BUCH IV: RAUM MIT. 10a. Die JOHNSON

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1 BUCH IV: RAUM MIT n-dimensionen 10a. Die JOHNSON

2 Johnsonkörper Neben den 5 Platonischen Körpern und den 13 Archimedischen Körpern sind es die 92 aus nur regelmäßigen Vielecken aufgebaute konvexe sog. Johnson-Körper, die Norman Johnson 1960 katalogisierte 1. Es existieren also abgesehen von den unendlich vielen Prismen bzw. Antiprismen noch genau 110 konvexe Köper, die nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden. Darunter sind die Pyramiden Dreieckskuppel 2 (Triangular Cupola), quadratische und Fünfeck-Kuppel Rechts die Rotunde Auf eine Fünfeck-Kuppel aufgesetztes Antiprisma 1 Von Victor Zalgaller wurde es 1969 bewiesen, dass es genau 92 Johnson-Körper gibt, darunter die 5 unregelmäßigen Deltaeder! Magnus J. Wenninger's >> Polyhedron Models, Entsprechende Dualkörper bzw. zur Kennzeichnung mit Wythoff- oder Schläfli-Symbolen 2 Im landläufigen Verständnis ist eine Kuppel eine Halbkugel, die einen Raum oben abschließt

3 Dieser Hut hat genau dieselbe Höhe wie die Rotunde. Man kann sie also ineinander stecken und erhält einen sog. Steward-Toroiden (rechts) und - durch senkrecht auf der Grundfläche stehende Quadrate - verlängerte Pyramiden, sowie Doppelpyramiden (Bi- bzw. Dipyramiden) und auch mit Dreiecken verlängerte Doppelpyramiden, diverse Dachkonstruktionen wie 3-, 4- und 5-Ecks-Kuppeln und das Rondell (auch verlängerte Kopulas und Rotunden) bzw. Doppelkuppen, einfach oder mehrfach z.b. beim Dodekaeder aufgesetzte Fünfecks- Pyramiden, oder aufgesetzte Fünfeckskuppeln beim abgestumpften Dodekaeder, als auch andere Aufsätze oder Ersetzungen, sowie verdreht herum aufgesetzte Konstruktionen. Auf ein Dreiecksprisma aufgesetzte 3, 2 oder 1 quadratische Pyramiden Das linke dreifach mit quadratischen Pyramiden erhöhte Prisma ist der 14-Deltaeder! (Das doppelt erhöhte quadratische Antiprisma ist der 16-Deltaeder, und das pyramidal doppelt erhöhte 5-eckige Antiprisma liefert den Ikosaeder)

4 Fünfeckige Pyramide (Ikosaederabschnitt) und Doppelpyramide bzw. ihre Verlängerungen (mit senkrecht auf der Grundfläche stehenden Quadraten) Dreieckige, quadratische und fünfeckige Kuppeln 3 bzw. ihre Verlängerungen (obere Reihe) 3 Die Fünfeckkuppel ist der einfachste Johnsonkörper, der von vier verschiedenen regelmäßigen Vielecken begrenzt wird

5 verlängerte dreieckige, quadratische und fünfeckige Doppelkuppeln (Verlängerte Bi- oder Dikuppeln in zwei verschiedenen Ansichten) V Es gibt 29 nur aus gleichseitigen Dreiecken und Quadraten zusammen aufgebaute konvexe Körper, darunter sind 24 Johnsonkörper und drei archimedische, sowie ein Prisma und Antiprisma! Es gibt vier Johnsonkörper mit nur einem Quadrat und reg. Dreiecken Links: Eine fünfeckige Pyramide wird dreiecksverlängert mit 10 Dreiecken und etwas gedehnt mit einem weiteren Dreieck und einem Quadrat abgedeckt (16 Dreiecke) Mitte: Auf ein quadratisches Antiprisma aufgesetzte quadr. Pyramide mit 16 Dreiecken Rechts: Auf dreiseitigem Prisma aufgesetzte zwei quadratische Pyramiden (10 Dreiecke) und die quadratische Pyramide (mit 4 Dreiecken)

