Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 2005 Mathematik Teil 2 (Mit Hilfsmitteln)

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1 Aufgabe (0 ) Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Gegeben ist die quadratische Funktin f : y x 8x 4. a) Ermitteln Sie den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel. b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktin f in das Krdinatensystem auf der übernächsten Seite. c) Der Graph der Funktin f entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktin f an der Geraden y. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktin f in der Plynmfrm y a x b x c. d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktin f in das Krdinatensystem. e) Der Graph der Funktin f entsteht durch Verschiebung des Graphen vn f 3 um den Vektr. Ermitteln Sie die Gleichung der Funktin f in der Plynmfrm y a x b x c. f) Zeichnen Sie den Graphen der Funktin f in das Krdinatensystem. Lösung zu a) x 4x y y x 4x x y x 4 y Scheitelpunkt: / 4 S Lösung zu b) Einzeichnen des Graphen Lösungen Seite

2 Arbeitsblatt zu Aufgabe Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Lösung zu c) S spiegeln / S f : y x x 4x 4 y y x 8x 8 y x 8x 6 Lösung zu d) Einzeichnen des Graphen Lösung zu e) S verschieben S / 3 x 3 f : y x x 3 y y x 4x 3 y x 4x Lösung zu f) Einzeichnen des Graphen Lösungen Seite

3 Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Lösungen Seite 3

4 Aufgabe (7 ) Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Der Neuwert einer Maschine beträgt 5000 Franken. Der Wert der Maschine nimmt jährlich um 6 % ab (d.h. die Abnahme ist nicht linear). a) Geben Sie den Wert W der Maschine in Fr. als Funktin der Zeit t in Jahren an. b) Wie viele ganze Jahre dauert es, bis die Maschine weniger als die Hälfte ihres Neuwertes wert ist? c) Wie viele Przente vm ursprünglichen Neuwert ist die Maschine nach 0 Jahren nch wert? Lösung zu a) t y( t) Lösung zu b) t t 0.94 lg t lg 0.94 lg t.0 lg 0.94 Es dauert Jahre, bis die Maschine weniger als die Hälfte ihres Kaufpreises wert ist. Lösung zu c) y 45300% 9.0% 5000 Lösungen Seite 4

5 Aufgabe 3 ( ) Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Eine Baugesellschaft hat ein Grundstück vn 8000 m gekauft. Es ist geplant, auf dem Grundstück Einfamilienhäuser und Zweifamilienhäuser zu errichten. Für ein Einfamilienhaus beansprucht man eine Grundstücksfläche vn 00 m, für ein Zweifamilienhaus werden 500 m benötigt. Die Ksten für ein Einfamilienhaus betragen 600'000 Franken; die Ksten für ein Zweifamilienhaus 750'000 Franken. Insgesamt verfügt die Gesellschaft über ein Kapital vn 5'000'000 Franken für den Bau der Häuser. Gemäss Bauplan dürfen nicht mehr als 4 Einfamilienhäuser gebaut werden. Ferner darf die Anzahl Zweifamilienhäuser höchstens dppelt s grss sein wie die Anzahl Einfamilienhäuser. Wie viele Ein und Zweifamilienhäuser sllen auf dem Grundstück gebaut werden, wenn möglichst viele Familien auf dem Grundstück whnen sllen? Gehen Sie zur Lösung der Aufgabe wie flgt vr: Bezeichnen Sie mit x die Anzahl Einfamilienhäuser und mit y die Anzahl Zweifamilienhäuser. a) Geben Sie die vier Ungleichungen an, welche die im Text frmulierten Einschränkungen berücksichtigen. b) Stellen Sie die Lösungsmenge des Ungleichungssystems im Krdinatensystem auf der übernächsten Seite grafisch dar. Wählen Sie eine geeignete Skaleneinheit im Krdinatensystem. c) Geben Sie die Funktinsgleichung für die Anzahl Familien z in Abhängigkeit vn der Anzahl Ein und Mehrfamilienhäusern an. d) Ermitteln Sie, wie viele Ein und Zweifamilienhäuser auf dem Grundstück gebaut werden sllen, damit die Anzahl der auf dem Grundstück whnenden Familien maximal ist. Wie grss ist die maximale Anzahl Familien? Lösungen Seite 5

