f(x) = x 2 1 = exp( b) + exp(0) = exp( b) + 1 = ln(b) ln(0) = ln(b) = b b b b 1 = 0, aber lim ln( b) =, x 1 d x =,
|
|
- Jakob Günther
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 77 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 65 Uneigentliche Integrale Wir haben uns bisher vor allem für Flächen der Form {(, ) a b, f()} interessiert, wobei a < b reelle Zahlen sind und f : [a, b] R eine Funktion ist Dabei haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass die Werte f() beschränkt sind, dass es also eine reelle Zahl c mit f() c für alle a b gibt (nur dann kann man Obersummen bilden!) Von uneigentlichen Integralen spricht man, wenn man auf derartige Beschränktheits-Voraussetzungen verzichtet wenn man also eine unbeschränkte Funktion über einem Intervall integrieren möchte (manchmal geht das), oder aber wenn man statt des Intervalls [a, b] zum Beispiel über die Menge { a } integrieren möchte Wir beschäftigen uns hier nur mit dem letztgenannten Fall und betrachten drei derartige Beispiele: nämlich die Funktionen ep( ),, 2 Frage: Wie groß ist jeweils die punktierte Fläche? f() = ep( ) f() = f() = 2 Dabei geht man folgendermaßen vor: Um a f() d zu bestimmen, berechnet man die Integrale b f() d für alle b mit a < b und überlegt sich, was passiert, wenn a b immer größer wird (also gegen geht ) Sollte sich der Wert stabilisieren, also gegen eine feste Zahl konvergieren, so ist dies die gesuchte Zahl Wir berechnen für die drei Beispiels-Funktionen ep( ),, 2 die Integrale a f() d und zwar mit a = im ersten Beispiel und a = in den beiden anderen Beispielen: b ep( ) d = ep( ) b b d = ln() b 2 d = b b = ep( b) + ep() = ep( b) + = ln(b) ln() = ln(b) = b + dabei haben wir verwendet, dass ep( ) eine Stammfunktion von ep( ) ist, dass ln() für > eine Stammfunktion von ist, und dass schließlich eine Stammfunktion von 2 ist Es ist nun daher gilt: lim ep( b) =, und auch lim b b b =, aber lim ln( b) =, b ep( ) d =, d =, 2 d = Wir haben hier d = geschrieben, aber da man eigentlich nur an Zahlenwerten interessiert ist (und ist zwar ein Smbol, das man manchmal hinschreibt, aber eben keine Zahl), sagt man auch: das uneigentliche Integral d eistiert nicht
2 Leitfaden 78 Insgesamt sieht man, dass die drei Kurven, die ja sehr ähnlich aussehen, ganz verschiedene Eigenschaften haben! Zumindest haben wir gezeigt, dass die mittlere Kurve sich ganz anders verhält, als die beiden anderen (aber auch diese beiden lassen sich durch weitere Eigenschaften unterscheiden) In der Statistik spielen uneigentliche Integrale eine große Rolle Man betrachte zum Beispiel eine Verteilungsfunktion f : R R, die durch einen Graphen der Form z gegeben ist, also zum Beispiel durch die Funktion f(z) = +z 2, dabei interessiert man sich dann für das Integral F() = f(z) dz (ist z eine Merkmals-Achse, und f(z) der zugehörige Bestand, so liefert dieses Integral F() gerade den Gesamtbestand mit Merkmal z ), also für den Flächeninhalt der folgenden punktierten Fläche: z Eistiert das uneigentliche Integral B = f(z) d z, so ist die Funktion F() offensichtlich eine Sigmoide mit Wachstumsschranke B (also eine monoton wachsende Funktion, deren Werte im Intervall zwischen und B liegen, mit Wendepunkt an der Stelle = ) B 66 Das Bunsen-Roscoe-Gesetz Betrachte einen Lichtblitz mit Dauer t und Intensität I Der Helligkeitseindruck bei kurzen Blitzen (t < ms) entspricht dem Produkt I t (dabei gibt es Wahrnehmungsschwellen für t wie für I, ab der der Blitz wahrgenommen wird) Der Helligkeitseindruck entspricht also dem Flächeninhalt eines Rechtecks Bei gleicher Skalierung der Achsen sind die Flächeinhalte der folgenden Rechtecke natürlich gleich: t I t I t I Die Paare (t, I) mit gleichem Flächeninhalt I t liegen auf einem Hperbel-Ast: Für alle diese Paare ist also der Helligkeitseindruck der gleiche
