9. VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR

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1 4 9. VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR 9. Aufgaben zur Analysis 477 Golden-Gae-Bridge. Dadurchläss sichdie Symmerie der Brücke ausnuzen.. a) Anach B: Ansaz: y=m +b liefer LGS: m ( 64) + 6 = 5 m ( 977) + b =. 5 7 Lösung: m = ; b 44, y = ( + 977) b) B über Cnach D: Ansaz: y = a a 64 = 5 5 y = 646 c) Analog zu a): 5 y = ( 977) 7 Für gil: k() Symmerie zur y-achse Keine Nullselle Tiefpunk ( ) keine Wendepunke

2 Forsezung f() = e e f () = e + e Man sieh, dass weder f noch f Nullsellen haben, aber f eine Nullselle bei =ha..4 Der Ansaz: a a y = e + e liefer,787,787 y = e + e Die Keenlinie häng särker durch, die Parabel schein besser geeigne..5 Mannäher die Länge durch die Summe der Länge einzelner Sehnenan (Skizze). Dabei ergebensichkleine rechwinklige Dreiecke. ( ) Für eine Sehne gil: = ( Δ ) + f( + Δ) f() Für Δ wird ausder Summe dannein Inegral. 478 Wachsumvon Hopfen. Die Wachsumsgeschwindigkei is proporional zum Absand zwischender erreichen und maimal möglichenhöhe (Obergrenze). Es ergib sich die DGL: k h() = k (6 h()) h() = 6 c e Aus h() =,45 folg c=5,55; ferner erhäl mank=,4 (logarihmische Aufragung). Man sieh, dass die Näherung nich gu is.

3 Wachsumsgeschwindigkei is zur erreichen Höhe und zum Absand zwischen der erreichen Höhe und der Obergrenze proporional. h() = k h() 6 h() DGL: ( ) 6 e 6 e e e + h() = ( e + ) ( ) 6 6 erweiernauf 6 e 6 e 6 e ausklammern von e + ( ) e e + + = 6 e 6 e = 6 e + e + ( ) = d() 6 d() e + e d() = = lim d() = 6, lim d() = keine Nullsellen 6 e keine Eremsellen, da d() = = keine Lösung ha. ( ) ( ) e + 8 e e d() = = liefer Wendepunk W( ln () ) e + Die Wachsumsgeschwindigkei is bei halber Höhe maimal. Der Vergleich der beidenwachsumsmodelle zeig sehr deulich, dass der Prozess mi demlogisischen Wachsum besser modellier werden kann.

4 Behaupung: Graph is symmerisch zumwendepunk. Dazu verschieb manden Wendepunk in denursprung: + ( ) + ln() ( ) ln() 6 e 6 e 6e e e = = = = = e e e e e d () Zu zeigen: d ( ) = d () e e e + + e d () = = e e + e + e d ( ) = = Dieim Nennerund Zähler mi e erweiern e e + e e = Gesambruch kürzen mi e = e + e = g () 4ln 6 d() d = d() = ln.5 ( ) Kirche Sao Francisco deassis Wähle markane Punke als Ansazpunke fürkubische Splines. Manerhäl z. B. dassysem: f() = f(4,5) =4 f(7,5) =,8 f(9) =4 f() =,8 f(8) =8 f(,5) =4 f(5,5) =4,8 f() =

5 8 478 Forsezung S () =, +, S() =,68 S() =,4,9 +,7 4,9 S () =,66 + 6,66 54,65 + 5,6 S () =,97,4 +,579 4,485 S () =, 4, , , S () =,6, ,85 489, S () =,87 + 6,75 5,9 +, 49 S () =, 6, , , 484 Die Farbe solle also reichen Funkionenschar und Krafsoffverbrauch 4. ( ) ( ) f() = + + k e ;f () = 4 k + e Nullsellen: =± k fürk lim f k() = ; lim f k() = Eremsellenbei + k (Hochpunk) und k (Tiefpunk) für k>; für k=:bei =Saelpunk. Wendepunk bei ± k + fürk ; für k=:bei =Saelpunk 4. Für k>: = + k, also k = und Eremsellenbei: ( ) ( ) = k, also k = ; ( ) Einsezenvon kinf() ergib für ( ) ( ) und für : ( + ) + e = e : e + = e Orslinie g() = e. P( g()) is nich Teil der Orslinie (Saelpunk von ( ) f () = + e ).

6 9 479 b) 4. a) Für = + kwirdf k() maimal. Also isder momenanekraf- soffverbrauchnach + k Minuen am größen. f k ()d ( ) + k e (k )e k + k e k + e k e e k,594 5 Medikameneneinnahme k f k() = ( k) e 5. a) 5. k f k () = k(k ) e k f k() = 6,8 = e k, Erempunk bei = = 5 (lau Grafik) liefer k. k 5, f,() 4 e =, 77 b) ( ) fk = e = ;f k k ke,(5) 6,788 c) f,(4),95 Da f k für>5fä ll, folg die Behaupung. d) f k () = liefer = ; also für k=, bei =. k,, e lim f () = lim = DasMedikamen wird nahezu komple abgebau. 5. Erempunke bei ( ) k k e liefer Orslinie g() = für>. e 5.4 < 5 k >,47 ke 5e

7 48 6 Vom Graphen zum Funkionserm 6. Der Graph jeder Funkionder Schar k is punksymmerischzum Ursprung, d.h.die Summanden der ganzraionalenfunkionenhaben nur ungerade Eponenen. Nullsellenvon f: k = k, =, = k Die Nullselle = habenalle Funkionsgraphen von f k gemeinsam. Es gib je einenhochpunk undeinen Tiefpunk. Für + gil k f() k +. DerSummand midem größeneponenenimfunkionserm isalso kleiner als null. Der Ursprungis Wendepunk von f k. Die Gerade mi der Gleichung y=is Tangene imwendepunk. 6. Ansaz: f() k = a + b Aus f() = folg b=. k Aus f(k) k = ak + k = folg a = Also gil: f() k = + k k fürk. k e = e + = = e k e = ( e) = e + e = e + e = e k e f, also für k 6. ( ) y f Die Erempunke von f liegenauf der Geraden mi der Gleichung y =. 6.4 Jede Funkion f k k ha den Grad drei. k Im Fall k gil und somi f() k. k fk = f()d k = + 4k ( ) k = + = 4 f k k k k

8 48 7 Volumen einesflüssiggas-tanks 7. Angenommen, der Tank häe die Höhe 5 mm =5dmund die Form eines Zylinders. Dannhäe dertankdas Volumen V =π 6,5 5dm 67,96.Das sind weniger als. Da dertankasächlichkleiner alsder obenbeschriebene Zylinder is, muss auch dasvolumen destanks kleiner als sein. 7. Gegebensei eine beliebige monoone Funkionfaufeinem Inervall [a; b]. DasInervall wird in nteilinervalle unereil, für deren Breie Δ = gil. Weier sei = a und n = b.die Funkionswere f(a); ( ) ;f(b) sind Radienvon Zylindern mi der Höhe b a. n Diese Zylinder haben folgende Volumina: b a ( ) ( ) V f(a) =π, ( ) n Aus V,V,...V n b a n f ; ( ) f ; b a =π ( ) ( ) ( ) ( b Vn=π f(b) a ) V f n kann mandie beiden Summen Sn = V + V+ V Vn und S n = V + V + V V n bilden. Diese beidensummensind die Volumina vontreppenkörpern. Es gil S V S. n n b Fürn ergib sich ( ) lim S = lim S = π f() d (analyische n n n b Definiiondes Inegrals). Dami gil: ( ) n a V =π f() d a n 7. a() = ( ) + 65 = is die Gleichungeiner quadraischen Funkionder Form y = A + b+ c.ihr Graphis eine Parabel, nach unen geöffne. Scheielpunk dieses Graphenis ( 65). Diese Angaben passen zur abgebildeen Parabel. Der andere Graph (monoon fallend) mussdemnach zur Funkion mi der Gleichung b() = 565,5 (5 ) gehören. Die Funkionabeschreib den Übergang von der Krümmung zummanel besser als die Funkionb.Die Rechnung mi ais einfach. Die Funkionbbeschreib die Krümmung der Aufsäze imbereich der größentanklänge besser als die Funkiona. Die Rechnung mi der Funkionbis ebenfalls einfach, dadurch Qua- e drierendes Funkionsermsin ( ) V =π f() d a die Wurzel wegfä ll.

