Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 1 6. Semester ARBEITSBLATT 1 DIFFERENTIALRECHNUNG

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1 ARBEITSBLATT DIFFERENTIALRECHNUNG Folgendes Problem ist gegeben. Wir haben eine gegebene Funktion und möchten in einem beliebigen Punkt dieser Funktion die Tangente legen. Die Frage ist nun natürlich: Wie lautet die Gleichung der Tangente? Da eine Tangente stets eine Gerade darstellt, benötigen wir also einen Punkt und die Steigung der Tangente. Da der Punkt gegeben ist, reduziert sich die Fragestellung auf die Steigung. Für diese Frage wollen wir nun eine neue Rechnungsart einführen. Gehen wir das Problem an einem konkreten Beispiel durch: Beispiel: Gegeben ist die Funktion f( ² +8. Wie lautet die Tangente im Punkt P (/ (An der Stelle der Funktion? Lösung: Zur Klärung der Angelegenheit machen wir uns die Sache zunächst einmal einfach: Wir wählen einen beliebigen zweiten Punkt auf der Funktion, z.b. P (5/4 und berechnen uns die Steigung der Gerade durch P und P : s Wie sie an der Zeichnung sehen, ist diese Gerade natürlich keineswegs eine Tangente, da die Funktion im Punkt P keineswegs die gleiche Steigung hat wie diese Gerade (Was im Falle einer Tangente der Fall sein muss. Eine derartige

2 Gerade nennt man eine Sekante. Wir ermitteln nun den Anstieg k der Sekante s durch die Punkte P (/ und P (5/4: Dazu betrachten wir das Steigungsdreieck: k Höhendifferenz Horizontaldifferenz 4 3 k 5 3 y y In unserem Beispiel beträgt also der Sekantenanstieg. Die Berechnung dieses Sekantenanstiegs möchten wir aber auch allgemein haben. Stellen Sie sich vor, sie wollen allgemein die Tangente im Punkt P ( / f ( legen und nehmen den Hilfspunkt P ( / f (. Der Anstieg der Sekante beträgt dann: f ( f ( k Diesen Anstieg einer Gerade nennt man allgemein den Differenzenquotienten: Definition: Die Steigung einer Gerade bezeichnet man auch als f ( f ( Differenzenquotienten: k Somit gilt: Die geometrische Interpretation des Differenzenquotienten ist der Anstieg der Sekante, also der Geradenanstieg. Anmerkung: f ( f ( f ( f ( Nun wollen wir aber den Anstieg der Geraden t im Punkt P ermitteln. Es soll also nicht der Anstieg der Geraden durch zwei Punkte (P, P berechnet werden, sondern eben in dem Punkt P. Wenn man versucht, eine Gerade in P an die Kurve zu zeichnen, dann fühlen sich gleich mehrere Geraden angesprochen!

3 Uns geht es aber um die Gerade t, die sich am besten an die Kurve anschmiegt. So eine Gerade nennt man Tangente: Warum kennzeichnet nun aber eine Tangente an eine Funktion? Wir definieren die Tangente an eine Funktion als jene Gerade die im Berührpunkt die gleiche Steigung hat wie die Funktion in diesem Punkt. Definition: Unter dem Anstieg einer Kurve in einem Punkt P versteht man den Anstieg der Tangente im Punkt P und umgekehrt. Die Frage ist nun also, wie erhalten wir den Anstieg der Funktion im Punkt P? In unsere Steigung können wir nicht direkt einsetzen, denn in unserem Fall wäre P.und P derselbe Punkt. Wenn wir nun in k einsetzen würden: P P / ( k nicht definiert So kommt man also nicht weiter, da wir eine Division durch Null erhalten. Die neue Idee ist, dass wir den Punkt P gegen den Punkt P wandern lassen. Wenn wir diesen aber unendlich dem Punkt P annähern, so muss er praktisch mit diesem ident werden. 3