3 79 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 7 Vektor-Geometrie 7 Vektoren: Addition, skalare Vielfache Der Vektorraum R n Vektoren im R n sind nichts anderes als n-tupel reeller Zahlen, also von der Form a = (a, a 2,, a n ) mit a,, a n R So ein n-tupel (a,, a n ) könnten wir einfach mit a bezeichnen; die Dekoration durch einen kleinen Pfeil, der über dem a schwebt, soll daran erinnern, daß es sich hier um einen Vektor, also um ein n-tupel handelt Stattdessen werden Vektoren manchmal auch mit fett gedruckten Buchstaben bezeichnet, oder es werden solche in alt-deutscher Schrift verwendet Bildliche Interpretation: wir betrachten jeweils ein Koordinatensstem, und stellen uns a als den Pfeil (= Vektor = gerichtete Strecke) vom Ursprung des Koordinatensstems zum Punkt a vor; dabei ist der Ursprung (oder Nullpunkt) des Koordinatensstem nichts anderes als der Vektor = (,,, ) Man nennt daher Vektoren auch Ortsvektoren (weil sie den Ort des Punkts (a,, a n ) markieren) Manchmal betrachtet man Vektoren auch als freie Vektoren (dies sind Pfeile, die parallel verschoben wurden); ein derartiger freier Vektor a beginnt an einer Stelle, sagen wir c, und endet dann an der Stelle a + c (das + hier steht für die Vektoraddition, die gleich eingeführt werden wird) Ist a = (a,, a n ) ein Vektor, so nennt man a i seine i-te Komponente (um einen Vektor zu kennen, muß man alle seine Komponenten kennen); man nennt die Zahlen a,, a n auch die kartesischen Koordinaten von a Im folgenden ist immer n fiiert (dies ist eine natürliche Zahl); wenn wir von Vektoren sprechen, so meinen wir Vektoren im R n (also n-tupel, mit dem fiierten n) Skalar-Multiplikation Ist a ein Vektor und λ eine Zahl, so definiert man λ a = (λa,, λa n ), hier wird komponentenweise vorgegangen: jede Komponente von a wird mit λ multipliziert Statt λ a schreibt man auch einfach λ a Skalare Vielfache von Vektoren werden oft gebraucht (Beispiel: das Doppelte 2 a eines Vektors a; zweites Beispiel: a = ( ) a, dieser Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie a) Weiter unten wird die Länge a eines Vektors a definiert werden Ist a, so ist a, und wir können den Vektor a a betrachten: dies ist natürlich ein skalares Vielfaches von a und gerade ein Vektor mit Länge Vektor-Addition Seien zwei Vektoren a = (a,, a n ) und b = (b,, b n ) Unter a + b vesteht man den Vektor a + b = (a + b,, a n + b n ), wir erhalten die Komponenten des Vektors a+ b durch komponentenweise Addition a b a + b
4 Leitfaden 8 Man könnte auch eines der folgenden beiden Bilder zeichnen: a b a + b b a + b Hier sind die Pfeile bezeichnet, nicht die Endpunkte; links wird der Pfeil b als freier Vektor angesehen, er ist nicht am Nullpunkt, sondern am Endpunkt des Pfeils a angetragen Entsprechend ist rechts der Pfeil a als freier Vektor angesehen, er ist am Endpunkt des Pfeils b angetragen Der Summenvektor a + b ist jeweils punktiert dargestellt; wie man sieht, erhält man jeweils das gleiche Ergebnis Wie üblich verwendet man auch hier das Summenzeichen, wenn man Summen mit vielen Summanden betrachtet Häufig benötigt man den Differenzvektor b a zweier Vektoren a, b (punktiert sieht man den entsprechenden freien Vektor ): a b a b a Als freier Vektor verbindet er die Pfeilspitzen von a und b und zeigt in Richtung von b (denn es soll ja gelten: addiert man zu a den Differenzvektor b a, so erhält man gerade den