ω : Eigendrehfrequenz des Kreisels Protokoll zu Versuch M6: Kreisel 1. Einleitung

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1 Protokoll zu Versuch M6: Kreisel 1. Einleitung Beim Kreiselversuch soll aus der Präzessionsbewegung eines symmetrischen Kreisels unter Einfluß eines äußeren Drehmoments das Trägheitsmoment J des Kreisels bestimmt werden. Besonders interessiert in diesem Zusammenhang der Vergleich des sich aus den Messungen der Kreiselbewegung experimentell bestimmten Wertes für J mit dem Wert, der sich aus den Abmessungen und der Masse des Kreisels für J errechnet.. Theorie.1 Kreisel Bei einem Kreisel kann man verschiedene Achsen unterscheiden: 1. Figurenachse (geometrisch ausgezeichnete Symmetreiachse). momentane Drehachse (Richtung der Winkelgeschwindigkeit) 3. Drehimpulsachse (Richtung des Drehimpulses). Ein schwerer symmetrischer Kreisel ist ein Kreisel der: a) ein rotationssymmetrisches Trägheitsellipsoid besitzt; b) in einem festen Punkt unterstützt wird, der nicht mit dem Schwerpunkt des Kreisels übereinstimmt. Dadurch, daß ein solcher Kreisel sich unter dem Einfluß der Schwerkraft der Erde befindet, wirkt ein äußeres Drehmoment: M = a mg Dieses äußere Drehmoment führt zu einer ständigen Änderung des Drehimpulses. Die Drehimpulsachse weicht der äußeren Kraft senkrecht aus, das bedeutet, daß diese Achse einen Kegelmantel um die Vertikale umläuft. Dieses wird als Präzessionsbewegung eines schweren Kreisels bezeichnet. Die Winkelgeschwindigkeit der Präzession wird beschrieben durch: amg Ω = ω : Eigendrehfrequenz des Kreisels Jω 1

2 . Trägheitsmoment einer Kugel J = ρ r² dv K V in Kugelkoordinaten: r π π = ρ r sin 1 = ρ r 3 υdr dϕdυ 8 = r² ρ πr³ 3 3 mit: m = ρπr³ 3 J K = mr ² 3. Beschreibung der Apparatur 3.1 Zubehör - Kreiselapparatur - Stroboskoplampe - Kraftmesser,3 N - Stativmaterial - Stoppuhr - Schieblehre Abb.1: Aufbau des Kreisel 3. Aufbau des Versuchs Der für den Versuch benutzte Kreisel besteht aus einer Kugel, einer Achse und einem verschiebbaren Zusatzgewicht wie in der Skizze dargestellt. Mit Hilfe von Preßluft wird der Kreisel einerseits auf einem Luftpolster gelagert, andererseits auch durch tangentiales Anblasen angetrieben. Die Bestimmung der Ausmaße des Kreisels erfolgt unter Benutzung einer Schieblehre (Skalierung,mm). Zu den zu bestimmenden Ausmaßen gehören der Radius der Kugel, sowie die in der Skizze angegebene Länge l. Weiterhin muss die Masse m der Kugel bestimmt werden.

3 . Durchführung des Versuchs.1 Messung des Kugelradius r und der Kugelmasse m Im folgenden werden die Ergebnisse der Messungen des Kugelradius r und der Kugelmasse m dargestellt. Die angegebenen Werte wurden unter Benutzung der Schieblehre bzw. der Waage ermittelt. Bei der Messung des Kugelradius r wurde zunächst der Kugeldurchmesser d einfach aus praktischen Gründen bestimmt und daraus im Anschluß der Radius errechnet. Die dabei auftretenden Meßunsicherheiten r und Schätzungen lagen folgende Überlegungen zu Grunde: a) Meßunsicherheit des Radius m wurden geschätzt. Diesen Bei der Meßunsicherheit des Radius tritt prinzipiell nur ein Beitrag aus der Meßunsicherheit der Schieblehre auf. Es hat sich gezeigt, daß die Kugel tatsächlich eine echte Kugel ist. Bei Messungen an verschiedenen Stellen der Kugel erhält man immer wieder den gleichen Meßwert. Geringe Beiträge zur Meßunsicherheit, die durch ungenaues Arbeiten resultieren, können ebenso vernachlässigt werden. Unter Berücksichtigung der oben genannten Aspekte halten wir eine absolute Meßunsicherheit von d =, mm und dementsprechend r =, 3mm für gerechtfertigt. b) Meßunsicherheit der Masse Ähnlich wie bei der Meßunsicherheit des Kugelradius geht auch hier vornehmlich ein Faktor aus der Ungenauigkeit des Meßgerätes maßgeblich in die Meßunsicherheit der Masse ein. Auch hier ist die Ungenauigkeit der Waage die auf ein Gramm genau mißt entscheidend. Damit ist eine absolute Meßunsicherheit von m = 1g sinnvoll. Nach Abschluß der Fehlerbetrachtungen können nun die Meßergebnisse wie folgt angegeben werden: r =, mm ± (,3 mm /,1 %) m = 16 g ± (1 g /, %) 3

