THEMA: Bruchzahlen und Dezimalzahlen

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1 THEMA: Bruchzahlen und Dezimalzahlen Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Bruch Zähler Nenner Bruchstrich echter Bruch unechter Bruch Z mit Z als Zähler und N als Nenner, N ein Bruch ist eine Zahl, die eine Division, also eine Geteilt-Aufgabe darstellt. Oberer Teil des Bruches. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile ausgewählt werden. Unterer Teil des Bruches. Der Nenner gibt an, in wie viel gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Steht zwischen Zähler und Nenner eines Bruches und kann als geteilt durch verstanden werden. (Zähler):(Nenner) der Zähler ist kleiner als der Nenner (Zähler < Nenner) der Zähler ist größer als oder gleich groß wie der Nenner (Zähler Nenner) 2 5 ; = 6:65 ; = (3+7):(1+4) ; ; oder auch 3 3 Scheinbruch Der Bruch kann als ganze Zahl dargestellt werden. 3 3 =1; 6 3 =2 gemischte Zahl Einen unechten Bruch kann man auch als gemischte Zahl schreiben, 1 1 sofern er kein Scheinbruch ist. Die gemischte Zahl besteht aus einer 1 = 1+ = ganzen Zahl und einem echten Bruch = + = 3 + =

2 Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Bruchzahl Verschiedene Brüche können denselben Punkt auf der Zahlengerade bezeichnen; die verschiedenen Brüche dort haben denselben Wert. Sie bezeichnen die gleiche Bruchzahl = = Stammbruch ein Bruch, dessen Zähler 1 ist 1 2 ; 1 7 ; Grundform ein Bruch, den man nicht mehr kürzen kann 1 7 ; 4 5 ; 2 7 gleichnamige Brüche sind Brüche, die den gleichen Nenner haben 5 8 und 7 8 ; 1 3 und 15 3 Kehrbruch bilden vertausche Zähler und Nenner der Kehrbruch von 5 8 ist 8 5 Prozent Eine andere Schreibweise für Brüche mit dem Nenner 100. Menge der rationalen Zahlen Alle positiven und alle negativen Brüche und die Zahl 0, alle Zahlen, die man als Bruch schreiben kann. 1% = 1 53 ; 53 % = Erweitern eines Bruches Zähler und Nenner werden mit der gleichen (von Null verschiedenen) Zahl multipliziert. Der Wert des Bruches ändert sich nicht! Der Punkt auf dem Zahlenstrahl ändert sich nicht! Sie bezeichnen die gleiche Bruchzahl.

3 Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Kürzen eines Bruches Zähler und Nenner werden durch die gleiche (von Null verschiedene) Zahl dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich nicht! Der Punkt auf dem Zahlenstrahl ändert sich nicht! Es handelt sich um die gleiche Bruchzahl. Dezimalzahl oder Dezimalbruch eine Zahl mit Komma, andere Schreibweise für einen Bruch, der eine Zehnerstufenzahl als Nenner hat. 3 0,3 10 = ; 6 0, = ; 720 7, = ; 3,0 = 3 Dezimalen Nachkommastellen, die Ziffern hinter dem Komma 2,71 71 sind die Dezimalen Periodische Dezimalzahl Eine Dezimalzahl, die ein oder mehrere Dezimalen hat, die sich ständig wiederholen. Alle Ziffern, die unter dem Periodenstrich sind, wiederholen sich immer. 1 7 = 0, =0, (Rein periodischer Dezimalbruch) 2, = 2,3456 (gemischt periodischer Dezimalbruch) Man spricht: zwei Komma drei vier Periode fünf sechs Thema: Relative Häufigkeit, Zufall Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Zufallsexperiment ist ein Experiment, dessen Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Würfeln, eine Münze werfen Absolute Häufigkeit Zähle, wie oft etwas eingetreten ist. 15 Schüler kommen mit dem Bus zur Schule. Relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit geteilt durch Gesamtzahl 15 von 25 Schülern kommen mit dem Bus zur Schule relative Häufigkeit = = 60%

4 Thema: Flächen- und Rauminhalte Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Höhe eines Dreiecks Die Höhe eines Dreiecks entsteht durch das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite. Jedes Dreieck hat 3 Höhen (h a, h b, h c ). Parallelogramm Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind. Höhe eines Parallelogramms Die Lotstrecken zwischen den jeweils parallelen Seiten. Die Abstände der gegenüberliegenden Seiten.

