FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 27. September 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Die Klausur besteht aus zwei Teilen, dem Aufgabenteil und dem Lösungsteil. Weiterhin sind Aufgaben- und Lösungsteil jeweils nach den zwei Kursen (42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis und Vertiefung der Statistik) des Moduls separat unterteilt. Nutzen Sie bei der Lösung der Aufgaben für jeden Klausurteil nur die entsprechenden Lösungsblätter zu dem jeweiligen Klausurteil! Zur leichteren Bearbeitung können Sie den Aufgaben- vom Lösungsteil trennen. Trennen Sie jedoch nicht die Lösungsblätter! WICHTIG: Nur der ungetrennte Lösungsteil wird am Ende der Klausur eingesammelt! Sollten Sie doch einzelne oder mehrere Lösungsblätter vom Lösungsteil getrennt haben, liegt es in Ihrer Verantwortung, diese zusammenzuführen und bspw. geheftet als ein Ganzes abzugeben! Trennen Sie in jedem Fall vor der Abgabe den Aufgaben- vom Lösungsteil. 2. Tragen Sie für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) auf das Deckblatt der Lösungsbögen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 3. Es können insgesamt 100 erreicht werden. Bei Erreichen von 50 n ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen zu dem jeweiligen Klausurteil und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den dafür vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten oder die freien Blätter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugehörigkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste Lösung bewertet. Nicht zu korrigierende Lösungsteile sind zu entwerten. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden.

3 5. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86 oder Casio fx87 Texas Instruments TI 30 X II Sharp EL 531 Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. 6. Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte und kopierte Kursmaterialien. 7. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 8. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

4 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 27. September 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

5 Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 ) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. 1. Seien X, Y zwei unabhängige reellwertige Zufallsvariablen. Dann folgt aus der Unabhängigkeit der beiden Variablen ihre Unkorreliertheit. 2. Der Korrelationskoeffizient r xy ist ein Maß für die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen. 3. Bei der partiellen Korrelation wird der vorliegende Datensatz vor der Analyse um große und kleine Werte (Ausreißer) bereinigt. 4. Zur Quantifizierung des Zusammenhangs zwischen Merkmalen mit verschiedenen Messbarkeitseigenschaften ist die niedrigere Messskala maßgeblich. 5. In der linearen Regressionsanalyse entspricht die Summe der quadrierten Residuen dem Bestimmtheitsmaß R 2 xy. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0. 1

6 Aufgabe 2 (15 ) Untersucht wird das Image einer Burgerkette in Abhängigkeit von der Schulung des Personals. Gegeben sei folgende Kreuztabelle: gemeinsame absolute Häufigkeiten: h ij keine Schulung Schulung h i. Unzufrieden Zufrieden h.j Hinweis: Runden Sie ihre Ergebnisse auf 2 Nachkommastellen ab. 2.1 (6 ) Bestimmen Sie die symmetrischen Zusammenhangsmaße χ 2, K und φ. 2.2 (6 ) Bestimmen Sie die Goodman-Kruskal Richtungsmaße λ(x y) und λ(y x). Hinweis: P RE = G(+) G( ) 1 G( ) 2.3 (3 ) Bestimmen Sie das Cohen κ unter der a-priori-hypothese: keine Schulung Schulung Unzufrieden 1 0 Zufrieden 0 1 2

7 Aufgabe 3 (10 ) Gegeben ist folgende Faktorenanalyse (Extraktion von 2 Faktoren). 3

8 4

9 3.1 (4 ) Was wird bei der Hauptkomponentenanalyse durchgeführt? Erklären Sie die Begriffe Eigenwert, Eigenvektor und Spektral(Eigenwert)zerlegung. 3.2 (4 ) Bestimmen Sie anhand des gegebenen SPSS-Outputs die Schätzer der Kommunalitäten. 3.3 (1 Punkt) Wieviel % der Gesamt-Varianz wird vom ersten Faktor erklärt? 3.4 (1 Punkt) Welches Item passt nicht zu den anderen und an welcher Komponente ist dies besonders deutlich zu erkennen? 5

