x + y 6y 2 + 6xy x y 8a 2 + 8b ab a + b a b 5 1 m + n + 1 m n 9 a + 1 a 2 a a 1 a 2 + a + 1 a 4 a 2 1

8 Bruchrechnung Potenzen Periodische Dezimalbrüche in gemeine Brüche umwandeln Beispiel Umwandlung von 0, 237 =? Idee: Periode eliminieren Vorgehensweise: Sei 0, 237 = a 23, 737 = 100a Nun ist es möglich die Periode durch Subtraktion zu eliminieren: 100a = 23, 737 a = 0, a = 23, 5 198a = 47 a =

9 Bruchrechnung Potenzen Aufgaben 4 aus der VL 1 Wandeln Sie 0, 2 in einen gemeinen Bruch um. 2 Wandeln Sie 1 7 in einen Dezimalbruch um. 3 Wandeln Sie 0, 61 in einen gemeinen Bruch um. 4 Wandeln Sie 0, 227 in einen gemeinen Bruch um. 5 Wandeln Sie in einen Dezimalbruch um. 6 Wandeln Sie 0, 3536 in einen gemeinen Bruch um.

10 Bruchrechnung Potenzen Potenzrechnung Seien x, y Q( R); a, b Z. Sei o.b.d.a a b Denition Potenz Wird ein Faktor x (Basis) wiederholt mit sich selbst multipliziert, heiÿt das Ergebnis Potenz von x. } x x {{ x} := x a a-mal Dabei ist a der Exponent Potenzgesetze (P1 a) x a y a = (x y) a (P1 b) x a y a = ( ) x a y (P2) x a x b = x a+b (P3) x a x b = x a b (P4) (x a ) b = x a b

11 Bruchrechnung Potenzen Erläuterungen (P1a) x a y a = x } x {{... x} y y... y }{{} a-mal a-mal (A) = (x y) (x y)... (x y) (K) }{{} a-mal = (x y) a (P3) x a x b = a-mal {}}{ x x... x x x x x x... x }{{} b-mal = a b a-b-mal {}}{ x x... x x x... x x x... x = x a b

12 Bruchrechnung Potenzen Denition x k x k := 1 x k Denition x 0 x 0 := 1 Denition x 1 x 1 := x Beispiel für die Herleitung x 2 z.b. 1 3 (P3) = x = x x = x 3 x x x = 1 x 2 Beispiel für die Herleitung x 0 z.b. 2 2 (P3) = x = x 2 x = x x 2 x x = 1 1 = 1 Beispiel für die Herleitung x 1 z.b. 2 1 (P3) = x = x 2 x = x x x = x

13 Bruchrechnung Potenzen Aufgaben 5 aus der VL 1 Leiten Sie (P1 b), (P2) und (P4) aus der Denition der Potenz her. 2 a r p + b s p c r p + d s p 3 x 3m 1 x m a x+y b 3u+v 7 c 2 : 5 c 4 28 a y x b v 2u 6 (i) ( u 2 ) 3 (ii) (( u) 2 ) 3 (iii) ( u 3 ) 2 (iv) (u 3 ) 2

14 Potenzen mit rationalen Exponenten Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Überlegung (5 3 ) 1 3 (P4) = = := 3 5 Deniton n-te Wurzel Seien x R + und n N. Die n-te Wurzel von x ist eine Zahl y > 0 für die gilt: y n = x Notation: x 1 n := n x := y Potenzgesetze für rationale Exponenten Seien u, v R + und p, q N (P1 a') p u p v = p u v (P1 b') (P4') p u p v p q u = p u v = p q u (P2') p u q u = p q u q+p (P3') p u q u = p q u q p

15 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Erläuterungen (P1 a') p u p v = u 1 p v 1 p (P1 a) = (u v) 1 p = p u v (P1 b') p u p = u 1 p v v 1 p (P1 b) = ( u v ) 1 p = p u v (P2') p u q u = u 1 p u 1 q (P2) = u 1 p + 1 q = u q+p p q = p q u q+p (P3') (P4') p u q = u 1 p u u 1 q ( ) p q u = u 1 1 p q (P3) = u 1 p 1 q = u q p p q (P4) = u 1 p q = p q u q p = p q u

16 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Bemerkungen 1 Es gilt: q u p = (u p ) 1 q (P4) = u p 1q = u p q 2 Sei u R und p N. Dann ist 2p u 2p = u := { u, u < 0, u, u 0. 3 Die Lösungen der Gleichung x 2 = 1 bzw. 1 sind ±i C (Imaginäre Einheit der Komplexen Zahlen). Es gilt: i 2 = 1 Zahlen in C bestehen aus einem Realteil a und einem Imaginärteil b und haben die Form z = a + i b. Jede reelle Zahl hat Imaginärteil b 0.

