Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/27 12:19:07 hk Exp $

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1 $Id: covete,v /05/27 12:19:07 hk Ep $ 3 Kovegeometrie 32 Die platoische Körper User mometaes Ziel ist die Berechug der geometrische Date der platoische Körper Gemäß des i der letzte itzug eschrieee Plas eötige wir hierzu drei vorereitede Lemmata, eies üer reguläre -Ecke, ei zweites üer chittwikel zwische Eee ud schließlich ei Lemma üer Pyramide Wir egie heute mit dem Lemma üer Wikel zwische Eee Lemma 35 (Lemma vo de drei Eee) eie f 1, f 2 zwei Eee, die sich im Wikel θ i eier Gerade l scheide ei e eie weitere Eee die l i eiem Pukt P scheidet ud für i = 1, 2 sei g i = e f i die chittgerade vo e ud f i ud γ i der Wikel zwische l ud g i chließlich sei α der Wikel zwische g 1 ud g 2 Da gilt cos θ = cos α cos γ 1 cos γ 2 si γ 1 si γ 2 Beweis: ei e die auf l sekrechte Eee durch P ud für i = 1, 2 sei g i = e f i Da hae die Gerade g 1 ud g 2 de Wikel θ I e ilde wir das Dreieck P A 1A 2 mit A i auf g i für i = 1, 2 ud P A 1 = P A 2 = 1 ei := A 1A 2 f 2 l θ A 2 A * 2 g 2 g * 2 f 1 e * A 1 g 1 g * 1 A * 1 P 2 1 α A 2 A 1 c g 2 g 1 e P θ 1 1 A * 2 A * 1 g * 2 g * 1 Die Eee e Die Dreiecke P A 1A 2 ud P A 1 A

2 Wede wir da de Cosiussatz 1atz 4 auf das Dreieck P A 1A 2 a, so folgt 2 = 2(1 cos θ) Für i = 1, 2 ilde jetzt die zu l parallele Gerade li durch A i ud ezeiche ihre chittpukt mit e als Wege li f i ist g i ei weiter h i := A i ud i := P Eie weitere Awedug des Cosiussatzes diesmal im Dreieck P A 1 A 2 liefert da für c := A 1 A 2 c 2 = cos α l c A 2 γ i P A * i 1 i γ i h i A 1 h 1 h 2 A * A * 1 2 Das Dreieck P A i Das Viereck A 1A 2A 2 A 1 recht- Für i = 1, 2 hat das Dreieck P A i da ei de Wikel γ i ud ist ei A i wiklig, also gelte 2 i = h 2 i + 1 ud cos γ i = h i i, h i = i cos γ i sowie si γ i = 1 i Wede wir jetzt de atz des Pythagoras 1atz 1 wie oe gezeigt i der Eee durch A 1, A 2, A 1, A 2 a, so hae wir auch c 2 = 2 + (h 1 h 2 ) 2 = 2 + h h 2 2 2h 1 h 2 = cos γ 1 cos γ 2 Da adererseits auch c 2 = cos α gilt, folgt ud schließlich ist 2(1 cos θ) = 2 = (cos γ 1 cos γ 2 cos α), cos θ = 1 2 (cos α cos γ 1 cos γ 2 ) = cos α cos γ 1 cos γ 2 si γ 1 si γ

3 Damit stehe alle Hilfsmittel zur Behadlug des scho ageküdigte Pyramidelemmas ereit Lemma 36 (Pyramidelemma) eie mit 3, e eie Eee, C = A 1 A ei gleichseitiges -Eck i e mit Kateläge a > 0 ud ei Pukt icht auf e, der vo jeder Ecke vo C desele Astad > 0 hat ei P die Pyramide mit Basis C ud pitze i Da gelte: (a) Das -Eck C ist regulär ud der Lotfußpukt vo auf e ist gleich dem Umkreismittelpukt vo C Weiter ist die Höhe der Pyramide P gegee als = h (a, ) := 4 2 si 2 π a2 2 si π () Es git geau eie Pukt der vo alle Ecke der Pyramide P desele Astad hat Der Umkugelmittelpukt vo P liegt daei auf der Gerade ud der Umkugelradius vo P ist R (a, ) := 2 si π 4 2 si 2 π a2 (c) Je zwei aufeiaderfolgede atelfläche vo P scheide sich im sele Wikel θ gegee durch cos θ = 42 cos ( 2)π a a 2 = 42 a cos 2 π 4 2 a 2 (d) Der Wikel β ei im Dreieck stimmt für alle 1 i üerei ud ist gegee durch cos β = a2 2 2 si 2 π 2 2 si 2 π (e) Die Umkreismittelpukte aller atelfläche vo P hae jeweils desele Astad r (a, ) zu ud R(a, ) zu ud zwar r (a, ) := a 2 cos π (4 2 a 2 ) (4 2 ud R(a, ) = 2 si 2 π a2) 42 a

