Scheinklausur Analysis 1 WS 2007 /

Transkript

1 Scheiklausur Aalysis 1 WS 2007 / Es gibt 11 Aufgabe ud 1 Zusatzaufgabe. Die jeweilige Puktzahl steht am like Rad. Die Gesamtpuktzahl ist 40 Pukte plus 4 Zusatzpukte. Zum Bestehe der Klausur sid 16 Pukte erforderlich. Bei Wahr / Falsch-Aufgabe gibt es für jede korrekte Atwort 1 Pukt, für jede falsche Atwort 1 Pukt, ud für jede Nicht-Atwort 0 Pukte. Negative Gesamtergebisse werde als 0 gewertet. Die Bearbeitugszeit beträgt 120 Miute. Es sid keie Hilfsmittel zugelasse. Trage Sie ute auch Ihre Name, Ihre Matrikelummer, ud de Name Ihres Tutors ei. Ud u: Viel Erfolg... Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 1 vo 9

2 Aa-1 SK+L 2 h4i Aufgabe 1 Welche der folgede Aussage sid wahr oder falsch? a. Es gibt Fuktioefolge, die absolut, aber icht gleichmäßig kovergiere. wahr falsch b. Kovergiert eie Fuktioefolge gege eie stetige Grezfuktio, so ist die Kovergez gleichmäßig. wahr falsch c. Auf Œ0; 1 kovergiere die Polyome.1 t/ 2 für!1 gege eie stetige Grezfuktio. wahr falsch d. Die Reihe X cos.x=/ kovergiert gleichmäßig auf Œ0; 1. >1 wahr falsch a. Es gibt Fuktioefolge, die absolut, aber icht gleichmäßig kovergiere. wahr falsch b. Kovergiert eie Fuktioefolge gege eie stetige Grezfuktio, so ist die Kovergez gleichmäßig. wahr falsch c. Auf Œ0; 1 kovergiere die Polyome.1 t/ 2 für!1 gege eie stetige Grezfuktio. wahr falsch d. Die Reihe X cos.x=/ kovergiert gleichmäßig auf Œ0; 1. >1 wahr falsch h4i Aufgabe 2 Beweise Sie die folgede zwei Aussage über reelle Zahle a; b > 0. a. Falls a C b < 1, so gilt.1 C a/.1 C b/ a C b/ : b. Es gilt die Ugleichug zwische dem arithmetische ud geometrische Mittel: a C b 2 > p ab: Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 2 vo 9

3 Aa-1 SK+L 3 a. Nach Voraussetzug ist 1.a C b/ > 0, die Aussage deshalb äquivalet mit.1 C a/.1 C b/.1.a C b// 6 1: Ausklammer ergibt.1 C a C b C ab/.1 a b// D 1 C a C b C ab a a 2 ab a 2 b b ab b 2 ab 2 D 1 a 2 ab b 2 a 2 b ab 2 : Alle Terme, die abgezoge werde, sid ichtegativ. Daraus folgt die Behauptug. b. Da beide Seite ichtegativ sid, ist die Behauptug ach Quadriere äquivalet mit.a C b/ 2 > 4ab: Das folgt aber aus der biomische Formel:.a C b/ 2 D a 2 C 2ab C b 2 > 4ab, a 2 2ab C b 2 > 0,.a b/ 2 > 0: Letzteres ist offesichtlich richtig. h3i Aufgabe 3 X Zeige Sie, dass.2k 1/ D 2 für alle > 1. kd1 Iduktiosbegi: Für D 1 ergibt sich 1 D 1, was offebar stimmt. Iduktiosschritt: C1 X X.2k 1/ D.2k 1/ C.2 C 1/ D 2 C.2 C 1/ D. C 1/ 2 : kd1 kd1 Das klappt auch. h3i Aufgabe 4 Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez. X p a. X. C 1/ X Š 1 b. c. C1 3 5 : : :.2 C 1/ >1 >1 >1 Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 3 vo 9

