Interaktive Lösung von Tourenproblemen G. Oehm, Bauhaus-Universität-Weimar

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1 Interaktive Lösung von Tourenprolemen G. Oehm, Bauhaus-Universität-Weimar Zusammenfassung Durch Modifiierung des ekannten Savingsalgorithmus mittels fester w. varialer Savingsparameter läßt sich ein interaktiver Zugang ur Lösung des Tourenprolems egründen. Die Resultate des Savingsalgorithmus können dadurch um ca. 8,5% veressert werden. Durch die interaktive Areitsweise ist es möglich, daß speielle Vorgaen eines Nuters und Erfahrungen des Beareiters Berücksichtigung finden. Die durchgeführten Rechnungen lassen erwarten, daß ei der Wahl der Savingsparameter noch Reserven für eine weitere Effiienerhöhung liegen. Vermutlich spielt die Anpassung der Parameter an die Prolemstruktur der gestellten Aufgae eine Rolle. Durch lokale Suche läßt sich die Vielfalt der interaktiven Entscheidungsmöglichkeiten eingrenen und automatisieren. Prolemstellung Die Komplexität des Tourenprolems (Vehicle Routing Prolem) und der daraus resultierende Aufwand ei der Lösung des Prolems macht die Suche nach Heuristiken ur näherungsweisen Lösung mit vertretarem Aufwand interessant. Für die Herstellung von Software ur etrielichen Produktionsplanung tritt daei mitunter die Nachfrage nach einem geeigneten Logistiktool ur Planung der Warenlieferung auf. Die entsprechende Software sollte für den etrielichen Beareiter einfach handhaar sein und es gestatten, Erfahrungen des Beareiters und aktuelle etrieliche Erfordernisse in den Planungsproeß einueiehen. Interaktive Lösungsverfahren sind esonders geeignet, solche Erfordernisse u erücksichtigen. Die Suche nach einem solchen interaktiven Zugang ur Konstruktion einer Heuristik ur Bestimmung einer guten Lösung des Tourenprolems ist Gegenstand dieser Areit. Grundlage unserer Untersuchungen ist die Mehrhirnstrategie von Althöfer /1/. Die Strategie ist so gestaltet, daß dem interaktiven Beareiter des Prolems in jedem Lösungsschritt mehrere Vorschläge ur Weiterareit gemacht und möglichst usätliche Informationen ur Charakterisierung und Bewertung der Vorschläge gegeen werden. Auf der Grundlage dieser Informationen und der eigenen Erfahrung aus der etrielichen Situation und früherer Beareitungen kann nun eine Entscheidung für einen der Vorschläge erfolgen. Da die logistische Situation wie Kundenkreis, Verkehrsnet, Verkehrssituation usw. für die Beareitung oft gleich oder ähnlich u früheren Beareitungsvorgängen ist, können solche Erfahrungen in den Lösungsproeß unmittelar einfließen. Besonderes Augenmerk gilt der Visualisierung von Lösungsschritten, da gerade eim Tourenprolem die anschauliche Beurteilung von Tourvorschlägen interessant ist. Vergleichsgrundlage für unsere Untersuchungen ist der Sequentielle Savings Algorithmus ur Lösung des Tourenprolems. Durch Eineiehung des interaktiven Konepts konnten im Vergleich ur jeweils esten Lösung dieser Heuristik Veresserungen von ca. 8,5% erielt werden. Bei geeigneter Wahl speifischer Verfahrensparameter kann das Ergenis weiter veressert werden.