Vektor b) Basis-Vektoren Die Vektoren mit einer Komponente gleich, und restlichen Komponenten gleich spielen eine besondere Rolle, man bezeichnet sie mit e = (,,, ), e 2 = (,,,, ),, e n = (,,, ) Natürlich gilt a = a e + a 2 e a n e n = n i= a i e i Schwerpunkte Sind zwei Vektoren a, b gegeben, so nennt man 2( a + b ) den Schwerpunkt der Strecke zwischen a und b Sind drei Vektoren a, b, c gegeben, so nennt man 3( a + b + c ) den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken a, b und c, und so weiter Der Fall n = 2 Hier betrachten wir Paare reeller Zahlen Diese Vektoren sind für uns die Punkte in der Ebene, und zwar betrachten wir eine Ebene mit einem Koordinatensstem (wir zeichnen üblicherweise ein rechtwinkliges Koordinatensstem): Hier der Punkt (3, 2) (wir bezeichnen ihn auch mit (3 2), wenn das Komma stört, zum Beispiel wenn wir mit Zahlen arbeiten, die selbst ein Komma haben): (3, 2)
5 8 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Der Fall n = 3 Hier betrachten wir Tripel reeller Zahlen Diese Vektoren sind für uns die Punkte im (dreidimensionalen) Raum, und zwar betrachten wir wieder den Raum mit einem festen Koordinatensstem (auch hier wieder verwenden wir ein rechtwinkliges Koordinatensstem) Wir markieren den Vektor (2, 3, 3): z (2, 3, 3) Warum auch n 4? Beliebig lange n-tupel treten natürlich bei vielen Meßreihen auf, und gerade damit wollen wir uns beschäftigen Daß wir diese n-tupel nun Vektoren nennen, sie also als algebraische oder geometrische Objekte auffassen, soll niemanden stören Worum es geht, ist folgendes: Wir wollen mit solchen n-tupeln algebraisch arbeiten, zum Beispiel skalare Vielfache bilden, oder Datensätze addieren oder subtrahieren: dazu ist es gut, die (algebraischen) Regeln der Vektoraddition zu kennen Zur Interpretation solcher Datensätze ist es ebenfalls hilfreich, die geometrische Intuition, so wie wir sie von der Ebene R 2 und dem Raum R 3 her kennen, wo wir von Längen und von Winkeln sprechen, auf den allgemeinen R n zu übertragen Dies werden wir jetzt tun 72 Vektoren: Länge, Winkel Hier soll das Skalarprodukt von Vektoren eingeführt werden Es wird an vielen verschiedenen Stellen eingesetzt; es wird sehr oft gebraucht, ua für: Längenmessungen Winkelmessungen Projektionen Das Skalarprodukt der Vektoren a = (a,, a n ) und b = (b,, b n ) ist durch a, b = n i= a ib i definiert, es läßt sich also sehr einfach berechnen; dies ist eine Zahl, kein Vektor! (Oft wird statt a, b auch ( a, b) oder a b geschrieben) Folgende Rechenregeln lassen sich sofort verifizieren: a, b = b, a, a, b + b 2 = a, b + a, b 2, a, λ b = λ a, b,
6 Leitfaden 82 hier sind a, b, b, b 2 Vektoren, λ ist ein Skalar (also eine Zahl) Längenmessung Ist a = (a,, a n ) ein Vektor, so setzt man a = a, a ( ) = a a2 n und nennt dies die Länge des Vektors a Ist n = 2 oder 3, so sieht man sofort, daß man durch die angegebene Formeln a 2 + a2 2 und a 2 + a2 2 + a2 3 wirklich die Länge im üblichen Sinn berechnet (Satz von Pthagoras) Für n 4 ist die angegebene Formel einfach eine Definition! (Der Betragsstrich erinnert daran, daß man natürlich auch den Trivialfall n = betrachten kann: Zahlen sind Vektoren im R n mit n =, und natürlich ist die Länge eines solchen Vektors a = (a ) gerade der Betrag a = a 2 der Zahl a ) Ist a ein von Null verschiedener Vektor, so ist seine Länge a eine von Null verschiedene Zahl, wir können also a mit dem Skalar a multiplizieren, und erhalten als a a einen Vektor der Länge, der in die gleiche Richtung wie a zeigt Vektoren der Länge heißen Einheitsvektoren Für n = 2 liefern die Einheitsvektoren gerade den Kreis