17 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Aufgaben 6 aus der VL ( 3 6 ) x y x y 3 y 3 x 4 x 3 x 2 x x 8 x 5 3 x 5 6 ( 0, 5 ) x 5 3 x x : x 4 3 x 3 9 x 7 9 x 7 x

18 Rationalmachen des Nenners Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Schema Es gilt für a R, b R + : Beispiel 1 = = a b = a b 1 = a b = a b b b b Aufgabe in der VL Wie würden Sie bei den Nenner rational machen?

19 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Aufgabe = (B3) = ( 3) 2 }{{} =3 =3 {}}{ 3 3 = = Aufgabe 7 aus der VL Machen Sie den Nenner rational:

20 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Logarithmen Überlegung 2 x = 8 die Lösung für x ist intuitiv: x = 3, aber allgemein? log 2 8 = x Denition Logarithmus Seien a, b R + ; a, b 1, dann ist der Logarithmus a a zur Basis b ein umgeschriebener Exponent (reelle Zahl c), deniert durch: log b a = c R b c = a a Logarithmus (λoγóσ = Verhältnis, αριθµóς = Zahl); Begri 1614 durch John Napier: a b = c d log a log b = log c log d

21 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Logarithmengesetze Seien a, b, d, x, y R +, a, b, d 1, α R und n N Lemma 1 (Hilfssatz) (L1) log b (x y) = log b x + log b y (L2) x log b y = log b x log b y (L3a) log b x α = α log b x (L3b) log n b x = 1 n log b x (L4) log b a = log b d log d a Aus der Denition folgt für b R + \ {1} und r R: log b 1 = 0, log b b r = r und b log b r = r

22 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Beweis von (L1) und (L4) (L1) log b (x y) = log b x + log b y log b x := m und log b y := n b m = x und b n = y x y = b m b n P2 = b m+n log b (x y) = log b (b m+n ) Lemma 1 = m + n = log b x + log b y (L4) log b a = log b d log d a Nach Lemma 1 gilt: d log d a = a. log b a Lemma 1 = log b d log d a (L3a) = log d a log b d

23 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Umschreiben eines Logarithmus Seien a, b, d, x, y R + mit a, b, d 1, dann folgt aus (L4): log d a = log b a log b d bekannte Logarithmen log 10 a = lg a dekadischer (oder Briggscher) Logarithmus log e a = ln a logarihtmus naturalis (oder Neperscher Logarithmus) log 2 a = ld a binärer Logarithmus

24 Wurzeln & Potenzen mit rationalen Exponenten Logarithmen Aufgaben 8 aus der VL 1 Formen Sie folgenden Ausdruck mit Hilfe der Logarithmengesetze um: ln 2 a + b a 3 b 2 3 c (a + c) 2 2 Weisen Sie Lemma 1 mithilfe der Denition nach. 3 Beweisen Sie (L3b) mithilfe von (P4). 4 Beweisen Sie (L2) mithilfe von (P3).

25 Summenzeichen I Natürliche und ganze Zahlen Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Denition Für die wiederholte Addition nach einer gleichen Struktur ist es häug elegant, das Summenzeichen Σ (Sigma) zu nutzen. Dabei treten für m, n Z mit n m folgende Begrie auf: n T (k) = T (m) + T (m + 1) + T (m + 2) + + T (n 1) + T (n) k=m k Summationsindex T (k) Term, der i.d.r. von k abhängt m untere Summationsgrenze n obere Summationsgrenze

26 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Beispiele 4 1 a k = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a k= k = = = k=1 n n (n + 1) allgemein: k = (Gauÿsche Summe) 2 k=1 2 log k 8 = log 2 8 = 3 k=2 allgemein: m T (k) = T (m) k=m

27 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Beispiele = = 6 5 = k= 2 allgemein: 44 k=42 n c = (n m + 1) c k=m 3k = = 387 n 3 k = k=0 n k=0 1 n 3 k = k=0 ( 1 3 ) k = ( 1 3 ) n

28 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Rechengesetze Für das Summenzeichen gelten folgende Rechengesetze: n n 1 T (k) = T (j) (Unabhängigkeit vom Indexnamen) k=m j=m n (T (k) + S(k)) = k=m n λ T (k) = λ k=m r T (k) = n n T (k) + S(k) k=m n T (k) k=m n T (k) + k=m k=m k=n+1 k=m für beliebiges λ R r T (k) m n r

29 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Aufgaben 9 aus der VL Berechnen Sie (k + 1) 3(k 1) 2 k= 5 9 (k + 1) 2 k=0 k=0 k= 5 9 (k 1) Wem das zu leicht fällt: Zum Weiterdenken 10 9 k 2 + (2k + 3) k=2 k=1 (Eine Indexverschiebung wäre wünschenswert.) 5 4 (4k 2m) k=3 m=1

