Systemtheorie Digitaler Systeme

Transkript

1 Systemtheorie Digitler Systeme Skript Vorlesung

2 Inhltsverzeihnis. Grundlgen Einführung in die Theorie der Shltsysteme Definition (von Wunsh): System Signlverreitungsshem (Blk Box) Signlklssifizierung Shltsysteme Mthemtishes Modell Aufgen der Shltlger Geshihte der Shltlger Tehnishe Entwiklung Litertur (Eine sujektive Auswhl von R. Rohde) Binäre Funktionen Modellildung Zuordnungstelle Binäre Vrile Binärvektoren Binäre Funktion Mthemtishe Modelle für inäre Funktionen....3 Elementre Funktionen, Opertionen, Gesetze, Verknüpfungsgtter Hrdwre-Relisierungsmöglihkeiten von Booleshen Opertionen Rehenregeln für Booleshe Ausdrüke Anlyse und Vereinfhung von Kontktshltungen Antivlenz-Opertion (XOR):,, Äquivlenz-Opertion (XAND): ~,,, Orthogonlität-Lemm Entwiklungs-/ Zerlegungssätze und Normlformen Normlform (NF) Disjunkte Zerlegung Konjunktive Normlform (KNF) Trnsformtion der Modelle und Formen K(f) KP A(f) KP E(f) KP

3 2. Entwurf komintorisher Shltsysteme Syntheseprinzipien Entwurfsgrundlge: Gtter (gte = Tor, Pforte) Gtter- und Zweigshltungen Anlyse des Verhltens Wesentlihe Informtionen zur Synthese Synthese von zwei- und mehrstufigen Shltnetzen Zweistufiges inäres System Effektiver Syntheselgorithmus mit TVL Einfhe Synthese von mehrstufigen komintorishen Systemen Grundprinzip: Anwendung des Assozitivgesetzes Anwendungen Entwurf von Multiplexer-Shltungen Sttishe Neenedingungen Tehnishe Interprettion der Neenedingung Auswirkungen der Neenedingungen uf die Huptfunktionen/Sollverhlten Automten und sequentielle Shltsysteme Modell Prktishe Erfhrung Allgemeine Struktur Allgemeines Verhltensmodell Zeitlihes Verhlten eines Automten Automtentypen: Moore-Automten und Mely-Automten Grenzfälle Beshreien des Verhltens/ weitere Automtenmodelle Binäre Automten Aus tehnishen Gründen (z.b. Störsiherheit, einfhe Relisierrkeit, ) werden lle uftretenden Größen inär odiert Entwurf sequentieller Shltsysteme Shltsysteme mit konzentrierten Speiherelementen Struktur von FF Shltwerken FF-Shem/ Symolik Verhltenseshreiung untershiedliher FF-Typen Synthese von Shltungen mit FF Anlyse des Verhltens von FF-Shltungen Anlyse Algorithmus

4 4.3 Speihertehnishe Relisierungen Zusmmenfssung Konsulttion Anhng Booleshe Ausdrüke/ Booleshe Formen (BF) Reine Formen Boolesher Funktionen Rehenregeln der Booleshen Alger Boolesher Vernd BV(k) Booleshe Ringe BR(k) Trnsformtionsgesetze Alle Shltfunktionen von zwei Vrilen und ihre Interprettion ls inäre Opertion Relisierungssis und zugehörige Form einer Funktion-TVL für den zweistufigen Komintorikentwurf (nh D. Bohmnn) Flip-Flop (FF) Gleihungen Telle der FF-Ansteuerwerte

5 . Grundlgen. Einführung in die Theorie der Shltsysteme.. Definition (von Wunsh): System Ein von der Umwelt grenzres einheitlihes Gnzes wird ls System ezeihnet...2 Signlverreitungsshem (Blk Box) (tehnishes) System mit Ein- und Ausgngsgrößen zur Kommuniktion mit der Umwelt. Op {X, Z} X Z Y Bündel von Leitungen X Vektor der Eingngsgrößen: X = X n Y Vektor der Ausgngsgrößen: Y = Vektor der Zustndsgrößen: Z = Y m Z Z l, Op = Opertionen = Verhlten des Systems Gilt n > oder/und m > => Mehrgrößensystem, sonst Eingrößensystem. Eingngs-, Ausgngs- und Zustndsgrößen werden durh ihren Verluf nh ls Signle (Träger von Informtionen) ezeihnet. Informtion = eseitigte Unsiherheit Mthemtishes Modell für Signl: Zeitfunktion x t mit x X, t T [oder Rum-Zeit-Funktionen x t,, 2, v, h = horizontle Komponente, v = vertikle Komponente] mit X R; X = W X t = Werteereih und T R; T = D X t = Definitionsereih 5

6 Diskretisierung des Werteereihs..3 Signlklssifizierung X T Kontinuierlih (zeitstetig) Diskontinuierlih (zeitdiskret) x(t) x(k) Anlog (wertkontinuierlih) t T A k Anloges Signl Atstperiode T A Atstzeit t = k T A, k Z Atstsignl x k (smpled signl) x(t) x(k) Diskret (wertdiskontinuierlih) t Stufen-/Treppensignl Nur estimmte Werte zugelssen, Quntisierung des Werteereihs T A Digitles Signl (Spezil: Binäres Signl) Diskretisierung des Definitionsereihs k..4 Shltsysteme Tehnishe Einrihtungen in denen die wesentlihen Kenngrößen nur diskrete, speziell inäre Werte nnehmen und in denen die Signlverreitung uf der Grundlge oolesher Opertionen erfolgt. Bestimmungszwek ist die Üertrgung, Verreitung und Speiherung digitler Signle. Beispiele für Shltsysteme/ Digitle Systeme Digitlrehner Digitle Kommuniktionstehnik/ Hndy Digitle Messtehnik Digitle Steuer- und Automtisierungstehnik Modelle für nihttehnishe Systeme (Simultion, Dtennken, ) Teilsysteme mit CPU, Signlprozessoren, Speiher, Relis, digitle Anzeigen..5 Mthemtishes Modell Shltlger (tehnishe Definition): Struktur- und Verhltenstheorie der Shltsysteme Shltlger (mthemtishe Definition): Alger des Booleshen Verndes (BV) = Booleshe Alger 6

7 Alger = [vordefinierte] Rehenvorshrift = lgerishe/ mthemtishe Struktur A = (M, Op) mit M = Trägermenge, Op = Opertionen uf Reltionen Idelisierungen ) wohldefinierte diskrete Zustände (tehnishe Tolernzen) ) sprungförmige Änderungen (egrenzte Gültigkeit des Moduls) ) Astrktion von Energieträger, Typ, Buform, Tehnologie..6 Aufgen der Shltlger ) Strukturentwurf/ Shltungssynthese ) Verhltensnlyse ) Prüfung und Fertigung von Shltsystemen d) Lösung ussgenlogisher Proleme..7 Geshihte der Shltlger Aussgenlogik: Aristoteles Shltlger: Gottfried Wilhelm Leiniz (646 76), George Boole (85 864), Augustus De Morgn (86 87) Moderne Shltlger: Nkshim (936), Sheglkin (928), Shnnon (938), Pere/ Quine/ MCluskey (952, 956), Reed/ Muller (953), Krnugh/ Zkrewski (96), Thyse (98), Bryton (986), Yng/ Ciesielski (2)..8 Tehnishe Entwiklung 938 Relisrehner 94 Elektronenröhren Rehner (Zuse, et.) 955 Trnsistor 965 Mikroelektronik (IC s)..9 Litertur (Eine sujektive Auswhl von R. Rohde) Gleihungen und Ürungslätter Büher mit kzeptler theoretisher Bsis Bohmnn, Dieter: Einführung in die strukturelle Automtentheorie, Hnser Fhuhverlg Znder, Johim: Logisher Entwurf inärer Systeme, Verlg Tehnik Gössel, Mihel: Automtentheorie für Ingenieure, Akdemie-Verlg weitere Büher Srt, Gerd: Synthese und Anlyse digitler Shltungen, Oldenourg Verlg Pernrds, Peter: Digitltehnik, Hüthig Verlg Lipp, Hns Mrtin: Grundlgen der Digitltehnik, Oldenourg Verlg 7

