3.1 Elektrostatische Felder symmetrischer Ladungsverteilungen

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1 3 Elektostatik Das in de letzten Volesung vogestellte Helmholtz-Theoem stellt eine fomale Lösung de Maxwell- Gleichungen da. Im Folgenden weden wi altenative Methoden kennenlenen (bzw. wiedeholen), die uns einen tiefeen Einblick in die Stuktu de Lösungen geben. Im esten Teil de Volesung weden wi uns mit statischen Poblemen beschäftigen, so dass wi uns zunächst nicht mit dem Poblem de Zeitabhängigkeit de Felde befassen müssen. Die Gesetze de Elektostatik gelten, wenn Felde zeitlich konstant sind d.h. t 0 keine Stöme fließen d.h. j = 0 Dann eduzieen sich die Maxwell Gleichungen zu E = ɛ 0 und E = Elektostatische Felde symmetische Ladungsveteilungen Fü symmetische Ladungsveteilungen ρ kann man das elektische Feld diekt aus den Maxwell- Gleichungen ableiten. Beispiel: Feld eine Punktladung Aus Symmetiegünden hängt das Feld eine Punktladung nu vom Abstand ab: E() = E(). Feldkomponente in e ϑ -Richtung: z ϑ ϑ + dϑ unendlich Aus E = 0 folgt mit Hilfe des Stokes schen Theoems: Schleife E dγ = 0 = ϑ ϑ+dϑ E ϑ ()dϑ + E ( )d + ϑ+dϑ ϑ E ϑ ( ) dϑ + E ( )d Die Beitäge de Wegstücke in -Richtung heben sich gegenseitig auf. Das Wegstück im Unendlichen tägt nicht bei, da E ϑ ( ) 0 (schnelle als ). E ϑ () = 0.

2 . Feldkomponente in e ϕ -Richtung: y ϕ + dϕ ϕ analog zu ϑ-komponente: Mit E = 0 0 = ϕ+dϕ ϕ sin ϑdϕe ϕ () + unendlich ϕ E ( )d + sin ϑdϕe ϕ ( ) + ϕ+dϕ x E ( )d Auch hie heben sich die Beitäge de Wegstücke in -Richtung gegenseitig auf und de Weg im Unendlichen liefet keinen Beitag. E ϕ () = 0 3. Feldkomponente in e -Richtung: Vewende Gauss sches Gesetz: EdV = E df = ρdv = Q V V ɛ 0 V ɛ 0 E df = E () dω = 4πE () V E () = Q V q V df E fällt also im Unendlichen wie ab. Insgesamt egibt sich also das bekannte Feld de Punktladung zu E() = Q. Beispiel : Zylindesymmetie Betachten Sie einen unendlich langen, zylindischen Leite mit Radius R, dessen Ladung zu Leiteobefläche gemäß { ρ0 exp( ρ() = R d ) 0 R () 0 0 > R Auch hie benutzt man das Faaday sche Gesetz ( E = 0), um zu zeigen, dass E ϕ = 0 = E z. Die Radialkomponente emittelt man mit Hilfe des Gauss schen Gesetzes:

3 . 0 R: Wähle konzentischen Zylinde im Innen des Leites als Gauss sches Volumen. Mantelfäche E ()df + Deckel E z()df Boden E z()df = h 0 dz π 0 dϕe () = 0 d h 0 dz π 0 dϕρ 0 exp( R d ) z R E ()πh = πhρ 0 d exp( R d ) [ ( d) exp( d ) + ] E () = ρ 0d exp( R d ) [ ( d) exp( d ) + ]. > R Weg fü E ϕ h Weg fü Ez Obeflächenintegal wie unte. Ladung esteckt sich nu bis = R E ()πh = πhρ 0 d exp( R d ) [ (R d) exp( R d ) + ] E () = ρ 0d exp( R d ) [ (R d) exp( R d ) + ] ρ () E () /R ρ() E ()