9 48 7. Forsezung 5 Aufsaz: ( ) Mieleil: VA =π b() d (mm ) A V 5,4 M V =π 65 (mm ) V 454,4 M V = V + V 76, Tank: ges A M 7.4 Die Füllhöhe häng vonder Querschnisfläche, die parallel zur Aufsellfläche is, ab. Diese Fläche nimm biszueiner Füllhöhe vonh() =65 mm zu, daher nimm die Seigungder Funkion himinervall [; 65] ab. ImInervall [65; 5] nimm die Querschnisfläche abund die Seigungder Funkionhwieder zu. Der Graphvon hmuss wegen der Symmerie destanks punksymmerisch zum Punk P sein Vermehrung von Waschbären mihilfe von Funkionen beschreiben 8. Wir bezeichnen mi die Zei in Jahren. Fürdas Jahr 94 sezen wir =. DieAnzahlder lebenden Waschbärenzum Zeipunkbezeichnenwir mi W(). Es gil: W() =4,W(4) 4 Linearer Ansaz: W() =m Wir besimmen die Seigung m: m = 9 Dami erhalen wir W() Für das Jahr 4, also 7 Jahre nach demaussezen der Pärchenergeben sich nach diesem Wachsumsmodell ewa 65 Tiere. 4

10 48 8. Quadraischer Ansaz: Wir besimmen a. 4 = a a= W() = a + 4 a Dami wäre bei diesemansaz W() + 4. Nach diesem Modell würdees4 ewa 8 Tiere geben. 8. In der Zeiungsmeldung wird die Annahme gemach, dasssichdie Zahl der Waschbärenalle Jahre verdoppel. Diese Annahme is in keinem der Wachsumsmodelle in. bzw. in. berücksichig. Bei der linearen Wachsumsfunkionerhöh sich die Zahl der Tiere alle Jahre um 9 Tiere, also um einen konsanenberag. Beider quadraischen Wachsumsfunkionerhäl man W( +) =W()+ +98 im Fall der Verdoppelung nach Jahren müsse aber gelen W(+ ) = W() + W() = W() Ansaz: W() = a b Es gil: W(+ ) = W(),also + a b = a b a b b = a b b =,also b= Es gil: ( ) W() = a Um azubesimmen, können wir enweder () W() =4oder () W(4) 4 benuzen, soerhalen wir zwei Lösungsmöglichkeien: () W() = 4 ( ) () W(), 94 ( ) VonJahr zujahr wächs die Anzahl der Tiere mi demfakor,6. Dasprozenuale Wachsum beräg jährlichalso ewa 6%. Aus ( ) = ln( ) = ln ln = 9,97 ( ) ln erhalen wir, dass sichdie Anzahl der Tiere ewa nach Jahren verzehnfach ha.

11 () µ 8 () µ 4 Man erkenn für die Wachsumsfunkionen() ( ) () ( ) W() = 4 und W(), 94,dassfür() die Funkionswere ewa doppel so groß sind wie für(). Dieser Unerschied wird auch bei den Mielweren deulich. Manerkenn µ µ Wachsumvon Sonnenblumen 9. In denersenwochen isdie Höhe h() annähernd proporional zur Änderungsrae, dami schein ein eponenielleswachsumvorzuliegen. k h() = e Mi h() =4, folg k,4,4 Näherungsfunkion: h() = e ; inwochen 9. Berache man nur die Werepaare der neuen Tabelle, schein ein begrenzes Wachsum mi einer Säigungsgrenze von ca. cm vorzuliegen. Die Tabelle zeig zwischen der. und der 8. Woche eine annähernde Proporionaliä zwischender Änderungsrae Δh Δ und dem Säigungsmanko S h() bei einem kräfigen Ausreißer in der 4. Woche. * k( 6) h() = a+ c e () () * lim h() = a = * h(6) = + c= 49, c= 7,8 4k () h() = 7,8 e =,4 k,66 Näherungsfunkion: *,66( 6) h() = 7,8e

12 (in Wochen) gemessene Höhe h 49, 8,9,4, 5,8 8, 9, 9,8 * h() 49, 85,7,4, 6, 8, 9, 9,6 Fehlerberag,8,,,,, Der Fehler is in der 8.Woche mi,8 cm Abweichungamgrößen. Der milere Fehler beräg,7 cm. 9.4 *,66( 6) h () = 5,67e * h is für6 an der Selle =6amgrößen. Sez man die beidentabellenzusammen, so handel essich insgesam um einlogisisches Wachsum. Im Bereichzwischen4.und 6. Woche geh daseponenielle in das begrenze Wachsum über. Dies is der Bereich, in demdie Wachsumsgeschwindigkei am größenis. Berechnungen am Barockgiebel. Annahme: Grad a = 4 f() = a + 4 f() = a f(4) = a 4= 8a a = f() = 4 im Widerspruchzu f(4) = Grad 4. Wegender Symmerie des Graphenscheide Grad und Grad aus.. Annahme: Grad f() = a + a + a f() = 4a + a f(4) = a = a f(4) = a = 6a 4 64 f() = a 4 = ; a 64 = 4 6

13 6 48. Ansaz: Nullsellenvon gsind = 4 und = 4. Es wird im Folgenden nur derbereich rechs der y-achse berache, dies vereinfach die Rechnung. s 4 g()d sg(s) = s g(s) + g()d s s 4 g()d = sg(s) + g()d s ( ) s s s s 8 + 4s = s s + 8s s Vereinfachen dieser Gleichung und Lösenergib s,57 bzw. h, Wachsum von Weißannen. h() = 5 k k e 5 k (,5+ 48,5 e ) k h() (5 h()) = 5k ( ) 75k 5,5+ 48,5e 75 5k,5+ 48,5e 5k,5+ 48,5e 5k ( + ) 8875 k e 5k 5k (,5+ 48,5 e ) (,5+ 48,5e ) 75k 75 45e 75 5k = = = h() 75,5+ 48,5e. h(5) =8,4 = 8, 4 k,5 75k 75 h() =,5,5+ 48,5e 9% der Endhöhe: 45m ,5 h() =45 = 45 e = = ln,5,5+ 48,5e 48,5,5 48,5 45,4, Es dauer noch,4 Jahre.. Beobachungsbeginn: = h() =,5 Bei Beobachungsbeginn war die Tanne,5 mhoch.

14 7 48 Unersuchung von Sprungschanzenprofilen. a) b) a 4 a 6 a b + c = + 6b + c = b + c = 8 96 m + n = 8 m+ n =,5 Lösen(z. B. mi Gauss) liefer: a=98; b=,75; c = 5; m = ; n= f() = +,75 5 f () = 5 48 f (),75 ; f () = = Es reich den Tiefpunk von f zubesimmen, da f an f anschließ und f monoon wächs. f () = = 8; f (8) > (8 ) is iefser Punk. c) Die beiden Teilfunkionen sind inihrem Definiionsbereich jeweils differenzierbar. Esmuss überprüf werden, ob f (96) = f (96) gil. f (96),75 f (96) 48 = = = 48 Die zusammengeseze Funkion is also differenzierbar. 96 d) V = f () + 5d + f () + 5d = (68, ) 4 =,5 4 = 489 Es werden also 489 m Beon benöig.. a) Die Krümmung is die Richungsänderungpro Längeneinhei. 96 für 4 < 96 k() = 48 + (,75 ) für 96 < Bei =96is kein Wer für die Krümmung definier, da k f () k f () für=96.

15 8 48. b) Fürdie milere Krümmung mgil: 96,79 m = k f ()d = =, Trigonomerische Funkion 484. a) b) fachsensymmerisch, daund sin punksymmerisch zum Ursprung bzw.: f( ) = sin( ) = ( sin()) = sin = f() f() = Nullsellenk π,k f() = cos + sin = analyisch nich lösbar, Tiefpunke bei (±4,94 4,8447) Hochpunke bei (±,875,897) f () = cos sin() Wendepunke bei (±,646,755) und (±,769,948) π;π c) sin =mi >; [ ] (sin ) = i keinelösung für> π =und = sin () = i π ; für= 4 i 4Lösungen für< EinSchnipunk bei =für>; drei Schnipunke/gemeinsame Punke für=; fünf Schnipunke/gemeinsame Punke für<. a) Berührpunke = π 4,7 und = π,57 π π Länge: ( ( ) ( )) ( ( )) f f π + π = 8π 8,886

16 b) Da g() = füralle, auch für π π. ( ) = π und = habendie Doppelkegel der Roaionumdie -Achse oder die y-achse dasselbe Volumen. B, da sin=für = und =. f() = cos + sin π ( ) f = Seigungder Normalen is. Gleichung der Normalendurch B:y= +π zweier Schnipunk: P(π ) unere Fläche zwischenund π: π π π A = sin+ ( ) = + 8,7 obere Fläche zwischenund π: π π π A = sin ( ) π 8 π,979 A =π A Es gil also A + A =π. A π A = A A A,464 π π.4 a) Ansaz: b) a + b + c + d liefer: 4 4 π π p(x) = + π f()d =π,46 π p()d =, 9 π d = c = aπ + bπ = a π + b π = π 8 4

17 Funkionenscharen f () = e ( ) f () = 4 e 4. Hochpunk bei ( ) Wendepunke bei ± e ( ) ( ) ; = = f e ;f e e e / ( ) y = ± ± e = ( e ) + y e = ( e ) + y 4. e = e = = Orskurve: s() e = für=,5 gil s() =w() 4. Für s>gil < s und e < e ; s also: f s() < f (), also keine Schnipunke.

