$Id: anageo.tex,v /01/18 21:24:38 hk Exp hk $
|
|
- Johannes Brahms
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 $Id: anageo.tex,v 1.3 9/1/18 1:4:38 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 1 Analytische Geometrie 1.1 Das Skalarprodukt v w u p Wir wollen noch eine weiteres Ergebnis der eben durchgeführten Überlegung festhalten. Den eben verwendeten Lotfußpunkt p nennt man auch die Projektion des Vektors v in Richtung von u, oder auf u. Unsere obige Formel besagt dann Insbesondere ist damit p = λu = u v u v u, p = λ u =. u u p u = u v (u u = u v. u Diese Beobachtungen bilden auch die Grundlage für die Bedeutung des Skalarprodukts in der Mechanik. Dort treten Vektoren zumeist bei der Beschreibung wirkender Kräfte auf. Denken wir uns, dass der Vektor eine Kraft beschreibt, so interessiert man sich hier für den in Richtung von u wirkenden Teil der Kraft. Um diesen zu ermitteln zerlegt man v in einen zu u parallelen und einen zu u senkrechten Teil, und dies ist gerade unsere oben verwendet Zerlegung v = p+w. Der in Richtung u wirkende Teil der Kraft ist dann also p = λu = ((u v/ u u. In der Regel wird die Richtung dann durch einen Einheitsvektor beschrieben, d.h. wir haben u = 1 und somit p = (u vu. Der Betrag der in Richtung u wirkenden Kraft ist dann p = u v. In 8 hatten wir bemerkt, dass die Determinante, beziehungsweise ihr Betrag, das Volumen des von den Spalten der Determinante aufgespannten Parallelepipeds angibt. -1
2 An dieser Stellen wollen wir dies für den ebenen Fall n = auch einmal nachweisen. Hierzu betrachten wir die Fläche F des durch u und v gegebenen Parallelogramms: v w u p so haben wir F = u w, da wir etwa das rechts abgetrennte Teildreieck links wieder anhängen können und ein Rechteck mit den Seitenlängen u und v erhalten. Betrachten wir erneut unser rechtwinkliges Dreieck von oben, so können wir aus diesem die Länge w als w = v sin φ gewinnen, und somit wird die Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms zu F = u w = u v sin φ. Dabei betrachten wir hier den Fall, dass u und v sich wie im obigen Bild verhalten, der Punkt v also oberhalb von u liegt und der Winkel φ von u nach v kleiner als π ist, denn dann ist sin φ >. Quadrieren wir die Gleichung, so wird F = ( u w = u v sin φ = u v (1 cos φ = u v (u v. Setzen wir hier u = (u 1, u, v = (v 1, v ein, so wird dieser Ausdruck zu F = (u 1 + u (v 1 + v (u 1 v 1 + u v = u 1v1 + u 1v + u v1 + u v u 1v1 u v u 1 u v 1 v = u 1v + u v1 u 1 u v 1 v = (u 1 v u v 1 = u 1 v 1 u v, d.h. es ist tatsächlich F = det(u, v. Auch das Vorzeichen der Determinante det(u, v hat eine geometrische Bedeutung. Um diese zu sehen betrachten wir die beiden möglichen Konstellationen von u und v -
3 v u Positive Basis, det(u,v > u v Negative Basis, det(u,v < Wir drehen den Vektor u, beziehungsweise genauer die von ihm erzeugte Halbgerade, gegen den Uhrzeigersinn zum Vektor v. Im linken Bild ist der dabei auftretende Drehwinken φ kleiner als π, und wir nennen die Basis u, v positiv. Im rechten Bild ist der Winkel φ größer als π und wir haben eine negative Basis. Welcher der beiden Fälle vorliegt läßt sich an der Determinante det(u, v ablesen, ist diese positiv, so ist die Basis positiv, und ist sie negativ, so ist die Basis negativ. 