Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
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- Joseph Holst
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1 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier lso interessiert ist, wie finde ich zu einen gegeenen Vektor einen Vektor, der norml uf den Ersten ist, zw. wie üerprüfe ich o zwei Vektoren norml ufeinnder sind? Dzu enötigen wir einen neuen wichtigen Stz: Orthogonlitätskriterium: Zwei Vektoren und sind genu dnn orthogo nl, wenn ihr sklres Produkt 0 ist. 0 Wie erechnen wir nun ds sklre Produkt? Definition: Ds Ergenis der Multipliktion zweier Vektoren und nennt mn ds Sklre Produkt. Mn erechnet dies folgendermßen: + Mn echte, oige Definition sgt lso us, dss ich die -Koordinten miteinnder multiplizieren muss und die -Koordinten miteinnder multiplizieren muss. Die Summe dieser eiden Werte ergit ds sklre Produkt. Beispiel: Berechne ds sklre Produkt der Vektoren und. Wir müssen lso erechnen. Lut Definition müssen wir die Summe us dem Produkt der -Werte und dem Produkt der -Werte ilden
2 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester 5 Beispiel: Berechne ds sklre Produkt der Vektoren und. Wir rechnen wie vorher: 5 ( ) Üung: Üungsltt 5; Aufge Nun wird uns uch ds m Anfng ngesprochene Orthogonlitätskriterium klrer: Ergit ds sklre Produkt zweier Vektoren 0, so stehen sie norml ufeinnder, ndernflls (Sklres Produkt ergit irgendeinen Zhlenwert ungleich 0) sind sie een nicht norml ufeinnder. Beispiel: Sind die Vektoren und orthogonl? Wir erechnen ds sklre Produkt der eiden Vektoren: D ds sklre Produkt 0 ergit, stehen die eiden Vektoren lso norml ufeinnder. Beispiel: Sind die Vektoren und orthogonl? Wir erechnen wieder ds sklre Produkt: ( ) + ( ) 6 6 D ds sklre Produkt nicht 0 wird stehen die eiden Vektoren nicht norml ufeinnder. Üung: Üungsltt 5; Aufge Nun will mn er nicht nur üerprüfen, o zwei Vektoren norml ufeinnder sind, sondern wesentlich häufiger möchte mn zu einen gegeenen Vektor einen Vektor finden, der norml uf diesen steht. Sehen wir uns dzu ein Beispiel n:
3 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester Wir möchten zum Vektor einen Vektor finden, der norml uf ist. Diesen Normlvektor kennzeichnet mn meist einfch ddurch, dss mn ihm ds Zeichen für norml dzugit. Unseren Normlvektor zu ezeichnen wir lso ls. Dmit wir diesen Normlvektor finden, müssen wir lediglich usnützen, dss er sklr multipliziert mit dem Vektor Null ergeen muss (Sie stehen j norml ufeinnder. Es muss lso gelten: 0 Nun setzen wir einml für den Vektor unsere Zhlenwerte ein: 0 Wir müssen lso nun ein Zhlenpr für und finden, so dss oige Multipliktion Null ergit. Dzu ruchen wir er lediglich Folgendes unternehmen: Wir nehmen ls -Koordinte die -Koordinte des Vektors die -Koordinte des Vektors 0 und ls -Koordinte. Folgendes ist dmit gemeint: Nun hen wir er noch ds Prolem, dss sich in diesem Fll die einzelnen Zeilen ddieren würden: Dmit sich die Zeilen gegenseitig ufheen müssen wir lso ei einer Koordinte (egl o ei oder, nur nicht ei eiden) ds Vorzeichen ändern: ( ) oder Der Normlvektor uf ( ) lutet lso oder.
