Lineare Räume. 1) Vektor-Räume. 2) Normen, Konvergenzen, Banachräume. 3) Hilbert-Räume. 4) Strukturen: Direkte Summe; Tensor-Produkt.

Transkript

1 A Lieare Räume 1) Vektor-Räume 2) Norme, Kovergeze, Baachräume 3) Hilbert-Räume 4) Strukture: Direkte Summe; Tesor-Produkt 5) Dualräume 6) Itegratio ud Maß 1

2 1) Vektor-Räume 1.1. Def: Ei (komlexer) Vektorraum ist eie Mege vo Elemete { ψφχ,,...} für die folgedes gilt: Es ist eie Additio erklärt: ψ, φ! ψ+φ, Eigeschafte: Assoziativität ψ+ ( ϕ+χ ) = ( ψ+ϕ ) +χ Nullvektor ψ+ 0 =ψ iverse (egative) Elemete ψ + ( ψ ) = ( ψ ) + ψ = 0 Kommutativität ψ+ϕ=ϕ+ψ Es ist eie Multilikatio mit (komlexe) Zahle erklärt: ψ, a : aψ 2

3 Eigeschafte der Multilikatio: 1ψ=ψ Assoziativität (a b) ψ= a(b ψ ) Distributivität i de Vektore a( ψ+φ ) = aψ+ aφ Distributivität i de Skalare (a + b) ψ= aψ+ bψ 1.2. Beisiele Lösugsmege eier homogee lieare Dgl., 1 [a,b]...stetige Fuktioe auf dem Itervall [a,b] (M)... Fuktioe f(x) auf eier messbare Mege M, für die itegrierbar ist. f 3

4 1.3. Def. Ei Teilraum eies Vektorraumes ist eie Teilmege, die selbst ei Vektorraum ist, d.h. abgeschlosse uter Additio ud Multilikatio mit Skalare Beisiele Stetige Fuktioe [a,b] 2 [a,b] Stetige Fuktioe mit komaktem Träger ( ) 2 o ( ) 2 2 [a,b] ( ) 1.5. Def. Teilraum, Quotieteraum = = { ψ+ } = {Hyerfläche} Beisiel: = = { = } 2 ( ), f f(x) 0 f.ü., 2 = 2 ( )/ L( ) 4

5 2) Kovergez, Norm, Baachraum 2.1. Def. Eie Metrik ist eie reellwertige Fuktio vo Paare vo Elemete eies Raumes, ψϕ, d( ψϕ, ), mit de Eigeschafte: a) icht egativ d( ψϕ, ) 0 b) ositiv defiit d( ψϕ, ) = 0 da ud ur da, we ψ=ϕ c) symmetrisch d( ψϕ, ) = d( ϕψ, ) d) Dreiecksugleichug d( ψχ, ) d( ψϕ, ) + d( ϕχ, ) 2.2. Beisiele Komlexe Zahle, d(w, z) = w z Shärische Geometrie, Abstad zweier Pukte auf der Kugeloberfläche = Läge des kürzeste Großkreis-Segmets, das die zwei Pukte verbidet 5

6 2.3. Defiitio Ei Vektorraum heißt ormiert, we ψ eie Norm ψ defiiert ist, eie Zahl mit de Eigeschafte: a) reell, icht egativ b) Nur der Nullvektor hat Norm Null c) Liearität im Vorfaktor aψ = a ψ d) Dreiecksugleichug ψ+ϕ ψ + ϕ 2.4. Satz: Jede Norm defiiert eie Metrik; d( ψ, ϕ ): = ψ ϕ 2.5. Beisiele a) komlexe Zahle, mit Norm := Absolut-Betrag der Zahl 2 2 z = z = (Re(z)) + (Im(z)) 6

7 b) c),, Euklidische Läge ψ= (z 1,z 2,...z ),, 1, (z 1,z 2,...z,...) ψ = z + z z 1 2 ψ=, ( ) 1/ { 1 2 } ψ = , z1 z 2... z... ψ = max z, z,... z,... ; Für =2 ist dieser Raum ist die uedlichdimesioale Verallgemeierug des Beisiels b). d) (M, dμ); itegrable Fuktioe über dem Maßraum M, (x) d 1/. (Zu Maß ud Itegral siehe Kaitel 6.) M ψ = ψ µ Dreiecksugleichug die Mikowski-Ugleichug e) Stetige Fuktioe mit der Suremums-Norm 7