mit Radius, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist: Entsprechend ist die Menge der Einheitsvektoren im R 3 gerade die Kugel mit Radius, deren Mittelpunkt der Ursprung ist Der Abstand zweier Vektoren (oder Punkte) a und b ist natürlich nichts anderes als die Länge b a des Differenzvektors (also (bi a i ) 2 ) Winkelmessung Sind zwei von Null verschiedene Vektoren a und b gegeben, so gibt es genau eine Zahl ϕ mit ϕ < π, so daß gilt a, b = a b cos ϕ man nennt ϕ den Winkel zwischen den Vektoren a und b Beweis: Es muß gezeigt werden, daß gilt: a, b a b, dies ist aber die Aussage der Schwarz schen Ungleichung, siehe Abschnitt 4 Daß man im Fall n = 2 oder 3 auf diese Weise wirklich den Winkel zwischen zwei
7 83 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Vektoren berechnen kann, ist, wie wir gleich sehen werden, die Aussage des Cosinus-Satzes Sei c = b a Setze a = a, b = b, c = c Es ist c 2 = c, c = b a, b a = b, b + a, a 2 a, b = a 2 + b 2 2 a, b Der Cosinus-Satz besagt nun: Sei ein Dreieck mit den Seiten a, b, c gegeben, der Winkel ϕ liege gegenüber von der Seite c Dann ist Demnach ist a, b = ab cosϕ c 2 = a 2 + b 2 2ab cosϕ Und hier ein Beweis des Cosinus-Satzes: Wir betrachten folgendes Dreieck: ϕ a B b c Wir fällen das Lot vom Punkt B auf die Seite b und bezeichnen seine Länge mit h Dadurch wird die Seite b in zwei Strecken b, b geteilt Es ist b = a cosϕ und h = a sinϕ Also ist c 2 = h 2 +(b ) 2 = h 2 +(b b ) 2 = h 2 +b 2 2bb +(b ) 2 = a 2 cos 2 ϕ+b 2 2b a cosϕ+b 2 cos 2 ϕ = a 2 +b 2 2ab cosϕ Dabei verwenden wir, daß cos 2 ϕ + sin 2 ϕ =, also a 2 cos 2 ϕ + a 2 sin 2 ϕ = a 2 gilt B a h c ϕ b b Besonders leicht läßt sich natürlich der Winkel zwischen zwei Einheitsvektoren berechen: Sind a = (a,, a n ) und b = (b,, b n ) Einheitsvektoren, so ist der Cosinus des eingeschlossenen Winkels ϕ durch cos ϕ = a, b = a i b i gegeben Orthogonalität Zwei Vektoren a, b stehen senkrecht aufeinander (= sind orthogonal), wenn a, b = gilt, denn a, b = bedeutet gerade, daß der eingeschlossene Winkel π 2 = 9 ist (oder daß mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist) Ist a = (a, a 2 ) ein (von Null verschiedener) Vektor in der Ebene R 2, so ist es sehr leicht, einen dazu orthogonalen Vektor anzugeben: man nehme einfach ( a 2, a ) ( a 2, a ) (a, a 2 ) Entsprechend gibt es im Raum R 3 ein Rezept, um zu zwei vorgegebenen Vektoren a = (a, a 2, a 3 ) und b = (b, b 2, b 3 ) einen Vektor c hinzuschreiben, der zu beiden
8 Leitfaden 84 Vektoren a und b orthogonal ist: das sogenannte Vektor-Produkt c = a b Hier die Definition: a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b a b 3, a b 2 a 2 b ) (dies sieht kompliziert aus, kann aber eigentlich immer recht schnell berechnet werden) Beweis, daß der Vektor a b sowohl zu a als auch zu b orthogonal ist: Man zeigt a, a b = und b, a b = Beide Rechnungen sind ähnlich; hier die erste: a, a b = a (a 2 b 3 a 3 b 2 )+a 2 (a 3 b a b 3 ) +a 3 (a 2 b a b 2 ) = a a 2 b 3 a a 3 b 2 +; man erhält sechs Summanden, von denen jeweils zwei bis auf das Vorzeichen gleich sind und sich deshalb wegheben: zum Beispiel der erste Summand a a 2 b 3 und der vierte Summand a 2 a b 3 Projektion Sei a ein Vektor Das Skalarprodukt a, e von a mit einem Einheitsvektor e ist gerade die Länge der Projektion des Vektors a in Richtung e, nämlich a, e = a cosϕ, a dabei ist ϕ der von a und e eingeschlossene Winkel ϕ e Die Projektion von a in Richtung e ist demnach der Vektor a, e e Natürlich ist die Länge der Projektion eines Vektors a = (a,, a n ) in Richtung eines der Basisvektoren e i gerade seine i-te Komponente