Statistik Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

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1 Statistik 2 1. Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, A BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Art der Anmeldung: STiNE Zulassung unter Vorbehalt Sonstiges Mit Ihrer nachfolgenden Unterschrift bestätigen Sie die Klausur auf Vollständigkeit überprüft zu haben. Diese Klausur besteht aus 8 Aufgaben und aus 14 Seiten. Unterschrift der/des Studierenden: Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 100

2 Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 Hinweise für die Aufgaben 1.1 bis 1.10: Es ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: (a) Wird ausschließlich die korrekte Antwort angekreuzt, so erhält man die volle Punktezahl. (b) In allen anderen Fällen außer der in (a) beschriebenen Situation erhält man 0 Punkte. Hinweise für die Aufgaben 2.1 bis 2.5: Es ist mindestens eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: Werden ausschließlich alle korrekten Antwortmöglichkeiten angekreuzt, so erhält man die volle Punktezahl. Werden unter anderem korrekte Antwortmöglichkeiten angekreuzt, jedoch nicht ausschließlich alle korrekten Antwortmöglichkeiten, so erhält man 1 Punkt. Allgemeiner Hinweis: Falls Sie Ihre bereits gewählte Antwort revidieren möchten, so kreuzen Sie alle Felder der entsprechenden Zeile an und schreiben die korrekte(n) Antwort(en) neben die entsprechende Tabellenzeile. Aufgabe (a) (b) (c) (d)

3 Aufgabe 1 (30 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 1.1 bis 1.10 ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte Antwort durch ein Kreuz in der Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 auf Seite 2. Aufgabe 1.1 (3 Punkte) Gegeben sei die Funktion g durch 0 falls x < 0 y < 0 g : R 2 R, (x, y) x 2 + y 2 falls 0 x 1 0 y 1 1 sonst Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Dichtefunktion. (c) Die Funktion g erfüllt alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. (d) Die Funktion g erfüllt keine der bisher genannten Eigenschaften. Aufgabe 1.2 (3 Punkte) Für eine nichtnegative stetige Zufallsvariable X gilt E(X X > 100) = 190. Welche der nachfolgenden Aussagen kann nicht korrekt sein? (a) E(X) = 210. (b) E(X) = 170. (c) P (180 < X 200) = 0.3. (d) Alle bisherigen Aussagen können korrekt sein. Aufgabe 1.3 (3 Punkte) Welche der nachfolgenden Matrizen erfüllt nicht alle Eigenschaften einer Varianz-Kovarianz- Matrix? (a) (b) Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -3-

4 (c) (d) Die bisherigen Matrizen erfüllen alle Eigenschaften einer Varianz-Kovarianz-Matrix. Aufgabe 1.4 (3 Punkte) Es wird der Mean Square Error (MSE) dreier Schätzfunktionen G 1, G 2 und G 3 für einen Parameter θ einer Grundgesamtheit betrachtet. Für die drei MSEs erhält man (mit σ 2 als Varianz der Grundgesamtheit): MSE(G 1 ) = σ + θ 2 MSE(G 2 ) = σ 2 + θ MSE(G 3 ) = σ 2 θ 2 Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Schätzfunktion G 1 besitzt den kleinsten MSE. (b) Schätzfunktion G 2 besitzt den kleinsten MSE. (c) Schätzfunktion G 3 besitzt den kleinsten MSE. Aufgabe 1.5 (3 Punkte) Mittels Momentenmethode sollen k unbekannte Parameter einer Verteilung geschätzt werden. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Es müssen mindestens so viele Beobachtungen (Daten) vorhanden sein wie unbekannte Parameter vorhanden sind. (b) Falls k > 2 gilt muss die unbekannte Verteilung stetig sein. (c) Die k Parameter können nur geschätzt werden, wenn die Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion der Verteilung bekannt ist. (d) Alle nicht-zentrierten theoretischen Momente bis zur Ordnung k müssen existieren, um die k unbekannten Parameter schätzen zu können. Aufgabe 1.6 (3 Punkte) Betrachtet werden die vier in der Vorlesung vorgestellten Konfidenzintervalle für den Erwartungswert. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Alle vier Konfidenzintervalle liegen symmetrisch um den Erwartungswert. (b) Bei zwei Konfidenzintervallen kommt der Zentrale Grenzwertsatz zur Anwendung. Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -4-

