4. Mathematikschulaufgabe

Transkript

1 1. Wie weit kann man vom Chordach auf dem Mont-Saint-Michel (120 m) auf das Meer hinausschauen? (Erdradius 6370 km) 2. Konstruiere ein Quadrat, das den doppelten Flächeninhalt hat wie das Quadrat mit der Seitenlänge a = 3 cm. 3. Gegeben sind die Punkte A(7/4) und B(-2/1). [AB] ist Durchmesser eines Kreises. Berechne die Kreisfläche. 4. Eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 12 cm lang. Wie lang ist der zugehörige Hypotenusenabschnitt, wenn der andere Hypotenusenabschnitt 3 cm lang ist? 5. Berechne Umfang und Flächeninhalt der schraffiert gekennzeichneten Figur: 6. Berechne die Formvariable so, dass die Parabeln p 1 mit y = ax² und p 2 mit y = x² - 8x + 4 nur einen Punkt gemeinsam haben. RM_A0063 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0063)

2 1.0 Vom Koordinatenursprung O aus wird auf die Strecke [AB] mit A(8/0) und B(0/6)das Lot gefällt. Der Lotfußpunkt ist Q(x/y). 1.1 Zeige, dass die Dreiecke OAQ, OQB und OAB ähnlich sind. 1.2 Berechne die Länge d der Lotstrecke [OQ]. 1.3 Berechne die Koordinaten des Lotfußpunktes Q. 2. Eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 cm lang. Wie lang ist der zugehörige Hypotenusenabschnitt, wenn er andere Hypotenusenabschnitt 2 cm lang ist? 3. Konstruiere ein Quadrat, das den doppelten Flächeninhalt hat wie das Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm. 4. A(7/4) und C(2/9) sind Eckpunkte einer Raute mit A = 40 cm². Berechne die Länge der Diagonalen [BD]. 5.0 Gegeben sind die Punkte A(-2/0) und B(0/2). Die Punkte C n liegen auf der Parabel p mit y = x² Bestimme die Koordinaten der Schwerpunkte S n aller Dreiecke ABC n in Abhängigkeit von der x-koordinate der Punkte C n. 5.2 Bestimme rechnerisch die Schwerpunkte, die auf der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten liegen. RM_A0064 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0064)

3 1.0 Zeichne nebenstehende Figur für A(0/-5), C(0/5) und P 1 (0/3). Wandert P auf [OC], entstehen Drachenvierecke AB n CD n. 1.1 Zeichne das Viereck für P 2 (0/1). 1.2 Begründe, dass für φ < 180 gilt. 1.3 Berechne die Längen BD 1 1 undcb Berechne die Streckenlänge a(y) < AB n in Abhängigkeit von der y-koordinate von P n. 1.5 Berechne die Koordinaten von P 3 so, dass CB 3 = 4 cm gilt. 1.6 Zeige, dass für den Flächeninhalt der Vierecke gilt: A(y) < 20 25, y 2 FE. 2.0 Gegeben ist die Parabel p: y = x² - 6x + 10 sowie die Punkte R (12/6), Q(0,5/7,25) p, Z(-2/4) und k = Berechne die Scheitelpunktkoordinaten von p und zeichne p und die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: -3 x 13; -3 y Konstruiere für eine Streckung mit Z und k die Punkte R, Q und S. 2.3 Berechne die Koordinaten von R und Q sowie die Scheitelgleichung der Bildparabel p mit Hilfe eines allgemeinen Punktes P p. 2.4 S(3/1) ist der Schwerpunkt des Dreiecks ARZ. Berechne die Koordinaten von A. Z*; k* ; Berechne die Koordinaten eines Zentrums Z* so, dass ΖSR ΖS'R' gilt. RM_A0065 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0065)

4 1. Die Parabel p mit y = 2x² - 5 wird durch zentrische Streckung mit k = 0,5 und Z(3/2) auf die Parabel p abgebildet. Ermittle rechnerisch die Gleichung von p in Normalform. (Methode: nicht Parameterverfahren) 2.0 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(3/-5), B(4/-2) und C(0/-3). Der Punkt A ist das Streckungszentrum, ein Bildpunkt B`(6/4) ist außerdem gegeben. 2.1 Konstruiere das Bilddreieck A B C. Platzbedarf: - 8 x 8; - 7 y Berechne den Streckungsfaktor k sowie die Koordinaten des Bildpunktes C. 2.3 Die Fläche des Dreiecks ABC beträgt 5,5 cm². Berechne die Fläche des Bilddreiecks A B C. 3. Berechne x und y. (Zeichnung nicht maßstabsgetreu, BC II DF; BE II CF) 4. Berechne x und y. (Zeichnung nicht maßstabsgetreu, QT II RS) RM_A0066 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0066)