4 3. Elektostatisches Potential In Analogie zu mechanischen Abeit ( F s) definiet man das elektostatische Potential an einem Punkt (elativ zum Potential an einem Refeenzpunkt O) duch: φ() = O E dl Ist das eine nützliche Definition? Ja: E = 0 ( E) df = 0 any open suface S E df = 0 S Fü jeden Weg: E dl ist unabhängig vom Weg. O (Beweis: Wähle zwei unteschiedliche Wege von O nach. Man kombiniet sie zu einem geschlossenen Weg, indem man von nach O via Weg II zuückkeht. Dann: I E dl + II E d( l) = 0, i.e. I E dl = II E dl.) Andeeseits: φ(b) φ(a) = b = a b a φ dl E dl E = φ Das Potential genügt dem Supepositionspinzip. Beachte: Wi haben die Infomation, die in den dei Vektokomponenten von E in eine einzelnen skalaen Göße zusammengefaßt. Das entspicht natülich vollkommen de Aussage des Helmholtz-Theoems: Die Rotationsfeiheit von E zieht nach dem Helmholtz-Theoem die Dastellung des elektischen Feldes als nach sich. E = U Rolle des Refeenzpunkts: Nomaleweise wählt man O außehalb de Ladungsveteilung, d.h., im Allgemeinen ist das Unendliche dafü gut geeignet, da man fodet, daß φ( ) = 0 (siehe Helmholtz Theoem). Einheit des elektostatischen Potentials: [φ] = V = J/C. 3.. Laplace- und Poisson-Gleichung Aus de Kombination von Gauss schem Gesetz E = ɛ 0 ρ

5 und aus E = φ egibt sich als Bestimmungsgleichung fü das elektostatische Potential die sog. Poisson-Gleichung, φ = ρ. ɛ 0 Bei Abwesenheit von Ladungen (ρ = 0) geht die Poisson-Gleichung in die Laplace-Gleichung übe. 3.. Beechnung des Elektostatischen Potentials Zu Beechnung des elektostatischen Potentials stehen uns dei veschiedene Methoden zu Vefügung: a) φ() = O E dγ bei bekanntem Feld E. b) Lösung de Poisson-Gleichung c) Auswetung des Helmholtz-Integals. Im folgenden weden Beispiele fü diese Lösungsmethoden gegeben. Beechnung des Potentials eine Punktladung bei bekanntem elektischem Feld Wi haben gezeigt, daß das Feld eine Punktladung im Koodinatenuspung duch gegeben ist. Dann ist das Potential diese Punktladung duch φ() φ(o) = E = e O e dγ gegeben. Wählt man als Refeenzpunkt einen Punkt im Unendlichen, de mit duch einen Weg in -Richtung vebunden ist, so findet man das Potential de Punktladung als φ() = d =. Beechnung des Potentials duch diekte Lösung de Poisson-Gleichung Beispiel: Potential de homogen geladenen Kugel Aus de Symmetie de Ladungsveteilung folgt, daß das Potential de homogen geladenen Kugel nu vom Abstand vom Kugelmittelpunkt abhängt. In Kugelkoodinaten lautet die Poisson-Gleichung: φ() = d d ( d d ) φ() = ɛ 0 ρ(). Diese Diffeentialgleichung kann fü die Beeiche < R und > R getennt integiet weden: > R: ( φ ) = 0 φ() = C + C < R: ( φ ) = ρ 0 φ() = ρ 0 C 3 ɛ 0 6ɛ 0 + C 4 Im Unendlichen soll das Potential veschwinden C = 0.

6 De Tem C3 entspicht dem Potential eine Punktladung am Ot = 0, da = 4πδ(). Da die Ladungsveteilung keine solche Punktladung enthält, muss C 3 = 0 gelten. (Diese spuiose Lösung entstand duch Multiplikation beide Seiten de Poisson-Gleichung mit.) Damit egibt sich { C φ() = ( > R), C 4 Q 8πɛ 0R ( < R) 3 wobei die Gesamtladung de Kugel Q = 4π/3ρ 0 R 3 ist. Die vebleibenden Integationskonstanten egeben sich aus de Anschlußbedingung an das Potential bei = R: Die Ladungsveteilung zeigt bei = R einen Spung. Dementspechend muß auch die echte Seite de Poisson-Gleichung ein solches Spungvehalten aufweisen. Wenn ( φ ) einen Spung hat, dann hat ( φ ) einen Knick. Dem entspechend sind φ und φ stetig. Das spiegelt auch die Tatsache wide, dass elektische Felde an Genzflächen ohne Obeflächenladung stetig sind. Aus de Stetigkeitsbedingung folgt: C R = C 4 Q 8πɛ 0 R, und C R = Q R. Damit egibt sich das Potential de homogen geladenen Kugel zu φ() = { Q ( ( > R) ( < R) Q R ) 3 R. Beechnung des Potentials eine homogen geladenen Kugelschale mit Hilfe des Helmholtz-Integals Die Ladungsveteilung de homogen geladenen Kugelschale ist ρ() = σ 0 δ(r ). Nach dem Helmholtz-Theoem ist das elektostatische Potential dann duch U = φ() = σ 0 δ(r )dv gegeben. Bei kugelsymmetischen Poblemen kann man die z-achse so wählen, daß auf de z-achse zu liegen kommt. Dann ist = + cos ϑ. Die ϑ-integation liefet dann π 0 sin ϑdϑ = dx + x = +. Die ϕ-integation liefet nun nu noch einen Fakto π und die δ-distibution legt den Wet von = R fest. Die Falluntescheidung fü >< R wid aufgund des Tems R efodelich. Somit egibt sich das Potential zu: { σ0r ɛ φ() = 0 ( < R) 4πσ 0 R ɛ 0 = Q. ( > R) Beachte: Das Feld diese Ladungsveteilung weist bei = R einen Spung von σ ɛ 0 auf.

