Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner 2011 Seite 1. Vektorrechnung

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1 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite Vektorrechnung ink: Definitionen und ezeichnungen: Ein Vektor a it eine gerichtete Größe in der Phyik: Kraft, Gechwindigkeit,...) Er kann durch einen Pfeil dargetellt werden Repräentant de Vektor). Die änge de Pfeil bezeichnet man al etrag de Vektor. lle gleichlangen, parallelen und gleichgerichteten Pfeile gehören zum elben Vektor. Im Unterchied dazu heißen gewöhnliche Zahlen jetzt: Skalar emerkung: Vektoren werden im Folgenden mit darüber getelltem Pfeil dargetellt.) Der zu a r entgegengeetzte Vektor a heißt Gegenvektor von a r. Zwei Vektoren werden addiert, indem man ihre Repräentanten "aneinanderhängt". u dem dargetellten Parallelogramm ergibt ich: r r r r a b b a Die Summe au einem Vektor a r und einem Gegenvektor Nullvektor r a it der Zwei Vektoren werden ubtrahiert, indem man b auf a ergänzt "b plu wieviel it a?") oder beer: -b zu a addiert. r a a r Ein Vektor wird mit einem Skalar k multiplizert, indem man ihn um den Faktor k treckt bzw. taucht. Der Vektor k a it parallel zu a und gleich orientiert, wenn k > entgegengeetzt orientiert, wenn k < Zwei Vektoren ind genau dann parallel, wenn der eine da k-fache de anderen it. eipiel: In nebentehendem Fünfeck ind folgende Vektoren gegeben: r v r r r a b c D d DE e E Geucht: Mit welcher Vektorumme komme ich von nach? Mit welcher Vektorumme komme ich von nach D? Geben Sie Wege von nach D an! r r r r r a b D D a b c r r r E e oder E D DE c a E d r a r r e r r D b r c r r

2 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite Koordinatendartellung von Vektoren: a r Vektoren ind eine Verallgemeinerung von Pfeilen. Ein Vektor it die Menge aller gleich langen und gleich gerichteten Pfeilen. Da drückt ich auch in den Koordinaten eine Vektor au: a r a r a r heißt: recht, rauf, egal von welchem nfangpunkt! a r a r nwendung der Vektorrechnung: Zeichenprogramme arbeiten meit vektororientiert, wa den Vorteil hat, da die Objekte verchiebbar und beliebig vergrößer und verkleinerbar ind. ufgabe: Verchieben Sie einen Ferneher im Zimmergrundri! Wie hängen Vektoren r r r a, b, c mit Punkten,,,D zuammen? eipiel: Gegeben ind die Punkte,) und,). Welche Koordinaten hat der Vektor a a Um die Koordinaten zu betimmen, müen wir nur von augehen und Einheiten nach recht gehen und Einheit nach oben gehen und dann ind wir bei. Da heißt, die Koordinaten von a ind: Darau folgt: Vektorkoordinaten ind Relative Koordinaten de Endpunkte in ezug auf den nfangpunkt, oder noch einfacher: ) SPITZE MINUS SHFT REGE:

3 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite eipiel: Gegeben ind ein Punkt ) und ein Vektor v. Wa paiert, wenn man den Vektor an den Punkt anhängt. Wohin zeigt dann die Spitze de Vektor? Nennen wir dieen Punkt. Welche Koordinaten hat? hat die Koordinaten ). Diee erhält man auf die folgende rt: v darau folgt: ) PVP-REGE PUNKT VEKTOR PUNKT): eipiel: Gegeben ind der vier Eckpunkte eine Parallelogramm: -), ), ). Geucht it der vierte Punkt durch gezielte nwendung der Vektorbildung Da der Vektor gleich dem Vektor D it, kann man dieen Vektor au den Koordinaten von und betimmen und dann an den Punkt anhängen: Spitze Schaft-Regel) D D D D D D D ergibt D - -)

4 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite ) Parallele Vektoren erkennt man daran, da die Koordinaten gleich oder ein betimmte Vielfache voneinander ind: v k * w r r zum eipiel: * v und w ind parallel. ) Vektoraddition: v w z v w w z u v w ) Vektorubtraktion: v w u ddition de Gegenvektor: v w) u r r r ) Vervielfachen eine Vektor w k v w ) änge eine Vektor Vektorbetrag: v a a ² b ² b ehratz de Pythagora) ) Einheitvektor: Vektor mit änge, ergibt ich, wenn man den Vektor durch einen etrag änge) dividiert: r r a x a r a x² y² y ) Vektor mit betimmter änge: ergibt ich, wenn man den Einheitvektor mit der geuchten änge r r a k x k multipliziert: k a k r a x² y² y eipiel: Gehe km in Richtung de Vektor v r a Dazu betimme ich zuert die änge de Vektor : v b a ² b² ² ² Da der geuchte Vektor km lang ein oll, mu ich v mit multiplizieren: v r

5 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite eipiel: It da Dreieck ), ), ) gleichchenkelig eitig)? Wenn ja, welche Seiten ind gleich lang und wie lang? Wir berechnen einfach die ängen der Seiten. Dazu tellen wir die Seitenvektoren auf und betimmen den Vektorbetrag: )² ² ² ² )² )² Die Seitenlängen ind alo,, und daher ind die Seiten und gleich lang. ) rechtwinkelige Kippen Normalvektor betimmen a a R a Koordinaten vertauchen und oben für link-kippen) oder unten für recht-kippen) ein Vorzeichen ändern eipiel: Gegeben ind zwei Punkte eine Rechteck: ) und ) Wie lauten die Koordinaten der übrigen Punkte, wenn die zweite Seite doppelt o lang wie die erte Seite ein oll? Wir bilden den Vektor a r und kippen ihn nach link a, verdoppeln ihn: a r und hängen ihn mit der PVP Regel an die Punkte und an: a D a a a R a

6 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite p r ) Skalare Produkt von Vektoren: ao b o p r q q oben mal oben plu unten mal unten! Wenn da kalare Produkt von Vektoren Null it, tehen die Vektoren aufeinander rechtwinkelig! b ϕ a c o ) ) nur für M/M: Winkel ϕ zwichen a und c : co ϕ ao c a c eipiel: etimmen Sie den Winkel ϕ zwichen a und c o co ϕ, ² ² ² ² > ϕ co -,), Phyikaliche edeutung de kalaren Produkt: Kraft Newton In der Phyik gibt e den egriff der rbeit, der au der Krafteinwirkung auf einen Körper und dem zurückgelegten Weg beteht: rbeit Kraft mal Weg z..: Newtonm J) Jetzt it aber diee Geetz nur dann gültig, wenn Kraft und Weg in die gleiche Richtung gehen. Da kalare Produkt liefert den richtigen Zuammenhang: rbeit Kraftvektor kalar multipliziert mit dem Wegvektor eipiel: Kraft Newton kg Schwerkraft) in Richtung ergibt den Kraftvektor F r, multipliziert mit dem Wegvektor ergibt: o Nm J Kraft Newton Kraft in Wegrichtung Newton

7 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite eipiel: etimmen Sie den Typ de Viereck D [ ), ), ), D )] It e ein Quadrat, ein Rechteck, ein Parallelogramm, ein Rhombu, ein Deltoid, ein Trapez oder ein allgemeine Viereck?). Verwenden Sie da Parallelität- und Orthogonalitätkriterium owie die Formel für die änge von Vektoren. Zuert werden wir die Seitenvektoren und deren ängen auftellen: ² ², )² ², D D )² )², D D ² )², Parallelitätkriterium: D Parallelogramm man veruche zwei gleich lange leitifte parallel zu halten, e entteht immer ein Parallelogramm dabei!) Orthogonalitätkriterium: Dazu berechnen wir da kalare Produkt: o o ) Da it nicht Null, daher kein rechter Winkel bei kein Rechteck änge: je zwei gegenüberliegende Seiten ind gleich lang, die anliegenden Seiten ind nicht gleich lang kein Quadrat alo it e ein Parallelogramm Quadrat Rechteck Parallelogramm Rhombu Raute Deltoid Trapez

8 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite Geradendartellung X - X X r X - Die Punkte auf einer Geraden laen ich folgendermaßen finden: Gegeben ei der Punkt und der Richtungvektor r. Dann ergibt ich: X r X r X r... X t t r Darau folgt die Geradendartellung in Parameterform Parameter t) g: X t r eipiel : a) Geucht it die Parameterdartellung der Geraden g durch - ) und -). b) ind - ) und D ) auf der Geraden g? c) Wie mu x gewählt werden, damit Ex -) auf der Geraden liegt? a) g: X t g: X t b) Wir etzen für X ein: t und palten die Gleichung waagrecht in Zeilen: - - t t und löen die beiden Gleichungen in t auf: - - t - t - t t -t - t da die beiden öungen für t gleich ind, liegt auf g. Daelbe machen wir für D: t c) Wir eretzen X in der Geradengleichung durch E: x t palten in zwei Zeilen: x t t t die eingeetzt in die erte Zeile: x E )

9 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite - t t und löen die beiden Gleichungen in t auf: - t t t t -t -/ t da die beiden öungen für t nicht gleich ind, liegt D nicht auf g. eipiel : a) Ertellen Sie eine parallele Gerade h zu g: X t durch Q ) b) Ertellen Sie eine normale Gerade h zu g durch Q a) Eine parallele Gerade hat den gleichen Richtungvektor wie g, der Startpunkt it allerding ander: h : X t b) Eine normale Gerade hat den gekippten Vektor al Richtungvektor: h : X t Geraden chneiden da ergibt einen Schnittpunkt: eipiel: Welchen Schnittpunkt erzeugen die Geraden g: X t mit h: X? Wenn der gemeiname Schnittpunkt X von beiden Geraden geucht wird, mu XX gelten und daher kann man die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich etzen: t Nun kommt der Hammer und hackt da in zwei Zeilen: t t und wir haben Glück, durch einfache ddition der Gleichungen verchwindet der Parameter t: - - Und dann etzen wir dort ein, wo e vorkommt: X ) Damit haben wir den Schnittpunkt S ) erhalten!!!

10 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite Höhenchnittpunkt Umkreimittelpunkt Schwerpunkt beim Dreieck eipiel: Gegeben it da Dreieck mit -) ) - ) Zeichnen und berechnen Sie den Höhenchnittpunkt l erte brauchen wir die Höhe auf die Seite, die durch den Eckpunkt geht und rechtwinkelig zu verläuft. Somit müte die Parameterdartellung lauten: h : X t Wir berechnen zuert dann kippen wir den Vektor nach link: und etzen ein in die Formel: h : X t t l zweite brauchen wir die Höhe auf die Seite, die durch den Eckpunkt geht und rechtwinkelig zu verläuft: h : X Wir berechnen zuert dann kippen wir den Vektor nach link: und etzen ein in die Formel: h : X Und der dritte Streich it da Schneiden der beiden Höhen: h h : t Nun kommt der Hammer und hackt da in zwei Zeilen: - t t - addiert ergibt ich: /- -/ und nun etzen wir dort ein, wo e vorkommt!!): X ) / ) / ) / Damit it uner Höhenchnittpunkt: H ) Der Umkreimittelpunkt wird o ähnlich ermittelt. Die Streckenymmetralen ind auch enkrecht auf die Seiten, gehen aber durch den Seitenmittelpunkt: M,, eipiel: Gegeben it da Dreieck mit -) ) - ) Zeichnen und berechnen Sie den Umkreimittelpunkt

11 Vektorrechnung Theorie Manfred Gurtner Seite l erte brauchen wir die Seitenymmetrale auf die Seite, die durch den Punkt M geht und rechtwinkelig zu verläuft. Somit müte die Parameterdartellung lauten: : X M t Wir berechnen zuert und kippen wir den Vektor: dann berechnen wir den Mittelpunkt der Seite : M,, und etzen ein in die Formel: : X M t,, t l zweite brauchen wir die Seitenymmetrale auf die Seite, die durch den Punkt M geht und rechtwinkelig zu verläuft. : X M Wir berechnen zuert und kippen wir den Vektor: dann berechnen wir den Mittelpunkt der Seite : M,, und etzen ein in die Formel: : X M,, Und der dritte Streich it da Schneiden der beiden Seitenymmetralen: :,, t,, Nun kommt der Hammer und hackt da in zwei Zeilen:, t,, t, addiert ergibt ich: -/- / und nun etzen wir dort ein, wo e vorkommt!!): X ) /,,,,,,,, ) / ) /,, Damit it uner Umkreimittelpunkt: U ) Zum bchlu der Schwerpunkt, der diemal ganz leicht it: S,, / / EUER che Gerade: Umkreimittelpunkt, Höhenchnittpunkt und Schwerpunkt liegen auf einer Geraden und der Schwerpunkt drittelt die Strecke HU.