8 Büher zur Digitltehnik mit Anwendungsspekten, er theoretishem Bstelniveu Lihterger, Bernhrd: Prktishe Digitltehnik, Hüthig Verlg Orlowski, Peter: Angewndte Digitltehnik, digonl-verlg Jutzi, Wilhelm: Digitlshltungen Eine Einführung, Springer Weißel, Rlph: Digitle Shltungstehnik, Springer Englishsprhige Drstellungen Dniels, Jerry: Digitl Design from Zero to One, Wiley Mno, Morris: Digitl Design, Prentie Hll Lee, Smuel: Modern Swithing Theory nd Digitl Design, Prentie Hll Nelson, Vitor P.: Digitl Logi Ciruit Anlysis nd Design, Prentie Hll Friius, Eugene D.: Modern Digitl Design nd Swithing Theory, CDC Press.2 Binäre Funktionen.2. Modellildung Grundlge ist die Zuordnung deutlih untersheidrer/ klssifizierrer Werte einer gegeenen (physiklishen) Größe zu inären, d.h. zweiwertigen Symolen ( und, whr und niht whr, Low und High, - und, et.) einer mthemtishen Modellvrilen x..2.2 Zuordnungstelle Nr. Physiklishe Größe Logik Wert Logik Wert (elektrishes) Potenzil Positive Logik Niedrig, Low Hoh, High 2 (elektrishes) Potenzil Negtive Logik Hoh, High Niedrig, Low 3 Strom Klein zw. Groß 4 Leitwert Klein Groß 5 Widerstnd Klein Groß 6 Kontkt In Ruhe (nihtleitend) In Areitsstellung (leitend) 7 Lmpe, LED Aus An 8 Trnsistor Gesperrt Durhgeshltet Tehnish/ Physiklish existieren Tolernzereihe, Nihtentsheidrkeitsereihe 8

9 ES x(t) x in t t T O x(t) Zuordnung x in T U t ES = Entsheidungsshwelle, T = Threshold = Shwelle, Unentsheidrkeitsereihe t.2.3 Binäre Vrile x, = B, Belegungsmenge Einheit: Bit, Binry Digit (Binärzhl) = Informtionstom.2.4 Binärvektoren x = x,, x k, k = B k B k repräsentiert die Menge ller k-stelligen inären Belegungsvektoren und enthält 2 k Elemente. Mähtigkeit der Menge: B = 2 = 2, B 2 = 2 2 = 4 Eine konkrete Auswhl eines Binärvektors =, 2,, k B k zur wertmäßigen Konkretisierung der Vrilen x is x k heißt Belegungsvektoren..2.5 Binäre Funktion Aildung f: B k B Shreiweise: y = f x,, x k = f x, Binäre Vektorfunktion (Funktionenündel) f: B k B n mit y = f x,, y n = f n x und x B k Blokshltild-Interprettion für Eingrößensystem: x f(x) y 9

10 Blokshltild-Interprettion für Mehrgrößensystem: x y x f(x) f(x) y.2.6 Mthemtishe Modelle für inäre Funktionen ) Funktionswerte-/Whrheitstelle Binäre Funktionen einer Vrilen: y = f x mit x, y B (vershiedene Ausgngverhlten ei den möglihen Eingngselegungen) x f f f 2 f 3 f, f 3 trivile Konstntenfunktion Wie viele Funktionen n f k git es üer B? n f = 4 = 2 2 = 2 2 Binäre Funktionen von 2 Vrilen: x x 2 f f f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f f 2 f 3 f 4 f 5 n 2 f = 6 = 2 4 = 2 22 Allgemein gilt: Die Anzhl der inären Funktionen üer B k in Form von y i = f i x mit x B k in Ahängigkeit von k Vrilen eträgt n k f = 2 2k = 2 n x k Beispiel: k = n x = 2 = = n x = Anzhl der Argumentvrinten n f = Anzhl der Funktionswerte ) Dezimlkennzeihnung Beispiel: BCD (Binry Coded Deiml) x 2 x x f(x) dez(x) Binärdrstellung der Zhlen x = in x elieige Funktion Dezimldrstellung der Zhlen Dezimlkennzeihnung von f x : f dez x = dez x f x = = 2,3,5,7

11 ) Dezimläquivlent der f-splte (Summe der 2er-Potenzen von dez(x)) siehe Beispiel: f dez = = 72 Eindeutige Kennzeihnung von f, er Zhlen eventuell sehr groß und wenig für Opertionen mit f geeignet. d) Listendrstellung BVL = Binärvektorliste = x f x = (Zeilen der TVL sind Lösungen der Funktion (Konjunktionen)) x 2 x x f x = = Menge von Binäevektoren Kompktere Drstellung oft in TVL = Ternärvektorliste (dreiwertig:,, -) (drittes Zeihen elieig, meist ein wgerehter Strih oder φ) Mthemtishe Begründung: Tutologie x x = (stets whr) Weiter gilt: = = zu Beispiel: f x = x 2 x x = x 2 x x x 2 x x x 2 x x = x 2 x x x = x 2 x = x 2 x e) Krnugh-Pln (KP, K-mp), zw. Krnugh-Veith-Digrmm (KVD, KV-Digrm) Ein KP ist eine rehtekige Anordnung von Funktionswerten f(x), woei die den Zeilen und Splten zugeordneten Belegungsteilvektoren von x in Gry-Code ngegeen werden. zu Beispiel: f x 2 x x = x 2 = x = x = x 2 f(x) x f(x) x 2 x x x Im rehten Digrmm werden die Splten/ Zeilen mit einem Strih mrkiert, in der die jeweilige Vrile ist. Für lgerishe Drstellung vergleihe BVL, d.h. smmeln ller Elementrkonjunktionen EK, für die gilt f x = f EK x =. f x = x 2 x x x 2 x x x 2 x x x 2 x x

12 2 n zusmmenhängende Einsfelder knn mn uh vor dem Auslesen zusmmenfssen. x f(x) x 2 x f x = x 2 x x 2 x zu Gry-Code: Von Codewort zu Codewort ändert sih genu eine Stelle. Zyklish fortsetzr. Symmetrieeigenshften. In x Splten wellenförmige und Fortshreiung mit der Periode 2 i+2. Codetelle: x 3 x 2 x x x i Neensymmetriehse Neensymmetriehse Huptsymmetriehse x 3 höhstwertigste Splte, n Symmetriehsen wird gespiegelt, jede Splte eginnt mit 2 i Nullen Beispiel: KP mit 4 Vrilen d g(x) g(x) d d D(g) = D(g) = Disjunktive Funktion Shritte eim Auslesen: Möglihst große zusmmenhängende Einsfelder (nur 2 n viele Felder, die zusmmen eine rehtekige Figur formen) ilden. Jede Eins muss in mindestens einem Feld erüksihtigt werden. 2

13 Diese Auslesen und den Vrilen nh folgendem Shem Werte in der TVL zuweisen: - wenn Feld nur der Vrile üerdekt, dnn ist Vrile uh in TVL - wenn Feld nur der Vrile üerdekt, dnn ist Vrile uh in TVL - wenn Feld sowohl und der Vrile üerdekt, dnn ist sie in TVL, wird lso in der Konjunktion niht erüksihtigt In dem Fll üerdekt ds Feld die Vrile nur ei, die Vrile d nur ei, die Vrilen und sowohl ei und, ddurh ergit sih für die Konjunktion d. Für die gesmte Funktion: g x = d d Redundnte (üerflüssige) Konjunktion entfernen, d lle Einsen shon von nderen Konjunktionen üerdekt werden. So ergit sih: g x = d Beispiel: KP mit 5 Vrilen d e h(x) f) Boolesher Rum (B k, RE = Rumstruktur, rierende Eigenshft) g) Entsheidungsäume BDD = Binry Deision Digrmm zu Beispiel: x 2 x x f x = = x 2 x x Im BDD entspriht jeder Pfd genu einer Belegung. f Wurzelknoten root-node x V x V 2 V 3 innere Knoten internl nodes x 2 V 4 V 5 V 6 V 7 3 Endknoten terminl nodes (enthlten f-werte)

