Abitur 2010 Mathematik Arbeitsblatt Seite 1

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1 Abitur 2010 Mathematik Arbeitsblatt Seite 1 Name, Vorname:... Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1 3 des Arbeitsblattes) Arbeitsblatt Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk oder Taschenrechner zu bearbeiten. Das Arbeitsblatt wird nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten eingesammelt. Zusätzliche Lösungsblätter sind mit Ihrem Namen zu versehen und in dieses Arbeitsblatt einzulegen. 1 Analsis 1.1 Skizzieren Sie den Graph einer Funktion f, wobei die folgenden Eigenschaften deutlich werden sollen: f(3) = 0 ; lim f(x) = 2 ; f ist an der Stelle x = 2 nicht definiert. x 1.2 Geben Sie jeweils die Gleichung einer Funktion mit der folgenden Eigenschaft an. Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion ohne Nullstellen. Die Funktion g besitzt für x + den Grenzwert null. 4 3 Die Funktion h besitzt die Ableitungsfunktion h (x) = 3x + 6x 3x + 7.

2 Abitur 2010 Mathematik Arbeitsblatt Seite Die Funktion f mit dem Graph G hat die Gleichung = f(x) x 5x 10; x Berechnen Sie den Anstieg von G im Punkt P( 2 f(2) ). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an G im Punkt P. Geben Sie die Gleichung der waagerechten Tangente an G an. 1.4 Das Quadrat ABCD mit A( 0 0 ), B( 2 0 ), C( 2 2 ) und D( 0 2 ) wird durch den Graphen 1 2 der Funktion f mit f(x) = x in zwei Teile zerlegt. 2 Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen x -1

3 Abitur 2010 Mathematik Arbeitsblatt Seite 3 2 Analtische Geometrie 2.1 Geben Sie jeweils die Koordinaten von Punkten in einem kartesischen Koordinatensstem an. zwei Punkte in der z - Ebene; ein Punkt der z - Achse; ein Punkt, der von der xz - Ebene den Abstand 2 LE hat Gegeben sind die Vektoren x = 2, a = 4, b = 1, c = 2, d= 8, e= Geben Sie jeweils einen der Vektoren a, b, c, d, e an, der parallel zu x ist, senkrecht zu x ist, den gleichen Betrag wie x hat. 2.3 Gegeben sind die drei Punkte A( ), B( ) und C( ). Begründen Sie, dass diese Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

4 Abitur 2010 Mathematik Arbeitsblatt Seite 4 3 Stochastik 3.1 Eine ideale Münze wird dreimal geworfen. Dabei wird jeweils die sichtbare Seite (Wappen oder Zahl) notiert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal dieselbe Seite erscheint. Formulieren Sie für dieses Zufallsexperiment ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit 0,5 ist. 3.2 Begründen Sie, dass es sich nicht um die grafische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. P(X=k) k

5 Abitur 2010 Mathematik Seite 2 Hinweise für Schüler Aufgabenauswahl: Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B. Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten. Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen. Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung auf erhöhtem Anforderungsniveau ablegen, bearbeiten zusätzlich den Prüfungsteil B. Von den Aufgaben B1, B2 und B3 ist eine auszuwählen. Bearbeitungszeit: Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung mit grundlegendem Anforderungsniveau ablegen, steht eine Bearbeitungszeit von 195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung mit erhöhtem Anforderungsniveau ablegen, steht eine Bearbeitungszeit von 255 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl zur Verfügung. Hilfsmittel: Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen: das an der Schule eingeführte Tafelwerk, der an der Schule zugelassene Taschenrechner ohne CAS, Zeichengeräte ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung. Hinweis: Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen. In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar sein. Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden Gesamtumfanges beinhaltet. Sonstiges: Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich vergeben werden bei guter Notation und Darstellung, eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen, vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe. Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen Formverstößen abgezogen werden.

6 Abitur 2010 Mathematik Seite 3 A1 Analsis (25 BE) 1 Gegeben ist eine Funktion f durch die Gleichung 1 = f(x) x 3x mit x G K x Der Graph von f ist K. x 1.1 Begründen Sie rechnerisch, dass der Graph K punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung ist. 1.2 Berechnen Sie die Nullstellen von f und mit Hilfe der Ableitungsfunktionen die Koordinaten der Extrempunkte von K. Weisen Sie die Art der Extrema nach. 1.3 An den Graphen K wird durch den Punkt R(3 f(3)) eine Tangente t gelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Der Graph von t schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. 1.4 Auf dem Graphen K ist ein Punkt P(r f(r)) mit r,0< r < 9 gegeben. Durch P werden Parallelen zu den Koordinatenachsen gelegt. Diese Parallelen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck. Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks maximal wird. Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. 1.5 Berechnen Sie den Gesamtinhalt A der Flächen, die vom Graphen K und der x-achse vollständig eingeschlossen werden. Geben Sie die Gleichung der dazu benötigten Stammfunktion an. 1.6 Q(a f(a)) ist ein weiterer Punkt auf K mit a,a > 0. Die Tangente und die Normale in Q bilden zusammen mit der -Achse ein gleichschenkliges Dreieck. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q.

