Abi Know-How Mathematik

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1 Mathe bis zum Abitur Abi Know-How Mathematik Olaf Schneider

2 Liebe Schüler, Das Abi Know-How Mathematik ist als Lernhilfe für meine Nachhilfeschüler entstanden. Es ist geeignet für die Oberstufe bis zum Abitur. Die Themen werden erklärt und durch Beispiele mit Lösungen veranschaulicht. Ich hoffe, es kann etwas dabei helfen, Mathe bis zum Abi gut zu verstehen! Olaf Schneider Mühlweg 7566 Althütte

3 Inhaltsverzeichnis Analysis 4. Funktionen Allgemeine Funktionen Lineare Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktion Gleichungen allgemeiner Lösungsplan Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Biquadratische Gleichungen Potenzgleichungen Produktgleichungen Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lösung Exponentialgleichungen Newtonsches Näherungsverfahren Ableitung Anschauliche Bedeutung Bestimmung der Ableitung Kurvendiskussion Symmetrie Schnittpunkte mit der y-achse Schnittpunkte mit der x-achse Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) Wendepunkte Senkrechte Asymptoten Grenzwerte und waagrechte Asymptoten Schiefe Asymptoten Monotonie Stammfunktion und Integral Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion Bestimmung der Stammfunktion Berechnung von Flächen mit Integralen Volumenberechnung von Rotationskörpern Durchschnittswert von Funktionswerten Uneigentliche Integrale Keplersche Fassregel Beziehungen zwischen Kurven Schnittpunkte

4 .6. Berührpunkte Tangenten Senkrechter Schnitt Normalen Schnittwinkel Bestimmung von Funktionsgleichungen Ansatz Aufstellen der Gleichungen Lösung des Gleichungssystems Extremwertaufgaben Bestimmung der Zielfunktion Bestimmung des Extremwerts der Zielfunktion Funktionenscharen Ortskurven Bestimmung von Parametern Parameterunabhängige Eigenschaften Geometrie 48. Begriffe und Formeln Lineare Gleichungssysteme Einführung Matrix Darstellung Additionsverfahren allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme Umwandlung der Darstellungsformen Parameterform in Koordinatenform Koordinatenform in Parameterform Koordinatenform in Normalenform Normalenform in Koordinatenform Parameterform in Normalenform und umgekehrt Quadratische Form in Kugelform Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen Gerade durch zwei Punkte Ebene durch drei Punkte Ebene durch einen Punkt und eine Gerade Ebene durch zwei Geraden Koordinatenachsen und -ebenen Ebene senkrecht zu zwei Ebenen durch einen Punkt Ebene senkrecht zu einer Geraden und durch einen Punkt Lotgerade auf eine Ebene durch einen Punkt Tangentialebene und Schnittkreisebene bei Kugeln Lagebeziehungen und Schnittberechnung Punkt - Gerade Punkt - Ebene

5 .5.3 Punkt - Kugel Gerade - Gerade Gerade - Ebene Gerade - Kugel Ebene - Ebene Ebene - Kugel Kugel - Kugel Spurpunkte einer Geraden Spurpunkte einer Ebene Spurgeraden einer Ebene Abstände Abstand Punkt-Punkt Abstand Punkt-Ebene Abstand Punkt-Gerade Abstand Gerade-Gerade Abstand Gerade-Ebene Abstand Ebene-Ebene Spiegelungen Punkt an Ebene Punkt an Gerade Gerade an Ebene Ebene an Ebene Kugel an Ebene Winkel Winkel zwischen zwei Vektoren Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen Gerade und Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen Scharen Geradenscharen Ebenenscharen Kugelscharen Geometrische Figuren und Körper Dreiecke Vierecke Körper

6 Analysis. Funktionen.. Allgemeine Funktionen Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift (in Form einer Funktionsgleichung), die jeder Zahl x aus einer bestimmten Teilmenge der reellen Zahlen wieder eine reelle Zahl, den Funktionswert y = f(x) zuordnet. Dabei heißt x unabhängige Variable (Argument, Abszisse) und y abhängige Variable (Ordinate). Die Menge der Ausgangswerte x heißt Definitionsmenge D, und die Menge der Funktionswerte y heißt Wertemenge W. Funktionen kann man sich so veranschaulichen, dass man sich jedes Zuordnungspaar (x f(x)) als Punkt mit diesen beiden Koordinaten in einem Koordinatensystem vorstellt. Alle solchen Punkte bilden dann eine Kurve, die Schaubild oder Graph der Funktion genannt wird. Um zu sehen, wie das Schaubild einer Funktion aussieht, legt man oft eine Wertetabelle an, in der man zu so vielen x-werten die Funktionswerte ausrechnet bis man genügend Punkte ins Koordinatensystem eintragen kann, um den Kurvenverlauf zu erkennen... Lineare Funktionen Lineare Funktionen sind Funktionen mit Geraden als Schaubildern, die nicht senkrecht zur x- Achse sind. Zu Geraden, die senkrecht zur x-achse sind, gibt es keine Funktion, da ja hier zu einem x-wert unendlich viele y-werte gehören (Solche Geraden werden durch Gleichungen der Form x = c beschrieben, wenn die Gerade senkrecht durch den Wert c auf der x-achse gehen soll). Die linearen Funktionen haben die Menge der reelen Zahlen als Definitionsmenge und können durch eine der drei folgenden Formen beschrieben werden. Normalform: y = mx + b. Dabei wird m Steigung, und b y-achsenabschnitt genannt. Für positive Werte von m steigt die Gerade bei zunehmenden x-werten um so steiler an, je größer m ist, und für negative Werte fällt sie um so steiler ab, je kleiner m ist. Für m = hat die Gleichung die Form y = c. So eine Gerade ist parallel zur x-achse. Der Wert für b ist immer dafür verantwortlich, an welcher Stelle die Gerade die y-achse schneidet. Um die Gerade zu einer gegebenen Normalform zu zeichnen, reicht es, wenn Du eine Wertetabelle mit zwei Werten für x anlegst, zum Beispiel mit x = und x =. Die Gerade ist durch diese zwei Punkte festgelegt. Punkt-Steigungsform: y = m(x x ) + y Diese ist praktisch bei Geraden, die mit einer vorgegebenen Steigung m durch einen Punkt P (x y ) gehen sollen. Du setzt dann m, x und y ein und erhältst durch Auflösen der Klammer wieder die Normalform. 6