18 Nullselle: =6 f b () = ( b+ )e f b () = ( b + )e Tiefpunk: =b Wendepunk: =b b b lim f () =, lim f () = Nullselle: =b f() = b (y-achsenabschni) 5. f = f, allgemein gil: 5. f = f, daf () = ( b + ) e b b b b b = ( (b )e ) = f b () b A = f ()d = ( b ) e = e Fürb wird die Fläche immer kleiner und sreb gegen. 5.4 f b () = b + y = b + ( b + ) () b + ( b + ) = c + ( c+ ) (c b) = b c = b c ( b+ c) c b = c b = Der Schnipunk lieg immer bei = b f() = ( b + )e ; f b () = ( b + )e f b () = = b b f b (b ) = e > Also eintiefpunk bei =b. Da zusäzlich gil: lim f b () = und f b() für, gib es nur eine Nullselle für alle b.

19 Achung: Es sollenalle b berache werden. Zum Flächeninhal: Da die einzige Nullselle von f b is, gil für den gesuchen Flächeninhal: b ( ) A = ( b) e d A b = ( b ) e ( ) Ab = b e + b+ ZurNullselle von von f b : ( ) b e = b = e Man kann z.b. mihilfe desschnipunkverfahrens näherungsweise besimmen. Man erhäl so z. B. b 5 5,856,46,77,99 5, 5 A b,5,4 8,67,79 5,47 e e + 9 e + 49 Fürgroße Were vonbgil Für b gil A b. b b und Ab e + (b ). 6. f() = b+ y = b ( b+ ) b ( b + ) = c ( c + ) b c = = c b Schnipunke immer bei =.

20 lim f b() = und f b() für. Nullsellen = b ( ) = und = b b () b= () b= () b = b f () = b e 7. b ( b) e b ( ) b f = ; f () = b b b Normalengleichungen: n b b () = ( b) undn () = e n Schnipunk = n Schnipunk Höhe desdreiecks: ( ) ( ) ( ) b b = e b ( ) f be + b be + b e + Schnipunk = = d. h. die Höhe desdreiecks beräg ses e +,9 A b = b = e + be ( + ) lim Ab = und Ab fürb b 7. ( ) = A lim e d b b Mihilfe desbefehls fnin eines GTRfinde man folgende Were: b 5 6 A Vermulichgil A = 4. Mihilfe descas finde manauch ( ) ( ) ( ) b e d = e b = 4 b 4b + 4 e b Fürb ergib sich dami A = 4.

21 4 485 b 7.4 ( b ) = ( b ) ( ) ( b b e ) = b b ( ) b e = und b e =, b also =oder = oder = (für b>). b Also für b> habendie beiden GeradenSchnipunke. ln b b a + e = = ln( a) füra< also: füra<: D = \{ ln( a) } füra : D = lim f () = füra ; lim f a() = füra ; a beia=: f a() für füra<zusäzlichzuunersuchen: Verhalenvon f () für ln ( a) >ln ( a) und ln ( a): <ln ( a) und ln ( a): f a(ln a ) = ( ) a ae a+ a e ae = = f a(ln a + ) ( ) a+ a e fsymmerisch zu =ln afüra. ( a e ) f() = f () = a+ e füra=: a f a () f () f() e = ha keinerema für a : () f a () > füralle () a e a+ e a =, also a e =,also =lna nur lösbar für a>. D. h. für a<kein Erema. Hochpunk oder Tiefpunk bei =lnafüra>? Nach demvorzeichenwechselkrierium fürerema gil: für <lnagil: e < a,alsoa e >,also f() > Erweiern mi für>lnagil: e > a,alsoa e <,also f() < e

22 Forsezung D. h. bei lnalieg ein(+ )-Vorzeichenwechsel von f vor, d. h. hier ha dergraph vonfeinenhochpunk ( ln a ) Orslinie der Hochpunke für a>: h() = 4a 4e 8.4 Auswahlder Parameer: a=,5< a= a=,5 > Diese dreigraphen zeigendie dreiypischen Verläufe der Graphender Funkionenschar. 8.5 Achung: Es muss fa sa f heißen. f a ()d = e + a h()d = 4e Gesuch wird,sodass gil: = 4e e + a = e e + a e = e + a e = a = lna

23 6 9. Aufgaben zur Sochasik 486 Blugruppen. a) p = ;n=; p = P(X <6) =P(X 59) =P(X 4) = P(X 4) =,94 =,66 b) nmusssobesimm werden, dass µ,8σ n,8 n Erseze n =,alson=,64,8 +, 95 +, 95,95 7,44 X 8,49, also n nmuss mindesens sein.. Mi einer Wahrscheinlichkei von9% gil X µ,64σ bzw.. X n p,64 Die Abweichungsoll höchsens,5% beragen, d. h. in 9% der Fälle soll gelen:,64 p( p) n,5 Für p,, also p,8 würde gelen(ungünsiger Fall),64,,8 n,5, also n 7 4. a) n=4 4; p=,77; µ,96σ =99,; µ +,96σ =95,5 liefer dasinervall [99; 96]. relaive Häufigkei: [,7;,8] b) Löse X n np( p) n p,96 mi X=97 und n=4 4. [,748;,87] c) In beiden Aufgaben soll eininervall angegeben werden, in demder unbekanne Aneil pmi einer Wahrscheinlichkei von 95 %lieg. In a) wird vonder Grundgesamhei auf den Aneil der Sichprobe geschlossen. In b) wird vonder Sichprobe aufdie Grundgesamhei geschlossen. σ n

24 7 Freikaren 486. n=5; p=,4(x: Anzahl der Freikaren fürjungen) P(X ) =P(X =)+P(X=4) +P(X =5) =,4,6 +,4,6 +,4,6 4 5 =,4 +,768 +,4=, P(lauer Misserfolge) =( ) n 9 P(mindesens einerfolg) = ( ) n,9 n 45. Kugel-Fächer-Modell: 5 Kugeln werden zufä llig auffächer vereil.4 Löse (n =5; p= ) 5 P(X=) =,95 =, P(X=) =,5,95 =, 5 48 P(X=) =,5,95 =, P(X=) =,5,95 =, P(X>) = P(X ) =,4 X n p( p) n p,64 mi X=4und n=6. Inervall: [,566;,7574] Es beseh keingrund, ander Fairhei zu zweifeln, da 5 lieg. =,6 im Inervall 487 Glücksrad. a) Gebursagsproblem! ! P = = =,9996 b) P(X = ) =,49 P(X = ) =,87 P(X ) =,64. a) normalcdf(; 7,5; 6,4)+normalcdf(5; 7,5; 6,4) =,745 7,4 %

25 b) Uner der Annahme, dass das Glücksrad fair is, mussdie Durchschniszufallsgröße X 5 5 = 5 Xk berache werden, wobei Xk der Zufallsvariablender k-endurchführungensprich. k = Für alle Xk gil: µ =7,5 und σ =6,4. 6,4 X5 is normalvereil mi µ X = 7,5 und σ = =, 8. X 5 Die Realisierung von X5 lieg mi 95%in µ X, 96 σ X; µ X +,96σX [4,98;,8]. Fallsdie beobachee Durchschnispunkzahlnich in diesem Inervall lieg, solle man Verdach schöpfen.. a) n=5; p=,6; µ =5; σ =7,75;,64σ =,7 Mi einer Wahrscheinlichkei von9% wird dasglücksrad mindesens 8-mal und höchsens6-mal auf einemschwarzen Sekor sehen bleiben. b) n=: P(X 4) =,66 n=5: P(X 4) =,57 n=: P(X 99) =,7.4 Die Zufallsgröße Gbeschreibe den Gewinn. Gkann nur die Were, und annehmen. AmBaumdiagramm sieh man ein: P(G =) =,5; P(G =) =,9; P(G = ) =,88 Erwarungswer: E(G) =,96, dami verlier manauf Dauer 9,6 Cen pro Spiel.

