TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt W (007) Z4 Die -te Wurzel eier komplexe Zahl Sei c C \ {0} beliebig ud N Wie laute jeweils (a) c, die Lösuge vo z = c, (c) die Faktorisierug vo z c? Setze φ := arg(c) ( π, π] ud r := z > 0 Da ist c = re iφ (a) Nach Defiitio aus der Vorlesug ist c = re iφ = r e i φ (= r cos φ +i r si φ ) Achtug: Was ist falsch a = = e i π = e iπ =? Atwort: π ( π, π] Ist z 0 eie Lösug vo z = c ud w eie -te Eiheitswurzel, da ist auch wz 0 eie Lösug vo z = c, de (wz 0 ) = w z0 = c = c Da die Gleichug z = c höchstes Lösuge habe ka (z c = 0 hat höchstes Nullstelle), sid also z k = e i πk πk i( c = e + π ) mit k = 0,, die Lösuge der Gleichug (c) Jede Nullstelle eies Polyoms ka als Liearfaktor abgespalte werde Somit gilt mit de Nullstelle z k aus die Faktorisierug z c = (z z 0 )(z z ) (z z ) c + i 9 z 0 9 c z 9 z z z z z 4 z 0 - z 0 z 5 z 8 z - 6 z 7 -

2 Z4 Grezwertkalkül Seie (x ) N ud (y ) N reelle Folge mit x x, y y, x, y R Da gilt (a) x + y x + y, x y xy, (c) y 0 = x y x y, (d) ( N : x y ) = x y (a) Sei ɛ > 0 Dazu gibt es ei N N, so dass N : x x ɛ ud ei N N, so dass N : y y ɛ Wähle u N := max{n, N } Da gilt für N immer x + y (x + y) = (x x) + (y y) -Ugl x x + y y ɛ + ɛ = ɛ Dies zeigt, dass (x + y ) gege x + y kovergiert Sei ɛ > 0 Setze C := + sup y R, da (y ) beschräkt ist Wähle N N, so dass ɛ N N : x x C ud gleichzeitig N : y y alle N, dass ɛ ( x +) Da gilt für x y xy = x y xy + xy xy -Ugl x y xy + xy xy = y x x + x y y C ɛ C + x ɛ ( x +) < ɛ + ɛ = ɛ Dies zeigt, dass wiederum, dass (x y ) gege xy kovergiert (c) Wir zeige ur y y Die Aussage folgt da mit Sei ɛ > 0 Wähle N N, so dass N : y y y N : y y ɛ y Da gilt für alle N, dass y y y y = y y y y, ud gleichzeitig ud damit auch = y y y y ɛ y y = ɛ (d) Betrachte die Folge z := y x Es geügt zu zeige, dass we z 0 für alle N ud z z R für, da gilt z 0 Aahme: z < 0 Da gäbe es ei N N, so dass für alle N gilt: z z z Daraus folgt aber z < z < 0 Widerspruch Bemerkug: Die Aussage gilt geauso, we x y ur für alle N mit eiem N N 0 gilt Z4 Existez der k-te reelle Wurzel Für y > 0, k N, besitzt die Gleichug x k = y geau eie positive Lösug, die mit y k oder k y bezeichet wird Hiweis: Für die Existez betrachte ma das Supremum der Mege {x R x k < y} Eideutigkeit: Sei x k = u k mit u, x > 0 Aahme: x u Ohe Eischräkug ka u < x ageomme werde Da ist aber u k < x k Widerspruch Existez: Das Supremum vo sup{x R : x k < y} ud ist Lösug der Gleichug x k = y Zu zeige ist, (i) dass die Mege M := {x R : x k < y} ichtleer ud ach obe beschräkt ist, so dass x 0 := sup M existiert ud (ii) dass x k 0 = y ist (i) 0 M also M Für 0<y ist eie obere Schrake vo M (x> x k > y, bzw x k <y x ) Für y> ist y eie obere Schrake vo M (x>y> x k y, bzw x k <y x y)