5 Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Trapez Ein Viereck, das zwei parallele Seiten hat. Grundlinien des Trapezes die zueinander parallelen Seiten eines Trapezes, linke Zeichnung: a und c rechte Zeichnung: b und d gleichschenkliges Trapez Höhe h eines Trapezes ein achsensymmetrisches Trapez. Die Symmetrieachse geht durch die Seitenmittelpunkte der Grundlinien. der Abstand zwischen den Grundlinien, in der Zeichnung rot eingetragen Vielecke z.b. Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Figur ein zweidimensionales Objekt, 2-D, auf Papier zu zeichnen z.b. ein Quadrat Körper ein dreidimensionales Objekt, 3-D, muss man bauen, was Räumliches z.b. ein Würfel Prisma Ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche exakt gleich sind. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Deckfläche Grundfläche

6 Fachbegriff Erklärung (Fachsprache, Umgangssprache) Beispiel/Zeichnung Mantelfläche M eines Prismas oder Mantel M des Prismas Alle Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche (Summe der Inhalte der Seitenflächen) Höhe h eines Prismas Der Abstand von Grund- und Deckfläche Netz eines Körpers Oberflächeninhalt O eines Prismas Der Körper wird entlang einiger Kanten aufgeschnitten und flach auf den Tisch gelegt. alle Flächen liegen vor uns auf dem Tisch Der Flächeninhalt des Netzes eines Prismas. Alle Flächen, die angemalt werden können. O = 2 Grundfläche + Mantelfläche Schrägbild Volumen V, Rauminhalt Der Körper wird so gezeichnet, dass man ihn sich räumlich vorstellen kann. Parallele Seiten bleiben parallel, nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt gezeichnet. Nur die Kanten der Flächen, auf die man gerade draufsieht, behalten ihre Länge, die anderen werden verkürzt. Die Größe des voll ausgefüllten Raumes, wie viel man in ein Gefäß maximal hineinschütten kann

7 Umrechnungstabelle für Volumeneinheiten: Die Umrechungszahl für aufeinanderfolgende Einheiten ist Einheit Umrechnung Einheit Umrechnung 1 mm³ 1 mm³ 0,001 cm³ 1 cm³ 1000 mm³ 1 Milliliter (ml) 1 cm³ 0,001 dm³ 1 dm³ 1000 cm³ 1 Liter (l) 1 dm³ 0,001 m³ 1 m³ 1000 dm³ 1 m³ 0, km³ 1 km³ m³ Außerdem: 1 cl (Zentiliter) = 0,01 l = 10 cm³ 1 hl (Hektoliter) = 100 l = 100 dm³ = 0,1 m³ Prozentrechnung PW PS GW PW = GW PS mit GW: Grundwert, PS: Prozentsatz (z.b. 5%), PW: Prozentwert Schlussrechnung je mehr, desto mehr. je mehr, desto weniger.

8 Gesetze und Regeln (6. Klasse) Der Nenner eines Bruches darf nie Null sein, der Zähler schon. Ist der Zähler eines Bruches Null, dann ist der Wert des Bruches Null. Jeder Quotient lässt sich als Bruch schreiben, d.h. 3:4 bedeutet dasselbe wie mit Bruchstrich 3 4. Erweitern eines Bruches: Multipliziere Zähler und Nenner mit der gleichen (von Nullverschiedenen) Zahl, der Wert des Bruches ändert sich nicht! Kürzen eines Bruches: Dividiere Zähler und Nenner durch die gleiche (von Null verschiedenen) Zahl, der Wert des Bruches ändert sich nicht! Addition zweier Brüche: Man addiert zwei gleichnamige Brüche, indem man die Zähler addiert, den Nenner beibehält. Kochrezept: 1. Mache die Nenner gleichnamig (durch Erweitern oder Kürzen) 2. Addiere die Zähler, der Nenner bleibt. TIPP: als gemeinsamer Nenner eignet sich das kgv (kleinste gemeinsame Vielfache) Subtraktion zweier Brüche: Man subtrahiert zwei gleichnamige Brüche, indem man die Zähler subtrahiert, den Nenner beibehält. Kochrezept: 1. Mache die Nenner gleichnamig (durch Erweitern oder Kürzen) 2. Subtrahiere die Zähler, der Nenner bleibt. TIPP: als gemeinsamer Nenner eignet sich das kgv (kleinste gemeinsame Vielfache) Multiplizieren von Brüchen: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner Dividieren von Brüchen: Man dividiert zwei Brüche, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten Bruches multipliziert. TIPP: Drehe den hinteren Bruch (Divisor) um und multipliziere