26 Körpergewich a) µ= cm =8,5 cm 9,5 68,5,88 b) P(X >8,5 cm) =P(X <8,5 cm) =5% P(µ,674σ X µ+,674σ) =P(76, cm X 84,8cm) =5% c) 6,8 cm X σ = =,68 cm P(X >84 cm) =P(X 84,5cm) =P(X 8,5 cm +6, σ )=% X σ= =6,8 cm 4. p=,5; n=8; µ =4,5; σ =5,87;,64σ =8,4 9%-Umgebungvon µ: 7 X 4 Mi einer Wahrscheinlichkei von9% lieg die Anzahl der 8jährigen in der Sichprobe im Inervall [7; 4]. 4. a) Löse die Gleichung X n p,96 np( p) mi n=5 und X=9 p [,5;,],96 b) ( ) n,5 = 964, Känguru-Webewerb σ σ 5 n n 5. p = ; n = ; =, 7;, 8 =, 9 X σ ( ) P p +, 8,9 n n Mi einer Wahrscheinlichkei von9% wird er aufeinen Aneil von höchsens9,% richigen Anworenbekommen. Man kann auch direk ausrechnen: P(X 8) =,87; P(X 9) =, = a),6 +,5,5 +,7, +,,9,6,4 leich,5 + miel, + schwer,6

27 b),6 +,6,4,5,5 +, +,,6, a) P(X >5) = P(X 5) =, b) P(5 <X<5) =P(6 X 4) =, a) Näherung für das arihmeische Miel (Näherung, weil wir die Klassenmienverwenden müssen): 5,8958 Näherung für die empirische Sanardabweichung: 7,54 b) Wenn eine Normalvereilung vorlieg, dann müssendie gemessenen relaiven Häufigkeiender Klassensich in der Nähe der heoreischen Wahrscheinlichkeienbewegen. Also: Vergleich vonbeobacheen mi erwareen Häufigkeien. Angenommen wird eine Normalvereilung mi µ =5,8958 und σ =7,54. Klasse Wahrscheinlichkeihäufigkei Abweichung relaive Klassen- relaive -9,95,476,5,67-9,95,967,786,4-9,95,5884,445,87-9,95,78,5, ,95,9957,486,5 5-59,95,64,97, ,95,858,589, ,95,44,856, ,95,475,475, ,95,478,8,5544-9,95,,85 5,6894-9,95,54,45 5,6894-9,95,6, 7,9749 -,95 5,4 E-6,9 7,67 4-4,95, E-7, 96,845 5,4 - Man kann erkennen, dass die Abweichungenamrechen Rand sehr groß werden. Daher kann keine Normalvereilung vorliegen.

28 Hoelübernachungen 6. (A) PTouris =,7; X: Anzahl der Tourisen n=5: P(A) =P(X ) = P(X ) =,87 (B)Tripel =(Geschäfsleue; ausländische Tourisen; deusche Tourisen) B={(; ; 5),(; ; 4),(; ; ), (; ; 4), (; ; ),(; ; ), (; ;), (; ;), (4; ;)} P(B) =,6, vgl. Tabelle: 4 5,,9,,57,5,8,6,4,4,7,6,4,76,7,8,7,6,55 4,,8 5, (C)P(6;9;5)=,,45,5 =,4 6; 9; 5 6.,8= p + p( p) = p + p p = p 6.,,5 +,,75 +,7,5 4+,7,75 =8, P(G >5 kg) =P(G > +,5 ) φ(,5) 6,7% 7 Medien heue 7. Schlussvon der Gesamhei auf die Sichprobe n=5; p=,69 9%-Umgebungvon µ: 9 X 6 7. a) P SP (m) 6% b) P MU (w) 6% c)

29 4 49,64 7. ( ) n,5 = 747,, also mindesens 748., 7.4 Man benöig Informaionen über die Alersvereilung. 8 Nur alle vier Jahre Gebursag 8. Die Wahrscheinlichkei, am 9..Gebursagzuhaben, wird mi p = 46 angenommen. Daher kann man mi 5 p 8 Personen rechnen. 8. p = ; n= 5; µ =8,6; σ =9,6 46 Inervall: [65; ] 8. n=8; p = ; P(X=) =,578; P(X=) =,68; 46 P(X>) =, Merkmalsgruppen: b4 Personenbis uner 4Jahre ü 4 Personen über 4Jahre N Personenfeiernnach H Personenfeiernin.. hinein 4 %der Bevölkerungsind höchsens4jahre al, also auch 4 %der Peronen, die am9. Februar Gebursaghaben. Von diesen bevorzugen es ca. 67 %, ihrengebursag vom 8. Februar inden. März hineinzufeiern. Uner den Personen über 4Jahrenberäg dieser Aneil nur ewa 6 %.

30 Forsezung 56 %der Personen, die am 9. Februar geboren sind, feiernihren Gebursag nach; von diesen Personen sind 75 % über 4Jahre al. Uner den Personen, die lieber vom 8. Februar inden. März hineinfeiern, habendie jüngeren(höchsens4jahre) mi 66 %eine deuliche Mehrhei. 8.5 In der.und. Auflage fehl die Angabe: von Grundschülern Löse die Gleichung X n p,96 np( p) mi n= und X= p [,54;,84]. Wegen 46,68 kann bei der zugrundegelegen Sicherhei auf keine besondere Häufung von Gebursagenam9.. geschlossen werden. 8.6 Wie groß is die Wahrscheinlichkei, dassaneinem (beliebigen) Tagdes Jahres keiner der PersonenGebursag ha? 64 ( ) 65 = binompdf (, /65, ) =,% DasModell sez voraus, dass die Wahrscheinlichkei für einen Gebursag an jedemtag gleich is Würfeln mi einemschiefen Prisma 9. Kombinaion Anzahl Wahrscheinlichkeilichkei Wahrschein- Kombinaion Anzahl ; 6; 6, 4; 4; 6,484 ; 5; 6 6,4 4; 5; 5,78 ; 6; 6,8 4;5;6 6,96 ; 4; 6 6,484 4; 6; 6, ; 5; 5,78 5; 5; 5,58 ; 5; 6 6,96 5; 5; 6,4 ; 6; 6, 5;6;6,8 4; 4; 5,87 6; 6; 6, P(Augenzahl >) =,

31 Die Zufallsgröße Xzähle die Augensumme nacheinem Wurf. Erwarungswer E(X) =,+,8 +, +4, +5,8 +6, =,5. Man kann Augensumme 5 erwaren. 9. Die Zufallsgröße Xzähle die Einsen und Sechsen in 5 Würfen. n=5; p=,; P(45 <X<55) =,5 9.4 n=5; p=,8; µ,96σ =7,6; µ +,96σ =6,88; Inervall: [7; 7] 9.5 Löse die Gleichung X n p,96 np( p) mi n= und X=8 p [,57;,5], ( ) n,5 = 68, Frühsück im Hoel. P(A) =,5 +,5 +,44 =,54 P(B) =,5 P(C) =,54 +,,5 =,69. 5% der Gäse erfüllendie Eigenschaf, dass sie Geschäfsreisende sind und dass sie Rühreier mi Speck zum Frühsück nehmen; 54% der Gäse nehmen Rühreier mi Speck zum Frühsück. Der Aneil der Geschäfsreisenden uner den Rühreier-Essern beräg daher 5,648 =64,8%. 54. a) Tzähle die Tourisen. Tis binomialvereil mi n= und p=,. P(T >) = P(T ) =,459. b) Gzähle die Geschäfsreisenden. Gis binomialvereil mi n= und p=,5. P(T 5) =,598.

32 Augus: Löse 8 47p,96 47p( p),dannfolg p [,58;,674]. Sepember: Löse 8 47p,96 47p( p),dannfolg p [,59;,649]. Beide Inervalle überschneiden sich. Eskannnich sicher voneiner Verbesserung ausgegangen werden..5 Lineare Regression: y() =84, , Dami: Prognose für 9: y(9) 86 77; Prognose für : y() 88 5 Schäzungen zumflugverkehr. Kugel-Fächer-Modell: 5 Unglücke werden zufällig auf 65Tage vereil (n =5; p= 65 ) binompdf (5, /65, ),878 binompdf (5, /65, ),976 binompdf (5, /65, ),86 Summe,99964 Wahrscheinlichkei für mehr alsabsürze:,6%. binomcdf(5, /5, ),6%. Die in(), () berechneen Wahrscheinlichkeien gelenfür alle Tage bzw. Wochen des Jahres 87,% von 65 Tagen 8 Tage ohne Absurz,% von 65 Tagen 44 Tage mi Absurz,8% von 65 Tagen Tage mi Absürzen,6% von 5Wochen Woche mi mehr als Absürzen.