3 (ii) Wir kostruiere eie Folge (x ) i M die gege x 0 kovergiert: Zu jedem N gibt es ei x M mit x x 0, sost wäre x 0 scho eie obere Schrake vo M Mit dieser Folge (x ) gilt Präsezaufgabe ( ) k x k 0 = x = xk }{{} y y Gleichzeitig gilt für x := x 0 + M, dass x k y, sost wäre ja x M Wege x x 0 gilt also ( x k 0 = x ) k = Isgesamt habe wir damit x k 0 = y gezeigt P4 Faktorisiere eies eifache Polyoms x k y }{{} Faktorisiere Sie das Polyom z i C Skizziere Sie das Ergebis Dazu bestimme wir alle Lösuge der Gleichug z 6 = 8 Eie Lösug ist gegebe durch z 0 = 6 8 = 6 8e iπ = e i π 6 = ( + i ) Alle weitere Lösuge ergebe sich durch Multiplikatio mit de 6-te Eiheitswurzel, z k = z 0 e i πk 6 = e iπ( k + 6 ), k = 0,, 5 Alle Lösuge liege also auf eiem Kreis um de Ursprug mit Radius Sie bilde ei auf der Spitze stehedes gleichseitiges Sechseck (z,4 = ± i, z 5 = z 0, z = z 5 ud z = z 0 ) Somit ist z = (z z 0 ) (z z 5 ) Als Skizze geügt das Sechseck, desse Ecke die Nullstelle des Polyoms sid P4 Eischließugskriterium Seie (x ) N ud (z ) N reelle Folge mit x x, z x ud (y ) eie Folge mit x y z für alle N Zeige Sie, dass da (y ) koverget ist ud y x gilt Wir zeige, dass (y ) i der Tat gege x kovergiert: Sei ɛ > 0 Da gibt es ei N N, so dass für alle N gilt: x x ɛ ud z x ɛ Für N gilt also auch: y x = y x + x x -Ugl y y x + x x z x y x 0 z x + x x = z x + x x + x x z x + x x + x x ɛ + ɛ + ɛ = ɛ P4 Berechug eifacher Grezwerte Bestimme Sie die Grezwerte der agegebee Folge (a) ++, ( +)( +5 ) ( +)( )(+5), (c) +, (d), (e) +, (f) x (x > 0)

4 (a) Grezwert vo Zähler ud Neer existiere icht Durch geeigete Umformug ka dies behobe werde, so dass der Grezwertkalkül beutzt werde ka: ++ = + + ( ) Es muss icht ausmultipliziert werde! Da ach Divisio der führede Orduge im Zähler ud Neer die Grezwerte aller Faktore existiere ergibt der Grezwertkalkül ( +)( +5 ) ( +)( )(+5) = (+ )(+ 5 ) (+ )( )(+ 5 ) = ( ) (c) Dies ist die Differez zweier icht kovergeter Folge Trotzdem gilt: + = (+) ( ) ( )(+) = = ( ) (d) ist streg mooto falled ud positiv Sei also c := Es gilt c 0 (Mootoie-Eigeschaft) Außerdem gilt ( c = ) = = 0, also ist c = 0, bzw, = 0 (e) Hier steht die Differez zweier divergeter Folge Plots ergebe Ma ka vermute, dass eie Nullfolge vorliegt ud dies durch geeigetes Erweiter (Dritte Biomische Formel) beweise: 0 a = + = ( + ) + + = also gilt ach dem Eischließugskriterium a = 0 (f) Es gilt x = für x > 0 Hausaufgabe + + 0, Beweis: Für x = ist ichts zu zeige Sei zuächst x > ud ɛ > 0 vorgegebe 0 < x / < ɛ ist äquivalet zu < x < ( + ɛ) Dies gilt aber für groß geug: Wähle N N so, dass x < + Nɛ Da gilt auch für alle N, dass x < + Nɛ + ɛ ( + ɛ) (Beroulli-Ugleichug) Sei 0 < x < Da ist < x ud dem Grezwertkalkül H4 Komplexe Wurzel x = = (/x) / /x = mit Gebe Sie jeweils die folgede komplexe Zahle explizit i Polar- ud Normalform a: (a) i, i, (c) 8, (d) alle Lösuge vo z = + i, (e) alle Lösuge vo z = + 4i, (f) alle Nullstelle vo + z + + z 5