5 (c) Bei allen vier Konfidenzintervallen muss die Irrtumswahrscheinlichkeit α 0 kleiner als 10% sein. (d) Für alle vier Konfidenzintervalle gilt, dass die rechte Intervallgrenze immer echt größer als die linke Intervallgrenze ist. Aufgabe 1.7 (3 Punkte) Betrachtet wird der α-fehler sowie der β-fehler beim Testen von Hypothesen. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Der α-fehler ist immer kleiner als der β-fehler. (b) Für einen gegebenen wahren Parameter kann entweder der α-fehler oder der β-fehler berechnet werden. (c) Für einen gegebenen wahren Parameter ist der α-fehler immer kleiner als die zugehörige Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung. Aufgabe 1.8 (3 Punkte) Für einen Hypothesentest sei der p-wert mit p val = gegeben. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Die Nullhypothese kann auf dem 1%-Signifikanzniveau abgelehnt werden. (b) Die Nullhypothese kann auf dem 2%-Signifikanzniveau abgelehnt werden. (c) Die Testentscheidung kann nicht getroffen werden, da nicht bekannt ist, ob der Ablehnungsbereich rechts-, links- oder beidseitig ist. Aufgabe 1.9 (3 Punkte) Betrachtet wird das in der Vorlesung vorgestellte multiple lineare Regressionsmodell. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Der Parameterschätzer ˆβ enthält so viele Komponenten, wie unabhängige Variablen in die Schätzung eingehen. (b) Der Parameterschätzer ˆσ 2 schätzt die Varianzen von ˆβ0, ˆβ1, ˆβ2,..., ˆβk. (c) Da mehrere unabhängige Variablen x 1,..., x k in die Schätzung eingehen, existieren auch mehrere Parameterschätzungen für β. Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -5-

6 Aufgabe 1.10 (3 Punkte) Betrachtet wird ein M A-Prozess (stochastisches Zeitreihenmodell). Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Ein M A(0)-Prozess ist ein White-Noise-Prozess. (b) Ein M A(0)-Prozess ist ein Random-Walk. (c) Ein M A(1)-Prozess ist ein Random-Walk. Dateipfad: mc/aufgabe1.tex -6-

7 Aufgabe 2 (20 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 2.1 bis 2.5 ist mindestens eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte(n) Antwort(en) durch ein Kreuz bzw. mehrere Kreuze in der Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 auf Seite 2. Aufgabe 2.1 (4 Punkte) Betrachtet wird ein zweidimensionaler stetiger Zufallsvektor X = (X 1, X 2 ) T. Unter welchen der nachfolgend genannten (sich gegenseitig ausschließenden) Eigenschaften erhält man die Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen X 1 und X 2? Hinweis: Die nachfolgenden Eigenschaften sind separat zu betrachten und sind somit nicht miteinander kombinierbar. (a) ρ X1,X 2 = 0. (b) X bivariat normalverteilt und ρ X1,X 2 = 0. (c) X bivariat normalverteilt und Cov(X 1, X 2 ) = 0. (d) f X1,X 2 (x 1, x 2 ) = f X1 (x 1 ) f X2 (x 2 ) für alle x 1, x 2 0. Aufgabe 2.2 (4 Punkte) Welche Aussagen, den Bias einer Schätzfunktion betreffend, sind korrekt? (a) Der Bias einer Schätzfunktion kann positiv sein. (b) Der Bias einer Schätzfunktion kann negativ sein. (c) Der Bias einer Schätzfunktion kann Null sein. (d) Den Bias einer Schätzfunktion kann man nicht ausrechnen. Aufgabe 2.3 (4 Punkte) Betrachtet wird das (1 α 0 )-Konfidenzintervall für die unbekannte Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit. Welche der nachfolgenden Aussagen sind korrekt? (a) Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit gleich 50%, so besteht das Konfidenzintervall lediglich aus einem Wert. (b) Ist die Stichprobengröße gleich Eins, so besteht das Konfidenzintervall lediglich aus einem Wert. (c) Ist die erwartungstreue Stichprobenvarianz Null, so besteht das Konfidenzintervall lediglich aus einem Wert. Dateipfad: mc/aufgabe2.tex -7-

