Mathematik 1 für Maschinenbau, M. Schuchmann (SoSe 2013) Aufgabenblatt 5 (Ebenen)

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1 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) Aufgabenbla 5 (Ebenen) ) Geuch i eine Gleichung der Ebene E durch die Punke A(; -; ); B(; ; -) und C(; ; ) in Parameerform. ) Schreibe in Koordinaenform: E: ) Wie i die Lage der Ebenen E : - y + z = 8, E : y + z = 6, E : y + z = und E : 5 y + 5z = zueinander? ) Geuch ird die Ebenengleichung on E in Normalform: E: y + z = 5) Schreibe in Koordinaenform: E: 6) Geuch ird eine Parameerform on E: E: y + z = 8 7) Bechreiben Sie die Lage der Ebenen a) E: z= b) E: - + y = 8) E oll geprüf erden, ob der Punk P(;, -) auf der Ebene mi der Gleichung E: oder auf der Ebene mi der Gleichung F: + y + z = lieg.

2 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) 9) Beimmen Sie gegebenenfall den Schnipunk on g: r 6 und E:. ) Beimmen Sie den Schnipunk und Schniinkel on g: r 6 und E: + y + z = ) Beimmen Sie die Spurpunke on: E: + y + z = ) Berechne den Schnipunk on E: mi der -Ache. ) Wie i die Lage der Ebenen zueinander? a) E: + y + z = 8 F: + y + z = b) E: + y + z = 8 F: + y + z = 6 c) E: + y + z = 8 F: + y + z = ) Beimmen Sie die Gleichung der Schnigeraden und den Schniinkel der Ebenen E und F: E: + y + z = 8 F: + y + z =

3 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) 5) Beimmen Sie die Schnigerade der Ebenen E und F: E: - y + z = 8 F: 6) E oll der Aband der Ebene E: y + z = om Punk P(; ; ) beimm erden. Außerdem oll P an E gepiegel erden.

4 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) Löungen: ) E: ) ( ) ( ) Muliplizier man die obige Normalengleichung au, o erhäl man eine Koordinaengleichung der Ebene: Somi ergib ich (- + ) =, omi ir eine Gleichung on E in Koordinaenform erhalen: E: = - Man kann die Komponenen de Vekor auch mi, y und z bezeichnen: E: - + y + z = - ) Die beiden Ebenen E : - y + z = 8 und E : y + z = 6 ind idenich, ährend E : y + z = parallel zu beiden Ebenen E und E i. Die Ebene E : 5 y + 5z = äre eder parallel zu noch idenich mi einer der Ebenen E bi E, denn der Normalenekor

5 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) n 5 5 dieer Ebene i kein Vielfache der Normalenekoren der anderen Ebenen. ) Den Normalenekor kann man einfach ableen: n Einen Punk in der Ebene E finde man auch chnell, denn dieer mu die Gleichung erfüllen. Sez man z.b. y = und z =, o ergib ich = und =. Somi äre P(; ; ) ein Punk der Ebene und ir haben eine Normalform on E: 5) E:. Möglichkei: Mi der Ebenengleichung ergib ich: () = () y = - - () z = + + Man kann zei der obigen Gleichungen (ir ählen () und ()) nach und auflöen: () + () + y = - Somi i = - - y. In () einezen ergib = y und omi = + y +. Nun ezen ir die in () ein: Dami ergib ich E: - + z =. z = + ( + y +) + (- y). Möglichkei: Der Normalenekor n i zu den beiden Richungekoren orhogonal. Dami gil

6 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) n und n. Hierau ergeben ich Gleichungen für Unbekanne: n n + n = n n + n = Dami i n bi auf die Länge fegeleg. Wir eliminieren nun eine Unbekanne, z.b. n durch Subrakion der beiden Gleichungen. Wir erhalen n =. Hier ind jez gleich Variablen enfallen. Nun können ir eine der anderen beiden Variablen auf einen Wer ezen (nich auf Null!), z.b. n =. Fall nich, ie in dieem Beipiel, gleich zei Variablen enfallen, dann ez man in der ich ergebenden Gleichung mi zei Variablen eine auf einen Wer. Sezen ir nun die Were für n und n in beipieleie die obere Gleichung ein, o ergib ich n - + =, omi n = - i. Wir haben nun einen Normalenekor gefunden (einen, da er auch eine andere Länge haben könne und omi auch Vielfache diee Vekor Normalenekoren ind): n Wir erenden den Süzekor au der Parameerform und ellen eine Normalform auf: E: Aumuliplizieren führ zur Koordinaenform: z. Möglichkei: Man geh ie bei der Möglichkei or, nur da man den Normalenekor n über da o genanne Kreuzproduk bz. Vekorproduk der beiden Richungekoren beimm. Da Vekorproduk i ein pezielle Produk zichen zei Vekoren, bei dem ich ieder ein Vekor ergib, der orhogonal zu den beiden urprünglichen Vekoren i. D.h. mi

