Programmiersprachen und Übersetzer

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1 Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester April 2010

2 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch bei natürlichen Sprachen durch eine Grammatik für die Programmiersprache!

3 Definition Ein Alphabet X ist eine endliche, nichtleere Menge von Zeichen oder Symbolen. Ein Wort w über dem Alphabet X ist eine endliche Folge von Symbolen aus X, w = a 1...a n, a i X, 1 i n, n 0. w (die Länge von w) gibt die Anzahl der Zeichen des Wortes w an. Für das leere Wort ε gilt ε = 0. Die Menge aller Wörter über X wird mit X bezeichnet. Jede Teilmenge L von X ist eine formale Sprache

4 Kontextfreie Grammatiken Definition Eine kontextfreie Grammatik G ist ein Tupel G =(N, T, P, S) mit - N ist ein Alphabet (nichtterminale Symbole), - T ist ein Alphabet mit T N = (terminale Symbole), - P ist eine endliche Menge von Produktionen (Regeln) der Form A α mit A N und α (N T ), - S N ist das Startsymbol. Definition Eine Produktion A α aus P wird im allgemeinen als A-Produktion bezeichnet.

5 Problem Wie erzeugt man mit einer kontextfreien Grammatik Wörter einer formalen Sprache? Definition Seien γ 1 und γ 2 Worte aus terminalen und nichtterminalen Symbolen, also γ 1, γ 2 (N T ). γ 2 lässt sich aus γ 1 bzgl. G in einem Schritt herleiten (Schreibweise γ 1 = γ 2 ), falls gilt: 1. γ 1 = β 1 Aβ 2 mit β 1, β 2 (N T ), A N (γ 1 enthält ein nichtterminales Symbol A); 2. A α ist eine Produktion aus P (es gibt eine A-Produktion in P); 3. γ 2 = β 1 αβ 2 (γ 2 entsteht durch Ersetzung von A durch α).

6 Seien γ 1,...,γ m (N T ), m 1 und gelte γ i = γ i+1, 1 i m 1. Dann lässt sich γ m aus γ 1 (in m 1 Schritten) herleiten. Kann man aus einem Wort β (N T ) ein Wort γ in Null oder mehr Schritten herleiten, so schreibt man β = γ. Definition Die von G erzeugte (kontextfreie) Sprache L(G) ist die Menge aller Wörter über T, die man vom Startsymbol S aus herleiten kann, d. h. L(G) ={w w T, S = w}.

7 Geordnete Anwendung von Produktionen Definition Wird bei einer Ableitungsfolge S = γ 1 = γ 2 =...= γ k = w T das jeweils linkeste (rechteste) nichtterminale Zeichen in den γ i ersetzt, so spricht man von einer Linksableitung (Rechtsableitung) des Wortes w. Satz Gilt S = wmitw T,soläßt sich w durch eine Linksableitung (Rechtsableitung) herleiten.

8 Bemerkungen 1. Für eine kontextfreie Sprache L gibt es viele verschiedene kontextfreie Grammatiken G mit L(G) =L. 2. Es gibt formale Sprachen, für die es keine kontextfreie Grammatik gibt. 3. Es ist nicht entscheidbar, ob zwei kontextfreie Grammatiken dieselbe Sprache erzeugen.

9 Ableitungsbaum Ein Ableitungsbaum ist eine graphische Darstellung einer Ableitung, wobei die Information über die Reihenfolge der Anwendungen von Produktionen entfällt. Jeder interne Knoten eines Ableitungsbaums ist mit einem nichtterminalen Symbol A markiert, und die direkten Nachfolger dieses Knotens sind von links nach rechts mit den Symbolen der rechten Seite einer A-Produktion versehen.

10 Die Blätter eines Ableitungsbaums sind mit terminalen oder nichtterminalen Symbolen oder dem Symbol ε für das leere Wort markiert und bilden von links nach rechts gelesen ein Wort. Dieses Wort läßt sich mit Hilfe der Grammatik aus dem Symbol an der Wurzel des Ableitungsbaums herleiten. Sind die Blätter alle mit terminalen Symbolen oder dem Symbol ε markiert und ist die Wurzel mit dem Startsymbol der Grammatik markiert, dann ist das so abgelesene Wort ein Wort der von der Grammatik erzeugten Sprache. Existieren für ein Wort w einer kontextfreien Sprache L(G) mehrere Ableitungsbäume, so nennt man die Grammatik G mehrdeutig.