8 Aufgabe 2.4 (4 Punkte) Betrachtet werden Gütefunktion und Operationscharakteristik eines Hypothesentests. Welche der nachfolgenden Aussagen sind korrekt? (a) Ist die Gütefunktion analytisch geschlossen darstellbar, so ist auch die Operationscharakteristik analytisch geschlossen darstellbar. (b) Gütefunktion und Operationscharakteristik addieren sich dann und nur dann zu Eins, wenn in beide Funktionen dasselbe θ Θ eingesetzt wird. (c) Die Gütefunktion verläuft grafisch immer oberhalb der Operationscharakteristik. Aufgabe 2.5 (4 Punkte) Betrachtet werden stochastische Zeitreihenmodelle. Welche der nachfolgenden Aussagen sind korrekt? (a) Ein Random-Walk kann als White-Noise-Prozess aufgefasst werden. (b) Ein Random-Walk mit Drift größer Null kann niemals Werte kleiner als Null annehmen. (c) Ein ARM A(0, 0)-Prozess kann als White-Noise-Prozess aufgefasst werden. Dateipfad: mc/aufgabe2.tex -8-

9 Aufgabe 3 (9 Punkte) Gegeben sei ein zweidimensionaler Zufallsvektor (X, Y ) T mit nachfolgender gemeinsamer Dichtefunktion: f (X,Y ) : R 2 { 0, 1 6 }, (x, y) 1 6 falls 2 x 4 3 y 6 0 sonst (a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion des Zufallsvektors (X, Y ) T. (b) Berechnen Sie P (X < 5 4 Y 5). Lösung von Aufgabe 3 (a) 0 falls x < 2 y < 3 1 (x 2)(y 3) falls 2 x 4 3 y F (X,Y ) (x, y) = (y 3) falls x > 4 3 y 6 3 1(x 2) falls 2 x 4 y > sonst (b) P (X < 5 4 Y 5) = F (X,Y ) (5, 5) F (X,Y ) (5, 4) = = 1 3 Dateipfad: rechenaufg/aufgabe1.tex -9-

10 Aufgabe 4 (7 Punkte) Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit nachfolgender Dichtefunktion. 6 x 2 1 für x [0, a] a f X (x) = 3 a 0 sonst Für nachfolgenden Datensatz berechne man mittels Maximum-Likelihood-Methode einen Schätzer für den unbekannten Parameter a > 0. i 1 2 x i 0 3 Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 4 Als Likelihoodfunktion erhält man: L(a x 1 = 0, x 2 = 3) = 1 a Die entsprechenden Ableitungen sind: Aus L (a) = 0 erhält man: L (a) = 216a 5 2a 3 L (a) = 1080a 6 + 6a 4 ( 54 a 1 ) = 54 3 a a a = a 2 a = ± 108 Da L ( 108) < 0 gilt, ist a = der gesuchte ML-Schätzer. Dateipfad: rechenaufg/aufgabe2.tex -10-

11 Aufgabe 5 (6 Punkte) Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang n = 25 gezogen. Dabei resultierten nachfolgende Ergebnisse: 25 x i = x 2 i = Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Grundgesamtheit. Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 5 Für das arith. Mittel sowie die erwartungstreue Varianzschätzung erhält man: x = = 11 š 2 = 1 n 1 25 x 2 i n n 1 x2 = = 50 2 = 2500 Mit t (24) = erhält man als 95%-Konfidenzintervall: [ ] 50 ; = [ 9.64 ; 31.64] 5 Dateipfad: rechenaufg/aufgabe3.tex -11-