33 Wahrscheinlichkei für mindesensabsürze an einembeliebig ausgewählen Tag:,84% Wahrscheinlichkei, dass es während einesjahreskeinen Tag mi mindesensabsürzen gib: 65,996 4,6% Wahrscheinlichkei, dass es während einesjahresmindesenseinen Tag mi mindesensabsürzen gib: 65,996 95,4%.5 Angenommen, auch weierhinsind % derflugzeuge nichsicher; dann isdie Wahrscheinlichkei, dass 8 oderweniger für die Konrolle ausgewähl werden: binomcdf (,., 8),%. Die Wahrscheinlichkei, dass ein solches Ergebnissich zufällig ergib, berägimmerhin,%. Löse 8 p,96 p( p),dannfolg p [,58;,8]. Ausden Daen kann weder eine Verbesserungnocheine Verschlecherung abgeleiewerden In der.und. Auflage fehlendie Angabenzuder Anzahl der Billigflug- Passagiere (in Mio.): Jahr Anzahl der Billigflug-Passagiere (in Mio.) 6,6,5 4,6 5, 6 4,8 7 48,6 Damiergibsichdie Gesamzahl der Fluggäse: Jahr Anzahl der Flug-Passagiere (in Mio.) 7,5 4, 4 55, ,6 6 74,6 7 84,79 Lineare Regression ergib die Gerade y=9, ,. Schäzung für: y(),9 Mio. Fluggäse Kriischer Kommenar: Die Anzahlder Flugpassagiere kann sichsehr schnell wieder verändern, wenn es beispielsweise eine größereflugkaasrophe gib. Zwar hadie Anzahl der Passagiere imzeiraum zugenommen, aber derprozess muss nich unbedingsoweiergehen.

34 47 49 Beliebhei von Unerrichsfächern. ()binompdf (,.7, 7) 8,7% ()binomcdf (,.7, 75) 88,6% ()binomcdf (,.7, 7) binomcdf (,.7, 59),6, 6,%. Gegenereignis E: Uner nzufällig Ausgewählen reib niemand gerne. P E =, Gesuchis nderar, dass Spor: ( ) n n n log, log,,,99,, n,8 () P( Ja ) = 6 +, 7,% () 6 + p,5 p 6,7% =.4 Jungen: Löse 87 p, 64 p( p),dannfolg p [,49;,5]. Mädchen: Löse p,64 p( p),dannfolg p [,;,9]. Der Schluss, dass dasfach Geschiche bei Mädchen belieber is, kann nich gezogen werden., %Sicherhei: ( ),96 95 %Sicherhei: ( ) n,5 = 68,96,5 n,5 = 84,6,5

35 Sehbeeiligung bei einer Fernsehserie. 4, Mio. von78mio. is einaneil von ca.,%.,% von is 744, gerunde74.. 9%-Konfidenzinervall für p:,5 p,8 Eine Sehbeeiligung von % is möglich, jedochwürde diehypohese p=, aufgrund dessichprobenergebnissesverworfen.. X: Anzahl der Zuschauer von Ween dass a) P(X 5) =binomcdf(5,., 5),496 b) P(X =) =binompdf (5,., 4),5 P(X =) =binompdf (5,., 5), ma. P(X =) =binompdf (5,., 6),9 P(X =) =binompdf (5,., 7),8 c) Gegenereignis E: Man finde keine Person uner nzufällig ausgewählen Personen, die Ween dass gesehen ha. n P(E) =,688 E: Man finde mindesenseinen Zuschauer n P(E) =,688,9 Lösung der Ungleichung durch Umformungoder sysemaisches Probieren n n lg,,688, 9,,688 n 6, lg,688 Man mussmindesens7personen auswählen, um mieiner Wahrscheinlichkei von mindesens9% mindesenseinen Zuschauer von Ween dass zu finden..4 a) binomcdf (5,.4, ),68 b) binomcdf (,.4, 4),5 c) binomcdf (5,.4, ),49.5 In der.und. Auflage sind die Daeninder ersen Zeile dertabelle verausch: posiive Bewerung:, negaive Bewerung: 5. In der lezen Zeile (gesam) mussesheißen: posiive Bewerung:, negaive Bewerung: 9.

36 Forsezung Insgesam gaben ewa die Hälfe (5,7 %)der Zuschauer eine posiive Bewerung ab. Daruner befandensichdie ab -Jährigen mi ca. (65,8%)inder Mehrhei. Bei den negaiven Bewerungen lagdieser Aneil mi ca. 6 %ewas niedriger. 7, %der Befragen warenjünger als Jahre. Uner diesenbewereen 45,6 %die Sendung posiiv. In der Alersklasse der ab-jährigen is der Aneil der posiiven Bewerungen mi 5,5 %ewashöher. Die Bewerung fäll insgesam bei den uner -Jährigen ewas schlecher aus. Ein großer Unerschied kannaber nich besäig werden Reiseunernehmen = 5! 5! 6,5 ; 5 = n=5; p=,9; X: Anzahlder belegen Pläze P(X 46) =,75 4. n=; p=,9 P(X 9) =, P(mindesensAbsagen) =P(höchsens 8 Teilnehmer) =binomcdf (,.95, 8),7% 4.5 a) Löse 59 5p, 96 5p( p),dannfolg p [,;,46]. 45 %lieg im Inervall, damikeine Abweichung zuerkennen. b) Eine Abweichungwirdals signifikanberache, wenn dasergebnis der Sichprobe außerhalb der,96σ-umgebung von µ lieg. Beiunveränderer Wahrscheinlichkeivon p=,45 ergib sich mi µ =67,5und σ =6,9 dasinervall [55,56; 79,44]. DasErgebnis unerscheide sich nichsignifikan.

37 5 9. Aufgaben zur Analyischen Geomerie 496 Holzkeil. a) 6 6!!!!!! AB AO 9 6!!!!!! AB AO cosϕ= = = ϕ 56, b) Absand Gerade CDund Punk E: g = E = 9 d = 6 6 = 6 6 4,99 cm Schwerpunkberechnen:!!!!!!!!! S = ( OE + OC+ OD) = Der kleinse Absand vomschwerpunkszum Rand is der Absand Szur Kane CD. Berechne den Absand vonszu g = wie in. b): 9 d = 6 6, Dami ein Rand voncm besehen bleib, darfder Durchmesser des Bohrers maimal, cm beragen.. Volumendes Prismas:!!!!!!!!!!!! V = A ECD CA = EC ED CA = 4 cm Volumendes Bohrzylinders: V =πr h = π (,66 cm) cm 6,4 cm Abfall =6,4 ( ) cm 5, %

38 5 496 Werksück. a) G(5 9 8) 6 6 """! """! EH EA b) """! """! EH EA 6 6 cosϕ= = = ϕ 9,5. a) F(9 5 6), E(6 6), G(5 9 6), H( 6 6) b) c) """! """! 4 6 BC AD: 4 6 = """! """! 5 AB = DC 5 = = 4. Absand Mund FG: d = 4 5 5, Absand Mund FE: 5 9 d = 5 5 5, Absand Mund GH: d = 5 9,

39 Forsezung Absand Mund EH: d 4 = 6 5, Die Wandsärke zwischenbohrlochund denseienflächen beräg also für FG,88 cm, für EH,88 cm, für FE,4 cm, für GH,4 cm. SchiefesPrisma!!!!!!!!!. OE = OA + BF = + =, also E( 5) 6 5!!!!!!!!! 5 OG = OC + BF = 6 + = 8, also G( 8 6) !!!!!!!!! 4!!! 4 AD = ; BC = ; AB = ; DC = Dami sind die gegenüberliegenden Seienparallel und gleich lang, das Viereck ABCD is ein Parallelogramm.!!!!!! AB AD = 4+ 6 =, d. h. derwinkel bei Ais ein recher Winkel. EinParallelogramm mi einemrechenwinkel is ein Recheck. Seienfläche ABFE: A = AB h Seienfläche BCGF: A = BC h AB = = 6; BC = = Dami haben die beidenseienflächen ABFE bzw. DCGH dengrößen Flächeninhal.