a i (also a, e i = a i ) Geometrische Interpretation des Korrelations-Koeffizienten Seien reelle Zahlen,, n mit Mittelwert und entsprechend,, n mit Mittelwert gegeben Der lineare Korrelations-Koeffizient r ist nichts anderes als cos ϕ, wobei ϕ der Winkel zwischen den Vektoren ist (,, n ) (,, ) und (,, n ) (,, ) 73 Umrechnung geographischer Koordinaten in kartesische Ein Punkt a = (a, a 2, a 3 ) im Raum (zum Beispiel ein Punkt auf der Erdoberfläche) ist gegeben durch r = β = λ = Abstand vom Nullpunkt (Erdmittelpunkt) geographische Breite geographische Länge z (2, 3, 3) r β a 3 λ r a a 2
9 85 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Man sieht: r = r cos β, a 3 = r sin β In der --Ebene (dies ist hier nun gerade die Äquator-Ebene) sieht man entsprechend Insgesamt erhält man Natürlich ist der zugehörige Einheitsvektor a = r cos λ, a 2 = r sin λ a = r cos β cos λ a 2 = r cos β sin λ a 3 = r sin β (cosβ cos λ, cos β sin λ, sin β) Vorsicht (): Betrachtet man einen Ort auf der Südhalbkugel, etwa Kapstadt und kennt die südliche Breite, hier 33,56, so ist das Wort südlich als Minuszeichen zu interpretieren: β = -33,56 Vorsicht (2): In Formelsammlungen wird statt der geographischen Breite β häufig mit der Abweichung β = 9 β von der Nordrichtung gearbeitet, die entsprechenden Formeln lauten dann a = r sin β cos λ, a 2 = r sin β sin λ, a 3 = r cos β Umgekehrt gilt r = a = sin β = a 3 r, cos λ = a r cos β a 2 + a2 2 + a2 3, 74 Geraden und Ebenen in R 2 und R 3 Vorbemerkung Wir betrachten die Ebene R 2 oder den Raum R 3 (zum Teil auch allgemeiner den R n ) Wenn wir geometrische Objekte wie Punkte und Geraden, oder Dreiecke, oder Kreise und andere Kurven, oder, im Raum, Ebenen und andere Flächen algebraisch beschreiben wollen, so gibt es immer zwei wesentlich verschiedene Möglichkeiten: einerseits Parametrisierungen, andererseits Beschreibungen durch Gleichungen (und Ungleichungen) Wir wollen dies am Beispiel des Kreises K mit Radius und Mittelpunkt in der Ebene erläutern: Einerseits ist K = {(cos ϕ, sinϕ) ϕ R} (Parametrisierung), andererseits gilt K = {(, ) = } (Gleichungs-Beschreibung)
10 Leitfaden 86 Kennt man eine Parametrisierung eines Objekts (wie hier K), so ist es sehr einfach, Punkte anzugeben, die dazugehören (hier zum Beispiel sieht man, daß der Punkt (cos, sin) zu K gehört: man hat einfach ϕ = genommen); dagegen ist es oft nicht einfach, zu entscheiden, ob ein vorgegebener Punkt (, ) dazugehört oder nicht (es ist ja zu entscheiden, ob es zu vorgegebenem und ein ϕ gibt mit = cos ϕ und = sin ϕ) Die Gleichungs-Beschreibung leistet gerade das umgekehrte: Ist eine Gleichungs-Beschreibung bekannt, so kann man meist sehr einfach feststellen, ob ein gegebener Punkt zum Objekt gehört oder nicht (man setzt die Koordinaten in den Gleichungsterm ein, und überprüft auf diese Weise, ob die Gleichung erfüllt ist); dagegen ist es bei Objekten, die durch eine Gleichung beschrieben sind, oft gar nicht einfach, Punkte anzugeben, die diese Bedingung erfüllen Schön ist es, wenn man sowohl die eine wie die andere Beschreibung zur Verfügung hat, dann kann man je nach Fragestellung mit der günstigeren Beschreibung arbeiten! Geraden Sind zwei verschiedene Punkte a und b im R n gegeben, so wird die Gerade G( a, b) durch a und b folgendermaßen beschrieben: G( a, b) = { a + t( b a) t R} Hier handelt es sich offensichtlich um eine Parametrisierung dieser Geraden a b a b G( a, b) Dabei sieht man folgendes: Auch {t( b a) t R} beschreibt eine Gerade, und zwar die zu G( a, b) parallele Gerade, die durch den Ursprung geht (im Bild ist sie punktiert dargestellt) Ursprungsgeraden sind immer von der Form {t c t R}, dabei ist c ein von Null verschiedener Vektor (eine derartige Gerade besteht also aus den skalaren Vielfachen eines festen Vektors c) Sind eine Ursprungsgerade G und ein Vektor a gegeben, so erhält man durch a + G = { a + c c G} die zu ihr parallele Gerade, die den Punkt a enthält a G a + G