1. Die Hessesche Normalform Die Hessesche Normalform ist eine Beschreibung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum, und allgemeiner von (n 1-dimensionalen affinen Teilräumen im R n. Der Vollständigkeit halber wollen wir diese Begriffe erst einmal in Vektorraumsprache einführen: Definition 1.: Eine Gerade im R n ist ein eindimensionaler affiner Teilraum des R n, und eine Ebene im R n ist ein zweidimensionaler affiner Teilraum des R n. Eine Hyperebene im R n ist ein (n 1-dimensionaler affiner Teilraum des R n. Starten wir einmal mit Geraden im R n. Diese sind eindimensionale affine Teilräume, haben also die Form {v + tu t R} (Parameterform oder Aufpunkt-Richtung Form. Dabei ist der Aufpunkt v irgendein Punkt der Geraden, ist also keinesfalls eindeutig. Auch der Richtungsvektor u ist nicht eindeutig festgelegt, mit u funktioniert auch jedes Vielfache von u, natürlich mit Ausnahme des Nullvektors. Nehmen wir als ein Beispiel einmal die Gerade -3
4 y y = x 1 o p x q gegeben als y = x 1. Als Aufpunkt können wir dann irgendeinen Punkt, etwa den eingezeichneten Punkt p nehmen. Als Richtung können wir dann beispielsweise den Vektor von q nach p, also u = p q benutzen, also haben wir als (eine Aufpunkt- Richtung Form ( 1 + t (( 1 ( 1 = ( 1 + t ( 1 1 = ( 1 + t t, t R. Auch für Ebenen haben wir eine entsprechende Aufpunkt-Richtung, beziehungsweise Parameterform. Da Ebenen als zweidimensionale affine Teilräume definiert sind, brauchen wir hier gleich zwei Richtungsvektoren und entsprechend auch zwei Parameter {v + tu + sw t, s R}. Wir kommen nun zu einer weiteren Beschreibung von Hyperebenen im R n. Jeder k- dimensionale affine Teilraum des R n läßt sich durch ein lineares Gleichungssystem aus n k Gleichungen in n Unbekannten beschreiben. Da Hyperebenen ja als (n 1- dimensionale affine Teilräume definiert sind, lassen sich diese durch eine einzige lineare Gleichung a 1 x a n x n = c beschreiben. Im Fall n = wird dies zur Beschreibung einer Geraden durch eine Gleichung ax + by = c (Implizite Form, beziehungsweise für n = 3 zur Beschreibung einer Ebene durch ebenfalls eine Gleichung ax + by + cz = d (Implizite Form. In unserem obigen Beispiel einer Geraden ist diese leicht zu erhalten, die Gerade war ja ursprünglich als y = x 1 gegeben, die implizite Form ist also x y = 1. Man -4
5 kann die implizite Form der Gleichung einer Hyperebene nun auch noch in Termen des Skalarprodukts deuten. Betrachten wir den Vektor so wird für jeden Vektor x R n a := a 1. a n R n a 1 x a n x n = a x, d.h. die implizite Form einer Hyperebene läßt sich als a x = c (Implizite Form als Skalarprodukt schreiben. Der Vektor a ist dann normal zur beschriebenen Hyperebene, steht also senkrecht auf ihr. Sind nämlich x, y zwei Punkte der Hyperebene, also a x = a y = c, so ist a (x y = a x a y = c c =. In unserem Beispiel einer Geraden war die implizite Form als x y = 1 gegeben, der Vektor a ist hier also a = ( 1 1 Auch die implizite Form einer Geraden oder einer Ebene ist nicht eindeutig. Die Gerade x y = 1 können wir zum Beispiel ebensogut durch x y = beschreiben. Die Hessesche Normalform einer Hyperebene im R n ist ein Spezialfall der impliziten Form dieser Hyperebene. Als Hessesche Normalform bezeichnet man eine implizite Form. n x = c, n = 1 (Hessesche Normalform bei der der konstante Vektor n ein Einheitsvektor ist, für den also n = 1 gilt. Den Vektor n bezeichnet man als Normalenvektor der Hyperebene, und schreibt daher auch n anstelle von a. Aus einer bereits vorhandenen impliziten Form a x = c, ist es leicht eine Hessesche Normalform zu gewinnen, man teilt a einfach durch seine Länge. Die Hessesche Normalform wird a a x = c a also n x = c mit n = a/ a, c = c/ a. Im unseren Geradenbeispiel ist ( 1 a =, a = = (, n = 1 ( a = 1 die Hessesche Normalform ist also n x = = 1, c = 1,