10 Aufgabe 4 (15 ) Eine Gruppe Studenten der FernUni in Hagen möchte den Zusammenhang von Bildung und Einkommen untersuchen. Sie betrachten dabei die Abhängigkeit des Einkommens Y (in Tausend Euro/Jahr) von der Dauer der Ausbildung X (in Jahren). Im Rahmen ihrer Untersuchungen werden N = 52 berufstätige Personen zufällig ausgewählt und befragt. x = 14 ȳ = n=1 x 2 n = n=1 y 2 n = n=1 x n y n = Hinweise: N N (x n x)(y n ȳ) = x n y n N xȳ n=1 n=1 n=1 n=1 N N (x n x) 2 = x 2 n N x 2 Runden Sie ihre Ergebnisse in jeder Teilaufgabe auf 4 Nachkommastellen und rechnen Sie mit diesen weiter. 4.1 (3 ) Geben Sie eine Schätzung für die Parameter α und β an. 4.2 (3 ) Geben Sie eine Schätzung für den Parameter σ an. Falls sie den Wert nicht berechnen konnten, verwenden sie im Weiteren 4.3 σ = 11 (1 Punkt) Geben Sie den Korrelationskoeffizienten r xy an. 6

11 4.4 (6 ) Ein Gruppenmitglied behauptet, dass in Wirklichkeit jedes weitere Jahr im Rahmen ihres Masterstudiums das zu erwartende Einkommen im Durchschnitt maximal um den Faktor β = 3, 0 erhöhen würde. Geben Sie die Nullhypothese, das Quantil und die Realisation der geeigneten Teststatistik an. Wird die Nullhypothese zum Signifikanzniveau von α = 0.01 abgelehnt? Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung. 4.5 (1 ) Wieviel Prozent der Varianz des Einkommens wird durch die Variable Bildungsdauer erklärt? 4.6 (1 Punkt) Nach 13 Jahren Schule und 6 Semestern im Bachelorstudiengang Wirtschaftswissenschaften, überlegen die Studenten nun, mit welchem Einkommen Sie nach erfolgreichem Abschluss eines Masters in Regelstudienzeit (4 Semester) rechnen können. Geben Sie bitte die entsprechende Schätzung ŷ an. 7

12 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 27. September 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

13 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 8 Aufgabenteil Aufgabe 1 15 Ein Kraftfahrzeughersteller steht vor der Frage, wie viele LKW und PKW er produzieren soll. Für jedes produzierte Fahrzeug ist der Gewinn bekannt. Der Gewinn pro 1000 PKW (1 Einheit sei 1000) liegt bei 3 Mio. Geldeinheiten (=GE). Der Gewinn pro 1000 LKW (1 Einheit sei 1000) liegt bei 16 Mio. GE. Zudem sind folgende weitere Bedingungen bekannt: 1. Am Markt sind höchstens 2 Einheiten LKW absetzbar. Die genaue Anzahl der am Markt absetzbaren Einheiten PKW ist nicht bekannt. Es wird aber davon ausgegangen, dass alle produzierten Einheiten PKW auch abgesetzt werden können. 2. Es stehen zur Herstellung insgesamt 3000 Arbeitskräfte zur Verfügung. Hierbei bindet 1 Einheit PKW 200 Arbeitskräfte und 1 Einheit LKW bindet 1000 Arbeitskräfte. 3. Zur Beschaffung der Produktionsmittel stehen höchstens 100 Mio. GE zur Verfügung. Für 1 Einheit PKW müssen 5 Mio. GE investiert werden und für 1 Einheit LKW müssen 15 Mio. GE investiert werden. 4. Es muss der gleiche Maschinenpark benutzt werden. Dabei belegt 1 Einheit PKW den Maschinenpark zu 1 und 1 Einheit LKW belegt den Maschinenpark 12 zu Negative Produktionszahlen sind ausgeschlossen. a) Formulieren Sie den beschriebenen Sachverhalt als mathematisches Optimierungsproblem. Der Gewinn des Unternehmens soll dabei maximiert werden. Erläutern Sie die von Ihnen verwendeten Variablen. b) Geben Sie an, wie viele und welche der Ungleichungsrestriktionen redundant sind. Begründen Sie Ihre Antwort. c) i) Definieren Sie zunächst den mathematischen Begriff der Ecke für einen Lösungsraum. ii) Geben Sie eine Ecke des Zulässigkeitsbereichs für obiges Optimierungsproblem an.