4 Man lässt den Punkt P gegen P wandern. In jedem neuen Punkt legen wir theoretisch eine neue Gerade durch den Punkt P und den neuen Punkt. So muss sich also diese Gerade immer mehr zur gesuchten Tangente annähern, bis sie schließlich mit dieser ident wird. Nun müssen wir uns aber noch fragen, wie wir es mathematisch artikulieren sollen, dass der Punkt P unendlich nahe an den Punkt P heranwandern soll. Die Antwort dazu ist der Ansatz für die Differentialrechnung: Wenn sie auf obige Zeichnung schauen, bedeutet dies nur, dass beim Annähern die Horizontaldifferenz immer kleiner werden muss, bis sie im Punkt P praktisch Null wird. Mathematisch sagt man, dass gegen Null gehen soll. Um also unsere Steigung im Punkt P berechnen zu können, müssen wir in unserer Steigungsformel gegen Null gehen lassen. Mathematisch schreibt man dies folgendermaßen: f ( f ( Nun können wir uns noch überlegen, dass ja die -Koordinate des Punktes P lediglich um vergrößert ist. Es gilt also: + Wir setzen entsprechend ein: f ( + + f ( Wir vereinfachen den Nenner und erhalten: 4

5 f ( + f ( (Sprich: Limes Delta geht gegen Null von Delta y durch Delta So, damit haben wir unseren Plan theoretisch verwirklicht. Wie man damit praktisch umgeht, wird der Rest des Semesters behandelt werden. Anmerkung: Der Begriff des Grenzwertes (Limes ist zugegeben nur sehr intuitiv erklärt. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass dieser in unserem Lehrplan nicht genauer gefordert wird. Definition: Man bezeichnet f ( + f ( als den Differentialquotienten oder die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle. Man schreibt dafür: f f ( + f ( ( Achtung: Der Grenzwert kann nicht einfach dadurch gebildet werden, dass man setzt (Division durch Null. Bevor der Grenzübergang durchgeführt wird, muss der Differenzenquotient gebildet werden: Sehen wir uns nun das Anfangs besprochene Beispiele dazu an: Beispiel: Berechne die Steigung der Funktion f( ² + 8 an der Stelle. Lösung: Dass wir die Steigung an der Stelle berechnen wollen, heißt nur, dass wir in einem Punkt P der Funktion, mit der -Koordinate die Steigung der Funktion wissen wollen. Der Punkt P lautet also: P ( / y P Als Erstes wollen wir die y-koordinate des Punktes wissen. In einer anderen Schreibweise ist die y-koordinate aber nur der Funktionswert an der Stelle. Man schreibt dafür f(. Wir berechnen diesen Wert, indem wir die -Koordinate in die Funktion einsetzen: 5

6 f ( + 8 f ( + 8 Der Punkt P hat also die Koordinaten: P( / Nun wollen wir die Steigung berechnen. Wir haben oben gelernt, dass die Steigung einer Funktion gleichbedeutend mit der ersten Ableitung ist. Wir setzen also in unsere Definition für ein: f ( ( + f ( f ' Nun setzen wir entsprechend ein: P ( / f( ( + f f ' ( Nun müssen wir den Ausdruck f ( + errechnen. Der Ausdruck bedeutet aber nur dass wir die y-koordinate eines Punktes mit der -Koordinate + suchen. Dazu setzen wir diesen Wert in unsere Funktionsgleichung f ( + 8 für ein. Wir erhalten: ( ( + f ( + Diesen Ausdruck vereinfachen wir noch. Wir lösen zunächst die Klammern auf: ( ( ( Wir fassen entsprechende Elemente zusammen und erhalten: f ( ( Dies setzen wir nun in unseren obigen Ausdruck f '( und erhalten: ( ( f ' Wir vereinfachen den Zähler: ( + 4 Wir heben im Zähler heraus: ( + 4 Wir kürzen : 6 f ( + ein

