Portfolio-Optimierung und Capital Asset Pricing

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1 Portfolio-Optimierung und Capital Asset Pricing Peter Malec Institut für Statistik und Ökonometrie Humboldt-Universität zu Berlin Econ Boot Camp, SFB 649, Berlin, 4. Januar 2013

2 1. Einführung 2 29 Motivation Wie messe ich das Risiko einer Finanzanlage? Was ist systematisches und idiosynkratisches Risiko? Wie kann ich renditemaximierend bzw. risikominimierend in ein Portfolio investieren? Welche Erhöhung der Rendite kann ich erwarten, wenn sich das Risiko meiner Finanzanlage erhöht?

3 1. Einführung 3 29 Agenda 1. Einführung 2. Grundlegende Konzepte 3. Portfolioanalyse 4. Das Capital Asset Pricing Modell

4 2. Grundlegende Konzepte 4 29 Grundlegende Konzepte P i,0 : Preis eines Wertpapiers i zum Kaufzeitpunkt t = 0. P i,1 : Preis eines Wertpapiers i zum Zeitpunkt t = 1 Rendite: R i = (P i,1 P i,0 ) /P i,0 Falls t = 1 in der Zukunft liegt: Erwartete Rendite E[R i ] Tatsächliche Rendite schwankt um diesen Wert. Varianz als Maÿ für die Schwankungen (Risiko) der Rendite: V [R i ] = E[(R i E[R i ]) 2 ] := σ 2 Frage: Wie bestimmen wir die erwartete Rendite E[R i ] und Varianz V [R i ]?

5 2. Grundlegende Konzepte 5 29 Tägliche Renditen, S&P500, S&P 500 Log Return, Daily Log Return Time

6 2. Grundlegende Konzepte 6 29 Schätzungen von E[R i ] und V [R i ] Annahme: Zukünftige Renditen weisen ähnliche Eigenschaften auf wie historische Renditen: Gleicher Mittelwert Gleiche Varianz Schätzung von E[R i ] und V [R i ] auf Basis historischer Daten. E(R i ) wird geschätzt durch das Stichprobenmittel R i = 1 n R i,t. n t=1 σ 2 wird geschätzt durch die Stichprobenvarianz si 2 = 1 n ( ) 2 R i,t R i. n t=1

7 3. Portfolioanalyse 7 29 Mittelwert-Varianz-Diagramm Welche Aktie würden Sie präferieren?

8 3. Portfolioanalyse 8 29 Rendite und Risiko eines Portfolios Portfolio aus 2 Aktien mit Portfoliogewichten w und 1 w (w [0, 1]) Erwartete Rendite des Portfolios: Geschätzte erwartete Rendite: Varianz der Portfoliorendite: E[R p ] = w E[R 1 ] + (1 w) E [R 2 ]. R p = w R 1 + (1 w) R 2. σ 2 p = w 2 σ (1 w) 2 σ w(1 w)σ 1,2 Standardabweichung der Portfoliorendite: σ p Was ist σ 1,2?

9 3. Portfolioanalyse 9 29 Kovarianz und Korrelation Kovarianz: σ i,j = E[(R i E[R i ])(R j E[R j ])] Maÿ für den (linearen) Zusammenhang zwischen Renditen von 2 Wertpapieren. Schätzung durch Stichprobenkovarianz: s i,j = 1 n n t=1 (R i,t R i ) ( R j,t R j ). Korrelation: ρ i,j = σ i,j / (σ i σ j ) Normiertes Zusammenhangsmaÿ: 1 ρ i,j 1. Schätzung durch r i,j = s i,j s i s j.

10 3. Portfolioanalyse Portfolios aus 2 Wertpapieren Welche Kombination ist optimal?

11 3. Portfolioanalyse Portfolios aus 4 Wertpapieren

12 3. Portfolioanalyse Portfoliotheorie nach Markowitz Harry M. Markowitz: Nobelpreis Markowitz, H. M. (1952), Portfolio Selection, The Journal of Finance 7 (1), Umfassende Methodik zur Portfolioanalyse. Bestimmung ezienter Portfolios

13 3. Portfolioanalyse Eziente Portfolios Investoren wollen erwartete Rendite maximieren und Risiko minimieren. Eziente Portfolios: Minimieren Risiko für gegebene erwartete Rendite. Maximieren erwartete Rendite für gegebenes Risikoniveau. Investor wählt optimales Portfolio aus dem ezienten Set entsprechend persönlicher (Risiko-)Präferenzen.

14 3. Portfolioanalyse Idiosynkratisches Risiko & Diversizierung Portfolio aus N Wertpapieren mit Gewichten w i, i = 1,..., N. Portfoliovarianz: σ 2 p = N N w i w j σ ij = i=1 j=1 N i=1 w 2 i σ 2 i + 2 N N i=1 j=i+1 w i w j σ ij Für N σ 2 p 2 N i=1 N j=i+1 w i w j σ ij Einuÿ idiosynkratischen Risikos σi 2 Verwendung von groÿen Portfolios. wird reduziert durch die

15 3. Portfolioanalyse Erweiterung des Grundmodells James Tobin: Nobelpreis Markowitz: Eziente Portfolios aus riskanten Wertpapieren. Erweiterung durch Tobin: Risikolose Anlage (z.b. Schatzbriefe, Spareinlagen) mit Verzinsung R f.

16 3. Portfolioanalyse Kombination aus riskofreien und risikobehafteten Anlagen Portfolio aus einer risikofreien und einer risikobehafteten Anlage. Erwartete Rendite: Standardabweichung: E [R p ] = w f R f + (1 w f ) E [R i ]. σ p = (1 w f )σ i.

