Parabel. Folie 3. Folie 4. x y. Skizziere selbst denkbare Kurven!

Transkript

1 A UFGABEN- B LÄTTER

2 Folie 3 Überlege, von welchen Einflüssen (Parametern) der Kurvenverlauf der Wassersäule abhängt! Skizziere selbst denkbare Kurven! Folie 4 Kannst du dich für eine entscheiden? Begründe, weshalb du zwei Funktionsgleichungen sofort ausschließen kannst! Suche sieben markante Punkte im Kurvenverlauf und trage die Koordinaten in eine Wertetabelle ein! x y AB für Folie 3 wird auf dem nächsten Blatt erst mit dem nächsten Auftrag fortgesetzt. Zuerst zurück zur Foliue 3!

3 noch Folie 4 Hast du auch diese Punkte ausgewählt? x y Gib die zu den Zahlen passende Abbildungsvorschrift x è y in Worten an! Gib die Abbildungsvorschrift x è y in Form eine Funktionsgleichung an! Überprüfe die Gültigkeit der Funktionsgleichung auch für die Punkte P 1 (-2,5/ ) und P 2 (1,5/ )! Trage die Werte oben in die Tabelle ein!

4 Folie 6 Erstelle die neue Wertetabelle! Vergleiche die Koordinaten der verwandten Punkte (Urbild und Abbild)! Bildpunkte: Urpunkte: x -3-2, , y 9 6, , x -3-2, , y x 2 + x 2 Zeichne auch die fehlenden Verschiebepfeile noch ein! Wie wirkt sich das Verschieben entlang der y-achse um 1,5 Einheiten nach oben auf die Koordinaten der Punkte aus? Wie wirkt sich das Verschieben entlang der y-achse um 1,5 Einheiten nach unten auf die Koordinaten der Punkte aus? Wie wirkt sich das Verschieben um einen Betrag c entlang der y-achse auf die Koordinaten aus? Die Abszisse Die zugehörige Ordinate

5 Folie 7 Versuche, durch das Aufstellen der Wertetabellen die Funktionsgleichungen zu bestimmen! Tipp: Beginne mit II! y = x 2 y = x 2 Folie 8 y = x 2 y = 2x 2 +1 y = 0,5x 2-1,5 x -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 I y y = x 2 x II y x III y Wie heißt der passende Koeffizient zur jeweiligen gleichung? y = -x 2 y = -2x 2-1 y = -0,5x 2 +1,5 Zeichne jeweils die 2 Graphen in das zugehörige Achsenkreuz! Vergleiche deine Schaubilder mit den anschließend auf der Folie 8 entwickelten Graphen! Alles o.k.? Vergleiche jeweils die zwei verwandten Graphen (oben/unten)! Was stellst du fest? Gibt es einen Zusammenhang? Benenne die n mit sinnvollen Begriffen! Das Arbeitsblatt zu Folie 8 wird fortgesetzt.

6 noch Folie 8 y = x 2 y = 2x 2 +1 y = 0,5x 2-1,5 Letzter Schritt: Berechne die Ordinaten der Punkte P ( 0,5 / ) und P! ( 0,5 / ) P P y = -x 2 y = -2x 2-1 y = -0,5x 2 +1,5 Zeige diesen Multiplikationsschritt an den drei Beispielen! Formuliere das Ergebnis deines Nachdenkens und Nachforschens zur Spiegelung auf deinem AB!... erst dann zu unserer Erklärung

7 Folie 9 Berechne die Ordinate von S zur Überprüfung! Gegeben ist die lineare Funktion y = 2x 1. Berechne die Ordinate von S zur Überprüfung mit y = -2x 2 1! Berechne die Koordinaten von P und P mit den betreffenden Funktionsgleichungen f und f. Zeichne die Gerade und ihr Spiegelbild! Wie lautet die Funktionsgleichung der an der x-achse gespiegelten Geraden?