7 ( + 4 Nun wenden wir den Limes auf alle beiden Rechenausdrücke an: a ± b a ± Merke: ( b + 4 Nun berechnen wir uns für beide Ausdrücke den Grenzwert. Wenn im ersten Ausdruck der Wert gegen Null geht, so wird auch der Gesamtausdruck Null. Wenn im zweiten Ausdruck 4 keine Auswirkungen, da ja bei 4 kein Ausdruck also gegen 4. Wir erhalten: Somit erhalten wir: f ' ( 4 der Wert gegen Null geht, so hat dies vorkommt. Daher geht dieser Dies bedeutet, dass die Funktion im Punkt P(/ die Steigung 4 hat. Übung: Übungsblatt ; Aufgabe Beispiel: Ermittle die Gleichung der Tangente an die Funktion : f ( Stelle 4. f an der Lösung: Dass wir die Tangente an der Stelle 4 ermitteln sollen, bedeutet wieder nur, dass wir in einem Punkt P mit der -Koordinate 4, der auf der Funktion liegen soll, die Tangente an die Funktion f ermitteln sollen. Zunächst muss uns einmal klar werden, was wir überhaupt berechnen müssen. Jede Tangente ist eine Gerade. Folglich benötigen wir also einen Punkt dieser Tangente und die Steigung der Tangente, damit diese fiiert ist. Der Punkt ist kein Problem, da wir ja die Tangente im Punkt P ( 4 / y P berechnen sollen. Für die fehlende y-koordinate setzen wir wieder in die Funktionsgleichung ein: f ( 4 f ( 4 8 7

8 Der Punkt P hat also die Koordinaten ( 4 /8 P. Nun benötigen wir noch die Steigung der Tangente. Dazu machen wir uns wieder Folgendes bewusst: Da die gesuchte Gerade die Funktion f im Punkt P ja genau berühren soll, muss die Steigung der Funktion im Punkt P gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt sein. Folglich müssen wir uns also die Steigung der Funktion im Punkt P ausrechnen. Laut Definition erhalten wir diese wieder folgendermaßen: f ( ( + f ( f ' Nun setzen wir entsprechend ein: P ( 4 / 8 f( ( 4 + f 8 f '( 4 Nun müssen wir den Ausdruck f ( 4 + errechnen. Der Ausdruck bedeutet aber nur dass wir die y-koordinate eines Punktes mit der -Koordinate 4 + suchen. Dazu setzen wir diesen Wert in unsere Funktionsgleichung f ( für ein. Wir erhalten: ( 4 + f (4 + Diesen Ausdruck vereinfachen wir noch. Wir lösen zunächst die Klammer auf: ( Wir zerlegen in Einzelbrüche: 6 8 ( + + ( Dies setzen wir nun in unseren obigen Ausdruck f '( 4 und erhalten: ( f ' ( 4 Wir vereinfachen den Zähler: ( 4 + f 8 ein 8

9 ( 4 + f ' ( 4 Wir heben im Zähler heraus: 4 + Wir kürzen : 4 + Nun wenden wir den Limes auf alle beiden Rechenausdrücke an: 4 + Wenn nun gegen Null geht, wird der erste Ausdruck 4, der zweite geht gegen Null, da Null durch gleich Null. Wir erhalten: Damit wissen wir, dass die Steigung der Funktion im Punkt P gleich 4 ist. Damit muss aber auch die Steigung k der Tangente gleich 4 sein. Somit haben wir alle Werte berechnet, damit die Tangente fiiert ist: P ( 4 / 8 und k 4 Nun müssen wir die Gerade aufstellen, die durch den Punkt P geht und die Steigung 4 hat. Jede Gerade entspricht der Form: y k + d Das d müssen wir uns noch ermitteln. Dafür setzen wir aber für und y die Koordinaten unseres Punktes ein und k ist uns ebenfalls bekannt: d / 6 d 8 Damit können wir die gesuchte Tangente angeben: t : y 4 8 Übung: Übungsblatt ; Aufgabe 9