7 Eine Gerade hat die Steigung m = 3 und geht durch P ( ). Damit lässt sich die Punkt-Steigungsform y = 3(x + ) + aufstellen, was umgeformt die Normalform y = 3x ergibt. Zwei-Punkteform: y y x x = y y x x. Sind zwei Punkte P (x y ) und P (x y ) vorgegeben, durch die die gesuchte Gerade gehen soll, dann setzt Du zuerst alle Koordinaten in die Zwei-Punkteform ein, und löst das ganze nach y auf, um die Normalform zu bekommen. Eine Gerade soll durch die zwei Punkte P ( ) und P ( ) gehen. Dann sieht die Zwei-Punkteform so aus: y x + = +. Es gilt also y x+ = 3, bzw. y = 3 (x + ), was nach y aufgelöst die Normalform y = 3 x ergibt...3 Ganzrationale Funktionen Funktionen, die Potenzen von x enthalten und auf die Form f(x) = a n x n + a n x n a x + a gebracht werden können, nennt man ganzrationale Funktionen vom Grad n, wobei n die größte vorkommende Potenz von x ist. Alle ganzrationalen Funktionen haben als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen. Die Funktion f(x) = (x x )(x 3) kann durch Ausmultiplizieren der Klammern auf die Form f(x) = x 3 4x + x + 6 gebracht werden und ist deshalb eine ganzrationale Funktion vom Grad n = 3 mit a 3 =, a = 4, a = und a = Gebrochenrationale Funktionen Das sind Funktionen, die aus einem Bruch bestehen, bei dem der Zähler und Nenner jeweils ganzrationale Funktionen sind. Die Definitionsmenge besteht aus der Menge der reellen Zahlen, mit Ausnahme der Werte für x, bei denen die Nennerfunktion den Wert annimmt. Solche Werte heißen Definitionslücken. Für die Definitionsmenge D von f(x) = 3x+ x(6 5x) gilt D =IR \{; 6 5 } also alle reellen Zahlen mit Ausnahme von x = und x =

8 ..5 Exponentialfunktionen Funktionen der Form f(x) = e ax+b werden Exponentialfunktionen genannt. Dabei steht e für die Eulersche Zahl und hat den Wert a und b sind fest vorgegebene reelle Zahlen ohne bestimmten Namen. Für die Definitionsmenge D gilt D =IR. Ist a positiv, dann steigt die Exponentialfunktion in Richtung wachsender x-werte an und nimmt dabei beliebig hohe Werte an. In Richtung abnehmender x-werte kommt sie der x-achse beliebig nahe. Für negative Werte von a ist das Verhalten in Richtung zu- bzw. abnehmender x-werte vertauscht. Ist a =, dann liegt eine waagrechte Gerade mit der Gleichung y = e b vor, die bei diesem Wert durch die y-achse geht...6 Logarithmusfunktion Die ln-funktion ( logarithmus naturalis ) mit der Gleichung f(x) = ln(x) ordnet jeder Zahl x ihren sogenannten natürlichen Logarithmus y = ln(x) zu. Damit ist diejenige Zahl y gemeint, für die e y = x gilt, wobei e die Eulersche Zahl mit dem Wert ist. Es gibt nur für positive x-werte eine solche Zahl y, für die Definitionsmenge gilt also D = {x IR x > } = IR +. Die Wertemenge ist W = IR, es kommen also alle reellen Zahlen als Funktionswerte vor. Die Logarithmusfunktion ist in Richtung wachsender x-werte ansteigend. Für x < gilt ln(x) <, in diesem Bereich verläuft das Schaubild unterhalb der x-achse. Für x = gilt ln(x) = ln() =, an dieser Stelle geht das Schaubild durch die x-achse. Für x > gilt ln(x) >, hier verläuft das Schaubild oberhalb der x-achse. Die Logarithmusfunktion hat folgende drei Eigenschaften, die bei Umformungen verwendet werden dürfen: ln(a b) = ln(a) + ln(b), ln( a b ) = ln(a) ln(b), ln(ac ) = c ln(a) für a, b > 8

9 . Gleichungen.. allgemeiner Lösungsplan Beim Lösen von Gleichungen gehst Du am besten systematisch nach folgendem Plan vor:. Bring alles auf die linke Seite der Gleichung, so dass rechts steht.. Kommen Brüche vor, dann multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner. 3. Vereinfache die Gleichung so weit wie möglich, so dass Du sie einer der Gleichungen aus diesem Kapitel zuordnen kannst. 4. Löse die jeweilige Gleichung mit der beschriebenen Methode und mach auf jeden Fall am Schluss die Probe!.. Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die auf die Form ax + b = (a ) gebracht werden können. Sie haben die Lösung x = b a. Die Gleichungen x + 3 = und 5x + 6 = haben die Lösungen x = 3 x = 6 5 = 6 5. = 3, bzw...3 Quadratische Gleichungen Gleichungen, die auf die Form ax + bx + c = (a ) gebracht werden können, heißen quadratische Gleichungen. Sie können mit der Lösungsformel x / = b ± b 4ac a nach x aufgelöst werden, falls der Ausdruck b 4ac (die sogenannte Diskriminante D) unter der Wurzel nicht negativ ist. Dabei gibt es zwei Lösungen x und x für D >, und nur eine Lösung für x, wenn D = ist. Bei negativer Diskriminante hat die Gleichung keine Lösung. Du musst beim Einsetzen von den Zahlen a, b und c in die Lösungsformel unbedingt ihre Vorzeichen richtig beachten, deshalb kommen in den Beispielen gleich viele Minuszeichen vor. Wenn Brüche vorkommen ist es gut, die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner durchzumultiplizieren, dann ist die Anwendung der Lösungsformel weniger fehlerträchtig. Beispiele: Für die Gleichung x + x 5 = bekommen wir die Lösungen x / = ± 4 ( ) ( 5) ( ) = ±, 4 9

10 also x = + 4 = 5 und x = 4 = 3. Die Gleichung 4 9 x 3 x + 4 = wird zuerst mit dem Hauptnenner 36 durchmultipliziert, so dass wir die Gleichung 6x 4x + 9 = bekommen, die dann reif für die Lösungsformel ist: x / = ( 4) ± ( 4) = 4 ±. 3 In diesem Fall ist also die Diskriminante, und es gibt nur die eine Lösung x = 4 3 = 3 4. Als Letztes noch ein Beispiel für eine quadratische Gleichung, die keine Lösung hat: x x 5 =. Dabei ergibt die Formel x / = ( ) ± ( ) 4 ( ) ( 5) ( ) = ± 6, mit negativer Diskriminante D = 6. Das bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat...4 Biquadratische Gleichungen Biquadratische Gleichungen haben die Form ax 4 + bx + c = und lassen sich durch die Substitution u = x auf die quadratische Gleichung au + bu + c = zurückführen. Du löst also zuerst diese Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Gibt es dabei keine Lösung, dann hat auch die biquadratische Ausgangsgleichung keine. Bekommst Du mit der Lösungsformel eine Lösung u, dann folgen daraus wegen u = x die Lösungen x / = ± u falls u >, x = = für u =, oder es gibt gar keine Lösung für x für den Fall u <. Wenn die Lösungsformel zwei Lösungen u und u hat, bekommst Du entsprechend für jede davon keine, eine oder zwei Lösungen für x. Beispiele: Wir berechnen die Lösungen der Gleichungen x 4 6x + 7 = und x 4 x + =. Mit u = x bekommen wir aus der ersten Gleichung u 6u + 7 =. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt dann u / = ( 6)± ( 6) 4 ( ) 7 ( ), also u = = 9 und u = 6 44 = 3. Daraus folgen dann aus u = x keine Lösungen für x, wegen u = 9 <. Aus u = x folgen für x die Lösungen x / = ± 3. Mit u = x bei der zweiten Gleichung gilt u u + =. Daraus folgt u / = ( )± ( ) 4, also u = = 4 und u = 5 4 = 3. Für x gibt es dann vier Lösungen: x / = ± 4 = ± und x 3/4 = ± 3.