9 Umwandeln: Bruch Prozent - Dezimalzahl Bruch in Prozent umwandeln: Erweitere den Bruch so, dass der Nenner 100 ist; z.b. = = = 75% oder den Weg 6 und Weg 4 gehen Prozent in Bruch umwandeln: Prozentzeichen weglassen und dafür einen Bruchstrich und im Nenner 100 hinschreiben; z.b.: 23% = Prozent in Dezimalzahl umwandeln: Das Komma wird um 2 Stellen nach links verschoben; Prozentzeichen weglassen; z.b.: 123% = 123,0%=1,23 oder 7,2% = 0,072 4 Dezimalzahl in Prozent umwandeln: Das Komma wird um 2 Stellen nach rechts verschoben; Prozentzeichen hinzufügen; z.b.: 1,223=122,3% oder 3 = 300% 5 Dezimalzahlen in Bruch umwandeln: Bestimme die kleinste Stufenzahl oder schreibe die Dezimalzahl in eine Stellenwerttafel, ermittle die kleinste Stufenzahl, lasse das Komma weg (=Zähler) und teile durch diese Stufenzahl z.b.: 31,345 = = H Z E z h t H: Hunderter, Z:Zehner, E:Einer, z:zehntel, h: Hunderstel, t:tausendstel 6 Bruch in Dezimalzahl umwandeln: 1. Möglichkeit: Erweitern /Kürzen auf eine Stufenzahl, z.b.: = = = 2 = 0, Möglichkeit: dividiere den Zähler durch den Nenner; z.b.: 17 : 85 = 0,2 170:85 ACHTUNG : Es gibt auch andere Wege: z.b: Statt 1 gehe über 6 und 4. Statt 3 gehe über 2 und 6.

10 Addition von Dezimalzahlen: ACHTUNG : Auf die Kommastellen achten!! 1. Kommas müssen untereinander stehen und die Ziffern nicht verändert werden 0, wie in der Grundschule gelernt rechnen + 0,3 3. Komma beim Ergebnis setzen 1,053 oder 1. Fülle die fehlenden Dezimalen (Nachkommastellen) mit Nullen auf 0, ,300 = 1, Rechne von rechts nach links Subtraktion von Dezimalzahlen: 1. Kommas müssen untereinander stehen und die Ziffern nicht verändert werden 0, wie in der Grundschule gelernt rechnen - 0,3 3. Komma beim Ergebnis setzen 0,453 oder 1. Fülle die fehlenden Dezimalen (Nachkommastellen) mit Nullen auf 0,753-0,300 = 0, Rechne von rechts nach links Multiplikation von Dezimalzahlen: 1. Multipliziere schriftlich ohne die Kommas zu beachten 2,31 1,7 2. Zähle alle Nachkommastellen der Faktoren zusammen (hier 3 Stellen) Das Ergebnis hat genauso viel Nachkommastellen wie in 2. gezählt, Komma setzen ,927 Division von Dezimalzahlen: 1. Verschiebe bei Dividend und Divisor das Komma gleich weit nach rechts bis der Divisor (zweite Zahl) eine natürliche Zahl ist 2,31 : 1,7 verwandle in 23,1: 17 = 1,3 2. Dividiere schriftlich Setze das Komma beim Ergebnis, wenn es beim Dividenden (erste Zahl) erreicht wird