4 . Messung der Länge l Die Länge l (wie in der oben bereits erwähnten Skizze zu sehen) wurde wie der Kugelradius mit Hilfe der Schieblehre bestimmt. Dabei wurde von uns zunächst nur die Länge l r der Achse gemessen. Um auf die gesuchte Größe l zu kommen, muß man den Kugelradius zu der gemessenen Größe addieren. Diese Messung wurde fünfmal durchgeführt. Messung l - r 1 8,1 mm 83,9 mm 3 8, mm 8,1 mm 8, mm Mittelwert: l r = 8, mm Standardabweichung: s =,8 mm Absolute Meßunsicherheit ( l r) =, mm (l r) Relative Meßunsicherheit =,% l r Meßergebnis: (l r) = 8, mm ± (,8 mm /,%) Damit folgt für l: l = 19, mm ± (,11 mm /,1 % )

5 .3 Bestimmung des Drehmoments l*f bei verschiedenen Stellungen der Zusatzmasse Im weiteren werden die Ergebnisse der Messungen der jeweils zur Waagerechthaltung der Figurenachse erforderlichen Kraft F bei verschiedenen Stellungen der Zusatzmasse angegeben. Dabei sind die Stellungen wie folgt bestimmt: Stellung 1: Zusatzgewicht etwa in Mitte der Achse Stellung : Zusatzgewicht an Kugel Stellung 3: Zusatzgewicht am oberen Ende der Achse. Die Messung der Kraft F erfolgte durch Anbringen eines Kraftmessers am Ende der Stange (siehe Abb. 1). Durch die Ableseunsicherheit des Kraftmesser ergibt sich eine absolute Meßunsicherheit von F = mn. Stellung 1 Stellung Stellung 3 Kraft F 17 mn 1 mn mn abs. Meßunsicher- F = mn F = mn F = mn heit rel. Meßunsicherheit F F =,9% F F =,% F F =,% Drehmoment 1,8 Ncm 1,9 Ncm, Ncm M = l F rel. Fehler für M M M = 3,% M M =,1% M M =,3% Der relative Fehler für das Drehmoment setzt sich folgendermaßen zusammen: M = M l l F + F

6 . Messung von Stroboskopfrequenzen und der zugehörigen Präzessionszeiten bei verschiedenen Stellungen der Zusatzmasse Hier werden die Ergebnisse der Messung der Präzessionszeiten in Abhängigkeit von der Eigendrehfrequenz des Kreisels dargestellt. Dabei wurde die Eigendrehfrequenz ω indirekt durch Ablesen der Stroboskopfrequenz f ermittelt. Zwischen den Größen besteht der Zusammenhang: ω = πf. Durch Abgleichung mit einem weißen Punkt auf dem Kreisel wurde sichergestellt, daß Stroboskopfrequenz und Eigendrehfrequenz (bis auf π ) übereinstimmen. Während der Messung musste ω durch tangentiales Anblasen mit Preßluft konstant gehalten werden. Aufgrund des ständigen Korrigierens wie gerade beschrieben und einer Ableseungenauigkeit am Stroboskop schätzen wir die absolute Meßunsicherheit f = / min. Zur besseren Bestimmung der Präzessionszeit wurde jeweils die Zeit für Umläufe mit Hilfe der Stoppuhr gemessen und anschließend auf einen Umlauf umgerechnet. Durch die Skalierung der Stoppuhr und Reaktionszeit des Praktikanten, halten wir eine absolute Meßunsicherheit von, s pro Umläufe, also für einen Umlauf: T P =, 1s für gerechtfertigt. Frequenz f T P Stellung 1 T P Stellung T P Stellung /min 17,1 s, s 13, s 6 1/min 1,1 s 18,1 s 9, s 1 1/min 9,8 s 1, s 7, s 17 1/min 7,9 s 1, s 6,1 s 1 1/min 6, s 9,8 s, s 6

7 . Auswertung.1 Berechnung des Trägheitsmoments Das Trägheitsmoment der Kugel berechnet sich wie unter. beschrieben zu: J K = mr ² Nach Einsetzen der unter.1 gemessenen Größen m und r ergibt sich: J K = 19,gcm² Der relative Fehler für J J K K m = m J K berechnet sich wie folgt: r + =,% +,% =,% r Meßergebnis: J K = 19,gcm² ± (,16 gcm² /, %) Damit ergibt sich das Gesamtträgheitsmoment des Kreisels additiv aus dem der Kugel und dem der Stange zu: J = J + J 13,gcm² ± (,16 gcm² /, %) K S =. Auswertung der Messung von Stroboskopfrequenzen und der zugehörigen Präzessionszeiten bei verschiedenen Stellungen der Zusatzmasse a) Diagramm 1: Stellung 1 In Diagramm 1 wurden durch die eingetragenen Meßpunkte einer linearen Regression unterworfen. Der aus der Theorie zu erwartende lineare Verlauf der sich aus dem Meßwerten ergebenden Kurve ist in diesem Diagramm zu erkennen. 7