11 ..5 Potenzgleichungen Potenzgleichungen sind Gleichungen der Form x n c = x n = c und können durch Wurzelziehen gelöst werden. Dabei gibt es ein paar Fälle zu unterscheiden. Bei geraden Exponenten n gibt es die Lösungen x / = ± n c für c und keine Lösung für c <. Bei ungeraden Exponenten gibt es immer genau eine Lösung, nämlich entweder x = n c für c, oder x = n c für c <. Beispiele: x = 5 x / = ± 5 = ± 4 5 x 4 = 3 Es gibt keine Lösung x 3 = 8 7 x = = 3 x 5 = 64 x = 5 64 = 5 64 = 5..6 Produktgleichungen Produktgleichungen haben die Form T (x) T (x) =. Daraus folgt T (x) = oder T (x) =. Alle Lösungen ergeben sich also aus den Lösungen der beiden Einzelgleichungen. Das Entsprechende gilt natürlich auch für Produkte aus mehreren Termen. Aus x(x 5) (x + 5x + 7) = folgt x = oder x = 5. Das sind alle Lösungen, da nach..3 die Gleichung x + 5x + 7 = keine Lösung hat...7 Algebraische Gleichungen ohne Absolutglied Eine Gleichung der Form a n x n + a n x n a x + a = nennt man algebraische Gleichung vom Grad n, falls n der größte vorkommende Exponent von x ist. Wenn das Absolutglied a fehlt (d.h. es gilt a = ), dann können wir die Gleichung umformen, indem wir x ausklammern. Dann sieht die Gleichung so aus: ) x (a n x n + a n x n a =.

12 Diese Gleichung hat auf jeden Fall die Lösung x =. Um alle Lösungen zu bekommen, musst Du außerdem noch den Term in der Klammer setzen und nach x auflösen, wobei diese Gleichung um einen Grad kleiner ist. Die Lösungen der Gleichung x 3 + 9x + x = bekommen wir durch Ausklammern: x(x + 9x + ) =. Daraus folgt x = als erste Lösung. Die anderen bekommen wir aus der Gleichung x + 9x + =, die nach..3 die Lösungen x = und x 3 = 5 liefert...8 Algebraische Gleichungen mit einer bekannten Lösung Musst Du eine algebraische Gleichung a n x n + a n x n a x + a = lösen, die nicht linear, quadratisch, biquadratisch oder ohne Absolutglied ist und die auch keine Potenzgleichung darstellt, dann gibt es nur noch eine Möglichkeit. Du musst dann mindestens eine Lösung x entweder schon kennen oder durch Probieren (Einsetzen von x =,,,, 3, 3,...) erraten. Mit Hilfe von dieser Lösung erhältst Du durch Polynomdivision auch noch die restlichen Lösungen. Nimmst Du nämlich die bekannte Lösung x, geht die folgende Polynomdivision mit dem Ergebnis T (x) ohne Rest auf: (a n x n + a n x n a x + a ) : (x x ) = T (x), bzw. (a n x n + a n x n a x + a ) = (x x ) T (x). Das bedeutet, dass die zu lösende Gleichung äquivalent ist zu (x x ) T (x) =. Die Gleichung ist also erfüllt für x = x, was sowieso schon bekannt ist, oder wenn T (x) = ist, was bei Auflösen nach x die restlichen Lösungen ergibt. Beispiele: Um die Gleichung x 3 x 36x 45 = zu lösen, setzen wir für x ganze Zahlen ein. Dabei ergibt sich, dass x = 3 wegen ( 3) 3 ( 3) 36( 3) 45 = eine Lösung ist. Die Polynomdivision sieht dann so aus: (x 3 x 36x 45) (x 3 + 6x ) 7x 36x 45 ( 7x x) 5x 45 ( 5x 45) : (x + 3) = x 7x 5. Die übrigen Lösungen folgen jetzt mit..3 aus x 7x 5 =, und zwar gilt x = 5 und x 3 = 3.

13 Wir betrachten noch die Gleichung 4x 3 x + =. Dabei erraten wir wieder eine Lösung x =, und führen eine Polynomdivision durch: (4x 3 x + ) (4x 3 8x ) 8x x + (8x 6x) 5x + ( 5x + ) : (x ) = 4x + 8x 5. Aus 4x + 8x 5 = ergeben sich dann weiter die Lösungen x = und x 3 = Exponentialgleichungen Zur Beschreibung der Lösung wird der sogenannte natürliche Logarithmus verwendet, wobei ln (c) als derjenige Wert definiert ist, der die Eulersche Zahl e so potenziert, dass sich c ergibt. Der natürliche Logarithmus ist also die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und es gilt y = e x x = ln y Tritt die Unbekannte x bei einer Exponentialgleichung in mehreren Exponenten auf, dann substituiere mit u = e x. Alle Terme der Form e ax+b können dabei so mit u ausgedrückt werden: e ax+b = e b e ax = e b (e x ) a = e b u a Löse dann die Gleichung nach u auf. Ist u > Lösung der substituierten Gleichung, dann erhältst du mit der Rücksubstitution x = ln(u) die Lösung der ursprünglichen Gleichung. Für u ergibt die Rücksubstitution keine Lösung für x. Beispiele:. Die Lösung der Gleichung e ax+b = c mit c > erhalten wir durch Logarithmieren und anschließendes Auflösen nach x: e ax+b = c ax + b = ln(c) x = ln(c) b a Für c existiert natürlich auch hier keine Lösung.. Bei der Gleichung e x+ e x = 3 tritt x in zwei Exponenten auf. Wir substituieren deshalb u = e x und mit e x+ = e e x = eu bzw. e x = e e x = e u folgt: eu e u = 3 (e e )u = 3 u = 3 e e > 3

14 Die Rücksubstitution liefert also die Lösung x = ln(u) = ln( 3 e e ) 3. Die Exponentialgleichung 6e x e x = führt nach der Substitution u = e x mit e x = (e x ) = u auf die Gleichung 6u u = Diese hat die Lösungen u = und u = 3. Aus u ergibt sich bei der Rücksubstitution die Lösung x = ln( ) und wegen u gibt es keine weitere Lösung. 4. Die Gleichung 5e x 7 + e x = lösen wir ebenfalls mit Substitution. Aus u = e x folgt mit e x = (e x ) = u = u : 5u 7 + u = u 5u 7u + = Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen u = 5 und u =. Da beide Werte positiv sind, bekommen wir diesmal zwei Lösungen: x = ln( 5 ) und x = ln() =.. Newtonsches Näherungsverfahren Wenn sich eine Gleichung der Form f(x) = nicht nach einer der genannten Methoden auflösen lässt, dann gibt es noch die Möglichkeit die gesuchte Lösung x näherungsweise zu ermitteln. Dazu gibt es das Newtonsche Näherungsverfahren. Dieses funktioniert so, dass Du ausgehend von einem Startwert x, den Du in die Formel x n+ = x n f(x n) f (x n ) einsetzt, einen ersten Näherungswert x erhältst. Diesen setzt Du wieder ein und bekommst daraus einen zweiten Näherungswert x, usw.. Wir berechnen eine Näherungslösung für die Gleichung e x = x. Diese muss erst auf die Form f(x) = gebracht werden: e x + x =. Dabei ist f(x) = e x + x und f (x) = e x +. Die Näherungsvorschrift ist also gegeben durch x n+ = x n exn + x n. e xn + Wir berechnen damit jetzt eine Näherungslösung mit dem Startwert x =. Dabei wird das Verfahren abgebrochen, wenn sich die dritte Stelle hinter dem Komma erstmals nicht mehr ändert. x = x ex + x e x = e + + e,