14 Siehe o es in oerer Telle Komintionen git, wenn niht dnn. Reduzierung des Bumes: nur jeweils einen und TN (Terminl Node) TVL-Regeln = Knoten von entfällt f f x V V x V 2 V 3 V 2 V 3 x 2 V 4 V 5 V 6 V 7 V 5 V 6 V 4 und V 7 entfllen, weil sie redundnt sind. h) Algerishe Funktionsdrstellung Grundlegende Beweismittel. Siehe Umdruk (Skript) Booleshe Formen (BF). Einfhste Formen: Konstnten, und Vrilen x, x,, x k (oder uh,,,, et.) Beispiel: f x = = x, f 2 x = x, f 3 x = x 2 BF höheren Grdes: Verknüpfung mit (Disjunktion, OR) und (Konjunktion, AND) Beispiel: f 4 x = f 2 f 3 = x x 2 = x x 2 f 4 x = x = x 2 = x = und x 2 = Beispiel: f 5 x = f 2 f 3 = x x 2 f 5 x = x = x 2 = Auslesen einer BF us BVL, Funktionswertetelle, KP, et. Alle Belegungen B k mit f = werden ls Konjunktion mit den Vrilen x i x usgelesen, woei gilt: ) i = (x i in Konjunktion) ) i = (x i in Konjunktion) ) i = (x i niht in Konjunktion) Die usgelesene Konjunktion von f(x) werden lle disjunktiv zu einer BF von f(x) verknüpft D(f). 4

15 zu Beispiel: x 2 x x f x = = x 2 x x f x = x 2 x x x 2 x x x 2 x x x 2 x x = x 2 x x 2 x siehe e) für mehr Informtionen.3 Elementre Funktionen, Opertionen, Gesetze, Verknüpfungsgtter Binäre Funktion ls Verhltensmodell von Shltnetzen. Ziel: Verhltensnlyse (Gesmtverhlten ermitteln) f(x) x y =f(x) y 2 h*(y) z=h*(y)=h(x) g(x) y 2 =g(x) y gesuht ist x Aildungsprodukt z = y 2, y = g,,, f,, =,, = x Gesmtverhlten z = x : h(x) z=h(x) 5

16 Shuen nh Zustnd von,, herusfinden von y, y 2 nhshuen in y Telle, ws es nun wird erhltener Wert für y in y Telle für,, Zustände eintrgen. In x genu die doppelte Anzhl von Nullen und Einsen wie in y 2, y. Prolem: unhndlihe, dimensionsegrenzte Drstellung in KP Nutzung nderer Modelle unter Einführung geeigneter Opertionen.3. Hrdwre-Relisierungsmöglihkeiten von Booleshen Opertionen Kontktshltungen KS mit Kontkt (Ursprungsform/ Strompfde = Leitwertlogik) f = wenn Lmpe leuhtet, AK = Areitskontkt, RK = Ruhekontkt f f 2 f 3 f f f 2 f 3 f 4 AK RK BF f f = Identität f 2 f 2 = Negtion/NOT f 3 f 3 = immer f 4 f 4 = immer Konstnt-/Trivilfunktionen Relisierung mir Relis (R etätigt r): + + R r RK f 2 = Gttershltungen mit Kontkt (Potenzillogik eventuell gemisht mit Leitwertlogik) zu f 2 : Negtor DIN 443, 49 (Verknüpfungsshltungen und Shltsymole) f 2 = 6

17 CMOS (Complementry Metl Oxide Surfe)-Shltungen für Inverter/Negtor: (Trnsistoren im Bild vom Anreiherungstyp (Enhnement Type)) T p + T p Strom fließt nur wenn high low p-leitend low f 2 = T n n-leitend T n Strom fließt nur wenn high high low Potenzile T n T p f Leitwertlogik Wenn = fließt üer T p Strom zu f 2. Nur im Umshltmoment fließen Ströme (hohe Frequenzen hohe Ströme), sonst reht effektiv. und sind Potenzile ei (z.b. -5V, 5V). Kontktshltungen mit 2 Kontkten + f 5 f 6 + f 5 f 6 BF f 5 f 5 = = Reihenshltung, UND (AND) f 6 f 2 = = + Prllelshltung, ODER (OR) Gttershltungen mit 2 Kontkten zu f 5 : UND-Gtter f 5 = 7

18 zu f 6 : ODER-Gtter f 6 = NAND (NOT-AND)-Gtter: nh De Morgn: f NAND = = f NAND wenn = =, dnn f =, sonst Shltsymol Kontktshltung CMOS-Shltung + + f NAND f NAND p p n f NAND n Definition: Die mthemtishe Struktur (Trägermenge: Binärvektoren B k, Opertionen:,, Negtion) heißt Boolesher Vernd (BV).3.2 Rehenregeln für Booleshe Ausdrüke = = und noh viele mehr.3.3 Anlyse und Vereinfhung von Kontktshltungen Methoden: Reihen- und Prllelshltungen extrhieren (Reihe =, Prllel = ) Beispiel: Shltungen us Shließer oder Öffner (Negierte Logik). Beim Auslesen muss mn sih frgen, ws getn werden muss, dmit Strom fließt? (etätigen =, nihts tun = ) 8

19 + f Verknüpfung der eiden Teile durh UND (Reihenshltung) f = = = ddurh reduziert sih die Shltung zu + f lle möglihen Strompfde (Teilfunktionen, Konjunktionen Reihenshltung) extrhieren und disjunktiv (ODER) verknüpfen f = = =.3.4 Antivlenz-Opertion (XOR):,, Funktion ist gleih, wenn die Anzhl ller mit elegten Vrilen ungerde ist. f f = = = f ~ 9

20 Eigenshften und Regeln (siehe uh Anhng) x y = x y = x y = x y x = eide Seiten mit erweitern = x Umformen möglih Homogenisieren: wenn = = Definition: Die mthemtishe Struktur (Vektor von Vrilen B k,, ) ist ein Ring, der wegen = und = ls Boolesher Antivlenz-Ring BR k ezeihnet wird. BV = Boolesher Vernd BR = Boolesher Ring Umrehnungsgesetze BV k BR k BV k BR k.3.5 Äquivlenz-Opertion (XAND): ~,,, Funktion ist gleih, wenn die Anzhl ller mit elegten Vrilen gerde ist. f f ~ = ~ = = f ~ Eigenshften und Regeln (siehe uh Anhng) x~ = eide Seiten mit ~ erweitern ~ = x Umformen möglih Auh Homogenisieren möglih. Definition: Die mthemtishe Struktur (Vektor von Vrilen B k,, ~) ist ein Ring, der wegen ~ = und = ls Boolesher Äquivlenz-Ring BR ~ k ezeihnet wird. Umrehnungsgesetze BV k = BR ~ k BV k BR ~ k ~~ ~ ~ 2

21 .3.6 Orthogonlität-Lemm Definition: Gilt für eine Menge f,, f n von inären Funktionen f i = f i x mit x B k die Bedingung i j: f i x f j x = x, so heißen diese Funktionen orthogonl zueinnder und es folgt n i= f i x n = f i x i= orthogonl! Hinweis: im Allgemeinen gilt f i x f j x = f i f j f i f j =, wenn f i orthogonl f j Beispiel: x 2 x x f x, f 2 x, f 3 x Orthogonlität edeutet niht üerlppende Felder im KP f f 2 f 3 im B k x 2 x x Disjunkte Mengen von Belegungsvektoren on-sets x x x 2 D f = D f 2 = D f 3 =.4 Entwiklungs-/ Zerlegungssätze und Normlformen f X = f x, P mit P = Prmetervrile.4. Normlform (NF) Stndrddrstellung für Funktionenmengen mit funktionshrkteristishen Koeffizienten Knonishe Funktionsdrstellungen ( gerde, regelmäßig, mit Wiederholstruktur, ) 2

