Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2017/2018 Blatt

Transkript

1 Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 7/8 Bla 7..7 Aufgabe 9: Berechnen Sie ie Länge zweier Kurven auf er Eroberfläche (im Kugelmoell, ie S. Peersburg ( N, O mi Anchorage in Alaska ( N, 5 W verbinen. Lösung: Geben Sie ie Koorinaen ϕ un ϑ (bzgl. er Paramerisierung aus er Vorlesung er beien Punke im Bogenmaß an. Geben Sie eine Paramerisierung er Kurve (im Parameerbereich an, ie ie beien Punke enlang es gemeinsamen Breienkreises verbine. Geben Sie eine Paramerisierung er Kurve (im Parameerbereich an, ie ie beien Punke enlang zweier Meriiane über en Norpol verbine. Hinweis: Im Parameerbereich beseh ie Kurve aus zwei Teilen. Berechnen Sie ie Länge er beien Kurven. ϑ π sowie ϕ π (S. Peersburg bzw. ϕ 5π (Anchorage ( b( π, wobei [ 5π, π] ( π m (, wobei [ π; π] un ( 5 m ( π, wobei [ π; π]. (Ohne Berücksichigung er Durchlaufrichung, a nur nach er Länge gesuch wir Länge(b π 5 π Länge(m ( R cos ϑ R π π ( R cos ϑ R ( ( ( π R cos π 5 π πr ( π Für as zweie Teilsück m ergib sich analog ie selbe Länge. π R πr Dami ha ie Kurve enlang es Breienkreises ie Länge πr [km], ie Kurve über en Norpol insgesam πr 7 [km], also ein Driel kürzer.

2 Aufgabe : Berachen Sie einen urch x(φ, h h cos φ h sin φ h mi φ [, π un h (, ] paramerisieren Kegel. In welchem Winkel schneien sich ie Breienkreise b : [, π R : b( x(, h für feses h (, ] mi en Meriianen m : (, ] R : m( x(φ, für feses φ [, π? Tipp:Verwenen Sie ie Merik. Lösung: Zuers berechnen wir ie Merik G (Dx T Dx G (Dx T Dx ( h sin φ cos φ h sin φ h cos φ h cos φ sin φ cos φ sin φ ( h ( Da ie beien Kurven sich im Punk x(φ, h schneien un b( un ( h φ m( ie zugehörigen Kurven im Parameerbereich sin, berechnen wir Daraus ergib sich cos α, b( φ m( h G G ( ( ( ( ( ( G ( ( G ( ( h ( ( G ( (.h. ie beien Kuven auf er Hyperfläche schneien sich im Winkel α π.

3 Aufgabe : Gegeben sei ie Paramerisierung Lösung: mi φ [, un h [, ]. x(φ, h cos(πφ sin(πφ h a Welche Hyperfläche beschreib iese Paramerisierung? b Berachen Sie ie Kurven γ ( γ ( (, [, ] (, [, im Parameerbereich. Beschreiben Sie ie Kurven x γ i mi i,, ie auf er paramerisieren Fläche liegen. c Berechnen Sie mi Hilfe ieser beien Kurven zwei Tangenialvekoren an ie Fläche im Punk x(,. Berechnen Sie in iesem Punk einen Normalenvekor an ie Fläche. e Berechnen Sie en merischen Tensor auf ieser Fläche. f Verwenen Sie en merischen Tensor, um ie Länge er beien Kurven x γ i mi i, auf er Fläche zu berechnen. g In welchem Winkel schneien sich ie beien Kurven? a Die Paramerisierung beschreib einen Zylinermanel. Der Zyliner ha eine Grunfläche von Raius, ie Höhe un ie Symmerieachse es Zyliners lieg auf er z-achse es Koorinaensysems. b x γ ( x γ (, [, ] cos(π sin(π, [, Bei er Kurve x γ hanel es sich um eine Srecke vom Punk (,, zum Punk (,,. Sie verläuf parallel zur Symmerieachse es Zyliners un seh senkrech auf er x y Ebene un somi senkrech auf er Grunfläche es Zyliners. Die Kurve x γ is eine geschlossene Kreiskurve auf em Zylinermanel. Sie lieg auf Höhe un verläuf parallel zur Grunfläche es Zyliners.