40 AG: = + r 7 BH: = 4 + s 7 9 Unersuchung, obsich AGund BH schneiden: r 7 = 4 + s 7 9 also: r +7s=4 () 7r s = () 7r 9s = () Lösungen: r = ; s= Also schneidensich AGund BH im Punk S( ). Weiere Raumdiagonalen: 5 EC: = + k ; DF: = + l 5 5 Überprüfen, ob Sauf EC bzw. DF lieg: = + k, erfüll fürk= ; 5 9 = +, l erfüll für l = Alle Raumdiagonalen schneidensichimpunks( )..4 Die gesuche Ebene Eis parallel zur Grundflächenebene und geh durch die Seienmien der Seienkanen AE, BF, CG bzw. DH 4 () n =, also 4n+ n n = () n =, also n+ n + n = 8 Hierausergib sichz.b. n = 7. Seienmie M von AE : M ( ) 8 7 = bzw = E:

41 Grundfläche ABCD: = + k + l, k, l Projekionvon PinRichung der Seienkane indie Grundflächenebene Projekionsgerade p: = 4 + r r = + k + l 6 Lösungen: r = ; k = ; l = Dami lieg die Projekion ( ) ABCD: Grundflächenebene E ABCD : bzw = Höhe desprismas =Absand vonfzu h = = Absand von Pzu E 9 4 ABCD P innerhalb der Grundfläche 8 7 = EABCD d = < h, also lieg Pinnerhalb desprismas.

42 Turm mi Weerfahne 4. a)!!!!!!! b) Winkel zwischen AD und AD : cosϕ= =,9 ϕ= 4,9

43 Augendes Beobachers bei (6,8) 6 Gerade durchqund Augen: g: = + 5,8, Gerade durch B und C: h: 6 4 = 6 + s 8 Absandsvekor dder beiden Geraden gund h: d = s,8, 8! 4! d 5 =, d =,,489, s,869, 464 d =,569,566 d zeig vomturmweg, also kannder Beobacher die Weerfahne sehen. 4. Mielpunk der Srecke PQ :!!!!!!!!!!!!!!!!!!! OM = OP + ( OQ OP) = OP + = OP + = 5 4 Absand von Rzur Srecke PQ :!!! 5 OR = 5 4 Gerade durchmin Windrichung: g: = 5 + s 4 R lieg aufder Geradeng,der Absand zumberäg 5:! 5 + s 5 = s=!!!! OR = 5 + =, also R( 4). 4 4

44 Okaeder 5. a) Besimmenvon OM!!!! :!!!!!!!!!!!!!!!!!!! OM = OF + FG = OF + ( OG OF) = 8 + = 8 5!!!!!!!!!! OC = OA + AM = C( 9) 9!!!!!!!!!! OD = OB + BM = 6 D( 6 )!!!!!!!!!!! Volumen: V = DB MA GM = 7 6 = 88 [ VE] b) c) WinkelzwischenNormalenvekorender Flächen: möglicher Normalenvekor n!! vonabg:!!!!!!!! 6 n = AG AB = 6 = 8 6 möglicher Normalenvekor n!! vonbcg:!!!!!!!! 8 n = BC BG = 8 = 6

45 c) Forsezung!!!! Winkel zwischen n und n :!!!!! n n cosϕ=!!!!! = ϕ= 9,47 n n Winkelzwischenden Seienflächen: 8 9,47 =7,5 5. Nach Pyhagoras gil:!!!!!! AB AB 4!!! AB r + = r = =,46 5. a) Normalenvekor zur Ebene durchabcd:!!!!!! 8 4 AB AD = 6 = 48 n = 6 48 Normalenvekor der Ebenenschar: n = Also isdie Ebenenschar parallelzuabcd. Für die Ebene, die Fberühr, ergib sich =. Für die Ebene, die Gberühr, ergib sich =6. Also schneidedie Ebenenschar für 6das Okaeder. b) Flächeninhal von ABCD: A=7 [FE] = 6 [ FE] Kanenlänge des gesuchenquadras=6 A Gerade durchag: g: = 4 + s 8 Schni vonder Geradendurch AG mi E : + s (4 + s) ( + 8s) + = s =!!!! 8 Der Schnipunk is also OS = Gerade durchbg: h: = + v

46 b) Forsezung Schni von der Geraden durch BG mi E : + v ( + 8v) (7 + v) + = v =!!!! 8 Der Schnipunk is also OS = Absand der Schnipunke:! = = 6 9, 7 oder = ,7 Der zweie Wer is zuverwerfen, weil nich im Bereichaus a) lieg. AusSymmeriegründen gil auch,7. Also schneidendie Ebenen mi =,7 und =,7 einquadra mi der Fläche A 6 Radarsaion 6. a) s v = = 6 [FE] ausdem Okaeder. 9 4 s = = 5, =5min km 5 km km 5 min 5 h h v = = 6 54, 9 5 b) Gerade durch F und F:g: = s 7 s=ensprich5minuen (d. h. nach 5Minuen erreich man F ). 4 5 s = =,8 ensprich4minuen Flugzei. Berechnung deserreichen Punkes nach 4 Minuen: ,8 = Absand zur Radarsaion: = 7 = 87 89,84 km 7 6

47 Die Flugbahn kanndurch die Gerade gbeschrieben werden. 9 5 g: = 54 + s 45 7 Absand des PunkesP(6 ) vongbesimmen:!! 7 5 PF = 56 + s 45 6!! 5 = PF 45 = ( 7 + 5s) 5 + (56 45s) ( 45) = s s,6!! 6,7 PF,7 6,98 6 s 5min =6, min=6min 8 s Um 8:4 Uhr und 8 senfern sichdas Flugzeugvon der Radarsaion. Es ha zudiesemzeipunk eine Enfernung von ewa 64 km vonder Saion Gerade durch G und G : g: = Bei =,5 wird die Höhe von merreich. =ensprich Minuen. =,5 ensprich 5Minuen. Wenn dasflugzeug mi der Geschwindigkei von9.5 Uhr weier flieg, kann es denflugplaz frühesensum9. Uhrerreichen. 7 Posiion von Flugzeugen 7. Flugbahn von F g: Flugbahn von F 5 5 h : =,5 + s 7,5 6 6 = 5 + r h: k =,5 + s 7,5 k k

48 Forsezung 5 5 Schni vongund h : 5 + r =,5 + s 7, Dasergib das LGS () r 5s =5 () r +7,5s= 7,5 () 6s = mi den Lösungen r=; s=. Die beidenflugzeuge können auf diesen Flugbahnen im Punk P( 5 8) kollidieren. 7. DasFlugzeug F kann im Punk Sk gesehen werden, wenn!!!! OS 8; k ; d. h , bzw. k Also kann F in allen möglichen Punken S k außer in S werden. k 4 k 7 gesehen 7. Ek is diejenige Ebene, die die Flugbahn gvon F enhäl und die parallel zur Flugbahn h k und F is. Für den Normalenvekor n!! k von!! n =, also n n = () k Ek gil:!! 5 k () nk 7,5 =, also 5n 7,5n + n =. k!! Hieraus folg: n k k = k 5 k E k : k 5 =, bzw. k+ k 5 5k + = 5 8 Absand von h k zue k : 5 k k + 5 d = 5k,5k k 5k + k + 5 = k Beinahezusammensoß, falls dk <, also k < k + 5 bzw. 98k 4k +475 < Die quadraische Gleichung 98k 4k +475 =ha die Lösungen k 9,94 und k 4,55, d. h. es kann für k 4 zu Beinahezusammensößen kommen.

49 Fis die Ebene, die zur Erdoberfläche senkrech is und die die Landesgrenze enhäl. F: = + k 5 + l bzw = Flugbahn von F g:= 5 + r 8 G(r 5 r 8)is einpunk der Flugbahn. Absand von Gzur Ebene F: 5 d = r +(5 r) +66 = 96 r DasFlugzeug musssichspäesensfürd=anmelden, d. h. 96 r = 5 mi den Lösungen r, = 48± 5 5 r = ,8 G(7,6 58,6 8) 5 r = , G(8,4 8) Da der Richungsvekor zur Ebene Fzeig, lieg G vor, G hiner der Landesgrenze auf der Flugbahn. DasFlugzeug musssichalso späesensimpunk G (7,6 58,6 8) anmelden. 7.5 Posiionvon F zumzeipunk : g: = Posiionvon F zum Zeipunk : g : =,5 + 7,5 6 6 Absand zum Zeipunk: A() = 5 +,5 7,5 = 7,5 + 5, = = ( 5 ) + (7,5+ 5,5) + ( 6) 5, ,5 + 55,5