6 Auch die Hessesche Normalform ist nicht ganz eindeutig, man kann von n noch zu n, und dann rechts natürlich zu c, übergehen, aber bis auf dieses Vorzeichen ist die Hessesche Normalform eindeutig festgelegt. Die rechte Seite c in der Hesseschen Normalform hat auch noch eine direkte geometrische Bedeutung, der Betrag c ist gerade der Abstand der Geraden zum Nullpunkt. Wir wollen uns dies einmal für eine Gerade in der Ebene klarmachen, aber genau dasselbe Argument funktioniert dann auch im n-dimensionalen Fall. Wir betrachten also eine Gerade g, die in Hessescher Normalform durch n x = c gegeben ist. Weiter betrachten wir dann das Lot auf der Geraden g durch den Null- p x punkt und bezeichnen den Lotfußpunkt, also den Schnitt der Lotgeraden mit g, als p. Der Abstand l := p von p l zu ist dann der Abstand der Geraden g von Null. Ist nämlich x ein beliebiger Punkt auf g, so haben wir das rechts angedeutete rechtwinklige Dreieck, und erhalten x = l + x p l, also auch x l. Nun ist der Vektor p aber senkrecht auf der Geraden g, also ist p ein Vielfaches des Normalenvektors n. Wir können also p = λn mit einer reellen Zahl λ schreiben, und erhalten λ = λn = p sowie c = n p = n (λn = λn n = λ n = λ, also c = λ = p = l. In unserem Beispiel ist also / gerade der Abstand der Geraden x y = 1 zum Nullpunkt. Dies können wir natürlich auch direkt einsehen: y o x Der Abstand der Geraden zum Nullpunkt ist gerade die halbe Länge der Diagonale in einem Quadrat mit der Seitenlänge 1, und letztere ist gerade. -6
7 1.3 Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt ist ein spezifisch dreidimensionales Phänomen, es ordnet zwei Vektoren u, v R 3 einen weiteren Vektor u v R 3 zu, genannt das Vektorprodukt oder auch das Kreuzprodukt von u und v. Wie für das bereits behandelte Skalarprodukt gibt es zwei mögliche Arten das Vektorprodukt einzuführen, eine algebraische und eine mehr geometrische Methode. Wir werden die algebraische Form als Definition verwenden, wollen aber erst mal die geometrische Beschreibung des Vektorprodukts angeben. Zunächst soll u v senkrecht auf u und auf v stehen. Sind insbesondere u und v linear unabhängig, so wird u v senkrecht auf der von u und v aufgespannten Ebene sein. Hierdurch ist das Vektorprodukt aber noch nicht festgelegt, die auf u und v senkrechten Vektoren bilden einen eindimensionalen Teilraum des R 3, zumindest wenn u und v linear unabhängig sind. Als nächste Einschränkung soll die Länge des Vektorprodukts gerade die Fläche des von u und v aufgespannten Parallelograms sein. Dadurch ist das Skalarprodukt fast vollständig festgelegt, es gibt gerade zwei auf u, v senkrechte Vektoren einer vorgeschriebenen Länge. Welcher dieser beiden Vektoren als Vektorprodukt verwendet wird, ist durch die dritte Eigenschaft des Vektorprodukts festgelegt, die drei Vektoren u, v und