4 c Mi Hilfe er beien Kurven aus em vorherigen Aufgabeneil sollen zwei Tangenialvekoren an ie Fläche im Punk ( x, berechne weren. Da γ ( ( (x γ ( (x γ ( ( un γ ( cos(π sin(π gil, berechnen wir Zwei Tangenialvekoren an ie Fläche im Punk x(, lauen also v (,, T un v (, π, T. Da iese beien Vekoren linear unabhängig sin, spannen sie en ganzen Tangenialraum an ie Fläche im Punk x(, auf. Da ie beien Vekoren v un v en Tangenialraum an ie Fläche im Punk x(, aufspannen, berechne sich er Normalenvekor an ie Fläche im Punk x(, wie folg: n v v v v. π v v n π π e Der merische Tensor G auf er Manelfläche es Zyliners berechne sich wie folg G (Dx T Dx un Daraus folg Dx π sin(πφ π cos(πφ. G (Dx T Dx ( π sin(πφ π cos(πφ ( 4π π sin(πφ π cos(πφ

5 f Aus em Skrip wissen wir, ass sich ie Länger l er Kurve x γ auf em Zylinermanel wie folg mi Hilfe es merischen Tensors berechnen läß. l G γ ( γ ( ( ( 4π ( ( ( Für ie Länge l er Kurve x γ auf em Zylinermanel ergib sich l π G γ ( γ ( ( ( 4π ( ( 4π π ( g Die beien Kurven schneien sich im Punk x (,. Um en Winkel α zu berechnen, in em sie sich schneien, benöigen wir ie beien Tangenialvekoren v un v. Nun gil v v cos α v v π π Daraus folg ie beien Kurven schneien sich im Winkel α π.

6 Aufgabe : Berachen Sie ie Fläche S, welche urch ie Abbilung x : Ω R mi (R + r cos w cos v x(v, w (R + r cos w sin v r sin w Lösung: un Ω : [, π] paramerisier (mi Raii R > r >. a Skizzieren Sie ie Fläche S (Tipp: Berachen Sie ie Kurven h( x(a, un v( x(, a für a, π, π, π. b Berechnen Sie en merischen Tensor G(v, w R,. c Berechnen Sie ie Normale N(v, w R. Berachen Sie nun ie Kurve c : [, ] Ω im Parameergebie, efinier urch c : ξ ( π, π ξ un ie Raumkurve γ x c : [, ] R. Berechnen Sie ie Länge er Kurve γ. a Kurve h( beschreib jeweils einen Kreis mi Raius r: a : Kreis lieg in er x-z-ebene mi Mielpunk (R,,. a π : Kreis lieg in er y-z-ebene mi Mielpunk (, R,. a π: Kreis lieg in er x-z-ebene mi Mielpunk ( R,,. a π : Kreis lieg in er y-z-ebene mi Mielpunk (, R,. Kurve v( beschreib jeweils einen Kreis in er x-y-ebene: a : Kreis ha Raius R + r un Mielpunk (,,. a π : Kreis ha Raius R un Mielpunk (,, r. a π: Kreis ha Raius R r un Mielpunk (,,. a π : Kreis ha Raius R un Mielpunk (,, r. b Es gil G Dx T Dx, wobei also Dx(v, w ( v x w x Dx(v, w T Dx(v, w (R + r cos w sin v r cos v sin w (R + r cos w cos v r sin v sin w r cos w ( (R + r cos w r.

7 c Die Normale is gegeben urch N(v, w vx w x v x w x, vx w x un v x w x r(r + r cos w, aher cos v cos w N(v, w sin v cos w. sin w r(r + r cos w cos v cos w r(r + r cos w sin v cos w r(r + r cos w sin w Die Länge einer Kurve γ is efinier als L[γ] γ(ξ ξ. Es gil γ x c : ξ R + r cos(π ξ r sin(π ξ, γ(ξ π r sin(π ξ π r cos(π ξ oer alernaiv mi Keenregel ( (R + r cos(πξ sin π r cos π sin(πξ x c (ξ Dx(c(ξ ċ(ξ (R + r cos(πξ cos π r sin π ξ sin(πξ r cos(πξ π r sin(π ξ π r cos(π ξ un somi Es folg L[γ] πr. γ(ξ (πr (sin (π ξ + cos (π ξ (πr., ( π