22 in den knonishen Normlformen werden die Funktionen nh llen Vrilen entwikelt und die knonishen Normlformen sind den inären Funktionen eindeutig zugeordnet Entwiklungs-/ Zerlegungssätze dienen zur Koeffizientenestimmung.4.2 Disjunkte Zerlegung Anstz: f x = f, x = p x q x p, q = Restfunktionen / Teilfunktionen / Kofktoren = : f = p x = : f = q x Boole-Shnnon-Zerlegungsstz f x = f = f = = f f orthogonl: f x = f = f = Beispiel: f(x) p=f(=) q=f(=) Entwiklung nh 2 und 3 Vrilen f, = f, f, = f, f, f, f, Knonishe Disjunkte Normlform: DNF f = f, f, f, f, Bei mehr Vrilen lle möglihen Vrinten (2 n Funktionen, n = Anzhl der Vrilen). f x,y = Funktionswert für die Belegung mit = x, = y zu Beispiel: DNF f = Elementrkonjunktion EK, x = DNF f = k i= i ~x i EK, x f B k = Vrile (niht mit verwehseln), k = Anzhl ller Vrilen Verkürzte Form für lle EK, die enthlten, in KV 4 Stük, gnze Reihe. Für lle Funktionswerte = werden die Konjunktionen herusgeshrieen, Nullen ei Vrilen durh Negtion usgedrükt. 22

23 f(x) EK ED B 3 f zu DNF, dominnt zu KNF, dominnt Elementrdisjunktionen (ED), ei denen f(x) = ist, werden mit UND zur Konjunktive Normlform (KNF) verknüpft. EDs sind die Negtion nh De Morgn der EKs z.b. EK = ED=EK==. Elementrkonjunktionen (EK), ei denen f(x) = ist, werden mit ODER zur Disjunktiven Normlform (DNF) verknüpf. Tehnishe Interprettion der DNF: Multiplexer (MUX) zu Beispiel: MUX3 zw. MUX 8-to- ( us 8),, = Adresse, Selektierungs-/ Steuervrile = = = = = = = = = = = = = = f(,,) f(,,) MUX 8-to- f() Jede inäre Funktion ist shltungstehnish relisierr, d.h. ds Syntheseprolem ist stets llgemein lösr..4.3 Konjunktive Normlform (KNF) g x = f x g = g = g = f = f = f = f = f f f = f = f = 23

24 f, = f, f, f, f, In Elementrdisjunktionen (ED) werden Vrilen negiert, wenn sie gleih sind. Z. B. Wenn =, niht eintrgen, sondern. Gleihes gilt für ds Eintrg in den KV: edeutet =. Alle EDs mit f = werden durh Konjunktionen zur KNF verknüpft. EDs mit f = fllen utomtish wegen ODER Verknüpfung herus. zu Beispiel: KNF f = Zur Bestimmung der KNF us der DNF wird zunähst die DNF doppelt negiert: DNF f = = Auflösen der ersten Negtion nh De Morgn und Ausmultiplizieren: = Ashließend zweite Negtion nh De Morgn: = KNF f Eine inäre Funktion f(x) heißt eineindeutig in DNF(f) [zw. KNF(f)] drgestellt, wenn sie nh llen Vrilen von x B k disjunktiv [konjunktiv] zerlegt wurde. Sie esteht us so vielen EK, x / Mxterme [ED, x / Minterme] wie die Funktion Einswerte [Nullwerte] esitzt. Wegen Orthogonlität gilt: DNF f = EK, x f = EK, x f = ANF f B k B k Antivlenz- und Disjunktive Normlform sind is uf die Huptopertionszeihen zw. gleih. KNF f = B k ED, x f = B k ED, x f = ENF f Äquivlenzform entspriht KNF mit untershiedlihen Huptzeihen. Beispiel: f x = ENF f = ~ ~ 24

25 .5 Trnsformtion der Modelle und Formen Grundlge: reine ooleshe Formen Shem: Disjunktive Form D(f) Konjunktive Form K(f) Orthogonlisierung BF, KP, TVL Antivlenzform A(f) Äquivlenzform E(f).5. K(f) KP Methode A: Klmmern uflösen entsprehend Distriutivgesetz ( Ausmultiplizieren ), K(f) D(f) Methode B: Negtion von f(x) nh De Morgn g x = f x, Eintrgen der Einsen von g(x) und Negieren der Zelleninhlte Beispiel: f x = d d f x = d d g x = d d = d d d g(x) d f(x) Methode C: Direkter Weg üer Eintrgen der Nullen von f(x) unter Behtung der negierten Bedeutung der Vrilen in den EDs ( = und = ). Ds Bilden einer K(f) us einem KP erfolgt nlog durh Auslesen der Nullen us KP und Bildung der disjunktiv verknüpften EDs, woei die Vrilen wieder negiert zu notieren sind. d orthogonl D o f = = d d d d orthogonl D o f A o f = d d d (im Allgemeinen x y = x y xy) 25

26 Shemtisierung des Eintrgens von K(f) mittels TVL d d geg.: K f = D f = mit den Trnsformtionsgleihungen,, Formle Shreiweise: TVL-Trnsformtion D f = K f Erkenntnisse: um eine K(f) zu erhlten, wird f x = g x enötigt ls D f = D g ; f x knn z.b. erhlten werden, in dem us dem KP für f(x) die Nullen usgelesen werden (siehe oen Methode C)..5.2 A(f) KP Üerlgern der Einsen ehten Pünkthenmethode : = = lternierend = Sttt einer Eins wird ein Punkt in jedes Feld einer Elementrkonjunktion eingetrgen. Am Ende werden die Punkte durh eine Null ersetzt, wenn ihre Anzhl im Feld gerde ist, oder durh eine Eins, wenn ihre Anzhl im Feld ungerde ist. Auslesen von A(f) us KP: Üerlgerung der Einsen shwer kontrollierr A o (f) orthogonl uslesen. Beispiel: f x = d d d d d d A o f = f x = d d d (eventuell x = x nwenden).5.3 E(f) KP Üerlgerung der Nullen ehten Pünkthenmethode : = ~ = lternierend ~~ = 26

27 Sttt einer Null wird ein Punkt in jedes Feld einer Elementrdisjunktion eingetrgen. Am Ende werden die Punkte durh eine Null ersetzt, wenn ihre Anzhl im Feld ungerde ist, oder durh eine Eins, wenn ihre Anzhl im Feld gerde ist. Beispiel: f x = ~ d ~ d ~ d d = = d = d = Hilfs-TVL: d E f = d NDM E f = d d Auslesen E(f) orthogonl ls TVL (nh Nullen shuen). d d E o f = E f = = K f 27

28 2. Entwurf komintorisher Shltsysteme 2. Syntheseprinzipien 2.. Entwurfsgrundlge: Gtter (gte = Tor, Pforte) DIN: verzögerungsfreies Verknüpfungselement / Opertor tehnishe Relisierung einer BF 2..2 Gtter- und Zweigshltungen Beispiel: f = gte-type rnh-type + f f Relisierungsprinzip gte-type rnh-type Opertor Gtterelement Kopplung (Struktur RS: Reihenshltung, PS: Prllelshltung Vrile Kopplung Element (Kontkt) 2..3 Anlyse des Verhltens Beispiel: = f ~ v, v 2 = Zwishenvrile, Teilfunktion v =, v 2 = f x = v v 2 = = v v 2 f (x) Anlyseprinzip ) Einführung von Zwishenvrilen (Teilfunktion) ) Shrittweise Teilfunktion ersetzen 28

29 Beispiel: g 2 g f(x) g 3 f x = g 2 g 3 = g 2 g 3 g = g 2 = g = = = g 3 = g = = = f x = = 2..4 Wesentlihe Informtionen zur Synthese zu relisierende Funktion f(x) und eventuelle Neenedingungen (NB) vorgegeene Relisierungssis (RB), z.b. NAND-Gtter Grundstruktur (z.b. zweistufige Gttershltung) RB: Grundmenge von Gttertypen (Teilfunktionen) VRB: vollständige RB liegt vor, wenn dmit eine elieige inäre Funktion relisierr ist 2.2 Synthese von zwei- und mehrstufigen Shltnetzen 2.2. Zweistufiges inäres System Vorteile: elieige Funktion ei gegeener VRB relisierr hohe Areitsgeshwindigkeit einfher Entwurf (TVL-Algorithmen) Zwishenshritt für Weiterentwurf Nhteile: im Allgemeinen erhöhter Shltungsufwnd tehnish ist Forderung nh hoher Gttereingngszhl niht erfüllr 29

30 ? Prinzip: x 2 x x 2??? f(x) x k., 2. Stufe. Stufe (Negtion) hier homogene Eenen (in einer Eene nur gleihe Gtterrt) Effektiver Syntheselgorithmus mit TVL i) Grundstruktur und RB wählen, zw. vorgegeen ii) Ansteuervrilen für Gtter der. Eene us zugeordneter TVL estimmen (TVL enthält Struktur-Info) Anmerkung: D f = NDM NDM mit TVL:,, ; und Formänderung ehten z.b. gilt K f = D f es folgt: K f = D f et. Beispiel : AND-OR f(x) D f = = AND AND f Beispiel 2: NAND-NAND f = f = NAND f OR AND 3

31 Beispiel 3: OR-AND (Nullen von KV uslesen) NDM D f = D f = K f = = f x = f Beispiel 4: NOR-NOR (siehe Beispiel 3) f x = NOR Beispiel 5: NOR-OR D f = NDM D f = f x = NOR 3 NOR OR f Nh zweifher Negtion, uflösen eider äußerer und einer inneren Negtion. Beispiel 6: OR-NAND D f f x = f f Zweifhe Gesmtnegtion. Eine uflösen, dnn innere uflösen, zweite äußere elssen. Beispiel 7: NAND-AND D f = f x = NAND NAND AND NOR

32 f Beispiel 8: AND-NOR D f f x = AND AND NOR f D f Einsen uslesen, Konjunktionen mit ODER verknüpfen K f = D f Nullen uslesen, für K f dnn negieren. Wenn mn Konjunktionen durh ODER verknüpft = f x 2.3 Einfhe Synthese von mehrstufigen komintorishen Systemen 2.3. Grundprinzip: Anwendung des Assozitivgesetzes Beispiel: i i+ f(x) i i+ f(x) n n Noh weitere Aufspltung möglih. f x = 2 n = 2 n Anwendungen ) Die egrenzte Anzhl tehnish relisierrer Gttereingänge zwingt zum Empfng von mehrstufigen Shltungen. ) Die Signldurhluf-/ Verzögerungszeiten in der Gesmtshltung werden größer, er die Anzhl der Eingänge pro Gtter werden relisiert. 32

33 OR-Gtter f OR = 2 i i+ n NAND-Gtter: f NAND = i i+ n Auflösen durh doppeltes Negieren. f NAND = i i+ n 3 Elemente von NAND-Gttern. Bei jeder weiteren Aufteilung zwei weitere je Teilstük. n f(x) NOR-Gtter f NOR = 2 i i+ n 2.4 Entwurf von Multiplexer-Shltungen MUX relisieren direkt die knonishe DNF(f), d.h. die Shnnon-Expnsion f(=) f(=) MUX 2-to- f(x) f x = f = f = f f f, f = Kofktoren, Restfunktionen = Selektierungs-/ Steuer-/ Adress-Unterrum-Vrile 2 Vrilen f, f, f, f, MUX 4-to- f(x) f x = f, f, f, f, 33

34 Beispiel: d f(x), = Selektierungsvrilen Es wird immer zugehöriger Unterrum etrhtet, welhe Funktion für restlihe Vrilen könnte die dortigen Ergenisse ringen? f, = f =, = = d f, = f, = d f, = d d d = d MUX 4-to- f(x) 2.5 Sttishe Neenedingungen Beispiel: Lnghoelmshine, = Endshlter Umsteuersignl (Sollverhlten) U x = Physiklishe Neenedingung: Die Endshlter und können (im Normlfll) niemls gleihzeitig durh den Werkzeugshlitten etätigt werden. Sttishe Neenedingung φ x = = (restriktive/ usshließende Gleihung) 2.5. Tehnishe Interprettion der Neenedingung ) tehnish physiklish niht möglihe Werte der Vrilen, oder ) verotene Belegungen (z.b. CPU-Pseudo-Codes oder wegen Gefhrensitutionen, et.), oder 34

35 ) innere Freiheitsgrde (entstehen z.b. im Shltungsentwurf ei der Dekomposition oder durh niht enutzte inäre Zustände, Pseudotetrden, ) Auswirkungen der Neenedingungen uf die Huptfunktionen/Sollverhlten U U* U U 2 U = vorläufige Funktion = Neenedingung U* = endgültige Funktion U, U 2 = möglihe Funktionen, die sih us U* ergeen Bei Zustnd = = ist Funktionswert egl, weil er niht interessiert inärer Freiheitsgrd = don t re ondition (d). Bei den drei nderen Zuständen sind Funktionswerte definiert/geunden. Erkenntnisse:, und frei wählr, d im Beispiel die Belegung, =, niemls uftreten knn, d.h. der zugehörige Funktionswert von U x = U, ist frei wählr U x U x und U 2 x U x mit U x = U x, φ x und wird uh teilweise estimmte Funktionen (inompletely speified funtion) Bei n -Feldern ergeen sih 2 n untershiedlihe Funktionen, die lle die gleihen geundenen Werte esitzen und untereinnder äquivlent ezüglih der Neenedingungen sind! Beispiel: D(f) gegeen d D f = D φ NB = D φ 2 = f φ x = φ x φ 2 x Möglihst zuerst die Felder in den KP eintrgen. d f* 2 35

36 n = = 28 Funktionen in einem Funktionenvernd mit einer kleinsten (lle = ) und einer größten (lle = ) Funktion. optimle Funktion ezüglih (möglihst große Einsfelder nlegen) d D f opt = d d f opt kleinste Funktion = Implinum (lle = ) d f min = d größte Funktion = Supremum (lle = ) d f mx = f opt d Allgemein gilt: f min f f f mx 36

37 3. Automten und sequentielle Shltsysteme 3. Modell Automt = Selstständig reitende Einrihtung 3.. Prktishe Erfhrung Es git Shltsysteme, ei denen die Ausgngswerte niht eindeutig llein durh die Eingngswerte estimmt werden. x(t) z y(t) Beispiel: Frequenzteiler (Zähler) t x y Verhlten niht komintorish erzeugr. System enötigt intern Bitspeiher für die Vorgeshihte. Neue Systemklsse: sequentielle Shltwerke/ Folgeshltungen/ Speiher ehftete Shltungen Allgemeine Struktur e s e E = Eingngslphet (Menge vereinrter Zustände/ Werte) s S = Speiherlphet A = Ausgngslphet 3..3 Allgemeines Verhltensmodell sttionäre / rheolinere Systeme gleihleiendes Verhlten (knn sih ändern, er immer nur in eknnten gleihen Verhlten, sttionär sttish) Automtengleihungen: t = λ e t, s t s = s t + Δt = s t + T = δ e t, s t s = Folgezustnd von s(t) λ: e, s Ergenisfunktion (Aildung von e und s) δ: e, s s Üerführungsfunktion 37

38 zw. δ: e, n s n+ s A-Modell = Verhltensmodell = strkter Automt A: A = E, S, A, δ, λ ist ein n-tupel Begriffe: endliher Automt: E, A und S sind endlihe Mengen initiler Automt: esitzt einen festen Strtzustnd s = s t = deterministisher Automt: δ und λ sind eindeutig Vernshulihung des Automtenverhltens ls Grphenknte s e/ s e, s = Urshe s, = Wirkung (s, δ und λ) nihtdeterministisher Ausdruk (ND-Verhlten), δ ist mehrdeutig e/ s s e/ s 2 e/ s n 3..4 Zeitlihes Verhlten eines Automten s() e()/() s() e()/() s() s(n) Endlihe Automten: Zustndszyklen (werden m Ende wiederholt) Tehnisher Fll: Endlihkeit von S Beispiel: ) Muss niht vom gleihen strten und niht vom Strt wiederholen Anfngszustnd 38

39 ) Mehrere Zyklen 3..5 Automtentypen: Moore-Automten und Mely-Automten Moore: e δ s s λ = λ s Ausgng niht direkt vom Eingng hängig s = δ e, s Mely: e δ s s λ = λ e, s Ausgng direkt vom Eingng hängig s = δ e, s 3..6 Grenzfälle Autonomer Automt esitzt kein ehtes Eingngssignl. = λ s s = δ s Reine Komintorik esitzt keine Speiher: = λ e 3..7 Beshreien des Verhltens/ weitere Automtenmodelle Automtentellen von δ e, s und λ e, s Beispiel: δ e, s zeigt Zustndsüergänge hängig vom Eingng und ktuellen Zustnds 39

40 s e α β γ λ e, s zeigt die Ausgngselegung hängig vom Zustndswehsel s e α β γ α, β und γ sind vershiedene Verhlten A =, S =,2,3,4,5 E = α, β, γ Automtengrph und Phsenliste (PHL) Grphenknte = zulässige Phse s e/ s Urshe Wirkung e, s Urshe, s, Wirkung zu Beispiel: Grph für die Verhlten α und β β / α/ 2 β/ β / α/ α/ α/ 3 4 T 4 Zyklus (Länge 4) für α β / 5 α/ β / Zyklus ezeihnet einen geshlossenen Umluf und die Anzhl der Sttionen die Länge. 4

41 PHL: e s s e s s e s s α 2 β 4 γ 3 α 2 4 β 2 2 γ 2 4 α 3 β 3 γ 3 α 4 3 β 4 4 γ 4 2 α 5 5 β 5 3 γ 5 4 Erklärung: Mit Verhlten α geht Automt von Zustnd zu 2 üer und git dei eine us. Mit Verhlten β geht Automt von Zustnd 2 zu 2 üer und git dei eine us. Anlyse qulittiv und quntittiv ) Zyklen z.b. (e = = konstnt) (T -Zyklus in s = 5 ei = ) (T 4 -Zyklus eginnend in s = mit = ) ) Finlverhlten z.b. s =, β = (Trjektorie = Rumkurve endet in s = 4 = stiler Zustnd, d.h. Shlinge ei konstnter Ansteuerung) ) Anfngszustnd = Zustnd wird ei estimmter Ansteuerung verlssen und ist nie wieder erreihr d) Endzustnd = wird ei estimmter Ansteuerung erreiht und knn nie wieder verlssen werden 3.2 Binäre Automten 3.2. Aus tehnishen Gründen (z.b. Störsiherheit, einfhe Relisierrkeit, ) werden lle uftretenden Größen inär odiert Beispiel: BCD-Code: direkte Zuordnung der Zhlendrstellung x = 5 = x = n x i 2 i i= mit x i, und n inäre Stellen Andere Codes: Gryode, et. Zuordnungen e x = x,, x k B k ; x i B =, s z = z,, z l B l y = y,, y n B n Verhlten: Automtengleihungen = λ e, s y = k x, z 4

42 s = δ e, s z = f x, z Relisierung ls Funktionenündel Beispiel: z = x z z z 2 = f x, z z 2 = x z z 2 = f 2 x, z y = z = x, z Automtentelle: KP z z 2 z z 2 y z z 2 x z und z 2 sind Änderungsgrößen und ergeen sih durh Antivlenzildung zwishen dem vorigen und dem folgenden Zustnd: z i = z i z i Knte im Automtengrph: z y x/y z x Automtengrph: z z z 2 z z 2 z z 2 Moore Automt z 2 z z 2 z x= x= y= z z2 x= x= z, z 2 z, z 2 Änderungsgrößen Definition: z i = z i t t = lim Δt z i t z i t + Δt 42

43 für getktete Systeme ist Δt = T (Tktzeit) Booleshe Differenz z i = z i z i z i t = z i f i x, z = g i x, z z = g x, z zu Beispiel: z = z z = z xz z z 2 d orthogonl = xz z z 2 = xz z z 2 = g z 2 = z 2 xz xz 2 = xz xz 2 = xz xz 2 = g 2 Auflösung nh zi: z i = z i z i z i z i = z i z i z i = z i 43

44 4. Entwurf sequentieller Shltsysteme 4. Shltsysteme mit konzentrierten Speiherelementen Einitspeiher = Flip-Flop (FF) (Klipp-Klpp, Purzelum, ) = istiles Speiherelement Q = Zustndsvrile des FF x = Vektor der FF-Eingänge (einshließlih eventuelle Tktsignle) Allgemeine Gleihung des FF: Q = F Q, x Q = Q F Q =, x Q F Q =, x = QF QF Q, Automtengrph des FF: F Q F F Q = : Q = : Q = F Q = F F Üergngstypen: F F Q Q Nullüergng Einsüergng Speiherüergng Kippüergng Q = Q = Q = Q Q = Q 4.. Struktur von FF Shltwerken x komintorishes Funktionenündel für z = f(x, z) z z k FF FF k z z k z λ komintorishes Bündel y C = Tkt n jeden FF 44

45 eventuelle Zeitproleme FF-Inhlt und eenso die zu ildenden eventuell gleihzeitig geändert. Lösung: ) FF mit Tktflnke C zi-werte werden zum Tktzeitpunkt enötigt, er C = Clok, Tkt mit C = C C = C t C t + Δt, Δt C CC C CC 2 ) Mster-Slve-Tehnik (serielles Doppel FF) x Mster FF Slve FF Q C CC C CC 2 Informtionsüernhme mit untershiedlihen Tktflnken 4..2 FF-Shem/ Symolik E E 2 Q E i E ik CLK Q Beispiel: JK-FF mit sttishen (ungetkteten, synhronen) Setz- und Rüksetzeingng (vorrngig) S T Q J C C CLK K R T = Trigger (Auslöser) J, C, K = Hupteingänge 45

46 Shltsymol: S J CLK K Q R 4..3 Verhltenseshreiung untershiedliher FF-Typen RS-FF: NOR-Typen Stz: Durh interne (ungetktete freie ) Rükführungen sind stile Zustände in einem komintorishen System erzeugr. Beispiel: R Q S Q ) R =, S = Q = Q wird gesetzt (set) ) R =, S = Q = Q wird zurük gesetzt (reset) An einem Eingng der NOR-Gliedern liegt der lte Wert von Q n, evor dieser vom neuen üershrieen wird. Gewöhnlih ist Q zu Beginn uneknnt, mn rehnet dnn llgemein. Berehnung von Q: Mn etrhtet ds NOR-Glied, n dem eine nliegt, denn ODER irgendws = immer. Negiert wird drus. Nun ht mn die Belegung für die eiden Eingänge des nderen NOR-Gliedes. ) R =, S = Q = Q FF-Zustnd leit erhlten d) R =, S = Q =,!er uh Q = geht niht, kein FF-Verhlten (Folgezustnd ungewiss), verotene Eingngselegung Berehnung von Q ei ): Mn enutzt (proiert) mit eventuellen vorngegngenen Zustnd von Q ( oder ), drus folgt Q ist von Q hängig. So wie Q wr, wird Q werden. Q = Q Wegen d) wird Neenedingung enötigt: φ NOR FF = R S = Neenedingung ist für Belegung d) niht erfüllt verotene Belegung. Verhlten: Q = S RQ mit NB φ = R S = 46

47 verkürzte Automtentelle und grph: R S Q Q S S R R JK-FF K (=R) Q C J (=S) Q Getktet mit C. Auststen ( Toren ) des K-Signls ei Q =. Auststen von J ei Q = Q =. Keine Neenedingung. Verhlten: Q = QJ QK = QJ QK Q J K Q Q J J K K wenn getktet lutet Verhlten: Q = Q J C Q K C JR-FF Rüksetzvorgng: Q = R J Q 47

48 Q J R Q JR RJ R R SK-FF Setzvorgng: Q S K Q Q = S K Q S S SK SK D-FF Dely Flip Flop, Verhlten: Q = D Q D D D D D C Q D shwer rel zu relisieren T-FF Trigger Flip Flop, wenn Tkt kommt und T = ist, ändert sih Q, wie ei JK-FF wenn J = K = Verhlten: Q = Q T = QT QT 48