7 Abitur 2010 Mathematik Seite 4 A2 Analtische Geometrie (25 BE) Im Zuge des Lückenschlusses der Autobahn A14 zwischen Schwerin und Magdeburg wird der Ausbau des Dreiecks Schwerin zum Autobahnkreuz notwendig. Dabei wird die A14 über eine Brücke die A24 queren. In Vorbereitung einer Bürgerversammlung wollen Schüler in einem gemeinsamen Projekt ein Modell der Querung bauen. Der Verlauf der beiden Autobahnen wird in den betrachteten Bereichen jeweils als geradlinig angenommen. Im Folgenden werden Punkte, Geraden und Ebenen in einem kartesischen Koordinatensstem betrachtet, wobei gilt 1 LE 1 dm. Die A24 wird durch die Punkte A(10 7 2) und B(0 9 2) festgelegt, wir bezeichnen sie in unseren Betrachtungen als Gerade g. Die A14 endet zurzeit im Punkt C(4 4 5) und soll später durch den Punkt D(3 12 4,5) weiterführen, dieser Verlauf liegt in unseren Betrachtungen auf der Geraden h. Weiterhin sind die Punkte E( 1,5 8 8) und G(2 8 7) durch ihre Koordinaten gegeben. 2.1 Stellen Sie die Geraden g und h in einem geeigneten kartesischen Koordinatensstem dar. Untersuchen Sie die Lagebeziehung von g und h. 2.2 In dem Modell soll zwischen den Punkten A und C ein Wildzaun mit einer Höhe von 1,2 dm errichtet werden. Es ist aufgrund von Verschnitt 10 Prozent mehr Material erforderlich. Ein Quadratdezimeter Zaun kostet 20 Cent. Berechnen Sie die Kosten für den Zaun. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den dieser Wildzaun mit der A24 einschließt. 2.3 Die Punkte C, D und G legen eine Ebene ε fest. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem die x-achse diese Ebene durchstößt. 2.4 Ermitteln Sie den Abstand des Punktes P( ) von der Geraden h. A Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 2.6 Die Strecke EF ist parallel zu der Geraden h und 65,25 dm lang. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes F. 2.7 Untersuchen Sie, ob in diesem Modell ein Fahrzeug mit einer Höhe von 4,8 dm diese Brücke auf der A24 durchfahren kann. A C E A24 F D B

8 Abitur 2010 Mathematik Seite 5 A3 Analsis und Stochastik (25 BE) 3.1 Gegeben sind die Funktionen f mit der Gleichung f(x) = x + x + mit x und g mit der Gleichung g(x) = x + x mit x sowie der Punkt P(3 4). x Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f folgende Eigenschaften besitzt: Der Scheitelpunkt des Graphen liegt auf der x-achse. Der Graph verläuft durch den Punkt P. Der Graph hat im Punkt P den gleichen Anstieg wie die Gerade = 2x Untersuchen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von g Zeigen Sie: Die Graphen von f und g berühren einander in genau einem Punkt. Geben Sie die Koordinaten des Berührungspunktes an Die Graphen der Funktionen f und g sowie die x-achse schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie den Inhalt A dieser Fläche. Geben Sie die benötigten Stammfunktionen an. Bestimmen Sie, in welchem Verhältnis die Gerade = x die berechnete Fläche teilt. 3.2 Im Folgenden werden zwei binomialverteilte Zufallsvariablen X und Y betrachtet Gegeben ist X mit n = 3 und p =. 7 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Stellen Sie diese grafisch dar Y besitzt den Erwartungswert μ = 20 und die Standardabweichung σ= 2. Berechnen Sie die Werte für n und p.

9 Abitur 2010 Mathematik Seite 6 B1 Analsis (20 BE) Gegeben ist eine Funktionenschar f k durch die Gleichung f (x) = 2x+ k mit x,x 0,k,k 0. k Ihre Graphen sind G k (siehe Abbildung). x 1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass G k keine lokalen Extrempunkte besitzt. Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Graphen G k. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Tangenten an G k an der Stelle x = 8 mit der x-achse einschließen. 1.2 Der Graph G k einer Funktion, die Koordinatenachsen und die Normale an G k durch den Punkt P(8 f k (8)) schließen eine Fläche mit dem Inhalt A vollständig ein. 251 Berechnen Sie den Wert von k, so dass gilt: A = FE Der Graph G k, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung 1 x = schließen eine Fläche vollständig ein. 2 k Bei der Rotation der Fläche um die x-achse entsteht ein Körper. Berechnen Sie das Volumen V des Rotationskörpers in Abhängigkeit von k. Ermitteln Sie den Grenzwert des Volumens für k.