15 x = x ex + x e x x 3 = x ex + x e x +, 449 x 4 = x 3 ex 3 + x 3 e x 3 +, 449 x =, 443 ist also eine auf drei Stellen gerundete Näherungslösung. 5

16 .3 Ableitung.3. Anschauliche Bedeutung Zu einer gegebenen Funktion f lässt sich oft eine Ableitungsfunktion f finden, die so wie die Steigung bei Geraden ein Maß dafür ist, wie f an jeder Stelle x ansteigt oder abfällt. Ist f (x) positiv, dann steigt f an der Stelle x an, und zwar umso steiler, je größer der Wert für f (x) ist. Bei negativem f (x) fällt sie dagegen umso steiler ab, je kleiner der Wert ist. Für f (x) = bewegt sich die Funktion an der Stelle x gerade in waagrechter Richtung. Wenn man f bestimmt hat, dann kann man davon wieder die Ableitung ausrechnen, die dann die zweite Ableitung f ist, dann die dritte und so weiter..3. Bestimmung der Ableitung Ableitung von konstanten Funktionen: Ableitung der Exponentialfunktion: Ableitung der Logarithmusfunktion: Ableitung von Potenzfunktionen: Beispiele: [x] = [x ] = x = x = [x 7 ] = 7x 7 = 7x 6 [ x] = [x ] = x = x = [c] =. [e x ] = e x. [ln (x)] = x. [x n ] = nx n. x = x [ x ] = [x ] = ( ) x = x = x [ x 5 ] = [x 5 ] = ( 5) x 5 = 5x 6 = 5 x 6 Ableitung einer mit einer Zahl c multiplizierten Funktion: [cf(x)] = cf (x). Beispiele: [ 3x ] = 3 [x ] = ( 3) x = 6x [ 4 ] x = 4 [x 3 ] = ( 4) ( 3) x 4 = x 4 = 3 x 4 [x 4 ] = [x 4 ] = 4x 3 = 8x 3 [ 5t x] = 5t [x] = 5t [ 5e x ] = 5[e x ] = 5e x ln (x) [ 5 ] = 5 [ln (x)] = 5 x = 5x 6

17 Ableitung der Summe/Differenz von zwei (oder mehr) Funktionen: [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x). Beispiele: [6 x ] = [6] [ x ] = x = x [tx 4 x + x ] = [tx 4 ] [x ] + [ x] [] = 4tx 3 4x + [ke x 7 x7 ] = [ke x ] [ 7 x7 ] = ke x x 6 Ableitung der Verkettung von zwei Funktionen (Kettenregel): [f(g(x))] = g (x)f (g(x)). Beispiele: h(x) = e ax+b lässt sich schreiben als Verkettung der inneren Funktion g(x) = ax + b mit der äußeren Funktion f(x) = e x. Mit g (x) = a und f (x) = e x also f (g(x)) = e ax+b erhält man h (x) = g (x)f (g(x)) = ae ax+b. Für a = und b = gilt z.b. [e x ] = e x. h(x) = ( x x 5)7 schreiben wir zum Ableiten wieder als Verkettung von g(x) = x x 5 mit f(x) = x7. Dann gilt g (x) = x + 3 4, f (x) = 7x 6, d.h. f (g(x)) = 7( x x 5)6 und insgesamt: ( h (x) = g (x)f (g(x)) = 7 x + 3 ) ( x + 3 ) x 5. Genauso kann man ein bißchen allgemeiner für h(x) = (ax + bx + c) n die Ableitung h (x) bestimmen: h (x) = n(ax + b)(ax + bx + c) n. Für die Logarithmusfunktion h(x) = ln (ax + b) erkennen wir die innere Funktion g(x) = ax + b und die äußere Funktion f(x) = ln (x). Aus g (x) = a, f (x) = x und f (g(x)) = ax+b folgt dann endlich h (x) = g (x)f (g(x)) = a ax + b = Ableitung des Produkts aus zwei Funktionen (Produktregel): Beispiele: [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + g (x)f(x) a ax + b [( x + 3)e x+ ] = [ x + 3] e x+ + [e x+ ] ( x + 3) = 4xe x+ + ( )e x+ ( x + 3) = 4xe x+ + (4x 6)e x+ = (4x 4x 6)e x+ 7

18 [ ( x)(3x x)] = [ x] [3x x] + [3x x] [ x] [3x e x] = ( )(3x x) + (6x )( x) = 6x + x + 6x x + x = 8x + x = [3x ] e x + [e x ] 3x = 6xe x + ( )e x 3x = (6x 3x )e x [ 7x ln(8x)] = [ 7x] ln(8x) + [ln(8x)] ( 7x) = 7 ln(8x) + 8 8x ( 7x) = 7 ln(8x) 7 *Hier ist auch noch die Kettenregel beteiligt. Ableitung des Quotienten aus zwei Funktionen (Quotientenregel): Beispiele: [ ] f(x) = f (x)g(x) g (x)f(x) g(x) g(x). [ 3 x ] = [3] x 3[x ] (x ) = 6x x 4 = 6 x [ ] 3 3x ( 5x) = [3x] ( 5x) [( 5x) ] 3x (( 5x) ) = 3( 5x) ( 5)( 5x)3x ( 5x) 4 3( 5x) ( 5)3x = ( 5x) 3 = 5x + 3 ( 5x) 3 Bei dem zweiten Beispiel ist im zweiten Schritt mit ( 5x) gekürzt worden, das geht immer, wenn bei der Funktion die abgeleitet wird, der Nenner insgesamt eine Potenz mit dem Grad n ist. Das ist zum Beispiel jedesmal der Fall, wenn Du die zweite Ableitung irgendeiner gebrochen-rationalen Funktion ausrechnest. Nicht vergessen, das ist eine wichtige Vereinfachung! 8

19 Zuletzt noch zwei Beispiele mit einem Exponential- bzw. Logarithmusterm: [ e 3 x x 4 ] = [e 3 x ] (x 4) [x 4] e 3 x = (x 4) 3 e 3 x (x 4) xe 3 x (x 4) = ( 3 x x 8 3 )e 3 x (x 4). [ ] ln(x) = [ln(x)] (5x + ) [5x + ] ln(x) 5x + (5x + ) = x (5x + ) 5 ln(x) (5x + ) = = = 5x+ x 5x+ x 5 ln(x) (5x + ) 5x ln(x) x (5x + ) 5x + 5x ln(x) x(5x + ) 9

20 .4 Kurvendiskussion.4. Symmetrie Achsensymmetrie Eine Funktion heißt achsensymmetrisch (zur y-achse), wenn gilt f( x) = f(x). Beispiele: Ganzrationale Funktionen, in denen nur gerade Hochzahlen vorkommen (Dazu gehören auch von x unabhängigen Konstanten) sind achsensymmetrisch. Zum Beispiel gilt für f(x) = 3x 4 x + 5 f( x) = 3( x) 4 ( x) + 5 = 3x4 x + 5 = f(x). Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hochzahlen vorkommen sind auch achsensymmetrisch. Das sieht bei f(x) = so aus: f( x) = ( x) ( x) 3 + ( x) = ( x) x 3 x = ( x) (x 3 + x) = Punktsymmetrie Eine Funktion heißt punktsymmetrisch (zum Ursprung), wenn gilt f( x) = f(x). x x 3 +x x x 3 + x = f(x). Beispiele: Ganzrationale Funktionen in denen nur ungerade Hochzahlen vorkommen, sind punktsymmetrisch. Zum Beispiel gilt für f(x) = x3 + 5x: f( x) = ( x)3 + 5( x) = x3 5x = ( x3 + 5x) = f(x). Gebrochenrationale Funktionen, die im Zähler nur gerade Hochzahlen haben und im Nenner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch. Bei f(x) = +x 4x sind die Exponenten im Zähler alle gerade, der Exponent im Nenner ist ungerade (x = x ), und es gilt f( x) = + ( x) 4( x) = + x 4x + x = 4x = f(x). Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und ganzrationale Funktionen, in denen gleichzeitig gerade und ungerade Exponenten auftauchen, sind nicht symmetrisch.