5 Hiweis: I (f) wede ma die geometrische Summeformel a (a) i = e i π = e i π 4 = +i Es ist zwar i = i Defiiert ist aber i = e i π = e i π 6 = (c) 8 = 8( + i ) = + i i (d) Die dritte Eiheitswurzel sid, e i π = + i ud e i 4π = e i π = i Eie Lösug vo z = e i π 4 ist z 0 := e i π 4 = + i Die adere beide sid da z = z 0 e i π z = z 0 e i 4π = e i π = ( + i)( + i = 5π i e ) = + + i = ( + i)( i ) = i + ud (e) Eie Lösug ist z 0 = + 4i = 5e i φ mit φ = arcta 4 5 Alle weitere Lösuge ergebe sich durch Multiplikatio mit de -te Eiheitswurzel, isgesamt also z k = 5e i( φ + πk ), k = 0,, Für eie solche komplexe Zahl i Polarform, z = re iψ, lautet die Normalform geerisch z = (r cos ψ) + i(r si ψ) (f) + z + + z 5 = z6 z Die Nullstelle vo z6 sid z k = e i kπ, k = 0,, 5 Somit ergibt sich die Faktorisierug z 6 = (z z 0 ) (z z 5 ) für alle z C Wege z 0 = erhält ma für z die Idetität +z + +z 5 = (z z ) (z z 5 ), was zeigt, dass z,, z 5 die 5 Nullstelle vo + + z 5 sid Es ist z,5 = ± i, z,4 = ± i ud z = H4 Berechug vo Grezwerte Bereche Sie die folgede Grezwerte (a R): (a) ( 5)( +) 7( +45), ( + ), (a) ( 5)( +) 7( +45) = (c) (d) ( 5 )(+ ) = 7(+ 45 ) 7 = 7 ( + )( ++) ++ ( + a ), ( a ) ( + ) = = + = ++ + = + Hierbei wurde + verwedet, was gilt, da + mooto fällt ud durch ach ute beschräkt ist Der Grezwert c := c = ( + ) = ( + (+ a ) ) = folgt da c = + existiert also Wege (c) ( + a ) = = = a + + a + + a Wie i zeigt ma + a, weil diese Folge für a > 0 mooto falled ud für a < 0 mooto steiged ud jeweils durch beschräkt ist Quadriere ergibt wieder de richtige Limes (d) Es gilt ( a ) = De für a > 0 ist ( a ) > a a = a Für a = 0 ist ichts zu zeige Für a < 0 betrachte ( a ) a + a a = ( ) ( a = + a a Somit kovergiert auch der Kehrwert ( a ) gege ) + a a

6 H4 Kovergez Zeige Sie: = Hiweis: Ma zeige zuächst + durch Awedug der biomische Formel Um die Ugleichug aus dem Hiweis eizusehe, schreibt ma ( ) ( ) 4 ( + ) ( ) = = ( ) = + ( ), falls ist Durch ziehe der -te Wurzel auf beide Seite erhält ma + für Für = gilt sie offebar auch Aus + folgt sofort = H44 ( ) Die Fiboacci-Zahle ud der Goldee Schitt Seie a = a =, a + = a + + a, N, die Fiboacci-Zahle ud q = a + a (a) Wie lautet die Rekursiosformel für die q? Bestimme Sie a Had des Graphe vo x + x ud der Wikelhalbierede die q zeicherisch (c) Zeige Sie, dass (q ) gege de Goldee Schitt q := + 5 kovergiert (a) Die Folge q ist wie folgt rekursiv defiiert: q =, q + = a + a + = + a a + = + q + x q q 4 q q x q q q 4 q (c) Der Schittpukt zwische Gerade ud Hyperbel ist der eizige Kadidat für de Grezwert vo (q ), de: Ist (q ) koverget mit Grezwert q 0, so gilt q = q = q + = ( + q ) = + q = + q Es muss also q q = 0 gelte, dh q = ± 5 Wege q > folgt q = + 5 Nachdem der Grezwert u bekat ist, beutze wir das Majoratekriterium Es gilt q + q = q ( q q q ) = qq q q q

7 Per Iduktio ergibt sich hieraus, dass für N gilt: q q q q q, wobei rechts eie Nullfolge steht, da q > Also ist q = q