3. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle

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Lukas Hofmann
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1 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Szll dskr Wahrschlchksmodll 3. Glchvrlug Glchvrlug: B dr Glchvrlug ha jds Ergs d glch Erswahrschlchk: Wahrschlchksuko: ( ) ür,,..., Vrlugsuko: F ( ) 0, <,,

2 z.b. Würl: Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Broullvrlug Broullvrlug: B m Broullrm kö ur d Ergss A ud A m d Wahrschlchk P ( A) ud P ( A) P( A) r. Dm Er dr Ergss A ud A wrd o d Wr 0 ud zugord (z.b. Sück s dk, odr ch dk m d Wahrschlchk 0,4 ud 0,6):

3 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Bomalvrlug Wrd das Broull Erm mal wdrhol ud such ma d Wahrschlchk, dass das Ergs A m P ( A) mal vorkomm, so s d Zuallsvarabl X bomalvrl m d Paramr ud : X B( ; ) ~, P mal A P A P A... P A P A d.h. -mal soll das Ergs A r: 3

4 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS ud d rslch - mal das adr Ergs A : A P A P A P A P A mal P... b uabhägg Wdrholug gb s möglch Aordug b d das Ergs A -mal aur. D Wahrschlchksuko brch sch da als: D Vrlugsuko s da: < k F k k k, 0, 0, 0 0

5 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Da < 0, 5 s, ws d Vrlug osv Sch au. Falls > 0, 5 bsz d Vrlug gav Sch. Erwarugswr: Ha d Zuallsvarabl d bd möglch Wr (Ergs A r ) ud 0 (Ergs A r ch ), so s dr Erwarugswr dr - 5

6 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Ausrägug vo X ggb durch: E 0. D Zuallsvarabl X rhäl ma da durch Addo dr zl : X Dadurch s dr Erwarugswr vo: E E X E Varaz: D Varaz dr - Ausrägug vo X s: E 0 σ was ach was Umorm rgb. Für d Varaz vo X rgb sch da σ Momrzugd Fuko: () MEF 0 0. Ur Brückschgug dr bomsch Forml ka ma auch schrb:

7 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Allg.: ( a b) a b ud m kokr Fall: ( ) ( ) 0 MEF' () ( ) MEF'' () ( )( ) ( ) Rrodukväsgscha: Bsh Zuallsvarabl Z aus zw (odr mhrr) sochassch uabhägg Zuallsvarabl X ud Y d bd dslb Wahrschlchk hab, X ~ B(, ) ud Y B( m, ) bomalvrl m Z B( m, ) ~. ~, da s Z auch Rkursosorml: Ha ma d Wahrschlchk ür bsmms scho brch, ka ma d Wahrschlchk ür rlav ach m dr 7

8 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Rkursosorml brch:. ach Kürz gh übr. Dam lau d Wahrschlchk ür : D Bomalvrlug dar ur bm Fall m Zurücklg agwd wrd, also ur da, w d Wahrschlchk mmr glch blb odr abr, w d Ädrug dr Wahrschlchk hrchd kl s 05 / < 0,.

9 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Hyrgomrsch Vrlug Hyrgomrsch Vrlug: Ählch Suao w b dr Bomalvrlug, ur dass d Kugl jz ch zurückglg wrd ud sch so d Wahrschlchk b jdr wr Zhug vrädr. Bzchug ud Bs.: Azahl dr Elm dr Grudgsamh (wß ud schwarz Kugl) M Azahl dr Elm m m bsmm alrav Mrkmal (z.b. wß Kugl). Azahl dr Elm dr Schrob (oh Zurücklg). Azahl dr Ergsrägr dr Schrob (w vl wß Kugl wurd gzog). 9

10 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Bm rs Zh bräg d Wahrschlchk ür das Zh r wß Kugl och M, vrädr sch abr vo da a ür jds wr Zh so dass d Bomalvrlug ch agwd wrd dar. Aus sgsam M wß Kugl kö wß Kugl au gzog wrd. D übrg Kugl au M Ar schwarz Kugl kö da aus sgsam -M schwarz M Ar gzog wrd. Da jd Ergbsolg m dr Wahrschlchk r, rgb sch: 0

