Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellbildung am

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1 Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Modellbildung am Arbeitszeit: 10 min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 1 3 erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein,... rechnen Sie die Aufgaben auf separaten Blättern, nicht auf dem Angabeblatt,... beginnen Sie für eine neue Aufgabe immer auch eine neue Seite,... geben Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an und... begründen Sie Ihre Antworten ausführlich. Viel Erfolg!

2 1. Gegeben ist das in Abbildung 1 dargestellte mechanische System. Eine Last L 10 P. (Masse m L ) wird auf einer schiefen Ebene (Winkel φ) mithilfe eines Seiles nach oben gezogen. Zwischen der Last und der schiefen Ebene tritt trockene Gleitreibung mit dem Gleitreibungskoeffizienten µ C auf. An der frei beweglichen Rolle R (Masse m, Trägheitsmoment θ, Radius r ) wirkt die externe vertikale Kraft F. Zwischen der Last L und der Rolle R befindet sich die drehbar und reibungsfrei gelagerte Seiltrommel R 1 (Position fest, Masse m 1, Trägheitsmoment θ 1, Radius der äußeren Seiltrommel r 1, Radius der inneren Seiltrommel r ). Zum Zeitpunkt t 0 besitzt die Last L die Geschwindigkeit v 0 (bergauf). Über die Kraft F soll die Last L innerhalb der Wegstrecke s auf die Geschwindigkeit v 1 beschleunigt werden. Die Radien r 1 sowie r der Seiltrommel R 1 können als konstant und die Seile als masselos angenommen werden. Betrachten Sie die folgenden Größen als gegeben: s, v 0, v 1, m L, m 1, m, θ 1, θ, r 1, r, φ, µ C. g R 1 r 1 v 1 r s v 0 L φ R F r Abbildung 1: Schiefe Ebene mit Seilzug. a) Berechnen Sie die kinetische Energie T des Systems. 3 P. b) Bestimmen Sie die dissipative Energie W welche während des Verschiebens der 1 P. Last L um die Strecke s in Wärme umgewandelt wird. c) Berechnen Sie die potentielle Energie V des Systems zum Zeitpunkt t 1. Das P. Bezugsniveau soll dabei so gewählt werden, dass die potentielle Energie der Last L sowie der Rolle R zum Zeitpunkt t 0 Null ist. d) Bestimmen Sie die Arbeit welche durch die konstante (und für diesen Unter- 1 P. punkt als bekannt betrachtete) Kraft F beim Verschieben der Last L um die Wegstrecke s verrichtet wird. e) Berechnen Sie die zeitlich konstante Kraft F, welche die Last L mit der An- 3 P. fangsgeschwindigkeit v 0 innerhalb der Wegstrecke s auf die Geschwindigkeit v 1 beschleunigt. Dies kann mithilfe der zuvor berechneten Energien durchgeführt werden.

3 Lösung: a) ω R1 = v r b) c) d) e) F = r ( v1 v0 m L sr 1 T = m Lv +m v R (t 1 ) v R (t 0 ) v R = v r 1 r ω R = v r 1 r + θ 1ω R1 + θ ω R W = sµ C m L g cos φ V (t 0 ) = 0 + m v R V (t 1 ) = m L gs sin φ m gs r 1 r W F = Fs r 1 r T(t 0 ) + V (t 0 ) + W F W = T(t 1 ) + V (t 1 ) + θ 1 ω R1 (t 1 ) ω R1 (t 0 ) ω R (t 1 ) ω R (t 0 ) + θ ) + m L gs(sin φ + µ C cos φ) m gs r 1 r 3

4 . Ein Stab S (Masse m s, Trägheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt θ s, Schwer- 10 P. punktsabstand l s ) ist, wie in Abbildung dargestellt, im Gelenk D auf einer Seiltrommel T (Trägheitsmoment θ t, Radius r) drehbar gelagert montiert. Zusätzlich befindet sich zwischen dem Stab S und der Seiltrommel T eine Drehfeder mit der Federsteifigkeit c 1 und der entspannten Lage (α = 0, β = 0). Die Seiltrommel T ist im Koordinatenursprung 0 drehbar gelagert. Über ein Seil und eine lineare Feder (Federsteifigkeit c, entspannte Länge l c = l c,0 ) ist die Last L (Masse m L ) mit der Seiltrommel T verbunden. An der Last L wirkt eine externe Kraft F e in negativer y- Richtung. Der Radius r der Seiltrommel kann als konstant und das Seil als masselos angenommen werden. Die Reibung in den Drehgelenken kann vernachlässigt werden. Betrachten Sie die folgenden Größen als gegeben: r, l c,0, l s, m L, m s, θ s, θ t, c 1, c. r y α 0 x c 1 D l s T β S l c c g L F e Abbildung : Seiltrommel mit elastisch angebundener Last. a) Berechnen Sie die Position des Stabschwerpunktes als Funktion von α und β 1 P. sowie dessen zeitliche Ableitung. b) Bestimmen Sie die kinetische Energie T des Systems. 3 P. (sin x cos y cos x sin y = sin(x y)) c) Berechnen Sie die potentielle Energie V des Systems. (Das Bezugsniveau zur P. Berechnung der potentiellen Energie der Last L kann beliebig gewählt werden) d) Bestimmen Sie die generalisierten Kräfte τ. P. (Für die generalisierten Koordinaten α, β und l c ) e) Schreiben Sie die Lagrange-Funktion L sowie die Euler-Lagrange Gleichungen P. an. Führen Sie die Differentiation der Euler-Lagrange Gleichung nicht durch! 4