u v sollen eine positive Basis des R 3 bilden, also eine deren Determinante positiv ist. Dies beschreibt zumindest den Fall wenn u und v linear unabhängig sind, andernfalls wird einfach u v = sein. Wie im zweidimensionalen Fall läßt sich auch wieder sagen was die Positivität einer Basis geometrisch bedeutet. Eine Basis u, v, w des R 3 ist positiv, wenn sie ein Rechtssystem bildet, also wie die x-, y- und z-achse im R 3 angeordnet ist. Eine populäre andere Formulierung dieser Bedingung ist die Rechte Hand Regel. Halten Sie den Daumen der rechten Hand in Richtung des ersten Basisvektors u, und den Finger daneben in Richtung des zweiten Basisvektors v, so richtet sich der Mittelfinger in Richtung des dritten Basisvektors w aus. Algebraisch erkennt man dies, wie bereits bemerkt, einfach daran das det(u, v, w > ist. Wir kommen nun zur algebraischen Definition des Vektorprodukts, und werden dann im folgenden nachweisen, dass diese Definition tatsächlich die obige geometrische Beschreibung verwirklicht. Definition 1.3: Seien u, v R 3. Das Vektorprodukt von u und v ist dann der Vektor u 1 v 1 e 1 u v := u v e e 3 R3. Dabei stehen e 1, e, e 3 wieder für die drei kanonischen Basisvektoren des R 3. Wir verwenden hier die bisher nicht bemerkte Tatsache, dass wir auch Determinanten bilden können in denen Zahlen und Vektoren gemischt auftreten. Die Determinante war ja eine Summe von Produkten, haben wir also Zahlen und Vektoren in der Determinante stehen, so treten die folgenden Typen von Produkten auf: 1. Produkte von Zahlen. Was diese bedeuten ist klar. -7
8 . Produkte aus mehreren Zahlen und genau einem Vektor. Multiplizieren wir dann die Zahlen, so erhalten wir einen Skalar, den wir mit dem Vektor multiplizieren können und einen neuen Vektor erhalten. 3. Produkte in denen mindestens zwei Vektoren auftreten. Diese Produkte fassen wir einfach als Null auf. Dass der so erweiterte Determinantenbegriff weiter all unsere in 8 hergeleiteten Eigenschaften hat, ist zwar nicht schwer zu sehen, erfordert aber einen etwas abstrakter angelegten Zugang zur Determinantentheorie, als den in dieser Vorlesung verwendeten Weg. Daher wollen wir dies an dieser Stelle einfach glauben. Eine etwas direktere Beschreibung des Vektorprodukts u v erhalten wir, indem wir die obige Determinante nach der dritten Spalte entwickeln. Das Vektorprodukt wird dann zu u v = u 1 v 1 e 1 u v e e 3 = u v e 1 u 1 v 1 e + u 1 v 1 u v e 3 u v = u 1 v 1 = u 1 v 1 u v u v 3 u 3 v u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v u v 1 Insbesondere ist das tatsächliche Berechnen von Kreuzprodukten einfach möglich = ( 6 = Einige der algebraischen Grundeigenschaften des Vektorprodukts folgen sofort aus der algebraischen Definition. Da eine Determinante genau dann Null ist, wenn ihre Spalten linear abhängig sind, erhalten wir u v = u und v sind linear abhängig. Vertauschen wir in einer Determinante zwei Spalten, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante, also u v = v u. Da die Determinante in jeder ihrer Spalten linear ist, haben wir ebenfalls (u 1 +u v = u 1 v+u v, u (v 1 +v = u v 1 +u v, λ u v = (λu v = u (λv für u, v, u 1, u, v 1, v R 3, λ R. Wir wollen nun beginnen uns die eingangs gegebene geometrische Beschreibung des Vektorprodukts herzuleiten. Es stellt sich als nützlich -8.