21 .4. Schnittpunkte mit der y-achse Punkte haben immer zwei Koordinaten: Die erste Koordinate ist der x-wert und die zweite der y-wert. Bei Schnittpunkten von Funktionen mit der y-achse gilt x =. Um y zu bekommen, setzt Du also x = in die Funktionsgleichung ein. Der Funktionswert f() ist dann der y-wert des Schnittpunktes. Beispiele: Für f(x) = (x + )e x ist f() = ( + )e =, also ist S( ) Schnittpunkt von f mit der y-achse. Die Funktion f(x) = x hat bei x = den Funktionswert f() = =, d.h. f schneidet x die y-achse im Ursprung ( ). Bei f(x) = (t )x 3 x + t 3 gilt f() = (t )3 + t 3 = t 3, f schneidet die y-achse also in S( t 3 )..4.3 Schnittpunkte mit der x-achse Schnittpunkte von Funktionen mit der x-achse haben immer den y-wert. Die x-werte, auch Nullstellen genannt, berechnest Du indem Du die Gleichung f(x) = nach x auflöst, wie in. beschrieben. Beispiele: Die Nullstellen der Funktion f(x) = x 5 5 x+3 sind die Lösungen der Gleichung x x+3 =. Nach. wird diese zuerst mit x + 3 durchmultipliziert und danach vereinfacht, so dass sie schließlich zu der quadratischen Gleichung x + 3x 5 = führt, mit den Lösungen x = und x = 5. Damit sind N ( ) und N ( 5 ) die beiden Schnittpunkte von f mit der x- Achse. Die Schnittpunkte von f(x) = 3e 3x+ bekommen wir aus 3e 3x+ =, bzw. e 3x+ = 3, was nach..9 die Lösung x = 3 ( ln 3 ) ergibt. Der Schnittpunkt ist also N( 3 ( ln 3 ) ). Bei der Bestimmung der Nullstellen von f(x) = x(x + t) stoßen wir auf die Produktgleichung x(x + t) =, bei der wir nach..6 die beiden Lösungen x = und x = t, bzw. die Schnittpunkte N ( ) und N ( t ) mit der x-achse ablesen können..4.4 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) Hoch- bzw. Tiefpunkte einer Funktion sind Kurvenpunkte, die in einer gewissen Umgebung die größten bzw. kleinsten Funktionswerte haben. Extremstellen sind die x-koordinaten solcher Extrempunkte. Um die Extrempunkte einer Funktion f zu bestimmen, gehst Du am besten so vor:. Löse die Gleichung f (x) = nach x auf (s..). Die Lösungen bezeichnen wir der Größe nach mit x, x usw. bis x n, so dass x der kleinste Wert ist: x < x <... < x n.. Jede Lösung von x bis x n setzt Du jetzt in die zweite Ableitung f ein. Ergibt sich dann f (x k ) < für x k, dann hat f an der Stelle x k einen Hochpunkt. Gilt f (x) >, dann ist bei x k ein Tiefpunkt. Bei f (x k ) = untersuchst Du ob f bei x k einen Vorzeichenwechsel hat. Dazu nimmst

22 Du einen Wert a, der zwischen x k und der nächstkleineren Stelle x k liegt, und einen Wert b zwischen x k und der nächstgrößeren Stelle x k+. Gibt es keine nächstkleinere bzw. -größere Stelle, dann reicht es, wenn Du a < x k bzw. x k < b wählst. Ist jetzt f (a) > und f (b) <, dann ist bei x k ein Hochpunkt. Gilt f (a) < und f (b) >, dann hat f bei x k einen Tiefpunkt. Haben f (a) und f (b) dasselbe Vorzeichen, dann ist an der Stelle x k kein Extremwert. 3. Berechne zu jeder Extremstelle x k den Funktionswert f(x k ) und schreib den dazugehörigen Extrempunkt als H(x k f(x k )) oder T (x k f(x k )) auf, je nachdem, ob dort ein Hochoder Tiefpunkt ist. Beispiele: Wir sehen uns die Funktion f(x) = x 4 + 4x 3 mit f (x) = 4x 3 + x und f (x) = x + 4x an. Es gilt f (x) = 4x 3 + x = x (4x + ) = mit den Lösungen x = 3 und x = (s...7). Wegen f ( 3) = 36 > hat f an der Stelle 3 einen Tiefpunkt. Für x = gilt f () =, und wir schauen deshalb, ob f bei einen Vorzeichenwechsel hat: Für a = (liegt zwischen x und x ) und b = gilt f (a) = 8 > und f (b) = 6 >, d.h. f hat bei x = keinen Vorzeichenwechsel, und deshalb hat f dort keine Extremstelle. Der Funktionswert von x = 3 ist f( 3) = 7. Ergebnis: f hat genau einen Extrempunkt, nämlich den Tiefpunkt T ( 3 7). Als Nächstes untersuchen wir f(x) = e x auf Extrempunkte. Die Ableitung ist f (x) = e x und f (x) = somit äquivalent zu e x = e x =. Diese Gleichung hat nach..9 keine Lösung, also hatf keine Extrempunkte..4.5 Wendepunkte Wendepunkte sind anschaulich gesehen solche Kurvenpunkte, bei denen die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht, oder umgekehrt. Die Wendepunkte einer Funktion erhältst Du mit dem selben Schema wie bei den Extrempunkten, nur wird statt f jetzt f genommen, und f wird durch f ersetzt:. Berechne die Nullstellen x k von f.. Setze die Nullstellen in f ein. Ist f (x k ), dann ist dort ein Wendepunkt. Im Fall f (x k ) = prüfst Du wie bei den Extrempunkten beschrieben, ob f hier einen Vorzeichenwechsel hat. Falls ja, dann ist bei x k ein Wendepunkt, wenn nicht, dann gibt es keinen. 3. Setze alle erhaltenen Wendestellen x k in die Funktion f ein, und schreibe jeden Wendepunkt als W (x k f(x k )) auf. Beispiele: Eine Funktion f ist gegeben durch f(x) = (x + )e x und hat die Ableitungen f (x) = ( x )e x, f (x) = 4xe x und f (x) = ( 8x + 4)e x. Mit f (x) = 4xe x = folgt dann nach..9 x =. Wegen f () = 4e ist dann bei x = eine Wendestelle mit dem Funktionswert f() =, also der Wendepunkt W ( ).