8 Folie 10 Was geschieht, wenn du die verschobene Normalparabel mit dem Faktor -1 und gleichzeitig x 2 mit ( 1 / 4 ) multiplizierst? Zeichne erst dann den neuen Graphen! y = x 2 + 1,5 Was geschieht, wenn du die verschobene Normalparabel mit dem Faktor 1 und gleichzeitig x 2 mit 2,5 multiplizierst? Zeichne erst dann den neuen Graphen! y = x 2 + 1,5 y = -(0,25x 2 + 1,5) y = -(2,5x 2 + 1,5)

9 Folie 11 Wie verändern sich Abszisse und Ordinate eines Punktes bei Verschieben parallel zur x-achse? Folie 12 Wende das bisher Gelernte an und ermittle auf deinem AB die drei Funktionsgleichungen! Zuerst in Worten: Was ist geschehen? I Normalparabel y = x 2 um... Einheiten parallel zur x-achse nach y =... verschoben. II III Normalparabel y = x 2 um... Einheiten parallel zur y-achse nach y =... verschoben Normalparabel y = x 2 um... Einheiten parallel zur x-achse nach Weise nach, dass die neue gleichung auch für die Punkte P 2 (4/4) und P 3 (-1/9) gilt! Probe durch Einsetzen der Koordinaten in die neue gleichung:... verschoben und dann um... Einheiten nach... verschoben. y = Wende die Regeln an und überführe die Funktionsgleichung I schrittweise in die Funktionsgleichung III! I II II III Vorgang: I y = II y = Vorgang: II y = III y = Hast du eine Idee, wie du deinen Lösungsweg überprüfen kannst?

10 Folie 16 Gegeben ist die Funktionsgleichung: y = 0,5x 2 + 3x Mache dir Gedanken über ein planvolles Vorgehen beim Zeichnen des Schaubildes! Zuerst: Welche Fragen stellen sich? 2. Skizziere eine Liste deiner geplanten Lösungsschritte!

11 Folie 17 Funktionsgleichung: y = 0,5x 2 + 3x + 3 Wir haben einen Plan für den Lösungsweg entworfen. (AB zu Folie 14) Beginne nun mit der Umsetzung! Deine Zwischenergebnisse notierst (skizzierst) du auch im Skizzenfeld oder Wertetabelle! 1. Die Funktionsgleichung gibt uns zwei wichtige Informationen: Skizzenfeld 2. Umwandeln der Funktionsgleichung in die Scheitelpunktsform: 3. Ausschnitt aus dem Koordinatensystem festlegen. 4. Erkenntnisse auf die Gestaltung der Wertetabelle übertragen / y-werte berechnen 5. Zeichnen des Graphen Übertragen der Punkte ins Koordinatensystem, Verbinden

12 Folie 18 Kannst du begründen, dass die Normalparabel nicht nur einfach verschoben wurde? Fertige die Lösung der Aufgabe möglichst aus dem Gedächtnis! Überprüfe jetzt deinen Lösungsgang!

13 Folie 19 Gegeben ist die I y = 0,4x 2 1x + 2 Gib vier Informationen, die du aus der gleichung ablesen kannst! ( Folie 13) Hinzu kommt eine Gerade II y = -1x + 4,5 Welche Eigenschaften der Geraden kannst du aus dieser Funktionsgleichung ablesen? Was geschieht, wenn wir die Sekante langsam hin zum Rand der parallel verschieben? Was geschieht, wenn wir die Sekante so weit verschieben, dass sie die gerade noch berührt? Was geschieht, wenn wir die Sekante noch weiter ganz nach außen verschieben?

14 Folie 20 Im Lehrwerk Lineare Funktion haben wir den Schnittpunkt von zwei Geraden berechnet. Wende dieses Grundwissen auf diese Aufgabenstellung an! Nimm den Lösungsvorschlag von Folie 20 nur dann zur Hilfe, wenn hier Fragen auftauchen! Überprüfe jetzt deinen Lösungsgang!