2 = Interaktivität ei Eindepotprolemen Betrachtet wird ein Tourenprolem in der speiellen Form des Eindepotprolems. Grundlage für die Untersuchungen ist der Sequentielle Savings Algorithmus ur Lösung von Tourenprolemen. Beide Sachverhalte werden hier als ekannt vorausgesett. Bei der nacheinander erfolgenden Bildung von Touren wird die Entscheidung darüer, welcher Ort (wenn möglich)als nächster der Tour am Anfang oder am Ende angeschlossen wird, auf der Grundlage von Einsparungen (Savings) getroffen. Diese Savings ergeen sich als B cb0ib SBij + cb0jb - cbijb Diese Formel wurde von Eckert /2/ durch Aufnahme eines Savingsparameters modifiiert u SBijB = cb0ib + cb0jb - g * cbijb Durch unterschiedliche Wahl dieses Parameters g wird der gesamte Savingsalgorithmus, also auch die Bildung der einelnen Touren, modifiiert. Für unterschiedliche Werte von g sind unterschiedliche Touren und so auch unterschiedliche Tourenpläne als Lösung des Tourenprolems möglich. Die getrennten Lösungswege für jedes g werden nun derart usammengeführt, daß nach jedem Lösungsschritt eine Entscheidung für eine der vorgeschlagenen Touren getroffen und a hier allgemein mit dieser Tour weitergeareitet wird. Alle Orte, welche schon einer akeptierten Tour ugeordnet sind,werden aus der Liste der noch ur Beareitung anstehenden Orte gestrichen. Mit den verlieenen Orten werden neue Tourvorschläge erechnet is die gesamte Liste ageareitet ist (Verfahren der Listenreduktion, Althöfer). Eine erste Information ur Beurteilung der weiteren Ergenisse erhält man, indem das Gesamtprolem einmal für jeden Parameterwert von g is u Ende durchgerechnet wird, aus den Unterschiedlichen Endergenissen für jedes g. Zusammen mit der Menge der Tourorte auf jeder vorgeschlagenen Tour werden auch folgende Zusatinformationen als Bewertungskriterien ausgegeen: Tourlänge Anahl der Orte auf der Tour Genutte Fahreugkapaität Verhältnis der Tourlänge u Anahl der angefahrenen Orte Summe der Entfernungen der Tourorte um Depot Mittlere Entfernung der Tourorte um Depot Verhältnis der Tourlänge ur Summe der Entfernungen der Tourorte Neen diesen Kriterien ur Beurteilung einer geildeten Tour können auch folgende Kriterien ur interaktiven Entscheidungsfindung gl.der Akeptan einer Tour dienen: Größte Entfernung wischen wei noch nicht angefahrenen Orten Oere Schranke für das Endergenis, woei das Prolem für jede vorgeschlagene Tour mit Parameter g=1 u Ende gerechnet wird Eine wichtige Grundlage für interaktives Areiten ildet die Grafische Darstellung der Tourverläufe Wesentlichen Einfluß auf die Ergenisse der Tourenplanung hat die Wahl der Parameter g. In den Untersuchungen von Eckert wurde mit festen und varialen Parametern geareitet. Savingsverfahren mit festen Savingsparametern Für den Parameter g wurde hier mit den festen Werten g { 0,5 ; 0,8 ; 1,0 ; 1,4 ; 1,9 ; 2,4 } geareitet. Daei eigte sich, daß ei Werten g<1 tendeniell Orte mit größeren Entfernungen geildet werden. Bei Werten g>1 werden eher nahe Orte miteinander verunden. Neuere Be-