17 3. Portfolioanalyse Risikofreie Anlage und Aktie

18 3. Portfolioanalyse Risikofreie Anlage und riskantes Portfolio Riskantes Portfolio T ist optimal!

19 3. Portfolioanalyse Tobin-Separation (i) Bestimmung des optimalen riskanten Portfolios: Ermittlung ezienter Portfolios. Ermittlung des Tangentialportfolios. (ii) Bestimmung des optimalen Portfolios inklusive der risikolosen Anlage: Kombination aus (riskantem) Tangentialportfolio mit risikoloser Anlage. Wahl der Kombination hängt ab von der individuellen Risikoaversion

20 4. Das Capital Asset Pricing Modell Das Capital-Asset-Pricing-Modell (CAPM) Gleichgewichtsmodell für Wertpapierrenditen auf Basis der Portfoliotheorie nach Markowitz und Tobin. Entwickelt von Jack Treynor, William Sharpe, John Lintner und Jan Mossin (unabhängig voneinander). William F. Sharpe: Nobelpreis 1990.

21 4. Das Capital Asset Pricing Modell Implikationen des CAPM Annahmen: Investoren handeln gemäÿ der Portfoliotheorie nach Markowitz und Tobin. Investoren haben identische Schätzungen für erwartete Renditen und (Ko-)Varianzen (homogene Erwartungen). Risikofreier Zins für jeden Anleger gleich. Implikationen des CAPM: Ezientes Set für jeden Investor identisch. Alle Anleger halten das gleiche riskante Portfolio Tangentialportfolio = Marktportfolio Anleger kombinieren Marktporfolio mit risikofreier Anlage mit individueller Gewichtung, d.h. wählen Punkte auf der Kapitalmarktlinie

22 4. Das Capital Asset Pricing Modell Marktportfolio und Kapitalmarktlinie Was bedeutet dies im Gleichgewicht für die erwartete Rendite individueller Aktien?

23 4. Das Capital Asset Pricing Modell CAPM-Gleichung Gemäÿ des CAPM gilt für Wertpapier i: E [R i ] = R F + β i (E [R M ] R F ). Erwartete Rendite hängt positiv von β i (Beta) ab. Beta beschreibt die Stärke der linearen Abhängigkeit zwischen E [R i ] R F und (E [R M ] R F ). β i = 1: Überrendite von i identisch mit Marktüberrendite. β i = 0: Überrendite von i unabhängig von Marktüberrendite. β i < 0: Überrendite von i negativ abhängig von Marktüberrendite. Durch was wird β i determiniert?

24 4. Das Capital Asset Pricing Modell Beta als Maÿ für Systematisches Risiko CAPM impliziert: β i = σ i,m σ 2 M Kovarianz zw. Asset i und Marktportfolio =. Varianz des Marktportfolios Beta = Standardisierte Kovarianz = Maÿ für Abhängigkeit zwischen Rendite i und Marktrendite Intuition: Beta miÿt Beitrag eines Wertpapiers zum Marktrisiko Je höher Beta, desto gröÿer ist das systematische, d.h. nicht diversizierbare Risiko von Wertpapier i Je höher Beta, desto höher die notwendige Kompensation: E[R i R F ] = β i E[R m R f ] } {{ } Risikoprämie>0

25 4. Das Capital Asset Pricing Modell Wertpapierlinie

26 4. Das Capital Asset Pricing Modell Von der Theorie zur Empirie... CAPM: E [R i ] = R F + β i (E [R M ] R F ). Daten über Perioden t = 1..., n: Renditen eines Wertpapiers oder Portfolios i (R i,t ) Renditen des Marktportfolios (R M,t ) Risikofreier Zinssatz (R F,t ) Lineares Regressionsmodell R i,t R F,t = α i + β i (R M,t R F,t ) +ε i,t, } {{ } } {{ } Ri,t e RM,t e wobei ε i,t ein zufälliger Störterm mit E[ε i,t ] = 0 ist. Gemäÿ CAPM: α i = 0

27 4. Das Capital Asset Pricing Modell Kleinst-Quadrate-Schätzung Berechnung von Schätzwerten für α und β durch Minimierung der Summe der quadrierten Residuen Lösungen: β i = SSR = n t=1 [ R e t α β R e M,t] 2. ( ) ( ) 1 n n t=1 Ri,t e Re i R M,t e Re M ) 2, 1 n n t=1 α i = R e β i R e M. ( R e M,t Re M

28 4. Das Capital Asset Pricing Modell Datensätze S&P500: S&P500-Index und 30 Aktien mit der gröÿten Gewichtung. Monatliche Renditen Feb Okt Industrie-Portfolios: Klassikation von NYSE-, AMEX- und NASDAQ-Aktien auf Basis von SIC-Codes (Standard Industrial Classication). 30 Portfolios. Monatliche Renditen Jan Sep Size-Book-to-Market-Portfolios: Klassikation von NYSE-, AMEX- und NASDAQ-Aktien nach Marktkapitalisierung (Size). 5 Portfolios. Klassikation nach Buchwert-Marktwert-Verhältnis (Book-to-Market-Ratio). 5 Portfolios. 25 Portfolios als Schnittmengen. Monatliche Renditen Jan Sep

29 4. Das Capital Asset Pricing Modell Fragestellungen Portfolio-Optimierung: Auf welche Branchen sollte sich ein renditemaximierender und risikominimierender Investor konzentrieren? Welcher Industriezweig sollte bevorzugt werden, falls der Anleger auch risikolos investieren kann? Capital-Asset-Pricing-Modell: Welche Branchen sind dem Marktrisiko besonders stark ausgesetzt? Halten die Annahmen des Capital-Asset-Pricing-Modells einer Überprüfung auf Zeitreihen- und Querschnittsbasis stand?