9 heraus, zunächst einmal für u, v, w R 3 die folgende Kombination von Skalarprodukt und Vektorprodukt zu berechnen (u v w = u v w 1 u 1 v 1 w + u 1 v 1 u v w 3 = u 1 v 1 w 1 u v w w 3 = det(u, v, w. Man bezeichnet (u v w = det(u, v, w auch als das Spatprodukt der drei Vektoren u, v, w. Insbesondere haben wir nun (u v u = det(u, v, u = da die Determinante det(u, v, u zwei identische, also insbesondere linear abhängige, Spalten hat. Ebenso ist (u v v =. Andererseits haben wir bereits eingesehen, dass (u v u = gerade bedeutet, dass u v senkrecht auf u steht, und ebenso steht dann u v senkrecht auf v. Damit haben wir die erste der obigen drei Bedingungen an das Vektorprodukt eingesehen. Wir kommen nun zur Länge von u v u v = u v + u 1 v 1 + u 1 v 1 u v = (u v 3 u 3 v + (u 1 v 3 u 3 v 1 + (u 1 v u v 1 = u v 3 + u 3v + u 1v 3 + u 3v 1 + u 1v + u v 1 (u u 3 v v 3 + u 1 u 3 v 1 v 3 + u 1 u v 1 v = (u 1 + u + u 3 (v 1 + v + v 3 (u 1v 1 + u v + u 3v 3 +(u u 3 v v 3 + u 1 u 3 v 1 v 3 + u 1 u v 1 v = (u 1 + u + u 3 (v 1 + v + v 3 (u 1 v 1 + u v + = u v (u v. Andererseits haben wir bereits bei der Diskussion des Skalarprodukts festgehalten, dass u v (u v gerade das Quadrat der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelograms ist. Folglich ist die Länge u v gerade die Fläche dieses Parallelograms. Es verbleibt nur noch zu zeigen, dass u, v, u v eine positive Basis des R 3 ist, wenn u und v linear unabhängig sind. Dies ist aber mit unserer obigen Formel (u v w = det(u, v, w klar det(u, v, u v = (u v (u v = u v >. Damit haben wir auch die geometrische Beschreibung des Vektorprodukts verifiziert. Wir wollen uns nun noch über die geometrische Bedeutung des Spatprodukts klar werden. -9
10 w u x v v F u Wir wollen uns überlegen, dass (u v w gerade das Volumen des von u, v, w aufgespannten Spats ist, wie im obigen Bild angedeutet. Beachte dazu, das sich das Volumen einer Teilmenge des R 3 unter Scherungen nicht ändert, das Volumen V des Spats ergibt sich also als das Produkt F l, wobei F die Fläche des von u und v aufgespannten Parallelograms ist, und l die Länge der Projektion von w auf eine zu diesem Parallelogram senkrechte Gerade ist. Wie bereits gesehen steht das Vektorprodukt u v senkrecht auf u und v, also auch auf unserem Parallelogram. Wie bei der Diskussion des Skalarprodukts gezeigt, ist die Länge der Projektion von w auf u v gegeben als l = (u v w. u v Andererseits haben wir auch bereits eingesehen, dass die Fläche F unseres Parallelograms gerade die Länge des Vektorprodukts u v ist, d.h. wir haben V = F l = u v (u v w u v = (u v w. Das Spatprodukt ist also das Volumen unseres Spats versehen mit einem Vorzeichen. Insbesondere ist dieses Volumen auch gleich V = (u v w = det(u, v, w. Damit haben wir die in 8 angemerkte Bedeutung der Determinante als Volumen auch für n = 3 eingesehen. Das Vorzeichen des Spatprodukts zeigt wieder an, ob u, v, w eine positive Basis bilden oder nicht, ist also positiv für ein Rechtssystem und negativ für ein Linkssystem. Das Vektorprodukt hat vielfältige Anwendungen. Wollen wir beispielsweise zu einer in Aufpunkt-Richtung Form gegebenen Ebene E = {v + tu + sw t, s R} eine implizite Form berechnen, so benötigen wir einen auf der Ebene senkrechten Vektor, d.h. einen zu u und w senkrechten Vektor. Ein kanonisches Beispiel für einen solchen Vektor ist dann durch das Vektorprodukt a = u w gegeben. Oft tritt das Vektorprodukt bei der Behandlung von Drehungen in der Mechanik auf. Denken wir -1
11 uns etwa einen um einen Punkt z drehbaren Körper im Raum gegeben, und lassen eine Kraft F in einem Punkt p auf den Körper wirken, so betrachten wir den Vektor r := p z von z nach p, und bezeichnen das Vektorprodukt M = r F als Drehmoment. Die Richtung des Drehmoments M gibt dabei die Achse durch z an, um die der Körper in Drehung versetzt wird, und die Länge des Drehmoments gibt die Geschwindigkeit dieser Drehung. Die algebraischen Eigenschaften des Vektorprodukts sind ganz anders als diejenigen der gewöhnlichen Multiplikation. Wir hatten beispielsweise schon gesehen, dass für alle u, v R 3 stets u v = v u ist, und das u v = sein kann selbst wenn u, v beide nicht Null sind. Das Vektorprodukt ist auch nicht assoziativ, man kann also nicht einfach Klammern weglassen. Als Ersatz für das Assoziativgesetz gibt es die sogenannte Jacobi-Identität u (v w + v (w u + w (u v = für alle u, v, w R 3. In den Übungen wird auch noch die Formel für alle u, v, w R 3 gezeigt. u (v w = (u wv (u vw -11