14 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 9 Aufgabenteil d) Mittels des Simplex-Verfahrens können die Ecken des Lösungsraums auf intelligente Weise abgesucht werden. Suchen Sie die optimale Lösung des Problems mittels des Simplex-Algorithmus. Vervollständigen Sie dazu das Tableau auf Seite 23 der Lösungsbögen. Wie hoch ist der maximale Gewinn des Unternehmens und wie lautet das zugehörige Produktionsprogramm? Anmerkung: Im gegebenen Simplex-Tableau bezeichnen die Variablen x 1, x 2 die Anzahl an zu produzierenden Einheiten PKW bzw. LKW und x 0 ist der Zielfunktionswert, also der maximale Gewinn. s 1, s 2, s 3 sind die Schlupfvariablen. e) Aufgrund von Strafzöllen fällt der Gewinn in GE pro verkaufter Einheit LKW und PKW um jeweils 10%. Wie ändert sich hierdurch das optimale Produktionsprogramm und der zugehörige maximale Gewinn?

15 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 10 Aufgabenteil Aufgabe 2 15 Gegeben seien folgende Aussagen. Markieren Sie auf Seite 24 der Lösungsbögen zunächst, ob diese Aussagen entweder wahr oder falsch sind und begründen Sie anschließend die Auswahl Hinweis: Für jede eindeutige korrekte Markierung und für jede nachvollziehbare Begründung mit Rechenweg erhalten Sie jeweils die maximale Punktzahl! A) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x 1, x 2 ) = 3 x 0,5 1 x 1, x 1,3 1 x 0,7 2. Die Funktion ist überlinear-homogen (d. h. homogen vom Grade > 1) und für jede Verdopplung des Inputs vervierfacht sich der Output. B) Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem: Max x 1 + x 2 u.d.n. 1,5 x 1 + 3,2 x 2 0 x 1, x 2 0 Das gegebene Optimierungsproblem ist unbeschränkt, das heißt die Zielfunktion ist in Bezug auf den zugehörigen Lösungsraum unbeschränkt. Argumentieren Sie mit Hilfe des Simplextableaus. C) Gegeben sei die Matrix D = a ,5, wobei a R. Für a 0 ist die Determinante der Matrix 0 und die Matrix ist somit invertierbar.

16 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 11 Aufgabenteil Aufgabe 3 20 Ein Betrieb stellt die Güter G 1 und G 2 her, welche zu variablen Preisen p 1, p 2 [0,10] auf dem Markt angeboten werden können. Der Betrieb stellt dabei die beiden Güter nur in den Mengen her, welche auch am Markt nachgefragt werden. Der Zusammenhang zwischen den nachgefragten Mengen N 1, N 2 und den Preisen p 1, p 2 ist durch folgende Nachfragefunktionen N 1 (p) = 50 2 p 1 p 2, N 2 (p) = 60 p 1 3 p 2, mit p = (p 1, p 2 ) beschrieben. Dabei bezeichnet N i die Nachfrage nach dem Gut G i für i = 1, 2. Für den Umsatz des Betriebs ergibt sich die Funktion f : [0, 10] [0, 10] R mit der Gleichung f (p 1, p 2 ) = p 1 N 1 (p) + p 2 N 2 (p). a) Berechnen Sie die Elastizitäten der Nachfragefunktionen N 1, N 2 bezüglich der Preise p 1, p 2 und stellen Sie so die Elastizitätsmatrix auf. Interpretieren Sie die Elastizitäten ökonomisch, indem Sie exemplarisch eine direkte Preiselastizität und eine Kreuzelastizität wählen, und anhand dieser die Wirkungsbedeutung auf die entsprechende Nachfrage erläutern. Hinweis: Beachten Sie bei den einzelnen berechneten Elastizitäten, dass p 1, p 2 [0, 10]. Was kann für diese Werte von p für Zähler und Nenner der einzelnen berechneten Elastiziäten geschlossen werden. Anmerkung: Die Aufgabenteile b), c) und d) können unabhängig von a) gelöst werden. b) Ermitteln Sie die konkrete Umsatzfunktion des Betriebs, indem Sie die Funktion f mittels den obigen gegebenen N 1 (p), N 2 (p) formulieren. Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Umsatzfunktion f. c) Bestimmen Sie die kritischen der Umsatzfunktion f. d) Untersuchen Sie die unter c) gefundenen Preiskombinationen auf lokale Extrema. Welches ist die Preiskombination mit dem maximalen Umsatz?

17 Name, Vorname Matrikelnummer LÖSUNGSTEIL der Modulklausur Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Datum Termin: Prüfer: 27. September 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

18 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 27. September 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

19 LÖSUNGSBOGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Statistik Termin: Prüfer: , Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Datum: Unterschrift des Prüfers: 1

20 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 1 (10 ) richtig falsch 1. Seien X, Y zwei unabhängige reellwertige Zufallsvariablen. Dann folgt aus der Unabhängigkeit der beiden Variablen ihre Unkorreliertheit. 2. Der Korrelationskoeffizient r xy ist ein Maß für die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen. 3. Bei der partiellen Korrelation wird der vorliegende Datensatz vor der Analyse um große und kleine Werte (Ausreißer) bereinigt. 4. Zur Quantifizierung des Zusammenhangs zwischen Merkmalen mit verschiedenen Messbarkeitseigenschaften ist die niedrigere Messskala maßgeblich. 5. In der linearen Regressionsanalyse entspricht die Summe der quadrierten Residuen dem Bestimmtheitsmaß R 2 xy. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0. 2

21 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (15 ) (6 ) 3

22 LÖSUNGSBOGEN (6 ) 4

23 LÖSUNGSBOGEN (3 ) 5

24 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (10 ) (4 ) 6

25 LÖSUNGSBOGEN

26 LÖSUNGSBOGEN (4 ) 8

27 LÖSUNGSBOGEN (1 Punkt) 3.4 (1 Punkt) 9

28 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (15 ) (3 ) 10

29 LÖSUNGSBOGEN (3 ) 11

30 LÖSUNGSBOGEN r xy (1 Punkt) 4.4 (6 ) 12

31 LÖSUNGSBOGEN

32 LÖSUNGSBOGEN Erklärte Varianz in Prozent (1 Punkt) 4.6 ŷ (1 Punkt) 14

33 LÖSUNGSBOGEN

34 LÖSUNGSBOGEN

35 LÖSUNGSBOGEN

36 LÖSUNGSBOGEN

37 LÖSUNGSBOGEN

38 LÖSUNGSBOGEN

39 LÖSUNGSBOGEN

40 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 27. September 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine

41 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Termin: Prüfer: Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

42 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 22 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: a) b)

43 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 23 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: c) d) x 0 x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 b

44 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 24 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: e)

45 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 25 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: Die Aussage zu wahr falsch 2 A) ist 2 B) ist 2 C) ist Begründung zu Aussage A): Begründung zu Aussage B):

46 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 26 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: Begründung zu Aussage C):

47 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 27 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: a) b)

48 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 28 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: c) d)

49 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 29 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.:

50 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 30 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.:

51 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 31 Lösungsbögen