4 Aa-1 SK+L 4 a. Koverget, mit Wurzelkriterium: p a D p 1! 0: Alle sid fast alle diese Ausdrücke zum Beispiel kleier als 1=2. b. Diverget, wege divergeter harmoischer Miorate:. C 1/ C1 D 1 C 1 > 1 : c. Koverget, mit Quotietekriterium: a C1 a D C 1 2 C 3! 1 2 : Also sid fast alle Quotiete zum Beispiel kleier als 3=4. h4i Aufgabe 5 Zeige Sie die folgede Ugleichuge mit Hilfe des Mittelwertsatzes. Hiweis: ta 0 t D 1 C ta 2 t. ˇ a. ˇp1 C u p 1 C vˇˇ 6 1 ju vj für u; v > 0 2 b. jta u ta vj > ju vj für u; v 2 2 ; 2. a. Die Ableitug vo p 1 C t ist damit > 0, gilt daher ˇ ˇp1 C u p 1 C vˇˇ D p. Mit eiem zwische u ud v, ud 1 C t u v ˇp ˇˇˇˇ 6 1 ju vj : 1 C 2 b. Aalog: jta u ta vj D ˇˇta 0 ˇˇ ju vj D ˇˇ1 C ta 2 ˇˇ ju vj > ju vj : h3i Aufgabe 6 a. Gebe Sie die Defiitio eier kompakte Teilmege eies ormierte Raumes. b. Gebe Sie eie otwedige ud hireichede Bedigug dafür, dass eie Teilmege des R kompakt ist. c. Gebe Sie a, welche der Itervalle f0g,. 1; 1/ ud Œ0; 1/ kompakt sid. Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 4 vo 9

5 Aa-1 SK+L 5 a. Eie Teilmege A eies ormierte Raumes heißt kompakt, we jede Folge i A eie kovergete Teilfolge besitzt, dere Grezwert ebefalls i A liegt. b. Eie Teilmege A des R ist kompakt geau da, we sie beschräkt ud abgeschlosse ist. c. Nur f0g ist kompakt. h3i Aufgabe 7 Sei D R kompakt, ud f W D! R stetig. Zeige Sie, dass die Bildmege f.d/ ebefalls kompakt ist. Siehe Skript. h4i Aufgabe 8 a. Gebe Sie die Defiitio dafür, dass eie Folge.f / >1 reellwertiger Fuktioe auf I D Œ 1; 1 gleichmäßig gege eie Grezfuktio f kovergiert. b. Bestimme Sie zu der Folge.f / >1 mit f.t/ D si.t=/; 1 6 t 6 1; die Grezfuktio ud utersuche Sie die Kovergez auf Gleichmäßigkeit. a. Siehe Skript. b. Die Grezfuktio ist die Nullfuktio, de für jedes t 2 Œ 1; 1 gilt wege der Stetigkeit des Sius lim si.t=/ D si 0 D 0:!1 Die Kovergez ist gleichmäßig. De wege der Stetigkeit des Sius gibt es zu jedem ">0ei N, so dass jsi xj <"für jxj < 1=N. Also gilt für >N sup j0 si.t=/j D sup jsi xj < "; > N: t2œ 1;1 x2œ 1=;1= Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 5 vo 9

6 Aa-1 SK+L 6 h4i Aufgabe 9 Bestimme Sie die folgede Itegrale. Hiweis: si 0 t D cos t ud cos 0 t D si t. a. Z t 2 si t dt b. Z t p 1 C t 2 dt a. Partielle Itegratio, zuächst für das ubestimmte Itegral: Z Z t 2 si t dt D t 2 cos t C 2t cos t dt Z D t 2 cos t C 2t si t 2 si t dt D t 2 cos t C 2t si t C 2 cos t C c: Auswerte zwische 0 ud ergibt de Wert 2 4. b. Substitutio u D 1 C t 2 ergibt du D 2t dt ud damit Z 1 1 t p 1 C t 2 dt D 1 2 Z 2 2 p u du D 0: Das ist auch icht überrasched, de der Itegrad ist ugerade, ud das Itegratiositervall symmetrisch zur Nullpukt. Ma ka also mit ubewaffetem Auge erkee, dass das Itegral verschwidet. h4i Aufgabe 10 Es sei f W Œa; b! R eie stetig differezierbare Fuktio mit f.a/ D 0; f.b/ > 0; f 0.b/ < 0: Zeige Sie, dass da ei c 2.a; b/ existiert mit f 0.c/ D 0. Beweis 1: Aus f 0.b/ < 0 folgt, dass f i eier Umgebug des rechte Radpuktes b mooto fällt. Also immt die Fuktio f am rechte Radpukt icht ihr Maximum a. Wege f.a/ D 0 < f.b/ gilt dies auch für de like Radpukt a. Also immt sie ihr Maximum im Ier a. Nach dem Satz vo Fermat verschwidet dort die Ableitug. Für diese Beweis ist icht erforderlich, dass f 0 stetig ist. Beweis 2: Da f i eier Umgebug des rechte Radpuktes b streg mooto fällt, existiert ei e 2.a; b/ mit f.e/ > f.b/. Da adererseits f.a/ < f.b/ < f.d/, Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 6 vo 9