7 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) n gil für die Skalaproduke n und n. Der Normalenekor n i zu den beiden Richungekoren orhogonal. Hier: n Nun kann man ie bei Möglichkei orgehen und die Normalengleichung und dann die Koordinaengleichung beimmen. Dabei ergib ich da (-)-fache der Koordinaengleichung au Möglichkei, da ir einen Normalenekor erhalen haben, der da (-)-fache de Normalenekor au Möglichkei darell. 6) Nun kann man ie folg orgehen. Man lö die Gleichung nach einer Variablen auf, z.b. : = 8 + y z = + y z Nun ez man die anderen beiden Variablen auf Parameer, z.b. y = r und z = : = + r y = r z = Dami haben ir berei eine Parameerform, ir müen die oberen drei Gleichungen nur in Mari-Vekor-Form chreiben:

8 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) 7) E: r a) Diee Ebene i mi der -y-ebene idenich, denn z = und und y ind beliebig. Dami äre z.b. P(; ; ) ein Punk dieer Ebene. F: z = äre eine zu E parallele Ebene. F i parallel zur -y-ebene und ha zu dieer den Aband. Z.B. i Q(; ; ) ein Punk dieer Ebene, oder R(; ; ). b) Bei Punken dieer Ebene i die z-komponene beliebig, nur zichen der - und y- Komponene mu die Beziehung + y = beehen. Diee Ebene i omi parallel zur z-ache. 8) a) Wenn dieer Punk auf der Ebene E lieg, o gib e ein und ein, o da gil, bz.: () = - + () = + + () - = + - Wir ählen zei Gleichungen au, löen diee nach und auf und manchen dann die Probe mi der nich augeählen Gleichung. Wir ählen hier () und (), denn enn ir diee addieren, erhalen ir 8 = + 5, omi = i. Einezen on = in () ergib - = +, omi = i. Die Probe mi der eren Gleichung ergib = +, omi diee erfüll i und P in E lieg. I die Ebene in Koordinaenform gegeben, o mu man nur den Punk in die Ebenengleichung einezen und prüfen, ob diee erfüll i. So bei b) P(;, -) in F: + y + z = eingeez ergib =, omi P auch in F lieg. 9) Gleichezen ergib drei Gleichungen mi drei Unbekannen: () + r = - + () -r = - + +

9 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) () -6 + r = + + Hier ergib ich genau eine Löung (man kann hier z.b. die ere Gleichung zur zeien und zur drien addieren, omi man jeeil eine Gleichung nur mi den Variablen r und erhäl, die man dann löen kann): r =, = - und =. Schnipunk i hier S(5; -, ). ) Mi der Gleichung on g ergib ich: = + r y = -r z = -6 +r In E eingeez ergib ich: ( + r) + (-r) r = + r - r r = Somi i r = und e gib einen Schnipunk. Wäre r komple enfallen und e ürde ich z.b. = ergeben, o häe g in E gelegen. Häe ich z.b. = ergeben, o äre g parallel zu E geeen. Wir können nun den Schnipunk S beimmen, enn ir r = in die Gleichung für g einezen: Schniinkel: 5 OS fl S(5; -; ) 6, n, n, n 6,, omi i in( ) 5, 79. ) Für die Berechnung de Schnipunke mi der -Ache S mu man y = und z = ezen: =

10 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) Dami äre = 6 und S (6; ; ). Analog ergib ich S y (; ; ) und S z (; ; ). Diidier man die Ebenengleichung durch die reche Seie (enn diee on Null erchieden i,on ürden alle Spurpunke im Urprung liegen), o erhäl man die Achenabchniform, an der man alle Spurpunke ableen kann: + y + z = : /6 + y/ + z/ = Wäre die Ebene E: + y = gegeben, o gäbe e keinen Schnipunk mi der z-ache, da die Ebene parallel zu dieer erläuf. Wenn die Ebene in Parameerform gegeben i, dann mu für jeden Spurpunk ein Gleichungyem gelö erden, oder man müe diee in die Koordinaenform umrechnen, a u. U. eniger aufändig äre. ) Wenn ir den Schnipunk mi der -Ache direk berechnen ollen, müen ir y = und z = ezen und da Gleichungyem = - + = + - löen. Sez man danach die Löung für und in die Ebenengleichung ein, o erhäl man den Schnipunk mi der -Ache. ) a) Die beiden Ebenen ind parallel, denn die linke Seie der Ebenengleichung i idenich, omi die Normalenekoren idenich ind, aber die reche Seie unercheide ich.