5 1.1 Berechne die schraffierte Fläche im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 2b. (Abb. 1) 1.2 Berechne die im gleichseitigen Dreieck schraffierte Fläche, wenn der Radius eines kleinen Kreises ein Drittel der Seitenlänge a des Dreiecks beträgt. (Abb. 2) 2.1 Einem Quadrat mit der Seitenlänge 2b soll ein Kreis einbeschrieben werden, dem Kreis an den Berührpunkten wieder ein Quadrat. Zeichne die entstehende Figur für b = 4 cm. 2.2 Zeichne die Diagonalen im großen Quadrat ein. Die Schnittpunkte mit dem Kreis bilden mit den Ecken des kleinen Quadrats ein Achteck, die Tangenten an diese Punkte mit dem großen Quadrat ebenfalls ein Achteck. Zeichne sie ein. 2.3 Berechne die Flächen des ein- und des umbeschriebenen Achtecks und gib einen Näherungswert für ο an. 3.1 Gegeben ist die Parabel p 0 : y = - 0,5 x 2-2x + 1 G< x Bringe p 0 auf die Scheitelform und zeichne sie in ein Koordinatensystem. (Wertetabelle: 1LE = 1cm) 2 b Bringe die Gleichung der Parabelschar p < 1,, 1 b : y x bx b b auf die Scheitelform. Gib die Gleichung des Trägergraphen an und zeichne ihn ein. 3.3 Parabeln aus der Schar p b berühren die Parabel p 0. Berechne deren Scheitel und zeichne sie ein. 3.4 Berechne die Berührpunkte. RM_A0067 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0067)

6 1.0 Gegeben sind die Parabelschar p(b): y = x² - bx - 3 und die Gerade g: y = 2x Bestimme die Scheitelkoordinaten aller Parabeln der Schar in Abhängigkeit von b. 2 (Ergebnis: b b S,, 3 ) Zeichne die Parabeln für b { ±4; ±2; 0 } und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Gib die Scheitelkoordinaten S -4 ; S -2 ; S 0 ; S 2 ; S 4 an. Platzbedarf: - 4 x 4; - 8 y Bestimme rechnerisch die Gleichungen derjenigen Parabeln aus p(b), die die Gerade g in einem Punkt berühren. (Zwischenergebnis: b 1 = 0; b 2 = - 4) 1.4 Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Berührpunkte B 1 und B Für welche Werte von b haben die Parabeln der Schar mit der x-achse keinen Punkt gemeinsam? (rechnerische Bestimmung) 1.6 Bestimme rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen aller Parabelscheitel aus p(b). Zeichne diesen Graphen in das Koordinatensystem ein. 1.7 Bestätige durch Rechnung, dass alle Parabeln der Schar durch den Punkt P(0/-3) verlaufen. 2. Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenuse [AB] sind gegeben: Hypotenusenabschnitt q = 3,2 cm (Abschnitt bei A), h C = 4,8 cm. Berechne die Streckenlängen p, a, b und c. 3. Die Sehne [AB] eines Kreises k(m; r) mit dem Radius r = 5,3 cm hat die Länge AB = 6,4 cm. Berechne den Abstand MD des Kreismittelpunktes M von der Sehne AB. RM_A0083 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0083)