50 Berechnungen im Raum 8. Verfahrenbei der Spiegelung des Punkes Bander Geradeng: Man besimm eine Hilfsebene H, die orhogonal zur Geradengis und die den Punk Benhäl. Lis der Schnipunk von gund H. Bildpunk Dvon B!!!!!!!!! OD = OB + BL 4 g: = 4 + k Hilfsebene H: = 4= Schni vongundh: ( 4+k) (4 k) 4=, also k=l( ) Koordinaendes Bildpunkes D!!! OD = + = 5, also D( 5 4) 4 Da Dder Bildpunk vonbbei der Spiegelung an der Geraden durchdie Punke Aund Cis, is dasviereck ABCD aufjeden Fall eindrachen.!!!!!! Wir unersuchen die Vekoren AB und BC.!!! 5!!! 4 AB = 5 ; BC =!!!!!!!!!!!! AB BC und ABBC Es lieg dami keine besondere Form einesdrachens vor. Flächeninhal desdrachens ADB DCB A = A + A = BD AL + DB LC ( ) = DB AL + LC = BD AC 9 = 6 = 56 9 = 6 5 5, 5 4

51 h: = + s 6 gemeinsame Punke vonhund E a : a(5 s) 4 ( +s) +8( +6s) =6a ( a) s=a unendlichviele Lösungen füra=,d.h.füra=lieg hin E a. his orhogonal zu E a,falls die Vekoren a 6 und 4 linear ab- 8 a hängig sind, d.h.falls es einenwer fürrgib, sodass r = Dies is fürkeinenwer von rder Fall, d. h. die Gerade his zukeiner Ebene E orhogonal. a Grundflächenebene E ABCD: = 4 + k 5 + l E : = bzw. ABCD Schniwinkel zwischen hund E ABCD: cos(α) = =, also α 56, Deckflächenebene E EFGH: 7 = 5 4 bzw. E : = EFGH Höhe desprismas =Abs ( ) ABCD 46 G; E ; h = = 7,8 46 Volumendes Prismas: V= A h = 6 5 =

52 Diagonalenschnipunk der Grundfläche: L( ) Fehlende Eckpunke der Deckfläche:!!!!!!!!! OE = OA + CG = =, d. h. E( 8 4) 4!!!!!!!!! Ensprechend: OF = OB+ CG = 5, d. h. F( 5 )!!!!!!!!! OH = OD + CG =, d. h. H( 6) 6 Absand des Diagonalenschnipunkes Lvon deneckpunken der Deckfläche: LE = 8 = 64; LG = 5 = 7; 5 LF = LH = = 4 Also ha LvonEdengrößen Absand. Die gesuche Gerade is die Gerade 5 LE: = + k Die Punke auf der Seienkane CG werden beschriebendurch 5 = + s ; s 6 Also: P (5 s +s +6s); s Absand von Pzur Ebene E 5 ABCD d = 5 s + (+ s) 5(+ 6s) = s Gesuch is P, sodass d =, also gil s=. 5 Gesucher Punk: P ( 4 8) 5

53 Berechnungen am Sernenhimmel!!!!!!!!!!!! 9. E: OX = OA +λ AB +µ AC!!! 5 8 OX =λ 8 +µ 9 8!!!!!! 4 n = AB AC= 5 8!!!!!! OX *n= OA *n = d d =!!! 4 E: OX * 5 = 8!!!!!! 8 8 AC*BC= * 8 9!!!!!! 5 8 AC*BC= 8 * 9 9!!!!!! 5 8 AC*BC= 8 * 9 8 Δ ABCis nich rechwinklig. AB = = 74 6, 94 BC = 869 9,48 AC = 85 9,!!!!!!! 9. Die gesuche Punkmenge lieg aufder Geraden g:ox = OM +λ n, λ ", wobei OM!!!! Vekor zumschwerpunk desdreiecks ABC is.!!!!!!!! MiA( )folg OM = AM.Lhalbier die Srecke BC,dami is 4 AM!!!! AL!!! ( AB!!! BL!!! ) ( AB!!! BC!!! ) AB!!! BC!!! 6 = = + = + = + = 67!!! 4 4 g:ox = 8 +λ

54 A ( ) """! """"! """"! """! 64 7 Gerade WB: OX = OW +λwb OX = +λ 8 9 B WBund B lieg in der,-ebene. """"! OB' = + 8 = """"! """"! Ensprechend OC OC' = + = A ( ); B ( 4,4 5,9); C ( 4,4 6,7) 5 Bauwerk über einer Ausgrabungsselle. O( ); O lieg auf CD und CO = OD A( 4 ); E( 4 ) B( 4 ); F( 4 ) C( ); G( ) D( ); H( ) S( 7). F FES = 9 4= 9 FBFGC = 8 F = ( 9 + 8) 4= 75,8 Glasbedarf >75,8 m. (SFE; ABEF) = arcan 5 + π =, 76 (SFE; ABEF) = 58, """! """!!! Ebene Gleichung: OX = OP +λ v+µ w!!! n = v w ""! ""! n*n cosθ= cos (FGS; FES) = ""! ""! n n. FSG: """! ""! """! ""! ""! FE = v 4 = ;GS= w = ; n = 5 5

55 68 5. Forsezung. FES:!!!!!!!!!!!!! 5 GF = v = ;GS= w = ; n = cosθ= θ=, 7 = 97,9.4 Der Sonnensrahl, der durch Sgeh, wird durchdie Gleichung!!!!!! OX = OS+λ v beschrieben. Die daneben liegende Hauswand (,-Ebene) ha die Gleichung: =. Fürdie Schaenpunke auf der Hauswand gil s =. S s s s von S s s s ( ) s!!! Daraus folg s s = s +λs v = λ s = und OS!!! OS v v = v.!!! OS = = 7,5 6,5!!! e OE!!! = OE v v!!! 4 OE = 4 4 =,5!!! OF = 4 4 =,5!!! 4 OA = 4 4 =,5!!! OG = OC!!! = OC;!!! OH!!! = OH;!!! OD!!! = OD!!!!!! OB =!!! OS!!! = OS +λ v S

56 69 5 Vogelvoliere 8. Drucksab : g: = + r, Drucksab : g : = + r Schni der Geraden führauf ein LGS mider erweieren Koeffizienen- 8 mari 8. Das Sysem besiz keine Lösung.. Berechne den Absand der Geraden. 8 Seze u =,v= 8 und w = ( u v) w in die Formel d = ein. Dami ergib sich u v 8 d = =,4 cm Die Punke Cund Dliegeninder,-Ebene.Damilieg auch der Sab in der,-ebene. 8.4 Drucksab : g : = + r 7 Die Abspannungendes Nezes verlaufenzwar nich parallelzuden zwei senkrechendrucksäben, aber man kanndas Volumenewa als Volumen eineswürfels mi einer Kanenlänge von 7m abschäzen, also ungefä hr 4 m. Eine andere Möglichkeiis die Schäzungals Volumeneines Spas mi den!!!!!!!!! dreivekoren CD, CB, CP, also ungefä hr 4 m. Die Abschäzungdurch den Würfel lieg offensichlichunerhalb desasächlichenvolumens. Die Abschäzungdurch denspa oberhalb. Dasasächliche Volumender Vogelvoliere lieg also ewa zwischen 4 m und 4 m..5 EinSab verläuf mi einem Absand vonmparallel zur - -Ebene und orhogonal zur - -Ebene. EinSab verläuf parallel zur - -Ebene und parallel zur - -Ebene, in gleicher Höhe wie AD. EinSab verläuf parallel zuabund somi parallel zur - -Ebene, seine Endpunke liegeninderselben Höhe wie die Endpunke von AB. Alle 6Säbe sind zueinander windschief.

57 7 9.4 Aufgaben zur Marizen 5 Maerialverbrauch eines Beriebes. A = 4 A = 4. A 4 E = R+ R E = R+ 4R E = R+ R E = 4 Gereideros. Der Vekor! = beschreib die gesuchen Mengeneinheiender Präparae P,P und P.DasSysem 4 6! = besiz die 9 +! allgemeine Lösung = 4,. Da die Komponenen nich negaiv werden dürfen, gil 4.. ( ) +7(4 ) += =, also MEvon P,MEvon P MEvon P.. f() =( ) +7(4 ) +nimm auf[; 4] dasminimum bei =mi f() =an. Dami beseh die billigse Mischung ausme P und ME P und kose. und

58 7 Telefonkosen. Reihenfolge: KR, WR, GR, OA Übergangsmari:,8,7,6,,, M ;,,,,9 = Anfangsvekor 8 a = Nach. Quaral: nach. Quaral: 9 76 M a ; 4 = M a ; 8 = nach. Quaral: nach 4. Quaral: 778 M a ; 4 5 = 4 6,9 7748, M a,9 = Die Prognose über 4Quarale zeig, dasssichdas Zahlungsverhalen posiiv veränder: Während die Anzahlder Kunden mi wenig und großen Zahlungsrücksand zurück gehen, nimmdie Zahl der Kunden, die immer pünklichzahlen, um ewa zu. Die Anzahlder Haushale ohne Telefonanschluss nimm dazu im Verhälnis nur leich zu. Bei derprognose geh manjedochdavon aus, dass sich daszahlungsverhalenfürjedes Quaral gleich veränder, was naürlichnich realisisch is.. KR,7 4 =8 WR,5 4 = Summe:4 GR,5 4 = OA Sarvekor 8 b = 5

