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1 Fachhochchule Nordwetchweiz (FHNW Hochchule für Technik Intitut für Geite- und Naturwienchaft Dozent: Roger Burkhardt Klae: Studiengang ST. Aufgabe Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie Büro:.6 Semeter: Modul: Lineare Algebra Datum: HS9/ (a Betimme die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, und B (6,. r ra + t ( r B r A ( (( t ( ( 9 + t g : r ( x y ( 9 t t ( 9 (b Welche der Punkte P (,, P (, und P (, liegen auf der Geraden g? Punkte einetzen: P : ( ( 9 t t ( t t P : ( ( 9 t t ( t t P : ( ( 9 t t Die Punkte P und P liegen auf der Geraden g. (c Betimme die Koordinatengleichung der Geraden g. x 9 t y t x 9 y x + y 9 ( t t

2 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ (d Betimme die Achenabchnitte der Geraden g. x + y 9 x 9 + y Die Achenchnittpunkte ind omit S x (9, und S y (,. (e Betimme die Gleichungen der Geraden g und g und deren Schnittpunkt B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Waeroberfläche gepiegelt EinfallwinkelAufallwinkel. y g B g T(,h β α x Gerade g : Wir kennen einen Punkt T (, h ( b h und die Steigung m tan (α: g : y mx + b x tan (α + h Gerade g : Die Gerade g hat die Steigung m tan (β und geht durch den an der x-ache gepiegelten Punkt T (, h. Alo: Schnittpunkt (Ballonpoition: ( tan (α tan (β D D x D y g : y mx + b x tan (β h ( x y ( h h tan (α tan (β tan (β tan (α h h h tan (α h tan (β h h (tan (α + tan (β In der Form x x A + y y A ind x A und y A die Achenabchnitte der Geraden. Seite /

3 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/. Aufgabe x B D x D y B D y D h tan (β tan (α h (tan (α + tan (β tan (β tan (α ( h h (tan (α + tan (β B, tan (β tan (α tan (β tan (α (a Betimme die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (,,, B (,, und C (,,. r ra + t ( r B r A + ( r C r A + t + + t + ε : r x y z + t + + t + (b Welche der Punkte P (,, und P (9, 6, liegen auf der Ebene ε? Punkte einetzen: P : P : ( t ( t Der Punkt P liegt auf der Ebene ε. + t + + t + ( t + t + + t + ( t ( t keine Löung! ( Seite /

4 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ (c Betimme die Koordinatengleichung der Ebene ε. x + t + y + z t + y x + t + z t + y t x y + z x y + z y x y + + y (d Betimme die Achenabchnitte der Ebene ε. Da die Achenabchnittform nicht erzeugt werden kann, gilt x A y A z A. D.h. die Ebene beinhaltet den Urprung!. Aufgabe Betimme den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch die Punkte P (,,, P (,,, P (,, und Q (,,, Q (,,, Q (,, definierten beiden Ebenen. Normalenvektoren betimmen: np P P P P ( r P r P ( r P r P 9 n Q Q Q Q Q Ebenengleichungen: p : n p ( r r p x + 9y + z 9 In der Form x x A + y y A + z z A ind x A, y A und z A die Achenabchnitte der Ebene. Seite /

5 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ q : n Q ( r r Q x + y z Schnittgerade: x + 9y + z 9 x + y z x z 8 y 7z 9 L {(x, y, z : (z 8, 7z 9, z} bzw. r t 7 Schnittwinkel (Winkel zwichen den Normalenvektoren: ( np n Q α a co n p n Q ( a co Aufgabe Gegeben ei die Gerade g g : r + t 7t 7t und der Punkt P (,,. Betimme: (a den kürzeten Abtand de Punkte P von der Geraden g und den Punkt F auf der Geraden g der von P die kürzete Entfernung beizt. F g P Die kürzete Verbindung teht normal zur Geraden. Seite /

6 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ Der Verbindungvektor P F teht enkrecht zum Richtungvektor der Geraden: P F a ( r F r P a ( r + t a r P a r F t a a ( r P r a t a ( r P r a Und noch die Ditanz: d P F (b die Punkte A und B auf der Geraden g, o da da Dreieck ABP gleicheitig wird. Mit der Löung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge de Dreieck: h d Aufgabe Die beiden Punkte A und B ind nun gleich weit von F entfernt: r A r F ea r B r F ea Weie nach, da die beiden Parametergleichungen: + t r 8 + t r t Seite 6 /

7 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ dieelbe Gerade dartellen. Parallele Richtungvektoren: k 6 k Der Punkt (, 8, liegt auch auf der unteren Geraden: Aufgabe Betimme den (kürzeten Abtand und die Fupunkte der beiden Geraden g : g : r r t + 8t + t Der Verbindungvektor teht normal auf beiden Geraden: F F F F t + 8t + t t F F 79t 88 79, t 86 Hier teht die kürzete Verbindung normal zu beiden Geraden. + + t 8t 7 + t Seite 7 /

8 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ Fupunkte: r F r F Ditanz: F F d Aufgabe E eien die beiden Geraden g : x y + g : x + y 8 gegeben. Betimme: (a Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden. Schnittpunkt: ( ( x y ( 8 x 6, y 8 Schnittwinkel (zwichen den Normalenvektoren der beiden Geraden: ( n, ( n ( n n α a co n a co. 78 n (b Die Gleichung der Winkelhalbierenden. Hee che Normalformen: HNF (g : x y + HNF (g : x + y 8 Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwichen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: E gibt zwei Löungen!. Seite 8 /

9 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ Winkelhalbierende (Summe bzw. Differenz der Hee chen Normalformen: ω : ω : x y + + x + y 8 x y + x + y 8 8. Aufgabe Im Punkt Q (,, ei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Betimme die Richtung die ein Lichttrahl haben mu, um über einen Spiegel den Punkt P (,, anzutrahlen. 6 : x y + z + Q P P' Wir piegeln zuert den Punkt P am Spiegel: r P r P d n n Die Richtung de Lichttrahl: QP Spiegle den Punkt P an der Ebene. Seite 9 /

10 Lineare Algebra Löungen Serie 9 (Vektorgeometrie HS 9/ 9. Aufgabe Betimme den Inkreimittelpunkt de Dreieck A (,, B (, 6 und C (,. Hee che Normalformen der Seitengeraden: Seite a: Seite b: y y B y C x B x C (x x B + y B (x x 9y + x 9y + 8 y y A y C x A x C (x x A + y A (x + Seite c: x y x y y y A y B x A x B (x x A + y A (x + x y + 7 x y + 7 Bemerkung: Negative Vorzeichen, o da der Punkt C auf der poitiven Seite der Geraden liegt. Mittelpunkt M (x M, y M und Inkreiradiu r: x M 9y M + 8 r x M y M x M y M x M y M r r r M (.66,.8, r. 7 Seite /

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