11 87 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker Ebenen In völliger Analogie soll nun die Parameter-Darstellung einer Ebene im Raum R 3 (oder, allgemeiner, im R n mit n 3) gegeben werden Wir gehen davon aus, daß drei Vektoren a, b und c im R n gegeben sind und wollen die von diesen drei Punkten aufgespannte Ebene E( a, b, c) beschreiben Dafür müssen wir allerdings voraussetzen, daß diese drei Punkte nicht nur paarweise verschieden sind, sondern nicht einmal auf einer Geraden liegen Unter dieser Voraussetzung ist Dabei beschreibt E( a, b, c) = { a + s( b a) + t( c a) s, t R} {s( b a) + t( c a) s, t R} die zu E( a, b, c) parallele Ebene, die den Ursprung enthält Gleichungs-Beschreibung einer Geraden in R 2 Sei c = (c, c 2 ) ein Vektor Die Ursprungsgerade aller Vielfachen von c G = {t c t R} läßt sich folgendermaßen beschreiben: Wir nehmen einen Vektor d = (d, d 2 ), der orthogonal zu c ist (also zum Beispiel d = ( c 2, c )); natürlich sind auch alle Vielfachen von c zu d orthogonal: G ist also die Menge aller zu d orthogonalen Vektoren: G = { R 2 d, = } = {(, 2 ) d + d 2 2 = }; hier haben wir also eine Gleichungs-Beschreibung vor uns Sind zwei verschiedene Punkte a und b in der Ebene R 2 gegeben, und betrachten wir die Gerade G( a, b), so suchen wir zuerst einen zu b a orthogonalen Vektor d (aber das ist ja, wie wir wissen, leicht) Für die Punkte auf G( a, b) gilt: a ist ein Vielfaches von b a, also orthogonal zu d, also gilt aber das heißt: d, a =, d, d, a = Bezeichnen wir die Zahl d, a mit q, so sehen wir G( a, b) = { d, = q} = {(, 2 ) d + d 2 2 = q}, wir erhalten also eine Gleichungs-Beschreibung der Geraden in R 2 ; den Vektor d nennt man einen Normalen-Vektor (er ist senkrecht zu ihr) Als Beispiel hier die beiden Geraden G = {(, 2 ) + 2 = } und G = {(, 2 ) + 2 = 3}, zusammen mit dem Normalen-Vektor d = (, ) G d G
12 Leitfaden 88 Gleichungs-Beschreibung einer Ebene im R 3 Wir verfahren ganz analog: Sei ein von Null verschiedener Vektor d = (d, d 2, d 3 ) gegeben Die Menge { d, = } ( = {(, 2, 3 ) d + d d 3 3 = } ) besteht genau aus denjenigen Vektoren, die zu d orthogonal sind; diese bilden eine Ebene, die den Ursprung enthält Durch { d, = q} ( = {(, 2, 3 ) d + d d 3 3 = q} ) erhält man für jede reelle Zahl q eine dazu parallele Ebene Dies ist eine Gleichungs- Beschreibung einer beliebigen Ebene Dabei sollte man sich auf jeden Fall die Bedeutung des Tripels (d, d 2, d 3 ) merken: dies sind die Koordinaten eines zur Ebene orthogonalen Vektors; auch hier nennt man d = (d, d 2, d 3 ) einen Normalen-Vektor Betrachten wir zum Beispiel die Ebene E = E( e, e 2, e 3 ): z sie wird durch die Gleichung = beschrieben; ein Normalen-Vektor ist also d = (,, ) Da d die Länge 3 hat, ist der zu d gehörige Einheitsvektor e = 3 (,, ) Will man nun den Abstand dieser Ebene E vom Ursprung berechnen, so genügt es, einen beliebigen Vektor a der Ebene herzunehmen und die Länge der Projektion von a in Richtung e zu bestimmen Wir nehmen a = e = (,, ) und berechnen a, e = 3, dies also ist der gesuchte Abstand
Vektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.1 Der euklidische Raum R n
8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x
MehrDefinition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h.