4 Beweis: (a) chreie h := Für jedes 1 i köe wir de atz des Pythagoras 1atz 1 im rechtwiklige Dreieck awede ud erhalte 2 = h 2 + 2, also = 2 h 2 Der Pukt hat also zu alle Ecke des -Ecks C desele Astad ud ist somit der Umkreismittelpukt vo C ach Aufgae (15) ist C regulär ud ach Lemma 4(c) ist 2 = h 2 + R (a) 2, also h R (a) h = 2 R (a) 2 = a2 2 4 si 2 π = 4 2 si 2 π a2 2 si π Damit ist die Pyramidehöhe erechet () Ist ei Pukt der zu alle Ecke vo C desele Astad hat, so wisse wir scho das der Lotfußpukt vo auf e gleich ist, dh muss auf der Gerade liege Umgekehrt hat jeder Pukt auf dieser Gerade zu alle Ecke vo C wieder ach dem atz des Pythagoras desele Astad, es ist also zu zeige das es geau eie Pukt auf git für de der Astad zu de Ecke vo C gleich dem Astad zu ist ei R ud ezeiche de Pukt auf der vo aus gesehe vo de gerichtete Astad hat, dh liegt für < 0 im Iere der Pyramide ud für > 0 außerhal der Pyramide Für jedes 1 i ist ach dem atz des Pythagoras 2 = R (a) ud 2 = (h+) 2 = 2 +h 2 +2h Geau da hat also vo alle Ecke vo P desele Astad we R (a) = 2 +h 2 +2h ist, also für = R (a) 2 h 2 2h Damit hae wir eie eideutige solche Pukt gefude, ud der Umkugelradius ist R (a, ) = h + = R (a) 2 + h 2 2 si π = 2h 4 2 si 2 π a2 h Ai (c) Wir setze A +1 := A 1, A +2 := A 2 ud es sei 1 i gegee Da etrachte wir die eide Eee f 1 durch +1 ud f 2 durch Die Eee f 1, f 2 scheide sich i der Gerade l = +1 Der chittpukt vo e mit l ist da der Pukt +1 ud wir hae g 1 = e f 1 = +1, g 2 = e f 2 = Der Wikel α zwische g 1 ud g 2 ist der Iewikel des -Ecks C, also ach Lemma 4(a) gleich α = ( 2)π/ 12-4

5 Der Cosiussatz 1atz 4 agewadt im Dreieck +1 liefert das der Wikel γ zwische +1 ud +1 die Gleichug 2 = 2 + a 2 2a cos γ, also cos γ = a/(2) erfüllt Aalog ist γ da auch der Wikel zwische +1 ud it Lemma 5 folgt cos θ = cos α cos2 γ si 2 γ = 42 cos ( 2)π a a 2, ud verwede wir och die Gleichug cos(( 2)π/) = 1 2 cos 2 (π/), so wird dies zu a γ +1 cos θ = 42 a cos 2 π 4 2 a 2 β β Der Fall 0 Der Fall < 0 (d) ei 1 i ud sei = (R (a) 2 h 2 )/(2h) wie im Beweis vo () Wir ehaupte das da cos β = /R (a, ) ist, ud hierzu ist eie Falluterscheidug ach dem Vorzeiche vo ötig Fall 1 ei 0, dh der Umkugelmittelpukt liegt icht ierhal der Pyramide Da ist β auch der Wikel ei im ei rechtwiklige Dreieck, also köe wir de Cosius vo β im diesem Dreieck als cos β = = R (a, ) alese Fall 2 u sei < 0, dh der Pukt liegt ierhal der Pyramide ud β ist ei stumpfer Wikel Da etrachte wir das ei rechtwiklige Dreieck, ud dieses hat ei de Wikel π β Lese wir de Cosius vo π β i diesem Dreieck a, so folgt auch i diesem Fall cos β = cos(π β) = = 12-5 R (a, )