4 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester Dss mn zwei Lösungen erhält ist leicht erklärt. Die eiden Normlvektoren sind nur nders orientiert (lso entgegengesetzt). An einer Skizze ist dies leicht verständlich gemcht: Anmerkung: Welchen der eiden Normlvektoren mn erechnet, ist zumeist egl. Es genügt einer. In ihrem Lehruch soll mn meist eide erechnen (Als Links-Kipp-Regel und Rechts-Kipp-Regel ezeichnet). Ignorieren Sie diesen Teil. Stz: Die Normlvektoren uf einen Vektor dermßen: oder erhält mn folgen- Merke: Den Normlvektor uf einen Vektor erhlte ich, indem ich die - und - Koordinte vertusche und ein Vorzeichen ändere. Beispiel: Gi zum Vektor die Normlvektoren n: 5 - und -Koordinte vertuschen und ein Vorzeichen ändern: 5 5 oder Beispiel: Gi zum Vektor die Normlvektoren n: - und -Koordinte vertuschen und ein Vorzeichen ändern:
5 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester oder Üung: Üungsltt 5; Aufgen - Nun einige Aufgen dzu: Beispiel: Von einem Qudrt kennt mn die Eckpunkte A(-/-) und B(/-). Berechne die Koordinten der Eckpunkte C und D Wir mchen uns zunächst eine Skizze: D C A B Wir müssen zunächst einml usnützen, dss die Seiten AB und BC im rechten Winkel ufeinnder stehen. Wenn wir lso uf den Vektor AB den Normlvektor erzeugen, so ist dies genu ein Vektor, der die Richtung der Seite BC ht. Dies führen wir nun einml durch: : Wir erechnen den Vektor AB AB B A Nun erechnen wir den Normlvektor uf AB, welcher die Richtung der Seite BC ht: AB D dieser Normlvektor er die selen Zhlen wie der Vektor AB ht, müssen diese eiden Vektoren gleich lng sein. Dies ist er etws, ws ei einem Qudrt der Fll sein muss. Folglich entspricht dieser Normlvektor dem Vektor BC. Nun können wir die fehlenden Koordinten des Eckpunktes C erechnen: Zu C gelngen wir, indem wir n den Eckpunkt B den Normlvektor uf AB (lso BC ) hängen. 5
6 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester C B + AB Wir setzen die entsprechenden Zhlenwerte ein: C + C( ) / Zu D kommen wir entsprechend, indem wir n den Eckpunkt A den Normvektor uf AB hängen: D A+ AB Wir setzen die Zhlenwerte ein: + 0 D D( 0/ ) Üung: Üungsltt 5; Aufgen 5-6 Beispiel: Zeige rechnerisch, um welches spezielle Viereck es sich hier hndelt: A( 0/ ); B( / ); C( 5/ ); D( / ) Wir stellen zunächst einml wieder die Seiten mittels der entsprechenden Vektoren dr: AB B A 0 BC C B 5 c CD D C 5 d AD D A 0 Nun prüfen wir ls Erstes die Länge der einzelnen Seiten. Dzu müssen wir lso die Beträge der Vektoren ilden: AB BC c CD d AD Nchdem lle Seiten gleich lng sind, knn es sich ei diesem Viereck nur mehr um ein Qudrt oder eine Rute hndeln. 6
7 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester Dies üerprüfen wir z.b indem wir schuen, o rechte Winkel vorliegen. Wir üerprüfen, o die Vektoren AB und BC norml ufeinnder sind. Wir erechnen dzu ds sklre Produkt: AB BC 0 D ds sklre Produkt 0 ergit, liegt hier lso ein rechter Winkel vor. Folglich knn es sich ei diesem Viereck nur um ein Qudrt hndeln. Anmerkung: Sie hätten ntürlich uch uf nderen Wegen zeigen können, dss es sich hier um ein Qudrt hndelt: Sind gegenüerliegende Seiten prllel? Sind die Digonlen gleich lng? Welchen Weg Sie wählen, leit Ihnen üerlssen. Üung: Üungsltt 5; Aufge 7 7
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5. Lndeswettewer Mthemtik Byern. Runde 00/03 ufgen und Lösungseispiele ufge Schreie jede der Zhlen,, 3,, 5 uf je eine Krteikrte. Lege diese 5 Krten so in eine Reihe, dss die Summe der Zhlen uf zwei enchrten
Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)
. Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom
Mathematische Probleme, SS 2018 Donnerstag 7.6. $Id: dreieck.tex,v /06/07 14:52:59 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.45 2018/06/07 14:52:59 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.2 Ähnliche Dreiecke Wir htten zwei Dreiecke kongruent gennnt wenn sie sich durch eine ewegung der Ebene ineinnder überführen lssen und
Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit
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Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.
Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.
9 Vektorprodukt. Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen! Das ist allerdings nicht ganz einfach. Die Lösung lautet:
9 Vektorprodukt 9.1 Ds Vektorprodukt Gegeen seien zwei (komplnre) Vektoren und, die eine Eene ufspnnen. Suht mn einen Vektor n, der uf diese Eene senkreht steht, dnn muss n orthogonl zu und n orthogonl
1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg
Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn
Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall
Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen
2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen
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ASW Übung 9 Mathematik Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
ASW Üung 9 Mthemtik Prof.Dr.B.Growski e-mil: growski@htw-srlnd.de Tel.: 58- Aufge : Geen Sie den Rng der folgenden Mtrizen A E durch Drufschuen n! ( ) 5 8 E D C B A Aufge. Bestimmen Sie den Rng der folgenden
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
Elektro- und Informationstechnik WS 2012/2013. Mathematik II - Übungsblatt 03 mit Lösungsvorschlägen
Dr.-ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik WS 22/23 Mthemtik Aufge Mthemtik - Üungsltt 3 mit Lösungsvorschlägen Berechnen Sie ds Doppelintegrl (enötigt zur Berechnung von Verformung und Mterilspnnungen
3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen
Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Zunähst im -dimensionlen: A 4 Gegeen sind die Punkte B 5 C 4 und D Koordintensystem. in einem krtesishen AB CD d Zu
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a) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung)
Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung
Der Kosinussatz. So erhalten wir: und. Um beide Formeln miteinander vereinen zu können, stellen wir die zweite Formel nach h 2 um, und erhalten:
Der Kosinusstz Dreieke lssen si mit drei ngen zu irer Figur, vollständig zeinen. D er die zeinerise Lösung eines Dreieks nit so genu und zudem ret ufwendig ist, muss es u einen renerisen Weg geen, die
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