8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x
MehrLineare Algebra: Theorie und Anwendungen
Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
Mehr& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de c 018 Steven Köhler Wintersemester 018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil Teil
MehrKapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum
WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 1. Vektorrechnung und Geometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies
MehrVektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5
Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
Mehr2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x
Mehr2. Vektorräume 2.1. Vektoren im R n. Vektoren sind gerichtete Groen, die durch ihre Lange (Betrag, Norm) und Richtung gekennzeichnet sind.
. Vektorräume.. Vektoren im R n. Vektoren sind gerichtete Groen, die durch ihre Lange (Betrag, Norm) und Richtung gekennzeichnet sind. Physikalische Beispiele fur Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung,
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
MehrExamen GF Mathematik (PAM) Kurzfragen 2017
Examen GF Mathematik (PAM) Kurzfragen 2017 Die mit einem + gekennzeichneten Fragen sind längere Kurzfragen. Kurzfrage 1+ Was ist ein Vektor? Ein Vektor ist die Menge aller gerichteten Strecken ( Pfeile
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
MehrEinführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007
Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrLernunterlagen Vektoren in R 2
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 2: Der Euklidische Raum Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 30. Oktober 2007) Vektoren in R n Definition
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrRechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
Mehr1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
Mehr= 9 10 k = 10
2 Die Reihe für Dezimalzahlen 1 r = r 0 +r 1 10 +r 1 2 100 + = r k 10 k, wobei r k {0,,9} für k N, konvergiert, da r k 10 k 9 10 k für alle k N und ( 1 ) k 9 10 k 9 = 9 = 10 1 1 = 10 10 k=0 k=0 aufgrund
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
MehrKapitel 15 Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 27 Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Definition 15.1 (Lineares Gleichungssystem
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
MehrLänge, Skalarprodukt, Geradengleichungen
Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Jörn Loviscach Versionsstand: 9. April 2010, 18:48 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
MehrVektorrechnung. Beispiele: (4 8) 2-Tupel (Zahlenpaar) (4 8 9) 3-Tupel (Zahlentrippel)
Vektorrechnung Oftmals möchte man in der Mathematik mit mehreren Zahlen auf einmal rechnen. Dafür werde geordnete Listen verwendet. Eine Liste besteht aus n reellen Zahlen und wird n-tupel genannt. Beispiele:
Mehr12. R n als EUKLIDISCHER VEKTORRAUM
12. R n als EUKLIDISCHER VEKTORRAUM 1 Orthogonalität in der Ebene. Die Vektoren in der Ebene, die (im üblichen Sinne) senkrecht zu einem Vektor x = (x 1, x 2 ) T stehen, lassen sich leicht angeben. Sie
MehrKapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man
MehrVEKTOREN. Allgemeines. Vektoren in der Ebene (2D)
VEKTOREN Allgemeines Man unterscheidet im Schulgebrauch zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Vektoren (es kann aber auch Vektoren geben, die mehr als 3 Komponenten haben). Während zweidimensionale
MehrDefinition, Grundbegriffe, Grundoperationen
Aufgaben 1 Vektoren Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Lernziele - einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können. - wissen, was ein Gegenvektor ist. - wissen, wie die Addition zweier
MehrÜbungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen
Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrKreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales.
Kreis - Tangente 1. Allgemeines 2. Satz des Thales 3. Tangente an einem Punkt auf dem Kreis 4. Tangente über Analysis (an einem Punkt eines Ursprungkreises) 5. Tangente von einem Punkt (Pol) an den Kreis
MehrGeometrie. Ingo Blechschmidt. 4. März 2007
Geometrie Ingo Blechschmidt 4. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Geometrie 2 1.1 Geraden.......................... 2 1.1.1 Ursprungsgeraden in der x 1 x 2 -Ebene.... 2 1.1.2 Ursprungsgeraden im Raum..........
MehrGeometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrArbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung
Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
MehrAbitur 2010 Mathematik GK Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik GK Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O sind die Punkte A( ), B( ) und die Gerade g : x = O A + λ, λ R, gegeben.
MehrVektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,
MehrKörper sind nullteilerfrei
Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =
MehrHÖHERE MATHEMATIK I FÜR MW UND CIW Übungsblatt 5
PROF DR-ING RAINER CALLIES DR THOMAS STOLTE DIPL-TECH MATH KATHRIN RUF DIPL-TECH MATH KARIN TICHMANN WS / HÖHERE MATHEMATIK I FÜR MW UND CIW Übungsblatt Zentralübung Z Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems
Mehr3.6 Einführung in die Vektorrechnung
3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................