11 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Wahrschlchksuko: M M ) ( D Hyrgomrsch Vrlug häg vo d 3 Paramr, M ud ab. D Bzchug ür d Zuallsvarabl X s da: ) ; M ; H ( X ~ Vrlugsuko: a k k M k M ) F( Erwarugswr: M μ

12 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Varaz: σ ( ) M M ( ). Bs au d Trm smm d Varaz m dr Varaz dr Bomalvrlug übr. Dsr Trm s dahr dr Korrkurakor ür dlch Gsamh.

13 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 ( ) (M ) Rkursosorml: ( ; M ; ) ( ; M; ) () ( M ) D Rkursosorml s ur bdg mhlswr, da s ählch auwdg w u Brchug ür d Fall s. 3.5 Gomrsch Vrlug Gomrsch Vrlug: E Broull Erm wrd blbg o wdrhol. Gsuch s d Zuallsvarabl X, d agb, w o das Zuallsrm wdrhol wrd muss bs zum rs Mal das Ergs A aur. Wahrschlchksuko: D Wahrschlchk, dass bm - Vrsuch zum rs Mal A aur brch sch als: P ( [ ] mal A) A) P( A) P( A) ( ) 3

14 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Machmal dr ma X auch als d Azahl dr Mssrolg, bs zum rs Mal A aur. Da lau d Wahrschlchksuko: Vrlugsuko: k k g F (. Erolg) [ ] g F (Azahl Mßrolg) Erwarugswr: X E ) ( (. Erolg) ud X E ) ( (Azahl Mßrolg) Varaz: () 0 0 MEF () ' MEF

15 MEF'' () Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 ( )( ) 3 J grössr s dso schllr kovrgr gg 0 ud F gg. 5

16 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS gav Bomalvrlug gav Bomalvrlug: Ählch w b dr gomrsch Vrlug wrd jz ach dr Zuallsvarabl X gsuch, d agb, w o ma das Broull Erm wdrhol muss bs das Ergs A gau r mal gr s. X 0 bdu, dass b jdm dr r Durchührug das Ergs A gr s X bdu, dass dr r- Erolg ach dr (r)- Durchührug r. Bvor dr r- Erolg r müss ( r ) Durchührug brs r- Erolg ralsr word s. B dr lz (also b dr ( r) -) Wdrholug bräg d Wahrschlchk ds Ers vo A ( Erolg) P ( A). Daraus rgb sch d: r r r Wahrschlchksuko: ( ) m ( r ) 6

17 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 D Vrlug dr Zuallsvarabl X bzch ma komak als: ( r ) X ~ B, r Vrlugsuko: F ( ) k 0 k r r k 7

18 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Erwarugswr: E Varaz: σ r ( ) μ r ( ) Rkursosorml: D Forml läss sch ählch hrl w ür d Fall dr r r Bomalvrlug: ( ) ( ) m ( 0 ) D Gomrsch Vrlug rgb sch als Szalall mr r. 3.7 Possovrlug Possovrlug: Grzvrlug dr Bomalvrlug w shr kl (z.b. 0,) ud w shr gross s (z.b. 00). Dab blb dr Erwarugswr kosa:. 8

19 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS Hrlug dr Possovrlug aus dr Bomalvrlug b : wob durch rsz wrd.!!!!!...! ma ka jz d! aus Zählr ud r kürz. D zl Trm kovrgr da ür gg:!!... lm lm lm

20 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 lm! D Wahrschlchksuko s also:, 0,,,...! 0, sos Vrlugsuko: F 0, < 0 k k 0 k! 0

21 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Mlwr: E Varaz: σ Falls Bomalvrlug also glch Wr ür Mlwr ud Varaz ha, s das Hws, dass s durch d Possovrlug aromr wrd ka.

22 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Lhrsuhl ür Emrsch Wrschasorschug ud Ökoomr Dr. Rolad Füss Sask II: Schlßd Sask SS 007 Rkursosorml:!!!

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