11 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) b) Die beiden Ebenen ind idenich, denn die Gleichungen ind Vielfache oneinander. c) Die beiden Ebenen ind eder parallel noch idenich, denn die Normalekoren ind keine Vielfachen oneinander. Die beiden Ebenen cheiden ich in einer Schnigeraden. ) Wir eliminieren und ubrahieren die bedien Ebenengleichungen: -y - z = - Nun ezen ir z.b. z = und löen obige Gleichung nach y auf: -y - = - y = - + Nun können ir z = und y = - + eneder in die Gleichung on E oder in die on F einezen. Wir ählen E und erhalen: + (- + ) + = 8 Somi i = 6 und ir haben eine Gleichung der Schnigeraden g gefunden: Somi i = 6 y = - z = g: 6. Um den Schniinkel der beiden Ebenen beimmen zu können, mu man den Winkel zichen den Normalenekoren n E und n F beimmen. Da ich, je nachdem ie die Richungekoren ehen, auch ein Winkel a größer al 9 zichen den Normalenekoren ergeben kann, o gib man in dieem Fall 8 - a al Schniinkel an, oder man erende den Berag de Skalarproduke bei der Winkelberechung (ie beim Schniinkel zichen zei Geraden. Für den Schniinkel j gil: co( ) n n E E n n F F

12 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) Hier gil: n E, n F, 6 8 ) co(.9 5) Mi F erhäl man = + + y = + + z = + und diee in die Gleichung on E eingeez ergib: + + ( + + ) + + = = 8 Löen ir nach z.b. die Gleichung nach auf, o erhalen ir = 9 -. Sezen ir die in F ein, o erhalen ir eine Gleichung der Schnigeraden: g: ) (9 6)

13 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) Der Normalenekor n kann ie immer einfach an der Koordinaenform abgeleen erden. Wir beimmen deen Länge: n Al näche diidieren ir die Gleichung on E durch die Länge de Normalekor: E: / /y + /z = Wenn die reche Seie negai äre, o ird die Gleichung bei der Beimmung der HNF mi - muliplizier. Auf der rechen Seie eh nun der Aband der Ebene om Urprung (hier LE). Subrahieren ir noch auf beiden Seien, o da man auf der rechen Seie eine Null erhäl, o ergib ich durch E: / /y + /z - = die HNF al Koordinaengleichung. Von einer Normalform augehend ürde ich folgende Gleichung in ekorieller Form ergeben (für die Umandlung in Normalform urde ein Punk on E benöig, den ir erhalen, fall ir beipieleie y = z = ezen, omi ir (6; ; ) al Punk on E erhalen): 6 / E: / / Der Aband d(p, E) eine Punke P(; y; z) on E ergib ich über: 6 / d(p, E) = / / / y / z / Für den Punk P(; ; ) gil dann: d(p,e) / / / Eine eiere Möglichkei zur Beimmung de Abande eine Punke on einer Ebene i die folgende: Man konruier eine Hilfgerade g, die den Punk P al Süzekor erende und den Normalenekor der Ebene al Richungekor. Dami i die Hilfgerade enkrech zur Ebene und der Schnipunk der Geraden mi der Ebene i der Lofußpunk F. Der

14 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) Aband on P und F i dann ieder der Aband der Ebene zum Punk. Diee Verfahren kann man auch anenden, enn man einen Punk an einer Ebene piegeln möche, oder enn man eine Gerade in eine Ebene projizieren möche. Hier: Die Hilfgerade i: g: n OP Wir ezen = +, y = - und z = + in E ein: ( + ) - (-) + + = = Somi i =. In die Gleichung on g eingeez, ergib ich der Orekor de Lofußpunke: OF Wir beimmen den Vekor PF und deen Länge:

15 Mahemaik für Machinenbau, M. Schuchmann (SoSe ) PF OF OP, PF. Nun ollen ir noch zum Schlu den Punk P an der Ebene E piegeln: OP ' 5 OP PF OF' PF Alo ergib ich der gepiegele Punk P'(5; ;).