10 Abitur 2010 Mathematik Seite 7 B2 Analtische Geometrie (20 BE) z K G H I J F E D A B x C Die Abbildung zeigt das Kantenmodell (Linienmodell) eines in Planung befindlichen Gebäudes mit der Grundfläche ABCDE. Gegeben sind die Punkte A(0 0 0), B(5 0 0), C(10 5 0), E(0 10 0), F(0 0 3), G(5 0 5), H(10 0 7), J( ) und K(0 10 5). Das Gebäudemodell ist smmetrisch. 2.1 Überprüfen Sie, ob die Punkte F, G und H auf einer Geraden liegen. 2.2 Beschreiben Sie die Lage der Smmetrieebene des Modells. Geben Sie die Koordinaten der Punkte D und I an. 2.3 Bestimmen Sie den Abstand des Punktes H von der Ebene BCG. 2.4 Berechnen Sie die Dachneigung, d. h. die Größe des Winkels, den die Ebene FHK mit der x-ebene einschließt. 2.5 Ermitteln Sie das Verhältnis der gesamten Dachfläche zu der Summe der umgebenen Wandflächen (entspricht der Mantelfläche). Hinweis: Die Fläche GHI wird nicht in die Rechnung einbezogen. 2.6 Wird die z-koordinate des Punktes K verändert, ändert sich auch die Größe der Dachfläche. Berechnen Sie den Wert von z für den Fall, dass der Inhalt der gesamten Dachfläche minimal wird. Geben Sie den Inhalt der Dachfläche für diesen Fall an.

11 Abitur 2010 Mathematik Seite 8 B3 Stochastik und analtische Geometrie (20 BE) Ein Handwerksmeister plant die Gründung einer eigenen Firma für Kaminbau. Während des Besuches eines Beratungsseminars lernt er die drei Grundpfeiler einer Firmengründung kennen: Angebot und Nachfrage prüfen, Firmenobjekt finden, Finanzierung sichern. 3.1 Auf Grund einer Erbschaft verfügt der Kaminbauer bereits über ein geeignetes Firmenobjekt. Das Haus wird durch die folgenden Eckpunkte in einem kartesischen Koordinatensstem beschrieben, wobei gilt 1 LE 1 m. Die Punkte A(10 0 0), B( ), C(0 10 0) und D(0 0 0) bilden die Grundfläche des Hauses. Die Punkte E(10 0 6), F( ), G(0 10 6) und H(0 0 6) ergeben die Grundfläche des Daches. Die Dachspitze liegt im Punkt S(2 6 10) Stellen Sie das Haus in einem geeigneten kartesischen Koordinatensstem dar Die Ebenen, in denen die Dachflächen liegen, schließen mit der x-ebene je einen Winkel, die Dachneigung, ein. Begründen Sie, dass alle vier Dachneigungen verschieden sind. Berechnen Sie die größte Dachneigung Es soll ein geradliniges Kaminrohr senkrecht auf der Grundfläche des Hauses errichtet werden, das im Modell als Strecke dargestellt wird. Diese Strecke durchstößt die Dachfläche EFS im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und reicht mindestens 50 cm über die Dachfläche. Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes. Geben Sie die Länge des Kaminrohres an. 3.2 In einer Fachzeitschrift liest der Kaminbauer, dass höchstens 23 % aller Bauherren einen Kamin errichten lassen. Er möchte diese Behauptung prüfen und befragt dazu auf einer Baumesse 100 zufällig ausgewählte Bauherren. Dabei legt er fest, dass die Behauptung abgelehnt wird, wenn sich mehr als 30 Befragte für den Einbau eines Kamins entscheiden. Die Zufallsgröße wird als binomialverteilt angenommen Geben Sie das Signifikanzniveau des Tests an. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, die Behauptung entsprechend der oben angegebenen Entscheidungsregel abzulehnen, wenn der Anteil der Bauherren, die einen Kamin bauen lassen, in Wirklichkeit 20 % beträgt. Tabelle der Binomialverteilung (Summenfunktion) für n = 100 und p = 0,23 bzw. p = 0,20 k F 100;0,23 (k) 0,7283 0,7991 0,8571 0,9022 0,9357 0,9594 0,9753 0,9856 F 100;0,20 (k) 0,9125 0,9442 0,9658 0,9800 0,9888 0,9939 0,9969 0,9984