5 Lösung: a) b) c) x s = r cos α + l s sin β y s = r sin α l s cos β ẋ s = r α sin α + l s β cos β ẏ s = r α cos α + l s β sin β r s = [x s y s ] T v s = r T s r s = r α + l s β rl s α β sin(α β) T = θ t α + θ s β + m s V g = m L g(c l c rα) + m s gy s, vs + m (r α + l c ) L (β α) (l c l c,0 ) V f = c 1 + c V = V g + V f c konst d) Vektor zum Kraftangriffspunkt p f = [ r rα l c c] T F e = [0 F e ] T τ α = F e T p f α = rf e τ β = F e T p f β = 0 e) τ lc = F e T p f l c = F e L = T V ( ) d L L dt α α = τ α ( ) d L dt β L β = 0 ( ) d L dt l L = τ lc c l c 5

6 3. In Abb. 3 ist die vereinfachte Skizze eines integrierten Spannungsreglers (IC) mit 10 P. Wasserkühlung zu sehen. Für eine Eingangsspannung U e [U e,min, U e,max ] liefert der lineare Spannungsregler am Ausgang die konstante Spannung U a. Die angeschlossene Last zieht einen Gleichstrom I a. Der gleiche Strom fließt auch eingangsseitig. Aus dem Datenblatt des Spannungsreglers ist der thermischen Widerstandswert R SB zwischen Sperrschicht und Basisplatte bekannt. Die Basisplatte hat eine Masse m B und eine spezifische Wärmekapazität c B. Die Wärmeübertragung über das Kunststoffgehäuse und die elektrischen Anschlusskontakte sei vernachlässigbar klein. Um die Kühlung zu verbessern, wird ein Kühlkörper mit der Länge l K, der Breite b K und der Höhe h K aufgeschraubt. Das Material des Kühlkörpers besitzt die Dichte ρ K sowie die spezifische Wärmekapazität c K. Durch die Verwendung von Wärmeleitpaste wird zudem der Übergangswiderstand zwischen Basisplatte und Kühlkörper im Vergleich zu einem Luftspalt deutlich reduziert. Die Paste hat eine Wärmeleitfähigkeit von λ P und wurde auf einer Fläche A P mit einer Dicke h P aufgetragen. Zur besseren Kühlung wird der Kühlkörper von einem Fluid (z.b. Wasser) mit der Temperatur T und der Geschwindigkeit u angeströmt. Wärmeströme in die Umgebungsluft können gegenüber den Wärmeströmen durch die Wärmeleitpaste und zwischen Kühlkörper und Fluid vernachlässigt werden. Die Temperaturverteilungen in der Basisplatte und im Kühlkörper können jeweils in alle Richtungen als homogen betrachtet werden. Fluid u T l k Kühlkörper Anschlusskontakte Sperrschicht Kunststoffgehäuse Abbildung 3: IC mit Wasserkühlung h k Wärmeleitpaste Basisplatte Substrat a) Welches physikalische Prinzip bestimmt die Wärmeübertragung zwischen Kühl- 1 P. körper und Fluid? Um welchen Typ Randbedingung für das Wärmeleitproblem im Kühlkörper handelt es sich dabei? b) Zeichnen Sie das RC-Ersatzschaltbild des Wärmeleitproblems und beschriften 3 P. Sie die einzelnen Elemente. Geben Sie die Ersatzelemente des ICs, der Wärmeleitpaste und des Kühlkörpers in Abhängigkeit der gegebenen Größen an. c) Der Hersteller der Wärmeleitpaste ist an der zeitlichen Änderung des Wärme- 4 P. stroms durch die Pastenschicht zufolge sich ändernder Eingangsspannung interessiert. Stellen Sie die beschreibende Differentialgleichung auf. Die Gleichung kann auch im Laplace-Bereich angegeben werden. Wie groß ist der stationäre Wärmestrom für eine konstante Eingangsspannung U e > U a? d) Wie groß darf der Wärmeübergangswiderstand zwischen Kühlkörper und Fluid P. höchstens sein, so dass die Sperrschicht-Temperatur des ICs den Wert T S,max stationär nicht überschreitet? 6

7 Lösung: a) Das Prinzip heißt erzwungene Konvektion. Es handelt sich um eine Randbe- 1 P. dingung dritter Art, also eine gemischte Randbedingung. b) Skizze s. auch im Skriptum. Die Elemente folgen zu 3 P. T S R SB T B R BK T K R KF T F P in C B C K Abbildung 4: RC-Ersatzschaltbild zur Wasserkühlung. P in = I a (U e U a ) (1) R SB = gegeben () C B = m B c B (3) R BK = h p λ p A p (4) C K = m K c K = ρ k l K b K h K c K (5) c) Die Ausgangsgleichungen sind die Knoten- und Maschengleichungen 4 P. Damit kann sc B T B = Q SB Q P (6) sc K T K = Q P Q KF (7) R KF Q KF = T K T F (8) Q P R BK = T B T K (9) Q SB R SB = T S T B (10) Q SB = P in (11) Q P = (C K R KF s + 1)P in C B T F s (C B C K R BK R KF s + s(c B R BK + C B R KF + C K R KF ) + 1) (1) berechnet werden. Stationär gilt natürlich Q P = P in d) Der Widerstand R KF zwischen Kühlkörper und Fluid folgt aus der gemittelten P. Wärmestromdichte, was hier aber nicht relevant ist. Aus stationärer Lösung des Wärmeleitproblems folgt P in = und damit für den Widerstand T S T F R SB + R BK + R KF (13) R KF,max T S,max T F P in R SB R BK. (14) 7