8 Kreisel: Präzessionszeit gegen Eigendrehfrequenz y =,9x -, Präzessionzeit Tp in sec Eigendrehfrequenz w in 1/sec b) Diagramm : Stellung Kreisel: Präzessionszeit gegen Eigendrehfrequenz y =,67x +,196 Präzessionszeit Tp in sec Eigendrehfreq1uenz w in 1/sec 8

9 In Diagramm wurden durch die eingetragenen Meßpunkte einer linearen Regression unterworfen. Der aus der Theorie zu erwartende lineare Verlauf der sich aus dem Meßwerten ergebenden Kurve ist in diesem Diagramm zu erkennen. c) Diagramm 3: Stellung 3 Kreisel: Präzessionszeit gegen Eigendrehfrequenz y =,36x -, Präzessionszeit Tp in sec Eigendrehfrequenz w in 1/sec In Diagramm 3 wurden durch die eingetragenen Meßpunkte einer linearen Regression unterworfen. Der aus der Theorie zu erwartende lineare Verlauf der sich aus dem Meßwerten ergebenden Kurve ist in diesem Diagramm zu erkennen. 9

10 .3 Graphische Bestimmung des Trägheitsmoments des Kreisels Aus den unter. ermittelten Steigungen der Regressionsgeraden ist es möglich, das Trägheitsmoment des Kreisels graphisch zu bestimmen. Hierzu werden zunächst die Kehrwerte der jeweiligen Steigungen ermittelt, gegen die dann das wie in.3 bestimmte Drehmoment M=l*F in einem Diagramm aufgetragen wird. Kreisel: Drehmoment l*f gegen Quotient ,, y =,113x -,16 y =,186x -,76 l*f in Ncm 1, 1 y =,93x -,383 1, 1,, , -, Quotient in 1/s² Die Steigung der durch die eingetragenen Meßpunkte gegebenen Regressionsgeraden entspricht dem Produkt πj. Somit kann man auf diese Art und Weise das Trägheitsmoment graphisch ermitteln. Die außerdem in das Diagramm eingezeichneten, farbig gekennzeichneten Geraden dienen der Ermittlung des Meßfehlers von J. Aus diesen Überlegungen ergibt sich schließlich folgendes Ergebnis für J: J = 161,gcm² ± (13, gcm² / 8, %) Beim Vergleich mit dem zuvor aus den Abmessungen und der Masse der Kugel bestimmten Trägheitsmoment in Höhe von J = J + J 13,gcm² ± (,16 gcm² / K S =, %), fällt eine offensichtliche und doch recht große - Differenz auf. Mögliche Ursachen siehe Diskussion. 1

11 6. Diskussion Nach Abschluß aller Berechnungen zeigt sich, daß die jeweils bestimmen Größen und Werte zum Teil doch nur mit einer erheblichen Meßunsicherheit bestimmt sind. Der Grund hierfür ist vor allem in der Ungenauigkeit der durchgeführten Messungen zu suchen. Speziell die Zeitmessung mit Hilfe der Stoppuhren ist in diesem Zusammenhang zu nennen. Das bedeutet, daß die erwarteten Zusammenhänge zumindest im Großen und ganzen qualitativ bestätigt wurden. Eine höhere Genauigkeit in der quantitativen Betrachtung wäre in jedem Falle wünschenswert, allerdings unter den gegebenen Voraussetzungen nur schwierig zu erreichen. Besonders die Differenz zwischen den beiden Werten für das Trägheitsmoment fällt ins Auge. Obwohl diese Werte theoretisch übereinstimmen sollen zumindest innerhalb der Vertrauensbereiche läßt sich dieser Zusammenhang in unseren Werten nicht erkennen. Dies ist nicht nur bedauerlich, sondern für uns auch extrem enttäuschend. Im folgenden sollen dafür mögliche Gründe diskutiert werden: 1. Im Nachhinein stellt es sich als nicht völlig geschickt heraus, die fünf verschiedenen Frequenzen bei der Bestimmung der Drehfrequenz f so niedrig zu wählen, wie wir es getan haben. Besonders bei der Meßreihe in der Stellung 3 des Zusatzgewichtes also am oberen Ende der Stange stellt sich bei Frequenzen von 17 und 1 1/min neben der Präzessionsbewegung auch eine Nutationsbewegung, d.h. eine Rotation der Figurenachse um die Drehimpulsachse ein. Dieses verzerrt die Meßergebnisse. Als Konsequenz hätten die aus dieser kombinierten Bewegung resultierenden Meßwerte streng genommen gar nicht erst in die Meßreihe aufgenommen werden dürfen.. Eine andere mögliche Erklärung für die oben erwähnte Differenz könnte auch in den von uns getätigten Einschätzungen der Meßunsicherheiten speziell für die Frequenz und Präzessionszeit vermutet werden. Größer eingeschätzte Fehler hätten die jeweiligen Vertrauensbereiche möglicherweise soweit vergrößert, daß beide Werte für J innerhalb dieser gelegen hätten. Das hätte aber wiederum der Exaktheit der Messungen geschadet. 3. Allgemein wären zu einer Verbesserung der quantitativen Aussagen der Messungen sicherlich zudem eine größere Zahl an Meßreihen von Vorteil. 11