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
Mehr12 Der Vektorraum K n
$Id: cartesisch.tex,v 1.5 2011/01/28 12:12:53 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.3 2011/01/28 14:03:57 hk Exp hk $ 12 Der Vektorraum K n 12.2 Lineare Abbildungen und Matrizen In der letzten Sitzung haben wir
MehrKapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 210 / 246 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. n zu addieren und Man
MehrVektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,
Mehr$Id: cartesisch.tex,v /01/27 13:14:07 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v /01/27 13:39:47 hk Exp $
$Id: cartesisch.tex,v 1.12 2014/01/27 13:14:07 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2014/01/27 13:39:47 hk Exp $ 10 Der Vektorraum K n 10.2 Lineare Abbildungen und Matrizen In der letzten Sitzung hatten wir
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
Mehr10 Der Vektorraum K n
$Id: cartesisch.tex,v 1.21 2017/01/27 14:33:38 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.29 2017/01/27 16:37:09 hk Exp $ 10 Der Vektorraum K n 10.2 Lineare Abbildungen und Matrizen In der letzten Sitzung haben wir
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrMathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 17 Vektoren Kapitel 15 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 17 Vektoren 151 Denition: Vektoren im Zahlenraum
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 1. Vektorrechnung und Geometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies
Mehr10 Der Vektorraum K n
$Id: cartesisch.tex,v 1.18 2015/01/21 05:42:59 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.20 2015/01/23 16:37:34 hk Exp $ 10 Der Vektorraum K n 10.1 Affine Teilräume des K n Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.39 2018/05/03 14:55:15 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel Nachdem wir uns am Ende der letzten Sitzung an den Orthogonalitätsbegriff der linearen
MehrMathematische Probleme, SS 2019 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 17:03:16 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.53 2019/04/12 17:03:16 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.1 Rechtwinklige Dreiecke Wir beschäftigen uns gerade mit den primitiven pythagoräischen Tripeln. Haben wir ein solches Tripel, also teilerfremde
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Mehr2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt
.3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
MehrVektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & &
Vektorprodukt Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 18.02.2004 & 17.02.2005 & 11.07.2005 zu den Vorlesungen Lineare Algebra und analytische Geometrie I (L) im WS 2003/2004, Mathematik
MehrVektorprodukt. Der Vektor. ist zu a und b orthogonal, gemäß der. Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b
Vektorprodukt Der Vektor c = a b ist zu a und b orthogonal, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b sin( ( a, b)), die dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
Mehr2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
MehrAnalytische Geometrie
Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrVektorprodukte und analytische Geometrie
KAPITEL 4 Vektorprodukte und analytische Geometrie 4. Vektorprodukte.................................... 8 4. Skalarprodukt für Vektoren im R n.......................... 8 4. Anwendung des Skalarprodukts..........................
MehrVektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ
Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts
MehrBasistext Geraden und Ebenen
Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird
MehrLage zweier Ebenen. Suche alle Punkte von E 1 die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E 1 in die Koordinatenform von E 2.