6 Es gibt vier Johnsonkörper mit nur zwei Quadraten und reg. Dreiecken und zudem das quadratische Antiprisma als fünften konvexen Körper. Der erste (Sphenocorona) und letzte (erweitertes Dreiecksprisma) bleiben beim Aufsetzen einer quadratischen Pyramide konvex (oben links und rechts) Vier konvexe Körper mit nur 3 Quadraten: Dreiecksprisma; die verlängerte Dreieckspyramide; die verlängerte dreieckige Doppel-Pyramide (also keinfach, einfach u. doppelt aufgesetztes Dreiecksprisma) u. Hebesphenomegacorona (Fünfeckspyramide 9D+1Q verlängert mit 6Eckdach)

7 verdrehtes Diprisma verl.quad.dipyramide Gyrobifastigium Disphenocingulum Drei Johnsonkörper mit vier Quadraten und nur regelmäßigen Dreiecken Zwei Johnsonkörper mit fünf Quadraten: Würfel mit aufgesetzter Pyramide (verlängerte Quadratpyramide) links und verlängerte 5-Ecks- Doppelpyramide (5-Ecksprisma mit aufg. Pyramiden) rechts

8 Es gibt vier solche konvexen Körper mit nur sechs Quadraten: Zwei archimedische (die ersten 2) und zwei johnsonische die letzteren. Die beiden Dreiecks-Kuppeln in der Mitte sind spiegelsymmetrisch (zwei Ansichten) oder aber auch verdreht aufsetzbar (archimedisches Mittelkristall oder Kuboktaeder) bzw. dreiecksverlängert (unten mit Abwicklung)

9 Es gibt drei Johnsonkörper mit nur zehn Quadraten (2 quadratisch Dikuppeln oben und quadratische Kuppeln dreiecksverlängert aufgesetzt) Die beiden Johnsonkörper mit 12 Quadraten (durch obere Dachrotation erhältlich) sind verlängerte Dreiecks-Dikuppeln ( unter ARCHI4)

10 Zwei mit maximal 18 Quadraten: Der dritte archimedische Körper, also die verlängerte Doppel-Viereckskuppel (symmetrisch: 2 Quadratbänder laufen herum) und die `verdreht herum aufgesetzte quad. Kuppel (unten mit Abwicklung) 4 mit nur einem Quadrat 5 mit zwei Quadraten 4 mit drei Quadraten 3 mit vier Quadraten 2 mit fünf Quadraten 4 mit sechs Quadraten 3 mit zehn Quadraten 2 mit zwölf Quadraten 2 mit achtzehn Quadraten Σ 29 in der Summe

11 Der einzige konvexe Körper der aus regelm. 3-, 4-, 5- und (einem) 6-Eck(en) besteht, ist der letzte Johnsonkörper J92 Den vorletzten Johnsonkörper J91 erhält man indem man vier Dreiecke an ein Quadrat setzt, und an die Dreiecke kommen vier Fünfecke, wobei das Ganze wieder mit einem von Dreiecken umringten Quadrat abgeschlossen wird. --- IV 11b. Die Raumfüller

12 Natürlich gibt es noch jede Menge anderer Johnsonkörper, die ich aber nicht alle einzeln darlegen will. Darunter gibt es ein Dutzend Johnsonkörper mit Dreiecken, Quadraten und Achtecken (dreimal mit einem Sechseck, sechs mit zweien und je eins mit drei, vier und 5 Sechsecken). Von den 17 Johnsonkörpern, die aus vier verschiedenen regelmäßigen Polygonen aufgebaute Oberflächen haben, enthalten alle (neben den reg. 3-, 4- und 5-Ecken) Zehnecke, bis auf eine einzige Ausnahme mit einen Sechseck (obige Abb.). Es gibt also keinen Körper mit regelmäßigen 3-,4-, 6- und 8-Ecken zugleich! -> Weiterlesen: Johnsonkörper und Wehrle-Körper