Vorkurs Mathematik WiSe 2018/19

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1 Vorkurs Mathematik WiSe 2018/19 S. Bernstein, M. Helm Fakultät für Mathematik und Informatik Die Vorlesungen und Tutorien des Vorkurses wurden als Teil des Brückenkurses I teilweise durch das SMWK aus Mitteln des ESF und des Landes Sachsen gefördert.

2 1. Brüche und Polynome 1.1 Zahlbereiche und Brüche

3 Zahlbereiche Natürliche Zahlen Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...}. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen: N 0 = N [ {0} = {0, 1, 2,...}. Ganze Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen ist Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

4 Rationale Zahlen Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden die rationalen Zahlen n m o Q = n : m 2 Z, n 2 N. Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen darstellen. Beispiele: 1 2 = 0,5; = 25,32; 1 3 = 0, = 0,3; = 0, = 0,318; = 4,05. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

5 Rechenregeln für Brüche Für m, k 2 Z und n, ` 2 N sowie a 2 Z\{0} (bei der Division auch k 6= 0) gilt Gleichheit: m n = k` () m` = kn. Erweitern/Kürzen: m m = a m a n Addition: m n + k` = m ` n ` + k n ` n Subtraktion: m n k` = m ` n ` k n ` n Multiplikation: m n k ` = m k n ` = mk n` Division: m n : k` = m n k ` = m n ` k = m` nk = m` +kn `n = m` kn n` S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

6 Multiplikationsformel k m n = km n 1 ` m n = m n` Insgesamt: k ` m n = m n k ` = mk n` S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

7 Folgerungen Erweitern und kürzen: m n = m n k k = mk nk. Man macht Brüche durch Erweitern gleichnamig. Division: 1 = mn nm = m n n m () m n = 1 n m und m n k ` = m n 1 k ` = m n ` k. Brüche werden dividiert indem man mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

8 Doppelbrüche Deutliches Schreiben ist wichtig! Im Allgemeinen gilt a 1 b 2 b 1 a 2 = a 1 b 1 a 2 6= a 1 b b 1 2 a 2 b 2 = a 11 b 1 1 a 2 b 2 = a 11 b 1 b 2 a 2 = a 1a 2 b 1 b 2 Beispiel: 8 3 = = = = = = = 2 12 = 1 6. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

9 Internationale Studierende an der TUBAF 2017 S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

10 Internationale Studierende an der TUBAF 2017 x = Summe 100% = Anzahl x Anzahl 100% Summe = Anzahl Summe 100% Abbildung 1: Kreisdiagramm Abbildung 2: Balkendiagramm Anzahl Anteile Prozente E % º 24% As % º 54% Af % º 13% La % º 9% Na % º 0,5% S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

11 Studierende an der TUBAF nach Studiengebieten 2014/15 Wie hoch war der Anteil der Studierenden in den Ingenieurwissenschaften (Naturbzw. Wirtschaftswissenschaften)? Abbildung 3: Studiengebiete Wieviele Studierende hatte die TU Bergakademie Freiberg im WiSe 2014/15? Wieviel Prozent der Studierenden studierten Ingenieur-, Naturbzw. Wirtschaftswissenschaften? Wie hoch war die relative Häufigkeit, dass ein Studierender Ingenieurwissenschaften studiert? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

12 Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen. p 2 ist eine irrationale Zahl. Beispiele: p 2 = 1, ; º = 3, ; e = 2, Reelle Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalen Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R. Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

13 Irrationalität von p 2 Ein Beweis der Irrationalität von p 2 findet sich bereits in Euklids Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. bis zur 2. Hälfte des 19. Jh. das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur. Abbildung 5: Quadrat Abbildung 4: Euklids Elemente Rechtwinkliges Dreieck b 2 = a 2 +a 2 S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

14 1.2 Lineare und quadratische Gleichungen

15 Lineare Gleichung Einer der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung ax = b Dabei sind a,b 2 R gegeben und x 2 R gesucht. Im Fall a 6= 0istdieeindeutige Lösung gegeben durch x = b a. Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen im Fall a = 0? Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null nicht sinnvoll definiert werden kann. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

16 Binomische Formeln und quadratische Gleichung Erste binomische Formel (a +b) 2 = a 2 +2ab +b 2 Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch: S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

17 Zweite binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab +b 2 (a b) 2 +b 2 +2(ab b 2 ) = a 2 () (a b) 2 +2ab b 2 = a 2 () (a b) 2 = a 2 2ab +b 2 S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

18 Dritte binomische Formel (a +b)(a b) = a 2 b 2 (a b) 2 +2b(a b) = (a +b)(a b) () a 2 2ab +b 2 +2ab 2b 2 = (a +b)(a b) () a 2 b 2 = (a +b)(a b) S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

19 Anwend. der binomischen Formeln: Quadratisches Ergänzen x 2 + 4x + 5 = (x + ) 2 + a ab + b 2 = (a +b) 2 2. binomische Formel Setzen a = x, dannist2x = 2a = 2ab = 2 2x = 4x () b = 2unddamit (x x 2 + 4) +5 4 = (x +2) Allgmein: x 2 +mx +n = x 2 +2 m 2 x +n = x 2 +2 m 2 x + m2 = x + m 2 m 2 +n m2 4 +n S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

20 Quadratische Gleichung Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 +bx +c = 0, mit a, b, c 2 R, a 6= 0. Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform x 2 +px +q = 0, wobei p = b a und q = c a zu setzen sind. Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion f (x) = ax 2 +bx +c, a, b, c 2 R, a 6= 0, deren Nullstellen (Argumente x 0 mit f (x 0 ) = 0) genau die Lösungen der erstgenannten quadratischen Gleichung sind. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95

21 Satz (p q Formel, Mitternachtsformel) Im Falle D = p2 4 q 0 hat die Gleichung x 2 +px +q = 0 die reellen Lösungen x 1/2 = p 2 ± s p 2 4 q. Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x 2 +4x 5 = 0und x 2 2x +1 = 0. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober /95