Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt

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1 Istitut für Aalsis WS206/7 PD Dr Peer Christia Kustma 8206 Dipl-Math Leoid Chaicheets Johaa Richter, MSc Tobias Schmid, MSc Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Phsik Lösugsvorschläge zum 5 Übugsblatt Aufgabe 25: a) Es gilt a 2k 2k 0 ud a 2k+ 0 22k+ ach Aufgabe 9 gilt lim a lim a 2k lim a 2k+ 0 k k b) Ageomme ) a kovergiert Bezeiche etwa a : ) a de Reihewert Für die 2-te Partialsumme gilt 2 ud folglich ) a ) 2k+ a 2k+ + k0 k0 ) 2k a 2k 2 k 2 4 k + 2 )a ach Beispiel ) aus dem Abschitt 7 des Skriptes ist k0 4 k 4 4 k k k k 2 2 2k k0 geometrische Reihe) ach Aahme ist ) a koverget Da ist also auch k k koverget gege 4 + 2a) Aber ach Beispiel ) aus Abschitt 7 des Skriptes ist k k diverget harmoische Reihe) Also muss die Aahme verworfe werde ) a ist diverget c) Die Folge a ) ist icht mooto falled Wege 2 2k + 2k > k + ist für jedes k a 2k+ 2 2k+ < 2k + 2 a 2k+2

2 Aufgabe 26: a) Für ist a 2 > 0 Für > ist < bzw < Deshalb gilt a + ) > 0 Die Kovergez vo a ) gege 0 ist klar wege 0 ud 0 für ko- b) ach dem Leibiz-Kriterium aus Abschitt 75 des Skriptes ist die Reihe ) verget Wäre die Reihe ) a koverget, so wäre auch die Reihe ) a ) koverget ach Beispiel ) aus Abschitt 7 des Skriptes ist die harmoische Reihe jedoch diverget Also muss die Reihe ) a divergiere c) Die Folge a ) ist icht mooto falled keie leichte Rechug) Aufgabe 27: i) Sei Für die -te Partialsumme S der Reihe gilt S Idexshift + )! [ ] + + )! + )! +! 2 Teleskopsumme! + )!! + )! Folglich ist die Reihe koverget ud es gilt: +)! lim S ii) Sei Für die -te Partialsumme S der Reihe gilt S Biom k0 ) k k ) k0 4 ) k 2 k ) k ) 4 k0 ) k 2 k 4 k Der zweite Summad ist die -te Partialsumme der geometrische Reihe 0 z mit 0 < z 4 < ach Beispiel ) aus Abschitt 7 des Skriptes ist der Reihewert der geometrische Reihe i diesem Fall z 4 Also ist die vorliegede Reihe koverget ud es gilt ) k0 k lim 2 +k S + 0 4) 2

3 Aufgabe 28: i) Sei Für die -te Partialsumme S der Reihe gilt S Idexshift + e )e + ) e + 2 e + )e e +) + ) Teleskopsumme e + e + e e +) + ) Folglich ist die Reihe koverget ud es gilt + e )e +) lim S e ii) Sei Für die -te Partialsumme S der Reihe gilt S 4x) + 2 x ) 4x 4x) + 2 x ) Idexshift 4x 0 ) 4x + 2 x Der zweite Faktor ist die )-te Partialsumme der geometrische Reihe 0 mit 4x +2 x ach Beispiel ) des Abschittes 7 des Skriptes ist die geometrische Reihe geau da koverget, we < ausfällt Es gilt < 4 x + 2 x < 4 x < + 2 x x < 2 I diesem Fall beträgt der Reihewert 0 gilt da auch 4x) +2 x ) 4 x+2 x ) +2 x 2x) 4x +2 x +2 x +2 x 2x) Folglich 4x) +2 x ) Ist, so ist x 0 Folglich muss divergiere, da asoste die geometrische Reihe 0 mit eiem koverget wäre Aufgabe 29: i) Sei Es gilt ) 2 ) Idexshift ) 2 j + j) j j 2)! 2 )!! 2)!!) 2 j + j j 2 j j 2 j+ ) 2 j j j j j + ) 2 j 2 Wege 2 ), ist a ) : ) )) 2 keie ullfolge ach Satz 4) aus Abschitt 72 des Skriptes ist dies aber eie otwedige Bedigug dafür, dass a kovergiert Also ist a diverget j

4 ii) Für gilt b : + + ) ) + ) + 2 ) ) + Wege + e vgl Aufgabe 2 v)) ud + Folglich ist ) 2 + lim sup b lim b e < ) ) ) gilt ach dem Wurzelkriterium absolut) koverget iii) Für 0 < a < ud alle gilt 0 < a < ud 0 < + a < Deshalb gilt + a ) + + a a a < + a + a Folglich ist a) streg) mooto falled Ferer ist lim a ach dem Leibiz-Kriterium ist die alterierede Reihe ) a) koverget Erierug dritte biomische Formel siehe ) im Abschitt 4 des Skriptes): Für alle α, β R ud alle gilt α β α β) α k β k ) k0 Eisetze vo α, β a ud Umstelle ach α β liefert ) a) a k0 a a ) k a a) k0 Da die Reihe a a) diverget ist, liefert das Mioratekriterium zusamme mit der obige Abschätzug, dass ) a) icht absolut koverget ist iv) Für sei a :! 5 2 ) Offebar ist a > 0 ud es gilt b : a + + )! 5 2 ) a! ) + ) Wege lim sup b lim b 2 folgt mit dem Quotietekriterium, dass die Reihe absolut) koverget ist v) Für alle gilt! 5 2 ) a : ) >0 ud die harmoische Reihe ist ach der Vorlesug diverget Folglich ist auch die Reihe diverget ach dem Mioratekriterium

5 vi) Für alle gilt [ ) + ] ) + ) + ) + 2) + ) + 2) 2 ud die Reihe ist koverget ach Vorlesug Die Reihe [ ] 2 ) + +2 ist ach dem Majoratekriterium folglich auch absolut koverget Aufgabe 0: i) atürlich ist x 2 koverget für x 0 Sei also im Folgede x 0 Da ist +x 4 : x 2 > 0 Für alle gilt x 2 + x ) + Ist, so gilt x 2 + x 4 ) ud folglich ist a ) : x 2 +x 4 ) keie ullfolge ach Satz 4) aus Abschitt 72 des Skriptes ist dies aber eie otwedige Bedigug dafür, dass a kovergiert Also ist x 2 diverget für x 2 {, } +x 4 Ist, so ist < oder < OBdA sei < Da gilt x 2 + x 4 ) + < ) Die geometrische Reihe mit dem Parameter < ist ach Beispiel ) des Abschittes 7 des Skriptes koverget Weil a < für alle ausfällt, ist die Reihe a absolut) koverget ach dem Majoratekriterium Satz ) aus Abschitt 74 des Skriptes) ii) Für gilt b : ud folglich ist lim sup b lim sup ) + ) 2 + ) ) + ) + ) lim + ) e < ach dem Wurzelkriterium vgl Abschitt 76 des Skriptes) ist absolut) koverget + ) ) 2 5

6 iii) Wege i ist die Reihe i icht absolut koverget Beispiel ) im Abschitt 7 des Skriptes) ist die harmoische Reihe aus Betrachte die -te Partialsumme S i für Die Reihe ist geau da koverget, we die Folge S ) koverget ist ach Aufgabe 9 gilt dies geau da, we S 2 ) ud S 2+ ) gege de gleiche Grezwert kovergiere Wir begie mit der Teilfolge S 2 ) Diese ist geau da koverget, we ihr Realteil ud ihr Imagiärteil koverget ist Für gilt S 2 2 i i [ ] i i2 2 i 2 ) 2 + ) +i 2 ReS 2 ) i 2 ) 2 ) 2 } {{ } ImS 2 ) i) i i 2 2 ) 2 + ) Also ist ReS 2 ) gerade die -te Partialsumme der Reihe k 2k Diese ist ach dem Leibiz-Kriterium siehe Abschitt 75 des Skriptes) koverget Ferer ist ImS 2 ) gerade die -te Partialsumme der Reihe ) k k 2k ) ) k k 2k Diese ist ebefalls koverget ach dem Leibiz-Kriterium Damit ist S 2 ) koverget Schließlich gilt lim S 2+ lim S 2 + i lim Also ist die Reihe i koverget iv) Für sei a : S 2 + i lim 2)! )! Offebar ist a > 0 ud es gilt ) k ) 2 + } {{ } 0 2 lim S 2 a ))! a + )) + + )! )! 2 + 2)!! 2)! 2)! + )! ) + )) )2 + ) ) 2 + )2 + ) + + )) + + ) + + )) ) ) ) ) Ferer ist lim sup a + a lim a + a 4 lim + ) lim 2 ) + + e 4 e 6

7 a Da e > 2 ist lim sup + a < 2 < Mit dem Quotietekriterium siehe Abschitt 77 des Skriptes), dass die Reihe 2)! )! absolut) koverget ist v) Für alle gilt a 2) ) 2 Für die Klammer im eer gilt ) ) < Für de Zähler gilt ab 9 2 ) ) 4 2 ) 2 9 Deshalb folgt a 2 9 für fast alle Die harmoische Reihe ist ach Beispiel ) im Abschitt 7 des Skriptes diverget Folglich ist auch die Reihe 2) diverget ach dem Mioratekriterium siehe Satz 2) im Abschitt 74 des Skriptes) vi) Wir zeige vorbereited, dass + + < für alle Sei dazu beliebig Es gilt + + < > + + ) + + ) + > + ) + > ach Abschitt 66 des Skriptes ist lim + wachsed Damit gilt tatsächlich für alle > + ) ) + ) ) ) e < ud + ) mooto Die Reiheglieder a + + sid ach Obigem ab positiv Da es bei Kovergezfrage auf edlich viele Reiheglieder icht akommt, ist a geau da koverget, we sie absolut koverget ist bzw we a koverget ist Für die -te Partialsumme S der letzte Reihe gilt S Idexshift Teleskopsumme Also ist S ) ach obe beschräkt ach Satz 72 ) des Skriptes ist a koverget Also ist die Reihe absolut) koverget