23 Jetzt kommt noch ein Beispiel für eine Funktion ohne jeglichen Wendepunkt: f(x) = 3x. x Die ersten drei Ableitungen sind f (x) = 3 + 4, f x (x) = und f 3 x (x) = 48. Aus f 4 x (x) = 5 = folgt nach Durchmultiplizieren mit dem Nenner =, d.h. es gibt keine Lösung x 4 und damit keinen Wendepunkt..4.6 Senkrechte Asymptoten Kommt eine Funktion f einer senkrechten Geraden mit der Gleichung x = x beliebig nahe ohne sie zu schneiden, dann nennt man diese Gerade eine senkrechte Asymptote der Funktion f. Man sagt dann auch die Funktion hat für x x keinen Grenzwert und schreibt f(x) (bzw. f(x) ) für x x. Dabei wird + bzw. verwendet, wenn die Funktion an der Asymptote nach oben bzw. unten wegstrebt, und beide Vorzeichen wenn sie auf einer Seite nach oben und auf der anderen Seite nach unten wegstrebt. Besitzt eine gebrochenrationalen Funktion eine Stelle x, bei der der Nenner (aber nicht der Zähler) den Wert Null annimmt, dann besitzt sie an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = x. Logarithmusfunktionen der Form f(x) = ln(g(x)) haben an den Nullstellen von g(x) senkrechte Asymptoten. Beispiele: Die Funktion f(x) = hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = 3. (x+3) bekommst Du, indem Du den Nenner Null setzt und nach x auflöst: x = x =. Daraus folgen für die Asymptoten die Gleichungen x = und x =. Die beiden senkrechten Asymptoten von f(x) = x Die Funktion f(x) = ln( x ) hat die Nullstellen von x, also x = und x = als senkrechte Asymptoten..4.7 Grenzwerte und waagrechte Asymptoten Eine Funktion f hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = y, wenn die Funktionswerte von in positiver oder negativer Richtung anwachsenden x-werten dem Wert y beliebig nahe kommen. Man sagt dann, die Funktion hat den Grenzwert y für x + (bzw. x ). Schreibweisen sind: f(x) y für x ±, oder lim f(x) = y. x ± Dabei wird +, bzw. verwendet, wenn der Grenzwert bei wachsenden, bzw. fallenden x-werten angestrebt wird, und beide Vorzeichen werden genommen, wenn der Grenzwert für wachsende und fallende x-werte gilt. Der Grenzwert von konstanten Funktionen der Form y = c, also von waagrechten Geraden ist c. Außerdem gibt es noch zu sagen, dass eine Funktion, die die Summe aus mehreren Funktionen mit verschiedenen Grenzwerten ist, als Grenzwert die Summe der einzelnen Grenzwerte hat. 3

24 Beispiele: Exponentialfunktionen Wir schauen uns jetzt das Grenzwertverhalten von verallgemeinerten Exponentialfunktionen an, das heißt von solchen Funktionen, bei denen außer dem Exponentialterm e ax+b noch ein anderer Term im Spiel ist. Diese Funktionen sollen die Form f(x) = g(x)e ax+b haben, wobei g(x) für irgendeine ganzrationale Funktion stehen soll. Funktionen dieser Form haben entweder für x + oder für x den Grenzwert, je nachdem ob a < oder a > ist. Das heißt, alle solche Funktionen haben die waagrechte Asymptote y =. Zum Beispiel hat f(x) = e x+ (mit g(x) = ) den Grenzwert für x + und f(x) = e 4x 3 (auch mit g(x) = ) hat den Grenzwert für x. Beide Funktionen besitzen eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y =, was übrigens die Gleichung der x-achse ist. f(x) = x e x hat als Grenzwert die Summe der Grenzwerte der konstanten Funktion y = und der Funktion y = x e x (mit g(x) = x ). Es gilt also f(x) + = für x + und damit existiert eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y =. f(x) = ( 3x)e x (mit g(x) = 3x) hat den Grenzwert für x und damit wieder die x-achse mit der Gleichung y = als waagrechte Asymptote. Gebrochenrationale Funktionen Ist bei einer gebrochenrationalen Funktion f der Zählergrad (das ist die Hochzahl der größten im Zähler vorkommenden Potenz) kleiner als der Nennergrad, dann gilt f(x) für x ±, und f hat die x-achse mit der Gleichung y = als waagrechte Asymptote. Sind Zählergrad und Nennergrad gleichgroß, wird die Funktion mit der höchsten Potenz von x gekürzt und es gilt: f(x) = a nx n + a n x n a x + a b n x n + b n x n b x + b = a n + a n x a + a x n x n b n + b n x b + b x n x n a n b n für x ±, da alle übrigen Terme gegen streben. f hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = an b n, wobei a n und b n die beiden Faktoren vor den höchsten Potenzen im Zähler und im Nenner sind. Das war jetzt noch ein wenig allgemein, wir schauen uns jetzt deshalb drei konkrete Funktionen dazu an. Da der Nennergrad der Funktion f(x) = 4x+5 größer als der Zählergrad ist ( > ), 3x gilt f(x) für x ±, und die x-achse mit der Gleichung y = ist waagrechte Asymptote von f. Der Grenzwert von f(x) = + ist die Summe der Grenzwerte der Funktionen y = x + und y = x +. Das heißt f(x) + = für x ±, da der Nennergrad von x + größer als der Zählergrad ist. Damit ist y = waagrechte Asymptote. 4

25 Bei der Funktion f(x) = f(x) = 3x x + = waagrechte Asymptote. 3x x + 3x x + = 3 + x sind Zähler- und Nennergrad gleich: 3 = 3 für x ±. Also ist y = 3 Ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen haben nur eine waagrechte Asymptote, wenn es sich um konstante Funktionen der Form y = c handelt. Dann ist auch der Grenzwert c, und die Funktion ist identisch mit ihrer waagrechten Asymptote..4.8 Schiefe Asymptoten Nähert sich eine Funktion einer (nicht waagrechten) Geraden immer mehr an, je größer x wird, dann nennt man diese Gerade eine schiefe Asymptote. Gebrochenrationale Funktionen können schiefe Asymptoten haben, und zwar dann, wenn die höchste im Zähler vorkommende Potenz von x, also der Zählergrad, um eins größer ist als der Nennergrad. Die Geradengleichung der Asymptote bekommst Du dann mit Hilfe einer Polynomdivision, indem Du die Zählerfunktion durch die Nennerfunktion dividierst. Der Ausdruck vor dem Restterm (falls es einen gibt) ergibt dann die Asymptotengleichung. Beispiele: Um die schiefe Asymptote der Funktion f(x) = 3x3 x +x auszurechnen wird zuerst x +x die folgende Polynomdivision durchgeführt: (3x 3 x + x ) (3x 3 + 6x ) 7x + x ( 7x 4x) 4x : (x + x) = 3x 7 + 4x x +x. Die Geradengleichung der schiefen Asymptote kannst Du jetzt aus dem Ausdruck im Ergebnis vor dem Restterm ablesen: y = 3x 7. Hat die gebrochenrationale Funktion einen besonders einfach gebauten Nenner, nämlich nur eine einzige Potenz von x, dann kommst Du auch ohne die Polynomdivision klar. Du spaltest dann den Bruch in seine Einzelbestandteile auf und kürzt. Die Funktion f(x) = x3 5x + 4 x = x3 x 5x x + 4 x = x 5 + x hat z.b. die Asymptote y = x Monotonie Eine Funktion f ist in einem Bereich monoton steigend (fallend), wenn für alle x aus diesem Bereich f (x) ( ) gilt. 5