49 Q = T Q T Q Q T T T T C Q T DV-FF FF mit Verhinderungseingng (prevent) Verhlten: Q = VQ VD Q D V Q Q RST-FF Verhlten: Q = S T Q R F Q Neenedingung: RS RT ST = ungünstig wegen lnger Neenedingung Q R S T Q Q ST ST RT RT 49

50 L-FF Anfng / Lth-FF, lässt sih niht llein durh L uf zurüksetzen, deshl sttishes Rüksetzsignl R. Setz FF ei R = uf zurük. Vorteil: einfhe Shltung. Verhlten: Q = Q L Q L Q L L R Q L 4..4 Synthese von Shltungen mit FF Geänderte Aufgenstellung, Zustndsänderung Q sind die Ansteuerwerte der FF-Eingänge. Q wertmäßig vorgegeen. Gesuht Beispiel: JK-FF J J K K Telle der FF-Ansteuerwerte: vorgegeene Wirkung Urshe Q Q Q J K mit = elieig und Q = Q Q Ergänzung zu FF-Typen: tktflnkengesteuertes JK-FF Q = Q Q = Q t Q t + T Q C = C C Q Q 5

51 C(t) t JK-FF: Q C,JK = C C Q QJ QK = C C Q K QJ = C C QJ QK Beispiel: ungetktetes dynmish gesteuertes T-FF C t Q(t) dyn C C Q T dyn = C C t Algorithmus: Synthese der Ansteuerkomintorik für FF-Shltungen i) Die Funktionen z i = f i x, z i zw. z i = g i x, z estimmen und in Tellen (vorzugsweise KP) eintrgen. ii) iii) Für jeden FF-Eingng ller n Zustndskomponenten z i, n i= KP uflegen und die, us der Telle der FF-Ansteuerwerte für den gewählten FF-Typ zulesenden, für jeden Üergng eintrgen. Struktursynthese der komintorishen Shltung für jeden FF-Eingng entsprehend der vorgegeenen zw. gewählten Relisierungssis. Entwurfseispiel : gegeen: z = z z gesuht: vershiedene FF-Relisierungen Lösung: z z ) D-FF: Q = D z = D z z Zufällig die gleihe Telle ei D-FF. 5

52 Relisierungssis: NOR-NOR K(f) z z Disjunktion von D D D = negieren K D = D = z z Zwishenfunktion z ilden ei Tktflnke D D C Q z z ) RS-FF z R S z z z Üergng von z zu z etrhten, um Tellen für R und S uszufüllen: z = ändert sih zu z = in Telle für R ein und für S eine z = ändert sih zu z = in Telle für R eine und für S eine z = ändert sih zu z = in Telle für R eine und für S ein z = ändert sih zu z = in Telle für R eine und für S eine Relisierungssis: AND-OR R = S = ) DV-FF R C S z D V z z z Möglihkeit Q z 2. Möglihkeit In den Tellen von D und V git es für viele Felder 2 vershiedene Möglihkeiten. Entsheidet mn sih im Feld einer Telle für eine Möglihkeit, muss mn diesele für ds entsprehende Feld in der nderen Telle nehmen. Entsheidungen sind jeweils für ein Feld 52

53 indend. Für vershiedene Felder können vershiedene Möglihkeiten gewählt werden. Z.B. wenn mn im linken oeren Feld von Telle D die wählt, muss mn im linken oeren Feld von Telle V ds nehmen. D V z - z - - Relisierungssis: NAND D D = D V = D C V Q z d) T-FF T = Q T = z = z z z T = z z z Relisierungssis: NAND D T = z z T C Q z z Entwurfseispiel 2: Zu entwerfen ist ein Mod3-Zähler mit RS-FF und NAND-Gttern, der für x = vorwärts und für x = rükwärts zählt und die Zhlen im direkten Binärode usgit. Lösung: Vrinte y = z (kein extr Zuordner nötig) 53

54 S z z x x 2 x x x x uneknnter Zustnd - z z z z z z R S R S x Zwei Zustndsvrilen zwei Flip Flops. R und S ergeen sih durh Vergleih von z mit z, R und S ergeen sih durh Vergleih von z mit z. D R = z D S = xz z x z z D R = z D S = xz z x z z x z z x R S R C S Q z =y x z z x R S R C S Q z =y z z Wenn mn z, z, R, R, S, S gegeen ht, knn mn mit Hilfe der FF-Telle uh nhshuen, wie z, z sein müssten. Dnh üertrgr in Automtengrph (in diesem Beispiel von (, ) nh (, ), egl wie x). 4.2 Anlyse des Verhltens von FF-Shltungen 4.2. Anlyse Algorithmus i) Aus einer gegeenen Shltung herus werden die Ansteuerfunktionen ller FF- Eingänge und die Funktionen ller Shltungsusgänge (Ergenisfunktion) ermittelt. ii) Die ermittelten Ansteuerfunktionen werden in die den FF-Typen entsprehenden FF- Gleihungen eingesetzt: z = f x, z eventuell z = g x, z, y = x, z iii) Vernshulihung des Verhltens üer: ) Automtentelle [KP] ) Automtengrph ) Phsenlisten 54

55 Knte z x, y z Phse (x, z, z, y) iv) Urshe Wirkung Qulittive und quntittive Anlyse [mit rehnerishen Mitteln] Beispiel: x D z =D 2 z = D Q D Q 2 =J 3 z J Q 3 =y C V 2 C V K 3 C K i) Ansteuer- und Ausgngsfunktionen ermitteln D = x z 3 D 2 = z V 2 = x J 3 = z 2 K 3 = z 2 y = z 3 ii) Einsetzen der Funktionen in FF-Gleihungen D-FF: Q = D z = D = x z 3 DV-FF: Q = VQ DV z 2 = V 2 z 2 D 2 V 2 = x z 2 z x JK-FF: Q = QJ QK z 3 = z 3 J 3 z 3 K 3 = z 3 z 2 z 3 z 2 = z 2 iii) Vernshulihung Automtentelle: z z 2 z 3 z z 2 z 3 y x Für z zum Eintrgen der Antivlenz die Pünkthenmethode verwendet. 55

56 Automtengrph: z z 2 z 3 x= Phsenliste D PHL = Urshe Wirkung x z z 2 z 3 z z 2 z 3 y iv) Qulittive und quntittive Anlyse Für x = git es 2 Teilverhlten: z 2 = Einlufen in stilen Zustnd () z 2 = Einlufen in stilen Zustnd () Für x = : T 6 -Zyklus von z = usgehend T 2 -Zyklus zwishen () und () 56

57 4.3 Speihertehnishe Relisierungen Grundprinzip: Speiherdresse = x, z = Urshe zw. Gesmtzustnd und Speiherinhlt = z, y = Wirkung x Memory Adresse ( z, y) y(t-) z Tkt n jedes Register FF-Register Beispiel: gegeen: Automtengrph gesuht: Shltung us RS-FF und NAND / / z z x/y / / / / z z z z R S R S y x R = x z z xz z S = x z z xz z R = x z S = xz y = xz z z x x R z z z R Q x x z C x S z z S x z x z z z z R z S R C S Q y z 57

58 5. Zusmmenfssung Konsulttion D f = uslesen D f = uslesen K f = D f D f negieren, lso in und in wndeln, in. Oder Nullen uslesen, er sttt für = ein zu shreien, ein normles. Auh eim Eintrgen ufpssen. (nur so neenei: K f = D f ) Beispiel: D f = D f K f = D f = A f Antivlenzform Aer nur ei Auslesen us KV, niht ei Eintrgen (für A die Pünkthenmethode verwenden, ei ungerder Anzhl Punkte eine eintrgen). A f = E f = Äquivlenzform = ~ ~ Wie ei K(f) edeutet ein =. Beim Eintrgen Pünkthenmethode verwenden (ei gerder Anzhl von Punkten eine eintrgen). Sieht us wie K(f) nur een mit ~ sttt zwishen den einzelnen Elementrdisjunktionen (Gliedern). Aufpssen ei NOR und NAND, meist doppelte Negtion nötig, denn mn ruht: ei NAND und für NOR. Untershiedlihe Drstellung nur zur esseren Anshulihkeit, Eingngswerte ändern sih ddurh niht. Aufstellen einer Shltung mit vorgegeenen Gliedern. Neenedingungen: Wenn NB eine enthält, git es n der Stelle einen Freiheitsgrd im KV: =,. Automten: Mehr oder weniger feste Befehlsfolge, niht nur von Eingngsvrilen hängig, sondern uh vom (internen) Speiher. 58