59 7 5. Forsezung Nach. Quaral Nach. Quaral M b = ; M b = ; 9 56 Nach. Quaral Nach 4. Quaral M b = ; 86 M b = Die Zahl der Kunden migroßem Zahlungsrücksand gehdadurch schnell zurück. Vergleich mandiese Prognose mider uner., so isder Sand im 4. Quaraleher schlecher. Hinzukommen nochdie Verluse für den Erlass der Schulden. Es dürfe also besser sein, die ale Sraegie beizubehalen. 4 Auoprodukion 5 4. Mankanndie zu denmonaen gehörenden Marizen midem Anfangsbuchsaben desjeweiligenmonas, also mij,aund Sbezeichnen. Offensichlichgil: J=S J + 5 = A a) ZW ZW ZW Pkwklein Pkwmiel Pkwgroß 95 4 Transporer 4 5 Lkw 45 b) ZW ZW ZW Pkwklein Pkwmiel Pkwgroß Transporer Lkw 5 7

60 7 4. a) c) b) d) a) ZW ZW ZW Pkwklein Pkwmiel Pkwgroß Transporer Lkw 7 4 b) ZW ZW ZW Pkwklein Pkwmiel Pkwgroß 99 4 Transporer 55 5 Lkw Populaionsenwicklung 5. Übergangsmari,5 T,8,95 = Populaion = =!!! J P M P T P A 5. Wegen T T = folg die Behaupung. 5

61 Managemen mi Marizen 5 4,6 4,8,6 6. M + M = 6,9, 6 4,4 5, 4 6,8 7,8 6, DasElemen in der i-en Zeile und j-en Spale beschreib die Summe der Verkaufszahlen desi-en Produkes im j-enbundesland fürdie ersen Jahre. Die zweie Spale gib die Verkaufszahlen fürbayernan. 6. M M =,9, 4,, DasElemen in der i-en Zeile und j-en Spale beschreib die Seigerung der Verkaufszahlendes i-enbundesland vom.jahr zum. Jahr. Die zweie Zeile gibdie Veränderung fürproduk Ban.,5,64,7,84 6. M, M =,,8,94,88,56,68, 4,8 6.4 Produk AinHessen: Seigerung: % Produk CinBayern: Seigerung: % 76; 9; M 65; 4; 89 M 6.5 ( ) ( ) = ( 5558; 9847; 484; 985) 54 7 Ferighäuser =

62 75 7. (7; ; 7;; 5; 4) =(9;6; 98) Gesampreis der Besellung: (7; ;7;; 5; 4) =(9;6; 98) =964 7.,85 (9; 6; 98) =(85,9; ; 9,) (85,9; ; 9,) 6 9 = 9, Anselle desmari-produkes kann auch dasskalarproduk verwende werden. 8 Maerialverpflechung 8. 54

63 Forsezung Berechnung desprodukionsvekor aus D = und 7 y = (E D) y mi 4 = = (E D) y = = a) Die Tabelle gib an, wie viele Rohsoffeinheiendirekindie Grundmodule, Baugruppenund Endproduke eingehen. Die erse Zeile zeig dendirekeninpu der Rohsoffkomponene R indie einzelnen Produke. Die leze Spale gib denpreis pro Einhei der jeweiligen Rohsoffkomponene an.

64 b) DasProduk ausder Rohsoffmari R = und demprodukionsvekor = liefer den Rohsoffbedarfsvekor r = Der Preis ergib sich ausdem Skalarproduk der Rohsoffbedarfsvekors midem Preisvekor: = c) Berechnung der Kosenvon E in Abhängigkei von R und R 5: Produkionsvekor für den Konsumvekor y = : = (E D) y = 7 Rohsoffbedarfsvekor: 5 r = R =

65 c) Forsezung Sei p der Preis für R und p5 der PreisfürR 5, dann ergib sich der 5 Preisfür Eaus 77 p = p + 5p p 5 p Aus p + 5p5 = 5 folg = p mi. 8. Produkionsplan für gleiche Mengen Produkionsvekor für den Konsumvekor a 9a a a y = : = (E D) y = 8a a a a a a 97a 8a Rohsoffbedarfsvekor: r = R = 8a a 75a Rohsoff R : 8a = 5 a = 7,54 Rohsoff R 5: 75a = a = 96,58 Dami können höchsens7 ME von E und E hergesell werden. Produkionsplan für beliebige Mengenkombinaionen Produkionsvekor für den Konsumvekor 6a + 4b 4a + 5b 5a + 8b a y = : = (E D) y = 7a + b b a a b b

66 Forsezung 5a + 47b a + 6b!! Rohsoffbedarfsvekor: r = R = 77a + b 65a + 56b 5a + 4b Mögliche Produkionsmengen: Alle Punke im Polygon { 5 5a 5 (a b) a, b,b,b 77a } Personalenwicklung 9. Die prozenuale Veränderungen zwischen denfilialen werdendurch den folgendengraphen veranschaulich. Beigleichbleibender Veränderungkonvergier die Personalvereilungnach,55556,55556,55556 Saz, Seie 6 mi M =,44444,44444,44444,6,6,6,55556 fürjeden Zusandsvekor gegen,44444.,6!!!!!!!!! 9. S v = v S v = E v S v E v = (S E) v = 9. (S E)! eisier nich. Dami ha das Sysem (S E) v =! viele Lösungen. 7 7! Als Lösung ergib sich v = ;. 7 unendlich

67 Forsezung Für den Fivekor p gil p + p + p =. Aus = folg =, also Fivekor: p = = Serfüll die Bedingungen von Definiion8aufS., Schülerband und is dami eine sochasische Mari. 7,4,6,6 S = 5,8 4,, eisier, is aber keine sochasische Mari.,6,6, 4 Abesizdie Inverse d b, ad bc c a falls ad bc. Nur für und sind die Inversen ebenfalls sochasische Marizen.. Holzzaun. Zaun Zaunfelüpfoseriegel Zaun- Zaun- Längs- Nagel Zaun Zaunfeld Zaunür Zaunpfosen Längsriegel Nagel 5 Direkbedarfmari: D = ; 5 Konsumvekor y 5 4 = 8

68 8 55. Forsezung Dami ergib sichder Produkionsvekor = (E D) y = = Vgl. Schülerband Seie f Informaion() und (). 56. Permuaionsmari. Muliplikaionvon linksbewirk eine Zeilenverauschung: = Muliplikaionvon rechs bewirk eine Spalenverauschung: = ; ; ; ; ;. a a a a a a a a a = a a a a a a a a a a a a a a a a a a = a a a a a a a a a a a a a a a a a a = a a a a a a a a a a a a a a a a a a = a a a a a a a a a

69 8 56. Forsezung a a a a a a a a a = a a a a a a a a a a a a a a a a a a = a a a a a a a a a.4 Eine Permuaionsmari Pensehdurch Verauschung der Spalen e =, e =,..., en = der Einheismari. Muliplizier maneine beliebige Mari Avon rechs mip,überräg sich die Verauschungauf die Spalenvon A..5 Eine Permuaionsmari Pensehdurch Verauschung der Zeilen (; ; ;); (; ; ;); ;(; ; ;)der Einheismari. Muliplizier maneine beliebige Mari Avon links mi P, überräg sich die Verauschungauf die Zeilenvon A.. Trendwechsel.

70 8 56 k,6,6. a) Nach Saz konvergier M gegen M =, 4,4. Damiergibsichlangfrisig für jeden Anfangsvekor der Fivekor,6 p =., 4 Nach Saz konvergier,,, k M gegen M =,4857,4857,4857, 895,895,895. Damiergibsichlangfrisig für jeden Anfangsvekor der Fivekor, p =,4857.,895 Nach Saz konvergier, 4478,4478,4478 k M gegen M =,687, 687,687,448,448,448. Damiergibsichlangfrisig für jeden Anfangsvekor der Fivekor,4478 p =,687.,448 b) () Markaneilohne neues Produk:6%; Markaneil mi Produk X: 57, %; Markaneil mi Produk Y: 7,9 % () Mi Produk Xfäll der Markaneil von6%auf57, %.Mi Produk Ykannder Markaneilvon 6 %auf 7,9 %geseiger werden.