12 Aufgabe 6 (8 Punkte) Gegeben seien zwei unabhängige normalverteilte Grundgesamtheiten. Aus der ersten Grundgesamtheit wird eine Stichprobe (x i ) vom Umfang m = 41 gezogen und aus der zweiten Grundgesamtheit eine Stichprobe (y i ) vom Umfang n = 15. Es resultierten folgende Ergebnisse: 41 x = 22 (x i x) 2 = y i = 330 y 2 i = 9570 Überprüfen Sie auf dem 5%-Signifikanzniveau die Nullhypothese, dass die Varianzen in beiden Grundgesamtheiten identisch sind. Hinweis: Formulieren Sie Null- und Alternativhypothese, führen Sie den Test durch und geben Sie die Testentscheidung an. Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf vier Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 6 Man berechnet zunächst erwartungstreue Varianzschätzungen: š 2 x = = š 2 y = = 165 Als Null- und Alternativhypothese formuliert man: H 0 : σ 2 X = σ 2 Y Für die Prüfgröße erhält man: bzw. H 1 : σ 2 X σ 2 Y g = š2 x š 2 y = = Die beiden Quantile der entsprechenden F -Verteilung sind: 1 F (40, 14) = F (14, 40) = = F (40, 14) = 2.67 Da F (40, 14) < g < F (40, 14) gilt, folgt, dass H 0 auf dem 5%-Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden kann. Dateipfad: rechenaufg/aufgabe4.tex -12-

13 Aufgabe 7 (12 Punkte) Es soll untersucht werden, ob eine bestimmte Grundgesamtheit als Poisson-verteilt angesehen werden kann. Eine Stichprobe vom Umfang n = 60 lieferte: x i n i Führen Sie einen χ 2 -Anpassungstest auf einem 5%-Signifikanzniveau durch und begründen Sie Ihr Vorgehen. Hinweise: Schätzen Sie unbekannte Parameter mittels Momentenmethode. Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion (λ > 0) λ λx P (X = x) = e für x = 0, 1, 2, 3,... x! sowie nachfolgenden Erwartungswert und Varianz: E(X) = V ar(x) = λ Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf fünf Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 7 Es muss zuerst der Parameter λ geschätzt werden (Momentenmethode): ˆλ = x = 60 x i n = Nun werden die theoretischen Häufigkeiten ermittelt. = 2 Für die Prüfgröße erhält man: g = ( ) N 0 = 60 e 0! = N 1 = 60 e 1! = N 2 = 60 e 2! = N 3 = 60 e 3! = N 4 = 60 e 4! = ( ) = Da χ (5 1 1) = χ (3) = > = g gilt, folgt, dass H 0 auf dem 5%-Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden kann. Dateipfad: rechenaufg/aufgabe5.tex -13-

14 Aufgabe 8 (8 Punkte) Für einen bivariaten Datensatz, bestehend aus n = 30 Wertepaaren, seien nachfolgende Größen gegeben: x i = 360 x 2 i = y i = 1080 x i y i = 1200 Es wird ein lineares Einfachregressionsmodell (siehe Vorlesung) zwischen X (unabhängige Variable) und Y (abhängige Variable) unterstellt. (a) Berechnen Sie die Ausgleichsgerade. (b) Testen Sie die Nullhypothese H 0 : β = 4 gegen die Alternativhypothese H 1 : β 4 auf dem 5%-Signifikanzniveau. Hierbei sei die geschätzte Varianz der Residuen durch ˆσ 2 = 122 gegeben. Rundung: Runden Sie Ihre Ergebnisse auf fünf Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 8 (a) Man berechnet: Damit lautet die Ausgleichsgerade: ˆβ = = ˆα = 36 ( ) 12 = ŷ = x (b) Man berechnet: 122 ˆσ ˆβ = = Für die Prüfgröße erhält man: g = ( 4) = Da t (28) = > = g > = t (28) gilt, folgt, dass H 0 auf dem 5%-Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden kann. Dateipfad: rechenaufg/aufgabe6.tex -14-