7 1.0 Vom Koordinatenursprung O aus wird auf die Strecke [AB] mit A(8/0) und B(0/6) das Lot gefällt. Der Lotfußpunkt ist Q(x/y). 1.1 Zeige, daß die Dreiecke OAQ, OQB und OAB ähnlich sind. 1.2 Berechne die Länge d der Lotstrecke [OQ]. 1.3 Berechne die Koordinaten des Lotfußpunktes Q(x/y). 2.0 Auf der 8 cm langen Kante [BC] des Würfels ABCDEFGH wandert der Punkt P von B nach C. Es entstehen Dreiecke APH, deren Größe von der Maßzahl x der Streckenlänge PB = x cm abhängt. 2.1 Berechne die Seitenlängen PA, HP und AH für x < 3 (auf zwei Stellen nach dem Komma runden). 2.2 Bestimme die Seitenlängen PA und PH in Abhängigkeit von x. (Ergebnis: 2 2 PA < x 64 cm; PH < x, 16x 192 cm ) 2.3 Zeige, dass es unter den Dreiecken APH nur ein gleichschenkliges Dreieck gibt, dass zudem gleichseitig ist. 2.4 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ACH. 3. Untersuche rechnerisch, ob das Dreieck ABC mit A(-2/-1), B(11/-2) und C(1/4) eine besondere Form hat (gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig). RM_A0138 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0138)

8 1. Gegeben ist der Pfeil 4. Für welche y-werte ist der Pfeil 9 cm lang? y 2. Zeichne das Dreieck ABC mit A(1 4), B(9 2 ) und C(4 7). Zeige durch Rechnung, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Berechne die Fläche auf zwei ganz verschiedene Arten. 3. Berechne die Strecken x und y. Beide Figuren sind nicht maßstabsgetreu. Es gilt stets: [BE] Ο [CD] 4. Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Katheten AB < 10 cm und AC < 7 cm. Zeichne in dieses Dreieck das Quadrat AEFG ein mit E [AB] und F [BC] ein. Berechne die Länge der Quadratseite. 5. Zeichne das Rechteck ABCD mit AB < 6 cm und BC < 8 cm. a) Berechne die Länge der Diagonalen [AC]. b) F ist der Mittelpunkt von [AD]. Berechne die Länge der Strecke [BF]. c) S ist der Schnittpunkt der Strecken [AC] und [BF]. Begründe, in welchem Verhältnis der Punkt S diese beiden Strecken teilt. Berechne alle diese Strecken. RM_A0188 **** Lösungen 3 Seiten (RM_L0188)

9 1.0 Das Dach eines alten Bauernhauses wird durch eine Balkenkonstruktion getragen. Die Maße einiger Balken sind in der Querschnittszeichnung in der Einheit Meter gegeben. 1.1 Berechne die Balkenlänge y < EF Ergebnis auf zwei Dezimalstellen runden. 1.2 Berechne die Balkenlänge z < GF Ergebnis auf zwei Dezimalstellen runden. 2.0 Das Dreieck ABC wird durch eine zentrische Streckung mit Zentrum Z 2 y Z ( und Streckungsfaktor k auf das Dreieck A'B'C' abgebildet. Die Punkte C und Z liegen auf der Geraden g mit y <, x 6. Es gilt: A(2/0), B( 6 / 4 ), C(3/y), A (2/12 ). Platzbedarf:, 6 x 8;, 2 y Zeichne das Dreieck ABC und den Punkt A'. Berechne die y- Koordinate von Z sowie den Streckungsfaktor k. 2.2 Zeichne das Bilddreieck A'B'C'. Berechne die Koordinaten der Punkte B' und C'. 2.3 Welche Gleichung hat die Gerade g' bei der obigen zentrischen Streckung? 2.4 Berechne den Flächeninhalt des Urdreiecks ABC und des Bilddreiecks A'B'C'. 2.5 Das Dreieck A*B*C* ist Bilddreieck zum Dreieck ABC bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckungsfaktor k* (k* > 0). Der Flächeninhalt des Dreiecks A*B*C* beträgt 9 FE. Zeichne das Dreieck A*B*C*. 3.0 Die Punkte A n, B n und C n sind Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken A nbnc n. Die Punkte A n ( g mit y = 1. Die Punkte Mn x 3x 1( x1 liegen auf der Geraden auf der Geraden h mit y = 3x + 1 sind Mittelpunkte der Dreiecksseiten BnC n. Sie haben die gleiche Abszisse wie die Punkte A n. 3.1 Zeichne für x = 1 und x = 2 die zugehörigen Dreiecke ABC und A 2B2C 2. Zeichne die zugehörigen Schwerpunkte ein. 3.2 Berechne die Koordinaten der Schwerpunkte S 1 und S 2. RM_A0240 **** Lösungen 4 Seiten (RM_L0240)