30 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Denition Polynom Seien a 0, a 1, a 2,... a n R. Diese heiÿen (reelle) Koezienten. Ein Polynom ist eine Funktion p : R R der Struktur: p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = Darstellung von Polynomen durch Nullstellen n a k x k k=0 Jedes Polynom mit n reelllen Nullstellen x 1, x 2,..., x n, lässt sich auch darstellen durch: p(x) = (x x 1 ) (x x 2 ) (x x n ) p(x) Wenn man dieses Produkt ausklammert, erhält man a 0 = ±1 x 1 x 2... x n p(0)

31 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Polynomdivision Daher kann man die Nullstellen durch Polynomdivision abspalten. (2x 4 +2x 3 4x 2 +8x 48) : (x 2) = 2x 3 + 6x 2 + 8x + 24 (2x 4 4x 3 ) 6x 3 4x 2 +8x 48 (6x 3 12x 2 ) 8x 2 (8x 2 +8x 48 16x) 24x 48 (24x 48) 0

32 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Eine zweite Möglichkeit, um eine Nullstelle abzuspalten, ist das Horner 1 -Schema. Hornerschema Wir wollen die Nullstelle x = 2 vom Polynom p(x) = 2x 4 + 2x 3 4x 2 + 8x 48 abspalten Das entstandene Polynom ist p 1 (x) = 2x 3 + 6x 2 + 8x Somit gilt: p 1 (x) (x 2) = p(x), also (2x 3 + 6x 2 + 8x + 24) (x 2) = 2x 4 + 2x 3 4x 2 + 8x 48 1 William George Horner ( ), englischer Mathematiker

33 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Aufgaben 10 aus der VL Üben Sie die Polynomdivision! 1 (x 3 + x 2 y 3xy 2 + y 3 ) : (x y) 2 (x 3 6x 2 + 9x 4) : (x 1) 3 (x 3 y 3 ) : (x y) 4 (x 3 + y 3 ) : (x + y)

34 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Binomialkoezient Der Binomialkoezient eine natürliche Zahl, deniert für n, k N 0 mit n k. ( ) n n! := n! := n (n 1)! und 0! := 1 k k! (n k)! Pascal'sches Dreieck Die Einträge sind Binomialkoezienten n = 0 1 n = n = n = n = n =

35 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Pascal'sches Dreieck mit Binomialkoezienten ( n = 0 0 ( 0) n = 1 1 ) ( 1 ( 0 1) n = 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ( 0 1 2) n = 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ( ) n = 4 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( ) n = 5 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) Eigenschaften des Binomialkoezienten (Pascal'sches Dreieck) Seien n, k N 0 mit n k. Dann gilt für den Binomialkoezienten: ( 1 n ( k) = n ) n k ( 4 n ( ( 2 n ) ( 0 = n ) k) + n ) ( k+1 = n+1 ) k+1 n = 1 ( 3 n ( 5 1) = n k n 1) (n) ( k = n n 1 ) k 1 = n

36 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Binomischer Lehrsatz Seien a, b R und k, n N 0, dann gilt: (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k = k Nutzen des Binomischen Lehrsatzes n k=0 ( ) n a n k b k. k Somit kann man verschiedene Potenzen bilden. Beispiele: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 n ( ) (a b) n n n ( ) n = ( 1) n k a k b n k = ( 1) k a n k b k k k k=0 k=0

37 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Weitere Identität Seien a, b R und k, n N 0, dann gilt: (a b) (a n 1 + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n 1) = a n b n n 1 n 1 (a b) a n 1 k b k = (a b) a k b n 1 k = a n b n k=0 k=0 Spezialfall Die geometrische Summenformel Für a 1 und b = 1 ergibt sich in der Summe: n 1 n 1 (a 1) a k = a n 1 a k = an 1 a 1 k=0 k=0 n k=0 a k = an+1 1 a 1

38 Das Summenzeichen Polynomdivision Binomialkoezient und Binomischer Lehrsatz Aufgaben 11 aus der VL 1 Beweisen Sie die Eigenschaften 1 bis 4 des Binomialkoezienten. 2 Bestimmen Sie (t + z) 6 mithilfe des Binomischen Lehrsatzes. 3 Bestimmen Sie (2a 3b) 4 mithilfe des Binomischen Lehrsatzes. n 1 4 Nehmen Sie an, dass a k = an 1 a 1 gilt. k=0 Zeigen Sie nun, dass auch n n 1 a k = a k + a n k=0 k=0 das gewünschte Ergebnis an+1 1 a 1 liefert.