LAGE Lage zweier Ebenen Suche alle Punkte von E die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E in die Koordinatenform von E 2. B = E : X E 2 : x + x 2 + x 3 = Parameterform (PF) in Koordinatenform
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrLehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie
Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
MehrEbenengleichungen und Umformungen
Ebenengleichungen und Umformungen. Januar 7 Ebenendarstellungen. Parameterdarstellung Die Parameterdarstellung einer Ebene ist gegeben durch einen Stützvektor r, der einen Punkt auf der Ebene angibt und
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag $Id: jordantex,v 8 9// 4:48:9 hk Exp $ $Id: quadrattex,v 9// 4:49: hk Exp $ Eigenwerte und die Jordansche Normalform Matrixgleichungen und Matrixfunktionen Eine
MehrAnalytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
MehrAbbildung 1: Geordnete Paare im zweidimensionalen euklidischem Raum
Vektorrechnung Wir werden den Vektorbegriff anschaulich einführen und beschränken uns zunächst auf den zweidimensionalen euklidischen Raum. Die Elemente dieses Raumes sind Punkte P, Q, R, S,.... Geordnete
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Mehr1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrMathematische Probleme, SS 2018 Dienstag $Id: dreieck.tex,v /06/12 14:54:26 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.47 018/06/1 14:54:6 hk Exp $ Dreiecke.3 Einige spezielle Punkte im Dreieck Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen, dass sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in
Mehrn n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 )
IX. Normalformen ================================================================== 9.1 Die Normalenform einer Geradengleichung im 2-dimensionalen Punktraum ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrGeometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
MehrÜbungen 3. Vektoren. 1) Gesucht sind alle möglichen Vektoren c mit der Länge 6, die senkrecht auf den Vektoren a und b stehen.
Vektoren Übungen ) Gesucht sind alle möglichen Vektoren c mit der Länge, die senkrecht auf den Vektoren a und b stehen. a = ( ); b = ( ) a) Ein Dreieck in R ist durch die Punkte O( ), A( ), B( ) definiert.
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/13 19:38:02 hk Exp $ $Id: anageo.tex,v /01/13 21:11:17 hk Exp hk $ x y z. t + s t s. t, s R. = w 2, = 2w 1 w 2,
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Dienstag 3. $Id: linabb.tex,v.4 9//3 9:38: hk Exp $ $Id: anageo.tex,v. 9//3 ::7 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Matrixdarstellung linearer Abbildungen
MehrDas Spatprodukt 25. Insbesondere ist das Spatprodukt in jedem Faktor linear. a 1 = aa 2 + ba 3
Das Spatprodukt 25 (Sp 4) (aa, b, c) a(a, b, c) Insbesondere ist das Spatprodukt in jedem Faktor linear Montag,3 November 23 Satz 92 Drei Vektoren,, Spatprodukt (,, ) ist sind genau dann linear abhängig,
MehrAnalytische Geometrie
13 Analytische Geometrie Gegenstand der analytischen Geometrie ist, wie man bereits ahnen kann, die klassische Geometrie mit analytischen Methoden. Grundlage ist die Idee Rene Decartes, Punkte in der Ebene
MehrAnalytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden
Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrKapitel I (Vektorrechnung)
Kapitel I (Vektorrechnung 1. Vektoren Unser Raum ist 3-dimensional. Wir kennen drei Hauptrichtungen: rechts-links, vornehinten, oben-unten. Als Modell wählen wir: Ein Punkt O als Ursprung 3 zueinander
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung http://www.fersch.de Klemens Fersch. September 8 Inhaltsverzeichnis 6 6. Vektorrechung in der Ebene.............................................. 6.. Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt.................................
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
MehrLänge, Skalarprodukt, Geradengleichungen
Länge, Skalarprodukt, Geradengleichungen Jörn Loviscach Versionsstand: 9. April 2010, 18:48 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
MehrTeil II. Geometrie 19
Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrAbitur 2013 Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
Mathematische Probleme, SS 208 Dienstag 0.4 $Id: vektor.tex,v.30 207/07/7 08:09:23 hk Exp hk $ Analytische Geometrie und Grundlagen In dieser Vorlesung wollen wir uns mit Fragen der sogenannten Elementargeometrie
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Im R seien die beiden Ebenen E : 6 x + 4 y z = und E : + s + t 4 gegeben.