15 Folie 21 Berechne die Schnittpunkt(e) durch Gleichsetzen! = Gib eine Definition für den Begriff Nullstelle! (Siehe auch Lehrwerk Lineare Funktion Folie 25.) pq-formel: p = q = x 1,2 = Berechne die Nullstellen der! (Du wirst jetzt ein Beispiel erleben, bei dem nicht immer glatte Rechenergebnisse entstehen. Du kannst die pq-formel oder die abc-formel verwenden.) x 1,2 = S 1 ( / ) S 2 ( / ) N 1 ( / ) N 2 ( / ) Überprüfe jetzt deinen Lösungsgang!

16 Folie 22 Leite die Scheitelpunktsform her! (Hilfe: Folien 14/15) y = -2x 2-1,5x + 2 (allgemeine Form) Zeichne alle bekannten Punkte genau ein und skizziere die! Ermittle die Koordinaten des Scheitelpunktes auch auf dem 2. Weg!! y = (Scheitelpunktsform) Lies die Koordinaten des Scheitelpunktes ab! SP( / ) Zurück zur Überprüfung!

17 Folie 23 I y = 0,8x 2 2x + 1,5 II y = 2x 3,5 Berechne durch Gleichsetzen von I und II den Berührpunkt B P! Ergänze die Wertetabellen! x y I y II 3,5 4,3 3,5 3 2,7 2,5 2,5 2 0,7 0,5 1,5 1 0,3-1,5 0,5 0 1,5-3,5-0,5-1 4,3-5,5 Umrahme die Koordinaten des Berührpunktes und zeichne die beiden Graphen! Kennzeichne die typische Situation, in der sich entscheidet, dass nur ein gemeinsamer Punkt zwischen I und Gerade II existiert! (Kringel) B P ( / )

18 Folie 24 Wende das Gleichsetzungsverfahren an! I y = x 2 + 2x + 1 (allg. Form) II y = 0,5x - 1 Gleichsetzen I = II: Bestätige das Rechenergebnis durch möglichst korrektes Skizzieren der Graphen! (Hinweis: Du kannst die allgemeine Form auf der Rückseite schnell in die Scheitelform verwandeln oder Wertetabelle.) Begründe, dass dieser Wurzelterm nicht lösbar ist! -1,276 Recherchiere die Bedeutung des Begriffes Diskriminante! Welche Aussagesätze kannst du aus den weiteren zwei Fällen ableiten? Bilde auch jeweils den Umkehrsatz! (Schreibe notfalls auf die Rückseite!) Zu welchem Ergebnis gelangst du? (Lehrwerk Wurzeln Folie 11) 3. 3.

19 Folie 25 Notiere hier Fragwürdiges! (d.h. das, was einer Frage oder eines Hinweises würdig ist) Vereinfache das Bild so weit, dass nur noch die Elemente übrig bleiben, die für Berechnung wichtig sind! Vereinfachte Skizze: zurück zur Folie 25 Lege sinnvoll ein Koordinatensystem über dieses Bild? (erst wenn auf Folie 26 der Auftrag erfolgt) An welcher Stelle wäre der Ursprung eines Koordinatensystems sinnvoll? Folie 26

20 Folie 26 Berechne die Nullstellen der! (y = 0) è Folie 21 I y = -0,05(x -10) Berechne die Schnittpunkte der Graphen I und II I Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. S 1 ( / ) S 2 ( / ) Berechne zur Probe die zwei Wertetabellen! Nutze notfalls die Rückseite des Blattes! N 1 ( / ) N 2 ( / ) Formuliere einen Antwortsatz! Entnimm der Scheitelpunktsform die Koordinaten des Scheitelpunkts! S P ( / )

21 Folie 27 Berechne die Nullstellen der y = 2x 2-3x - 5! Berechne die Ordinaten und zeichne das Schaubild der y = x 2 1,5x 2,5! Scheitelpunkt Erstelle zur Kontrolle eine Wertetabelle und zeichne die! Welche gedankliche Folgerung kannst du aus den verschiedenen Graphen der irgendwie verwandten Funktionsgleichungen ziehen? Scheitelpunkt è... zurück zu Folie 27! Vergleiche mit dieser Folgerung! 20