MehrVektorrechnung. Wolfgang Kippels 27. Oktober Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Grundlagen der Vektorrechnung 3
Vektorrechnung Wolfgang Kippels 7 Oktober 018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Grundlagen der Vektorrechnung Beispielaufgaben 1 Lineare Abhängigkeit und Komplanarität 11 Aufgabe 1 1 Aufgabe Winkel zwischen
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrEinleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7
Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
MehrAufgaben / Lösungen der Klausur Nr. 4 vom Juni 2002 im LK 12. nx ln(x)dx
Aufgaben / Lösungen der Klausur Nr. 4 vom Juni 2002 im LK 2 Aufgabe ) a) Berechne für alle natürlichen Zahlen n N das Integral e nx ln(x)dx. Mit Hilfe der partiellen Integration für f (x) = nx, somit f(x)
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrTechnische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018
Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich E R G E B N I S S E der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 08 Ergebnisse zur. Übung am.09.08 Thema: Logik,
MehrLineare Algebra. Inhalt. Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik 2 Literatur: Teschl/Teschl, Band 1, Kap. 9-14
Lineare Algebra Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik Literatur: Teschl/Teschl, Band, Kap. 9-4 Inhalt Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare
MehrKurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente
Kurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente Wir betrachten Kurven in der -Ebene. Als erstes wollen wir uns damit beschäftigen, wie sich solche Kurven mathematisch beschreiben lassen. Dafür
Mehr1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung
Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung www.mathebaustelle.de. Einführungsbeispiel Archäologen untersuchen eine neu entdeckte Grabanlage aus der ägyptischen Frühgeschichte. Damit jeder
MehrAbitur 2013 Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die
MehrAbbildung 1: Geordnete Paare im zweidimensionalen euklidischem Raum
Vektorrechnung Wir werden den Vektorbegriff anschaulich einführen und beschränken uns zunächst auf den zweidimensionalen euklidischen Raum. Die Elemente dieses Raumes sind Punkte P, Q, R, S,.... Geordnete
Mehr2 Geometrie und Vektoren
Geometrie und Vektoren Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc..1 Grundlegende Sätze Satz
MehrDie Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG
1 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrDenition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0
6 Der Vektorraum R n In den folgenden Wochen wenden wir uns der Linearen Algebra zu, die man als eine abstrakte Form des Rechnens mit Vektoren auassen kann. Ein zentrales Thema werden lineare Raume (=
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
MehrMathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 17 Vektoren Kapitel 15 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 17 Vektoren 151 Denition: Vektoren im Zahlenraum
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
MehrDidaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra
A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische
MehrMathematik I+II Frühlingsemester 2019 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik I+II Frühlingsemester 219 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 46 8. Lineare Algebra: 5. Eigenwerte und
MehrLineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
MehrKapitel 14 Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 83 / 246 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Definition 4. (Lineares Gleichungssystem LGS)
MehrAbbildung 14: Winkel im Bogenmaß
Mathematik für Naturwissenschaftler I. (7) Trigonometrische Funktionen (in R): Trigonometrische Funktionen wie sin x und cos x stehen üblicherweise in Zusammenhang mit Winkeln. Während im Alltag Winkel
MehrTutorium: Diskrete Mathematik. Vektoren
Tutorium: Diskrete Mathematik Vektoren Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Definition I Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor ein Element
Mehr3. Lineare Regression.
- Funktionen Lineare Regression Summen und Mittelwerte Sind,, n reelle Zahlen, so bezeichnen wir mit n i = + + + n i= die Summe dieser Zahlen Die abkürzende Schreibweise mit dem Summenzeichen n i= oder
MehrVektoren - Die Basis
Vektoren - Die Basis Motivation (Als Vereinfachung - der Schreibarbeit - wählen wir meistens Vektoren in R 2.) Eigentlich ist ja Alles klar! Für einen Vektor a gilt a = ( a x a y )! Am Ende werden wir
Mehr11 Komplexe Zahlen. Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra
11 Komplexe Zahlen Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra Addition ebener Vektoren Sei Ê 2 = {(x, y) : x, y Ê}. Ê 2 können wir als Punkte in der Ebene
Mehr