8 Norm Metrik Toologie 2.6. Defiitio: Kovergez, Stetigkeit Eie Folge ψ ist koverget, we ψ : ψ ψ 0 bei ; Eie Kurve ψ t ist stetig bei s, we ψs ψt 0 bei t s. Schreibweise: ψ ψ, ψt ψ s 2.7. Beisiele Diffusio im Limes t : Im x-raum Kovergez vo ρt gege Null uktweise ud i jedem L mit > 1. Aber die 1-Norm ( = 1) ist zu 1 jeder Zeit gleich 1. Also keie Normkovergez im L. Die Fouriertrasformierte ist immer 1 im Ursrug, sost kovergiert sie uktweise gege Null, kovergiert gege Null-Vektor i jedem L mit <. Diffusio im Limes t 0: Keie Kovergez der Gree-Fuktio im. L Klassischer Limes der Grudzustads-Wellefuktio des harmoische Oszillators: Kovergez gege Nullvektor i jedem L mit 1 < 2; keie Kovergez für 2. 8

9 2.8. Def. Eie vektorwertige Kurve ψ t heißt bei s differezierbar, we ψs ψt ϕ : ϕ bei t s... s t 2.9. Beisiele L 2 ( ), Fuktio mit Kick wird verschobe, ψ t (x) =ψ (x t). So eie Kurve ist differezierbar. Obige Kurve ist icht zweifach differezierbar, de Verschiebe eier Fuktio mit Srug gibt eie icht differezierbare Kurve vo Vektore. 9

10 2.10. Def. (Wiederholug) Mege der Fuktioe, die fast überall gleich Null sid, bilde eie Teilraum des Raumes der itegrierbare Fuktioe. Bilde de Quotieteraum. So etstehe Räume, z.b. L, dere Elemete geaugeomme icht Fuktioe sid, soder Äquivalezklasse vo Fuktioe Def. ψ ist eie Cauchyfolge, we ε > 0 N m > N, > N : ψ ψ < ε { } Satz Jede kovergete Folge ist eie Cauchyfolge Def. Ei Raum, i dem jede Cauchyfolge kovergiert, heißt vollstädig. Ei vollstädiger ormierter Raum heißt Baachraum. m 10

11 2.14. Bemerkug Aalog zur Vervollstädigug der Mege der ratioale Zahle zur Mege der reelle Zahle ka ma jede ormierte Vektorraum vervollstädige. Ma ka formal jeder Cauchyfolge ei Limeselemet zuorde. So erhält ma durch Vervollstädigug eies Raumes vo Riema-itegrable eie Raum vo Lebesgue-itegrable Fuktioe. Hier idetifiziert ma alle die Fuktioe, für die das agegebee Itegral L ist daher, Null ergibt, mit dem Nullvektor. Jeder Vektor im geaugeomme, icht eie Fuktio, soder eie Klasse vo Fuktioe, die miteiader fast überall idetisch sid. Ei extremes Beisiel: Eie Fuktio, die ur auf ratioale Zahle ugleich Null ist, reräsetiert de Nullvektor im L (,dx), für jedes. 11

12 2.15. Def. Ei Teilraum heißt dicht, we jedes Elemet vo Limes eier Folge vo Elemete vo ist Beisiele a) Der Weierstraßsche Aroximatiossatz: Polyome liege dicht im [a,b] mit der Suremumsorm. f = max f (x) b) S( ), die Schwartzsche Klasse, ist dicht i L ( ), für jedes edliche. m S( ) = f (x) ( m,) { 0,1,2,... }: su x xf (x) < x c) 0( ), stetige Fuktioe mit komaktem Träger, dicht im L ( ), we < x [ a,b] 2.17.Satz dicht i U ud U dicht i dicht i. Folgerug: Polyome sid dicht i jedem L [a,b] 12

13 3) Hilbert-Räume 3.1. Def: Ieres Produkt Für jedes Paar ψ, φ vo Vektore aus gibt es eie Zahl ψφ, das iere Produkt, mit de Eigeschafte a) ψψ 0 b) ψψ= 0 ψ = 0 c) ψϕ * = ϕψ d) ψ z ϕ = z ψϕ e) ψϕ+χ = ψϕ + ψχ 3.2.Def: Orthogoalität ψ ϕ ψϕ= 0 13

14 3.3. Satz: Die Schwarzsche Ugleichug (Cauchy-Buyakovsky-Schwarz) Beweis: 2 ψϕ ψψ ϕϕ ψ = ϕψ ϕϕ ϕ ud ψ =ψ ψ ; Zerlege ψ i ( ) da ist ϕψ = 0; bereche ψψ = ψ ψ + ψ ψ ψ ψ = ϕψ ϕϕ 3.4. Satz ud Def: Ieres Produkt defiiert Norm 2 ψ : = ψψ Es gilt der Satz vo Pythagoras: ϕ ψ ϕ+ψ = ϕ + ψ 14