26 Beispiele Die Funktion f(x) = e x ist wegen f (x) = e x > für alle x monoton steigend in ganz IR. f(x) = x 3 ist auf IR monoton fallend, wegen f (x) = 3x. Das Schaubild der Funktion f(x) = steigt auf der negativen x-achse monoton an, da für x negative x-werte f (x) = gilt. Für positive x-werte fällt es monoton, wegen f x (x) 3. 6

27 .5 Stammfunktion und Integral.5. Anschauliche Bedeutung der Stammfunktion Geht man von einer Funktion f aus, dann kann man sich fragen, ob es eine dazugehörige Funktion F gibt, die abgeleitet wieder f ergibt. So eine Funktion F wird dann Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von f genannt und auch oft mit f(x) dx bezeichnet. Die Stammfunktion oder das Integral zu einer Funktion f zu bestimmen, d.h. f zu integrieren, ist also der Umkehrvorgang zum Ableiten von f. Die Bedeutung der Stammfunktion liegt darin, dass sie einem hilft, Flächen oder Volumen zu berechnen, die von Funktionen begrenzt werden. Dabei ist das sogenannte bestimmte Integral (mit den Grenzen a und b) von f wichtig, das definiert wird durch b f(x) dx = F (b) F (a). a Man berechnet das bestimmte Integral von f also durch die Differenz der Werte, die man erhält, wenn man die Grenzen a und b in eine Stammfunktion F von f einsetzt. Als Abkürzung dafür wird auch die Schreibweise [F (x)] b a benützt..5. Bestimmung der Stammfunktion Zu jeder Funktion f gibt es nicht nur eine Stammfunktion F. Für jede Konstante C ist nämlich die Funktion F (x)+c genauso eine Stammfunktion, da ja die Ableitung von F +C auch wieder f ergibt: [F +C] = [F ] +[C] = f + = f. Deshalb steht bei den folgenden Integrationsregeln die Konstante C hinter den Integralen (Bei den Beispielen wurde C weggelassen). Stammfunktion der konstanten Funktion f(x) = a: a dx = ax + C Stammfunktion von (verallgemeinerten) Potenzfunktionen: (ax + b) n (ax + b)n+ dx = + C für n a(n + ) Beispiele: x n dx = xn+ n+ (Spezialfall der obigen Formel für a = und b = ) x 4 dx = x4+ 4+ = 5 x5 dx = x x dx = x + + = x = x x = x = x + (5x + ) 3 dx = (5x+)3+ + = x 3 3 5(3+) = = 3 x 3 = 3 x x (5x + )4 ( 3 x)3 dx = ( 3 x) 3 dx = ( 3 x) ( 3+) = 4 3 ( = 3 x) 4( 3 x) Stammfunktion von Exponentialfunktionen: e ax+b dx = a eax+b + C 7

28 Beispiele: e x dx = e x e 7 x dx = e 7 x dx = 7e 7 x 7 e 6x dx = 6 e 6x Stammfunktion einer mit einer Zahl k multiplizierten Funktion f: kf(x) dx = k f(x) dx + C Beispiele: x dx = x dx = x dx = x + 5e x+ dx = 5 e x+ dx = 5e x+ + = x = x 6x 5 dx = 6 x 5 dx = 6 x6 6 = x6 Stammfunktion einer Summe f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx + C Beispiele: 5x 4 kx + 3 dx = x 5 kx + 3x e x+ 5 x3 dx = e x+ x4 kx 4 5x + dx = kx 4 5x + dx = k 3x 3x 3x 3x 3 x dx = k 3x 9 x3 5 3 x 3x Stammfunktion eines Produkts f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx + C Beim Integrieren eines Produkts (auch partielle Integration genannt) bezeichnest du einen Faktor des Produkts mit f (x) und den anderen Faktor mit g(x). Danach bestimmst du f(x) (das ist die Stammfunktion von f (x)) und die Ableitung g (x) von g(x) und wendest damit die obige Formel an. Von deiner Bezeichnung der Faktoren hängt auch das zweite Integral in der Formel ab. Du musst die Bezeichnung der Faktoren also so wählen, dass du dieses dann auch noch bestimmen kannst. Beispiele: Beim Integral xe 3x dx wählen wir zunächst f (x) = x und g(x) = e 3x. Damit folgt f(x) = x und g (x) = 3e 3x und dann mit obiger Formel: xe 3x dx = x e 3x x 3e 3x dx Das zweite Integral ist übler als das ursprünglich zu bestimmende - falscher Weg! Deshalb bezeichnen wir die Faktoren jetzt mit f (x) = e 3x und g(x) = x. Daraus folgt f(x) = 3 e3x, g (x) = und damit xe 3x dx = 3 e3x x 3 e3x dx = 3 xe3x 3 e3x dx = 3 xe3x 9 e3x Im nächsten Beispiel knacken wir mit einem Trick das Integral ln(x) dx der Logarithmusfunktion. 8

29 Der Trick besteht darin, ln(x) künstlich als das Produkt ln(x) zu schreiben und bei der partiellen Integration f (x) = und g(x) = ln(x) festzulegen. Mit f(x) = x und g (x) = x ergibt sich dann ln(x) dx = ln(x) dx = x ln(x) x x dx = x ln(x) dx = x ln(x) x.5.3 Berechnung von Flächen mit Integralen Die Fläche A, die in einem Koordinatensystem nach oben und unten durch zwei sich nicht schneidende Funktionen begrenzt wird und nach links und rechts durch zwei senkrechte Geraden x = a und x = b, lässt sich berechnen mit b A = f(x) g(x) dx. a Schneiden sich die Funktionen in zwei oder mehr Punkten, dann werden bei der Bestimmung der eingeschlossenen Gesamtfläche alle Einzelflächen zwischen jeweils zwei Schnittpunkten berechnet und addiert, wobei Du jedesmal die x-werte der Schnittpunkte als Grenzen a und b verwendest. Wenn es um die Fläche zwischen einer Funktion und der x-achse geht, dann kannst Du g(x) weglassen, weil g(x) = die Gleichung der x-achse ist. Beispiele: Die Funktion f(x) = x schließt mit den Geraden x = (Das ist übrigens die y-achse), x = 3 und der x-achse eine Fläche ein. Dabei schneiden sich f und die x-achse bei x = und es gibt zwei Teilflächen: A = = = = = 3 f(x) dx + f(x) dx x 3 dx + x dx [ [ 3 x3 x] x3 x] ( ) = 3. ( ) 3 3 Als Nächstes soll die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = x+9 und g(x) = x 3 +5x x berechnet werden, wobei diese sich in den Punkten P ( 7) und P (3 5) schneiden. Mit a = und b = 3 ergibt sich dann für die eingeschlossene Fläche: 9