7 Aa-1 SK+L 7 existiert aufgrud des Zwischewertsatzes ei d 2.a; e/ mit f.d/ D f.b/. Auf die Fuktio f ˇˇ Œe; d ka ma jetzt de Satz vo Rolle awede, ud es gibt ei c 2.e; d/ mit f 0.c/ D 0. Auch dieser Beweis beötigt icht die Stetigkeit vo f 0. Beweis 3: Aufgrud des Mittelwertsatzes gibt es ei d 2.a; b/ mit f 0.d/ D f.b/ f.a/ b a D f.b/ b a > 0: Da f 0.b/ < 0 ud f 0 stetig ist, existiert aufgrud des Zwischewertsatzes ei c 2.d; b/ mit f 0.c/ D 0. Beweis 4: Gäbe es kei c mit f 0.c/ D 0, so wäre wege f 0.b/ < 0 aus Stetigkeitsgrüde f 0.t/ < 0 für alle t 2 Œa; b, also f streg mooto falled. Aber da wäre f.a/ > f.b/, ei Widerspruch. h4i Aufgabe 11 Sei.a / mooto falled ud P >1 a D A edlich. Zeige Sie: a. Für alle > 1 gilt a > 0. b. Für alle > 1 gilt a 6 A=. a. Da die Summe kovergiert, gilt lim a D 0. Da außerdem.a / mooto fällt, muss a > 0 für alle gelte. b. Da die a mooto falle ud ichtegativ sid, gilt 1X X X A D a k > a k > a D a : kd1 kd1 kd1 Das ergibt die Behauptug. Die folgede Aufgabe ist eie Zusatzaufgabe, mit der Zusatzpukte erlagt werde köe. Sie ist icht Teil der eigetliche Klausur. Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 7 vo 9

8 Aa-1 SK+L 8 h4*i Aufgabe 12 I eiem Zoologiebuch aus Gallusie heißt es:»jede ugebrochselte Kalupe ist dorig, ud jede foberate Kalupe ist dorig. I Gallusie gibt es sowohl dorige wie udorige Kalupe«. Welche der folgede Aussage sid wahr? Aussage, die icht ableitbar sid, sid dabei als falsch zu bewerte. Das Präfix u- ist gleichbedeuted mit der logische Negatio. a. Es gibt gebrochselte Kalupe. wahr falsch b. Es gibt sowohl gebrochselte wie ugebrochselte Kalupe. wahr falsch c. Alle udorige Kalupe sid gebrochselt. wahr falsch d. Eiige gebrochselte Kalupe sid ufoberat. wahr falsch a. Es gibt gebrochselte Kalupe. wahr falsch De es gibt udorige, ud die sid gebrochselt. b. Es gibt sowohl gebrochselte wie ugebrochselte Kalupe. wahr falsch Die Existez ugebrochselter Kalupe ist icht ableitbar. c. Alle udorige Kalupe sid gebrochselt. wahr falsch De jede ugebrochselte ist dorig. Dabei kommt es icht darauf a, ob es überhaupt udorige gibt! d. Eiige gebrochselte Kalupe sid ufoberat. wahr falsch Es gibt udorige, ud die sid sowohl gebrochselt als auch ufoberat. Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 8 vo 9

9 Aa-1 SK+L 9 Aa-1 07/08 Blatt SK vom Seite 9 vo 9