7 3.3 Elektostatische Enegie 3.3. Enegie eine Anodnung von Punktladungen Enegie fü die Bewegung eines Teilchens im elektischen Feldes Kaft auf eine Ladung q in einem elektostatischen Potential: F = qe Abeit, die veichtet wid, um die Ladung von a nach b zu bingen: W = b a ( F ) dl = q b a (E) dl = q(φ(b) φ(a)) Abeit, die Ladung aus dem Unendlichen an den Ot zu bingen: W = qφ() Enegie, die in eine Anodnung von Ladungen gespeichet ist q n fom infinity n- chages Abeit, die veichtet weden muß um die n-te Ladung q n Position zu bingen: W n = q n φ( n ) aus dem Unendlichen an ihe endgültige Potential, das von den n beeits vohandenen Ladungen am Ot n ezeugt wid: φ( n ) = n q i i n i Enegie, die in dem Ensemble von n Ladungen gespeichet ist: W = n W j = j n j= j q i q j j i i= = i j q i q j i j 3.3. Enegie, die in eine kontinuielichen Ladungsveteilung gespeichet ist Beachte: W = dv dv ρ()ρ( ) Hie kann man den Beitag, de von eine Ladung in ihem eigenen Potential stammt, =, nicht ausschließen. Man nennt diesen Beitag auch Selbstenegie. De Beitag de

8 Selbstenegie zu Gesamtenegie ist venachlässigba klein, wenn die Ladungsveteilung hineichend vedünnt ist. Mit kann die elektostatische Enegie auch als geschieben weden. φ() = W = dv ρ( ) dv ρ()φ() ρ = ɛ 0 E W = ɛ 0 dv ( E)φ (Eφ) = ( E)φ + E ( φ) und φ = E W = ɛ 0 dv [ (Eφ) + E ] Benutze Gauss sches Theoem: W = ɛ 0 [ V φe df + dv E ] Wenn sich im Unendlichen keine Ladungen befinden, kann man das Integationsvolumen ins Unendliche ausdehnen. Dann gilt: W = ɛ 0 dv E. Mit einem elektischen Feld ist also stets eine Enegiedichte u = ɛ 0 E veknüpft. Diese Enegiedichte ist nicht linea in den Felden. Dahe ist die Enegiedichte zweie sich übelagende Felde nicht allein duch die Summe de individuellen Enegiedichten gegeben. Homogen geladene Kugel Das Feld de homogen geladenen Kugel ist adialsymmetisch mit E () = { Q R 3 ( < R) Q ( > R). Daaus egibt sich eine Feldenegiedichte von Q u() = 3π ɛ 0 { R 6 ( < R) 4 ( > R) Damit beinhaltet die Ladungsanodnung eine homogen geladenen Kugel eine Gesamtenegie von U = u()dv = 3 Q 5ɛ 0 R. Läßt man die Kugel bei gleichbleibende Gesamtladung zu eine Punktladung schumpfen, so ekennt man, daß die Selbstenegie eine Punktladung unendlich anwächst..

9 Klassische Elektonenadius Setzt man die elektostatische Enegie eines Elektons mit seine Ruhemasse gleich, U = m e c = 3 5ɛ 0 e R e, so egibt sich de klassische Elektonenadius zu R e = 3 5ɛ 0 e m e c cm.

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