15 a) 3.5. Beisiele v w = v k*w k= 1 k b) 2 ψ ϕ = ψ * ϕ k= 1 k k c) 2 L (M, dμ) ψ ϕ = ψ* ϕ dµ M 3.6. Satz: Ieres Produkt ist stetig ψm ψ, ϕ ϕ m 3.7. Def: Hilbertraum ψ ϕ ψϕ Ei Vektor-Raum mit ierem Produkt, der vollstädig ist, heißt Hilbertraum. 15

16 Bemerkug: Ei Hilbertraum ist ei sezieller Baachraum 3.8. Def: Basis, VONS Basis = Vollstädiges Orthoormalsystem { e } mit de Eigeschafte:, eie Mege vo Vektore a) Basisvektore sid ormiert, e = 1 b) verschiedee sid zueiader orthogoal. e m e = δ m, c) Jeder Vektor i ka vollstädig i Komoete zerlegt ud als Liearkombiatio vo Basisvektore dargestellt werde ψ { } ψ =, a : ae (= lim N a e im -dim. ) N = 1 16

17 3.9. Def: Totale Mege, Lieare Hülle, searabel Totale Mege vo Vektore......die Mege der Liearkombiatioe vo Elemete dieser Mege ist ei dichter Teilraum vo. Lieare Hülle... Abschluss des Teilraums der Liearkombiatioe heißt searabel, we es eie totale Teilmege gibt, die abzählbar ist. Bemerkug: I der Physik: immer searable Hilberträume 2 : Beisiele ϕm = (δm,) ist abzählbare totale Mege ud Basis Die Poteze x sid total im L 2 [a,b]; das folgt aus dem Weierstraßsche Aroximatiossatz 2.16 a, kombiiert mit dem Satz Satz ud Def: Existez eier Basis. Dimesio. Jeder Hilbertraum besitzt eie Basis. Dere Mächtigkeit (=Azahl der Elemete) ist eideutig; sie heißt Dimesio des Raumes. 17

18 Gram-Schmidt-Verfahre zur Orthogoalisierug eier abzählbare Mege vo Vektore, φ1...φ..., die alle liear uabhägig vo eiader sid (es gibt keie Liearkombiatio, die Null ergibt); defiiere e 1 := ϕ1 ϕ 1 ϕ e ϕ e 2 : = ϕ e ϕ e : 3 e e ϕ e ϕ e e ϕ e =... ϕ ϕ ϕ e e e e Ist diese Mege total, da wird mit diesem Verfahre eie Basis erzeugt. 18

19 3.12. Lemmata: Besselsche Ugleichug; Kürzugsregel {e} ei ONS, (icht otwedigerweise vollstädig), a= e ψ, da ist 2 2 a ψ ; {ϕ} eie totale Mege, ϕ ψ = 0 für alle, da ist ψ = Etwicklugssatz Jedes totale ONS {e} ist vollstädig. Jeder Vektor ist eideutig ach dieser Basis zu etwickel. ψ= ae, a= e ψ Bemerkug: So wird jeder searable Hilbertraum isomorh zum ( Isomorh heißt hier: es gibt eie umkehrbare ormtreue Abbildug zwische de Räume.) Parsevalsche Gleichug 2 2 {e} VONS a = ψ für a= e ψ 2. 19

20 3.15. Kriterie für die Vollstädigkeit eies ONS a) Kürzugsregel gilt b) Parseval gilt c) Etwicklug ist möglich d) System ist total e) total i dichter Teilmege Beisiele Legedre-Polyome, (im Bild icht ormiert) Hermite-Polyome Harmoischer Oszillator, Fourier-Reihe 20

21 3.17. Def. ud Lemma: Orthogoaler Teilraum M sei eie Teilmege M ist die Mege aller zu M orthogoale Vektore bildet eie abgeschlossee Teilraum Satz ud Def: Projektio ei abgeschlosseer Teilraum, ψ beliebig Eideutige Zerlegug: ψ = ψ + ψ, mit Projektio vo ψ auf ψ Beisiele. Gerade Fuktioe / Ugerade Fuktioe Lokalisierug: Fuktioe mit Träger auf eier Teilmege, / Träger im Komlemet Gebudee Zustäde eies Teilches i eiem Potetial / freie Zustäde 21