6 Damit hae wir cos β = /R (a, ) i eide Fälle achgewiese ud setze wir de Wert vo R (a, ) aus Teil () ei, so ergit sich schließlich cos β = R (a, ) = a2 2 2 si 2 π 2 2 si 2 π α α U U h Der Umkreismittelpukt Bestimmug vo α (e) etze wieder A +1 := A 1 ud sei 1 i gegee Bezeiche U de Umkreismittelpukt ud R de Umkreisradius des Dreiecks +1 Wir ereche zuächst eimal R = R(a, ) i Terme vo a ud Die eiteläge sid +1 = a ud = +1 =, der hale Umfag ist damit s = (2 + a)/2 = + a/2 ud ach der Herosche Flächeformel 1atz 15 ist die Fläche F vo +1 gleich F = s(s a)(s ) 2 = a 2 2 a2 4 = a 42 a 4 2 Der Umkreisradius R ist damit ach 1atz 18 gegee als R = a2 4F = 2 42 a 2 u etrachte wir das Dreieck U ud estimme zuächst de Wikel α i diesem Dreieck ei Da das Dreick +1 ei gleichscheklig ist, stimme die ittelsekrechte ud die Höhe auf +1 i diesem Dreieck üerei, dh der ittelpukt vo +1 liegt auf U Damit ist α auch der Wikel des Dreiecks ei Dieses Dreieck ist ei rechtwiklig ud ach Lemma 4(d) ist = r (a) = (a/2) cot(π/), also liefert der atz des Pythagoras 1atz 1 2 = r (a) 2 + h 2 = a2 π 4 cot si 2 π 4 si 2 π a2 = 1 4 (42 a 2 ) ud wir köe de Cosius vo α im rechtwiklige Dreieck als cos α = h = si 2 π a2 si π 4 2 a

7 alese chließlich wede wir de Cosiussatz im Dreieck U a, ud es folgt U 2 = R 2 + R (a, ) 2 2RR (a, ) cos α = a si 2 π 4 2 si 2 π 2 4 (4 a2 2 a 2 ) ( π si a2) ( = 4 si 2 π ) = 4 2 si 2 π a a 2 Damit ist auch Teil (e) des Lemmas ewiese 4 2 si 2 π a2 4 2 a 2 a 2 4 cos 2 π (4 2 a 2 ) ( 4 2 si 2 π a2) Damit sid alle eötigte Hilfsmittel ereitgestellt ud wir köe a die Berechug der geometrische Date der platoische Körper gehe Hiermit sid der Um- ud Ikugelradius, die Wikel zwische eachtarte Fläche ud zwische eachtarte Ecke sowie Oerfläche ud Volume gemeit Für die erste eide wird isesodere geklärt was Um- ud Ikugel üerhaupt sei solle ud es wird die Eistez dieser Kugel ewiese atz 37 (Berechug der platoische Körper) ei P ei platoischer Körper vo Typ (, m) ud Kateläge a > 0 Da gelte: (a) Es git geau eie Pukt der vo alle Ecke vo P desele Astad R m (a) := si π m a 2 si 2 π m cos2 π hat Der Pukt ist der Umkugelmittelpukt vo P ud R m (a) ist der Umkugelradius vo P () Der Ikugelradius vo P ist r m (a) := cot π cos π m a 2 si 2 π m cos2 π ud die Ikugel vo P ist die Kugel mit ittelpukt ud diesem Radius Die Ikugel vo P erührt jede Fläche vo P tagetial im Umkreismittelpukt der Fläche (c) Je zwei eachtarte Fläche vo P scheide sich im sele Wikel θ gegee durch cos θ = si2 π 2 cos2 π m si 2 π 12-7

8 (d) Je zwei eachtarte Ecke vo P ilde mit dem Umkugelmittelpukt desele Wikel β gegee durch cos β = 2 cos2 π si2 π m si 2 π m (e) Das Volume vol(p ) = V m (a) vo P ud die Oerfläche A(P ) = A m (a) vo P sid A m (a) = f m 4 cot π a2, V m (a) = 1 3 r m(a)a m (a) = f m 24 woei f m die Azahl der Fläche vo P ist cot2 π cos π m si 2 π m cos2 π De Beweis dieses atzes werde wir i der ächste itzug durchführe a