30 3 A = f(x) g(x) dx 3 = x + 9 ( x 3 + 5x x) dx 3 = x 3 5x + 3x + 9 dx [ = 4 x4 5 3 x x + 9x] = ( ( )4 5 3 ( )3 + 3 ) ( ) + 9 ( ) = Volumenberechnung von Rotationskörpern Lässt man eine Funktion f innerhalb der Grenzen x = a und x = b räumlich um die x-achse rotieren, dann entsteht dabei ein Rotationskörper mit der x-achse als Symmetrieachse. Dabei wird der Körper bei x = a und x = b begrenzt durch zwei Kreise mit den Radien f(a) und f(b). Sein Volumen ist gegeben durch die Formel V = π b a f(x) dx. Durch Rotation der Geraden mit der Gleichung f(x) = x + um die x-achse mit den Grenzen a = und b = entsteht ein Kegelstumpf, der bei x = von einem Kreis mit dem Radius f() = und bei x = von einem mit Radius f() = 3 begrenzt wird. Für sein Volumen gilt [ ] ( V = π (x + ) dx = π 3 (x + )3 = π 3 33 ) 3 3 = 6 3 π..5.5 Durchschnittswert von Funktionswerten Zur Berechnung des Durchschnittswerts oder Mittelwerts d von Funktionswerten einer Funktion f im Intervall [a; b] gilt: d = b f(x) dx b a a Die Normalparabel mit der Gleichung f(x) = x hat im Bereich [; ] positive Funktionswerte zwischen f() = und f() = 4. Der Durchschnittswert d aller Funktionswerte wird also ebenfalls zwischen und 4 liegen. Wir berechnen konkret: d = [ ] x dx = 3 x3 = = 7 3 3

31 .5.6 Uneigentliche Integrale Integrale, die einen Grenzwert haben wenn die obere oder untere Grenze variabel ist und gegen Unendlich läuft, nachdem sie in die Stammfunktion eingesetzt worden ist, sind sogenannte uneigentliche Integrale. Die Berechnung läuft dann darauf raus, dass man die Stammfunktion auf Grenzwerte bzw. waagrechte Asymptoten untersucht (vgl..4.7). Mit uneigentlichen Integralen lassen sich z.b. Flächen ausrechnen, die sich unendlich weit ausdehnen, aber trotzdem einen endlichen Inhalt haben, weil sie immer schmaler werden. Für die Fläche A zwischen zwei aufeinander zulaufenden Funktionen f und g, die sich von der Geraden x = a bis ins Unendliche erstreckt, wird dann die Schreibweise A = f(x) g(x) dx a verwendet. Beispiele: Es wird die Fläche berechnet, die zwischen der x-achse und der Exponentialfunktion f(x) = e x liegt, nach links durch die y-achse begrenzt ist und sich nach rechts unendlich weit ausdehnt. Dazu berechnen wir zuerst das bestimmte Integral mit der variablen oberen Grenze t: t e x dx = [ e x] t = e t +. Für die Fläche bzw. das uneigentliche Integral gilt dann A = e x dx = lim ( e t + ) = t..5.7 Keplersche Fassregel a Oft ist es schwierig, für eine Funktion f die dazugehörige Stammfunktion zu finden. In solchen Fällen ermöglicht die Keplersche Fassregel die Berechnung eines Näherungswertes für das bestimmte Integral b a f(x) dx. Die Näherungsformel hat die Form b f(x) dx b a [ ( ) ] a + b f(a) + 4f + f(b). 6 Du setzt also die Grenzen a und b und deren Mittelwert a+b in die rechte Seite der Formel ein, und erhältst ohne eine Stammfunktion suchen zu müssen einen Näherungswert für das bestimmte Integral. 3

32 Wir berechnen einen Näherungswert für das bestimmte Integral und a+b = ergibt sich x + dx [ ( ) + + ] + Zum Vergleich: Der exakte Wert ist dx = arctan, x + dx. Mit a =, b = x + = 47 =,

33 .6 Beziehungen zwischen Kurven.6. Schnittpunkte Um die Schnittpunkte zweier Funktionen f und g zu berechnen, setzt Du die beiden Funktionsterme gleich und löst dann die Gleichung f(x) = g(x) bzw. f(x) g(x) = nach x auf (s..). Die Lösungen dieser Gleichung sind die x-koordinaten der Schnittpunkte. Gibt es keine Lösung, dann schneiden sich die Kurven nicht. Jetzt setzt Du die verschiedenen x-werte noch in f(x) oder g(x) ein (wo ist egal, es kommt sowieso dasselbe raus), um die y-koordinate von jedem Schnittpunkt auszurechnen. Am Schluss schreibst Du alle zueinander gehörenden x- und y-werte als Koordinatenpaare der Schnittpunkte auf. Beispiele: Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Funktionen g(x) = (x + )e x und f(x) = x e x. Durch Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt sich eine Gleichung, die durch den Exponentialterm geteilt werden kann, und dann auf die quadratische Gleichung x x = mit den beiden Lösungen x = und x = führt. Für die Funktionswerte ergibt sich g( ) = f( ) = e und g() = f() = 4e = 4 e. Es gibt also die zwei Schnittpunkte S ( e) und S ( 4 e ). Die Funktionen g(x) = 3 4+x 4x und f(x) = x haben keinen Schnittpunkt, da f(x) = g(x) nach Durchmultiplizieren mit x und Vereinfachung auf die quadratische Gleichung 3 4 x + 3x + 4 = führt, die keine Lösung hat (s...3)..6. Berührpunkte Zwei Funktionen f und g haben einen Berührpunkt an der Stelle x, wenn sie dort denselben Funktionswert und dieselbe Ableitung haben, wenn also f(x ) = g(x ) und f (x ) = g (x ) gilt. Diese beiden Bedingungen müssen also nachgeprüft werden, wenn Du zeigen sollst, dass ein vorgegebener Punkt ein Berührpunkt ist. Wenn Du selber die Berührpunkte von zwei Funktionen bestimmen sollst, löst Du zuerst von den Gleichungen f(x) = g(x) und f (x) = g (x) die einfachere nach x auf (s..), und schaust, ob mit der Lösung oder den Lösungen auch noch die andere Gleichung erfüllt ist. Für Berührpunkte kommen also nur solche Lösungen in Frage, die beide Gleichungen erfüllen. Am Schluss rechnest Du zu allen erhaltenen x-werten die Funktionswerte aus und schreibst die Koordinatenpaare als Berührpunkte auf. Beispiele: Es soll gezeigt werden, dass sich die Funktionen f(x) = 3 4x und g(x) = x in B( ) berühren. Die Ableitungen sind f (x) = 8x und g (x) =, es gilt also f x ( ) = 8 = 4 und g ( ) = = 4. Die Ableitungen sind damit gleich und genauso die Funktionswerte, ( ) denn wir haben f( ) = 3 4 = und g( ) = =. Wir berechnen den Berührpunkt von f(x) = e x 3 und g(x) = x 4. Da sich die Gleichung f(x) = g(x) nicht gut auflösen lässt, versuchen wir es mit der anderen Bedingung f (x) = g (x), bzw. e x 3 =, die nach Division durch und Logarithmieren zur Lösung x = 3 führt. Damit ist auch die andere Bedingung erfüllt, es gilt nämlich f(3) = e = und g(3) = 3 4 =. B(3 ) ist also ein Berührpunkt der Funktionen f und g. 33