3 oachtungen eigen, daß mit anderen Zahlenwerten für g essere Resultate erielt werden können. Savingsverfahren mit varialen Savingsparametern Die hier gewählte Strategie ur Auswahl geeigneter Werte für g hat insofern Laorcharakter, als für viele Werte g=0,1 (0,1) 3 vollständige Durchläufe des Savingsalgorithmus erfolgen und schließlich diejenigen Werte aus vorgegeenen Teilintervallen für das interaktive Verfahren verwendet werden, für die sich die jeweils este Lösung erga. Durch diese aufwendige Verfahrensweise sind die Parameter dem Prolem angepaßt. Auch hier eigt sich neuerdings, daß mit anderen Parametern essere Resultate eim interaktiven Areiten erielt werden können. Veresserungsverfahren Um die Effiien der eingesetten Lösungsverfahren weiter u erhöhen, können die Resultate des Savingsalgorithmus veressert werden durch Veresserung der Lösungen mit dem 2-opt- Verfahren, einem Verfahren der lokalen Suche. Eckert verwendet außerdem im Rahmen des Savingsverfahrens sogenannte Savings 2.Ordnung, wie sie von Wagner /3/ vorgeschlagen wurden. Implementierung Zur Untersuchug der Wirksamkeit der Verfahrensweise wurde ein Prolemgenerator ur Ereugung von Testproleme mit Zufallscharakter und ein Programm ur Lösung dieser Proleme aer auch von Benchmarkprolemen mit dem System MATLAB erareitet. Testergenisse des interaktiven Verfahrens ei Eindepotprolemen Die dargestellte interaktive Verfahrensweise ur Lösung von Tourenprolemen wurde von Eckert unter verschiedenen Gesichtspunkten getestet. Daei wurden Beispiele durch den Prolemgenerator ereugt aer auch Benchmarkproleme eareite. Die Resultate sind a.a.o. dargestellt. Wir haen in einer Versuchsreihe eenfalls einen Test durchgeführt. Daei wurden Beispiele unterschiedlicher Dimension sowohl mit dem Verfahren mit festen Parametern als auch mit varialen Parametern eareitet. Die Ergenisse sind gerigfügig esser als die von Eckert dargestellten. Dies könnte auf modifiierte Interaktionen urückuführen sein. Untersucht wurden 78 Beispiele mit quadratisch angeordneter Netstruktur der Dimensionen 5 * 5 is 15 * 15. Sowohl für feste Parameter als auch für variale wurde eine oere Schranke vor Beginn der interaktiven Beareitung (Resultat eines vollständigen Durchlaufs des Savingsalgorithmus mit den einelnen verwendeten Parametern ) erfaßt und anschließend mehrfach durch Interaktivität veressert. Sowohl die oeren Schranken am Anfang als auch die Resultate der Interaktion wurden ins Verhältnis gesett ur Lösung des klassischen Savingsalgorithmus (g = 1). Beeichnet man mit: SA: Ergenis des Savingsalgorithmus ( 100%) OSFP: anfängliche oere Schranke für feste Parameter IAFP: Ergenis für feste Parameter nach interaktiver Veresserung OSVP: anfängliche oere Schranke für variale Parameter IAVP: Ergenis für variale Parameter nach interakt. Veresserung so läßt sich qualitativ feststellen unahängig von der Prolemdimension:

4 OSFP IAFP OSVP IAVP, wie aus A. 1 ersichtlich ist. Die Volatilität liegt sicher am geringen Umfang der Statistik Verhältnis der durch Interaktivität erielten Tourenplanlängen u den Resultaten des sequentiellen Savingsverfahrens in Ahängigkeit von der Prolemdimension 100% 98% 96% 94% OSFP : SA IAFP : SA OSVP : SA IAVP:SA 92% 90% 88% A.1 5*5 6*6 7*7 8*8 9*9 10*10 11*11 12*12 13*13 14*14 15*15 Prolemdimension Sett man die restlichen Größen ins Verhältnis u SA, dann läßt sich das Ergenis für diese Beispiele auch quantitativ eiffern, wie A.1 für unterschiedliche Prolemgrößen und usammengefaßt A. 2 eigen. Verhältnis der erielten Resultate u den Ergenissen des sequentiellen Savingsverfahrens 100% 100,00% 98% 96% 94,69% 94% 92% 93,06% 92,55% 91,72% 90% 88% SA OSFP : SA IAFP : SA OSVP : SA IAVP:SA A. 2