59 6. Anhng 6. Booleshe Ausdrüke/ Booleshe Formen (BF) Booleshe Ausdrüke (BF) sind: ) Konstnte und, Vrile x, x 2,, x k (elieige Bezeihnungen für die Vrilen). ) Mit der Booleshen Form f x ist uh f x (niht f, f negiert) eine BF. ) Mit den BF-en f und g sind uh f g, f g, f g und f~g BF-en. d) Belieige Booleshe Formen müssen in endlih vielen Shritten mit Hilfe der Regeln ), ) und ) konstruierr sein! Stz: Jeder inären Funktion f x, x B k, lässt sih (mindestens) ein Boolesher Ausdruk zuordnen. Jedem Booleshen Ausdruk (BF) f x üer B k ist eindeutig eine inäre (Booleshe) Funktion zugeordnet, d.h. ei Belegung der Vrilen von x mit konstnten Werten B k ergeen sih eindeutig die Funktionswerte f. 6.2 Reine Formen Boolesher Funktionen Reine Formen von f x estehen nur us Konstnten und Konjunktionen [oder Disjunktionen], die lle mit einer einheitlihen Opertion verknüpft sind. Sie erluen ds Trnsformieren in ndere Booleshe Modelle, z.b. ds Eintrgen in den Krnugh Pln (KP) oder in eine Ternärvektorliste (TVL), sind er in den Fällen A(f) und E(f) niht rein im Sinne der lgerishen Struktur eines Booleshen Ringes BR k = B k,, mit der dditiven Opertion Antivlenz zw. BR ~ k = B k, ~, mit der dditiven Opertion Äquivlenz ~, d in A(f) zw. E(f) uh negierte Vrile uftreten können [niht er in einem BR(k)]! i) Disjunktive Form D f = m j = K j x mit den Konjunktionen K j x = ii) l i= v i Konjunktive Form K f = m j =, B, x B k, l k, v i x i, x i, v i v j D j x mit den Disjunktionen D j x = l i= v i, B, x B k, l k, v i x i, x i, v i v j 59

60 iii) Antivlenzform A f = m j = K j x mit den Konjunktionen K j x = iv) l i= v i Äquivlenzform E f = ~ E m j mit den Disjunktionen D j x = l i= v i, B, x B k, l k, v i x i, x i, v i v j D j x, B, x B k, l k, v i x i, x i, v i v j Sind lle Konjunktionen von D(f) zw. A(f) Elementrkonjunktionen (Minterme), in denen jeweils lle Vrilen des Booleshen Rumes B k negiert oder nihtnegiert genu einml uftreten, so heißt DNF(f) die disjunktive (knonishe) Normlform von f(x) und es gilt DNF f = ANF(f). Anlog dzu enthält die konjunktive (knonishe) Normlform von f(x) nur Elementrdisjunktionen (Mxterme) und es gilt KNF f = ENF(f). 6.3 Rehenregeln der Booleshen Alger 6.3. Boolesher Vernd BV(k) Rehenregel mit Huptopertion Konjunktion, Dule Beziehung mit der Opertion Disjunktion, + = = (Neutrle Elemente) x = x = (Dominnz) x = x x = x (Neutrlität) x = x (Doppelte Negtion) x x = x x = (Komplementtheorem) x x = x x x = x (Idempotenz) x xy = x x x y = x (Asorption) x xy = x y x x y = xy (Nihtorthogonle Minimierung) x y z = x y z x y z = x y z (Assozitivität) x y = y x x y = y x (Kommuttivität) x y z = xy xz x y z = x y x z (Distriutivität) x y = x y x y = x y (DEMORGANshe Gesetze) n i= x i n = x i i= n i= x i n = x i i= 6 (DEMORGANshe Gesetze) xy xy = x x y x y = x (Vereinfhungstheorem) x y x z = xz xy xy xz = x z x y (Fktorisierungstheorem) xy xz = xy xz yz x y x z = x y x z y z (Consensustheorem)

61 6.3.2 Booleshe Ringe BR(k) BR k Antivlenz, EXOR, BR k Äquivlenz, EXAND ~, x x = x x = x~x = x x = x = x x~ = x x x = x~x = x = x x~ = x x xy = x y = xy x~ x y = x ~y = x y x y z = x y z x~ y~z = x~y ~z (Assozitivität) x y = y x x~y = y~x (Kommuttivität) x y z = xy xz x y~z = x y ~ x z (Distriutivität) x y = x~y = x~y x~y = x y = x y x y z = x~y~z = x~y~z x~y~z = x y z = x y z n i= n i= x i x i = E n i = E n i x i = E n i x i = E n i x i x i E n x i = i E n x i = i n i= n i= x i x i n = x i i= n = x i i= n gerde n ungerde Trnsformtionsgesetze BR k BV k : BR ~ k BV k : x y = xy xy = x y x y x~y = xy x y = x y x y x = x ~x = x BV k BR k : BV k BR ~ k : x y = x y xy x y = x~y~ x y x = x x = ~x 6

62 = = y = y = f, ~ Bezeihnung der Funktion zw. der Opertion Nullfunktion UND-Verknüpfung, AND erste Inhiition erste Identität zweite Inhiition zweite Identität ANTIVALENZ, EX[lusiv]OR ODER-Verknüpfung NICHT-ODER-Verknüpfung, NOR ÄQUIVALENZ, EXAND erste NEGATION, NOT erste IMPLIKATION zweite NEGATION, NOT zweite IMPLIKATION NICHT-UND-Verknüpfung, NAND Einsfunktion und Sprehweise niht und und niht ntivlent oder niht ( oder ), nor äquivlent niht, negiert impliziert niht, negiert impliziert niht ( und ), nnd Alterntive Shreiweise x = = = = = + = = + + = + + = + = x 6.4 Alle Shltfunktionen von zwei Vrilen und ihre Interprettion ls inäre Opertion 62

63 6.5 Relisierungssis und zugehörige Form einer Funktion-TVL für den zweistufigen Komintorikentwurf (nh D. Bohmnn).Stufe 2. Stufe AND OR NAND NOR AND X D(f) X D f OR K(f) X D f X NAND D f X D(f) X NOR X D f X K(f) X = keine Relisierungssis Vereinrung: NDM = Negtion nh De Morgn Interprettion in der Telle: D f edeutet NDM von f(x), lso mittels TVL,, K f = D f, d.h. Nullen us dem KP von f(x) uslesen für D f und dnn NDM. 6.6 Flip-Flop (FF) Gleihungen Q = interne FF-Zustndsvrile Q = Q t + zw. Q = Q t + Δt = interne Folgezustndsvrile R, S, T, J, K, D, V, et. = FF-Eingänge (Ansteuervrilen) Ds Gesmtverhlten eines FF wird durh die ngegeene Gleihung und durh eine eventuell gültige Neenedingung (NB) estimmt und ist insgesmt (lso mit NB) umgesetzt worden in die Telle der FF-Ansteuerwerte! RS-FF: Q = S RQ mit der NB φ = RS = JK-FF: Q = QJ QK = QJ QK D-FF: Q = D T-FF: Q = Q T = QT QT zw. Q = T, d gilt Q = Q Q DV-FF: Q = VQ DV JR-FF: Q = R J Q SK-FF: Q = S KQ RST-FF: Q = S TQ RTQ mit der Neenedingung φ = RS RT ST = 63

64 6.7 Telle der FF-Ansteuerwerte gegeen: Üergng Q Q zw. Änderungsrihtung Q = Q Q gesuht: Ansteuerwerte für FF-Eingänge Q Q Q R S J K J R S K D V D T R S T L X = niht relisierr X