Mehr5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.44 2018/05/17 14:11:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe Wir untersuchen gerade die Spiegelung an einer Hyperebene h R d. Ist ein
Mehr4. Vektor- und Spatprodukt im R 3
.. Vektorprodukt.. Vektor- und Spatprodukt im R Das Vektorprodukt a b zweier Vektoren a und b ist der Vektor mit den Eigenschaften: a b, falls a oder b oder a parallel zu b. In allen anderen Fallen ist
MehrÜbungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen
Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel
MehrMathematische Probleme, SS 2019 Montag 6.5. $Id: dreieck.tex,v /05/07 10:51:36 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.61 019/05/07 10:51:36 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.7 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen, dass sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks
MehrVektorprodukt. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Vektorprodukt 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Vektorprodukt Unter dem Vektorprodukt zweier Vektoren a und b versteht man den im Raum durch die folgenden Bedingungen charakterisierten Vektor: c = a b 1. c
Mehr6.6. Abstandsbestimmungen
6.6. Abstandsbestimmungen 6. Geraden und Ebenen im Raum In diesem Kapitel werden folgende Fälle vorgestellt:. Abstand zweier Punkte. Abstand zweier paralleler Geraden 3. Abstand einer Ebene zu einer zur
MehrVektoren - Die Basis
Vektoren - Die Basis Motivation (Als Vereinfachung - der Schreibarbeit - wählen wir meistens Vektoren in R 2.) Eigentlich ist ja Alles klar! Für einen Vektor a gilt a = ( a x a y )! Am Ende werden wir
MehrLineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
MehrLineare Algebra: Theorie und Anwendungen
Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und
MehrÜbung (5) 4x 2y +2u 3v =1 3x 2u + v =0 2x +3y u +2v =0
Übung (5). Lösen Sie folgendes lineare Gleichungssystem - sagen Sie zuvor, wie die Lösungsmenge aussehen sollte bzw. geometrisch zu interpretieren wäre: 4x y +u 3v = 3x u + v =0 x +3y u +v =0. Sagen Sie
MehrMathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben
Mathematik. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Raumgeometrie. Punkte einer Geraden............................... Punkte und Geraden................................ Geraden und Punkte................................5
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de c 018 Steven Köhler Wintersemester 018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil Teil
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
MehrLernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten
Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrDenition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0
6 Der Vektorraum R n In den folgenden Wochen wenden wir uns der Linearen Algebra zu, die man als eine abstrakte Form des Rechnens mit Vektoren auassen kann. Ein zentrales Thema werden lineare Raume (=
MehrEinführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007
Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.
MehrVektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5
Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /06/18 15:11:12 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 25 Donnerstag 8.6 $Id: quadratisch.tex,v. 25/6/8 5::2 hk Exp $ 4 Kegelschnitte Am Ende der letzten Sitzung haben wir mit der Diskussion der Kegelschnitte begonnen. Gegeben sind
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: quadratisch.tex,v /06/22 12:08:41 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 15 Montag 6 $Id: quadratischtex,v 111 15/06/ 1:08:41 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen In der letzten Sitzung hatten wir die Normalform (1 ɛ )x + y pɛx p =
Mehr2.5. Geraden und Ebenen
.5. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen von Geraden und Ebenen gewinnt man, indem man einen Ortsvektor (mit Spitze auf der Geraden oder Ebene und einen bzw. zwei Richtungsvektoren wählt, welche die
MehrAbitur 2017 Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 7 Mathematik Geometrie VI Gegeben sind die beiden bezüglich der x x 3 -Ebene symmetrisch liegenden Punkte A( 3 ) und B( 3 ) sowie der Punkt C( ). Teilaufgabe
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
MehrKapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum
WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 6/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
Mehr