5 P Strategien ; giltb ) EBiB P Lokale Suche Die interaktive Areit ur Suche nach einer guten Lösung für das Tourenprolem, wie sie dargestellt wurde, hat geeigt, daß in fast allen Fällen nur ein speielles Vorgehen ur esten erreicharen Lösung führte. Von den oen angeführten Bewertungskriterien wurden daei die Endergenisse ei vollständigem Durchrechnen des Beispiels mit jedem der sechs Parameter; OS = ( osb1b,osb2b,...,osb6b ) und die Endergenisse eim Zuenderechnen der aktuellen Tourenildung mit dem Savingsalgorithmus mit g=1; OS1 = ( os1b1b,os1b2b,...,os1b6b ) genutt. Die grafische Darstellung der Touren lie daei aer uneachtet. Der Vektor OS steht am Anfang der Rechnung fest. Der Vektor OS1 wird in jeder Stufe neu erechnet. Jede interaktive Lösungsstrategie ist somit ein Vektor S von Entscheidungen EBiB. S = (EB1B ; EB2B... ; EBnB : {1,2,...,6}, n: Anahl der Touren Nach unserer Beoachtung erhält man diese vermeindlich este Lösungsstrategie S derart, daß in jeder Stufe i für EBiB B: min {osb1b,osb2b,...,osb6b,os1b1b,os1b2b,...,os1b6b} = min { osbeib ; os1beib } Der Proeß läßt sich also weitestgehend automatisieren, der interaktive Charakter leit daei aer erhalten. In jeder Entscheidungsstufe wird aus sechs Vorschlägen für eine Tour, wenn auch automatisiert, ausgewählt! Um deutlich u machen, daß die erwähnte Strategiesuche wirklich günstig ist, haen wir eine Testreihe gestartet, ei der auf der eschrieenen Grundlage eine lokale Suche stattfindet. Der Suchalgorithmus eieht sich auf eine Nacharschaft der esten Lösungsstrategie.Die etrachtete Nacharschaft läßt sich gro so charakterisieren, daß u jeder esten Entscheidung () auch die jeweils weiteste () in jeder Stufe (in der ersten Entscheidungsstufe auch die dritteste (d)) festgehalten wird. Dadurch wird ein Entscheidungsaum egründet, der nachfolgend erweitert wird. Jeder Weg von der Wurel u einem Blatt in diesem Baum entspricht einer Strategie als Folge von Entscheidungen. Anfangs hat der Baum exemplarisch für eine fünfstufige Entscheidung folgende Gestalt: d Er enthält in diesem Stadium nur eine konkrete Strategie; die este ; und Anfänge weiterer enacharter Strategien. Bei weiteren Durchläufen des interaktiven Algorithmus werden die ereits angelegten Strategien, soweit schon im Entscheidungsaum vorgegeen, realisiert und danach mit esten Entscheidungen vervollständigt. Auf diese Weise wird eine speielle Nacharschaft der anfangs esten Lösung ageareitet. Diese Nacharschaft esteht aus (n-1) 3 * 2P (n: Zahl der Touren). Beschräkt man sich ei der jeweils letten Entscheidung einer Strategie auf die este Wahl, so werden 3 * (n-2) 2P

6 Nacharschaftsstrategien untersucht. Bisherige Untersuchungen eigen, daß innerhal dieser definierten Nacharschaft die Anfangsstrategie schon die este Lösung liefert. Nur selten sind gleichwertige Lösungen u finden; essere naheu nie. Eine auswertare Statistik wird dereit untersucht. Interaktivität ei Mehrdepotprolemen Auch für Mehrdepot-Tourenproleme sind interaktive Zugänge möglich. Ansatpunkte für interaktives Eingreifen in den Lösungsproeß können hierei Zuordnung der Kunden u den Depots (Clusterung) und Optimierung der einelnen Touren für jedes Depot (Eindepotproleme) sein. Eckert eigt auch hierfür Ansatmöglichkeiten und erichtet üer Erfahrungen. Besonders die nachträgliche Veränderung der Zuordnung der Kunden u den Depots auf der Grundlage eines erechneten Tourenplanes ietet einem Beareiter eine gute Grundlage für die Berücksichtigung etrielicher Vorgaen und eigener Erfahrungen ei der Suche nach geeigneten Lösungen. Literatur /1/ Althöfer, Ingo: 13 Jahre 3-Hirn;Meine Schach-Experimente mit Mensch-Maschinen- Komination; /2/ Eckert, Toias : Interaktive Lösungsstrategien für Tourenproleme. FSU Jena /3/ Wagner, Ralf : Tourenplanung mit Umladen. FSU Jena 1998.

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