6 Arbeitsblatt zu Aufgabe 3 Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Lösung zu a). 00x 500y '000x 750'000y 5'000' x 4 4. y x Lösung zu b) Auflösen der Ungleichungen nach y. y x y x 0 5 Skaleneinheit festlegen Einzeichnen der vier Geraden: je Planungsplygn Lösung zu c) z x y maximal! Lösung zu d) Zielfunktin nach y auflösen: y x z Parallele zur Zielgeraden einzeichnen Zielgerade durch Parallelverschiebung zeichnen Krdinaten des Eckpunktes ablesen Lösung: 0 Einfamilienhäuser, Zweifamilienhäuser Anzahl Familien: 0 34 Lösungen Seite 6

7 Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) y x Lösungen Seite 7

8 Aufgabe 4 (0 ) Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Berechnen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Reststückes für und 30. C r 6 cm D r h A M B Lösung Ergänzte Skizze A schraffiert A ABC A BDM ASektr AMD Berechnung vn A ABC AC AB tan AC r tan 6 cm tan cm 6.93 cm A ABC AC AB 4 3 cm cm 4 3 cm 4.57 cm Berechnung vn A BDM h r sin 6 cm sin 30 3 cm Lösungen Seite 8

9 Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) BD r h 6 cm 3 cm 7 cm 6 3 cm cm A BDM h BD 3 cm 6 3 cm 9 3 cm 5.59 cm Berechnung vn A Sektr AMD r 60 ASektr AMD cm 60 6 cm 8.85 cm 360 Berechnung vn A schraffiert A schraffiert A ABC A BDM A Sektr AMD 4 3 cm 9 3 cm 6 cm cm 35 3 cm 7.3 cm Lösungen Seite 9

10 Aufgabe 5 (9 ) Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Vr dem Bau eines hrizntal verlaufenden Tunnels sll seine Länge AB bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird im Tal eine ebenfalls hrizntale Standlinie AC 353 m abgesteckt, die mit der Bergspitze S swie dem Tunneleingang B in einer Vertikalebene liegt. In S werden flgende Winkel gemessen: 6, 40 und 3. Berechnen Sie aus diesen Angaben die Länge AB des Tunnels. Lösung 3 AS AC sin sin AS ACsin sin 353 msin 3 AS 46.7 m sin Lösungen Seite 0

11 Arbeitsblatt zu Aufgabe 5 Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) AB AS sin sin AS sin AB sin 46.7 msin 8 AB m sin 40 Lösungen Seite

12 Aufgabe 6 ( ) Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Gegeben ist ein Dreieck ABC gemäss Skizze. Es gilt: BD BC. 4 Die Krdinaten der Eckpunkte sind A (0 / 0 / 0), B (5 / 3 / ) und C (3 / 6 / 4). a) Berechnen Sie die Grösse des Winkels. b) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Dreiecksfläche ABC. c) Wie lauten die Krdinaten des s D? Lösungen Seite

13 Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) Lösung zu a) AB AC AB AC cs AB AC cs AB AC 5 AB 3 3 AC 6 4 AB AC AB AC cs Lösung zu b) Frmel für Dreiecksflächenberechnung: AB AC A AB AC ABC A ABC 3.84 Lösungen Seite 3

14 Variante über Winkel Technische Berufsmaturitätsprüfung Baselland 005 Mathematik Teil (Mit Hilfsmitteln) A AB ABC h c * h AC sin 6 sin * c A ABC AB hc * Lösung zu c) B (5 / 3 / ), C (3 / 6 / 4), D (x / y / z) BD BC 4 x 5 y 3 4 z 3 3 x 5 y 3 z x 4.5 y z. 75 D 4.5/ 3.75/.75 Lösungen Seite 4