11 Reguläre Grammatiken Definition Eine kontextfreie Grammatik G =(N, T, P, S) heißtregulär, wenn alle Produktionen in P die Form A αb oder A α mit A, B N, α T haben. Definition Die von einer regulären Grammatik G erzeugte Sprache L(G) heißt reguläre Sprache.

12 Bemerkungen Man kann reguläre Grammatiken auch mit Produktionen definieren, die die Form A Bα oder A α mit A, B N, α T haben. Beide Formen sind äquivalent, dürfen aber nicht gemeinsam auftreten. Es gibt kontextfreie Sprachen, für die es keine reguläre Grammatik gibt. Alle Ableitungen bzgl. einer regulären Grammatik sind Linksableitungen bzw. Rechtsableitungen. Die zugehörigen Ableitungsbäume sind besonders einfach. Jede endliche Sprache ist regulär!

13 Andere Notationen für Grammatiken 1. Sind A α 1, A α 2,...,A α n alle A-Produktionen einer Grammatik, so schreibt man auch A α 1 α 2... α n. 2. In der BNF (Backus-Naur-Form) der Notation einer Grammatik haben nichtterminale Symbole die Form <name>, während terminale Symbole entweder einfache Zeichen wie etwa +, -, ( usw. sind oder aber Tokenklassen bezeichnen und die Form tokenname haben. Die Produktionen werden wie in 1) notiert.

14 3. Die erweiterte BNF enthält als weitere Möglichkeit eine Schreibweise, um Iterationen von Zeichenketten in einer Produktion zu definieren. 3.1 Eine Produktion der Form A α{β}γ soll die Situation beschreiben, daß man aus A Zeichenketten herleiten kann, die aus einem α, nullodermehrβ s und einem γ bestehen, d. h. es gilt A = αβ i γ, i Eine Produktion der Form A α[β]γ beschreibt den Fall, daß β genau null- oder einmal auftritt, d.h. es gilt A αγ oder A αβγ.

15 Operationen auf Mengen von Wörtern Definition Wenn M, M 1 und M 2 Mengen von Wörtern über einem Alphabet T sind, dann ist M 1 M 2 := {w w M 1 oder w M 2 }, M 1 M 2 := {w w = uv mit u M 1 und v M 2 }, M 0 := {ε}, M 1 := M, M i := MM i 1 für i > 0, M := M i, M + := i=0 M i,d.h.m + = M \{ε} falls ε nicht in M ist. i=1

16 Reguläre Ausdrücke Ein regulärer Ausdruck α über einem Alphabet T bezeichnet immer eine Menge von Wörtern L(α) T,alsoeineformale Sprache über T. Man definiert zunächst die einfachsten regulären Ausdrücke mit den durch sie bezeichneten Wortmengen Dann gibt man Operationen an, wie man aus einfachen Ausdrücken kompliziertere zusammensetzen kann und wie die bezeichneten Wortmengen zu bilden sind.

17 Definition Gegeben sei ein Alphabet T. Dann gilt: 1. Das leere Wort ε ist ein regulärer Ausdruck, der die Menge L(ε) ={ε} bezeichnet. 2. Für jedes a T ist a ein regulärer Ausdruck. a bezeichnet die Menge L(a) ={a}. 3. Sind α 1 und α 2 reguläre Ausdrücke mit L(α 1 )=M 1 und L(α 2 )=M 2,soistα 1 α 2 ein regulärer Ausdruck, der L(α 1 α 2 )=M 1 M 2 bezeichnet. 4. Sind α 1 und α 2 reguläre Ausdrücke mit L(α 1 )=M 1 und L(α 2 )=M 2,soistα 1 α 2 ein regulärer Ausdruck, der L(α 1 α 2 )=M 1 M 2 bezeichnet. 5. Ist α ein regulärer Ausdruck mit L(α) =M, dannistα bzw. α + ein regulärer Ausdruck, der die Menge L(α )=M bzw. L(α + )=M + bezeichnet.

18 Bemerkung 1. Reguläre Ausdrücke können, wie arithmetische Ausdrücke, Klammern zur Festlegung der Reihenfolge der anzuwendenden Operationen enthalten. Um die Zahl der Klammern gering zu halten, vereinbart man eine Prioritätsordnung, und zwar haben und + die höchste Priorität, dann kommt das Produkt und schließlich die Vereinigung. Alle Operationen sind linksassoziativ. 2. Häufig werden zur einfacheren Handhabung regulären Ausdrücken Namen zugeordnet, die wiederum in anderen Ausdrücken benutzt werden können.

19 Satz Die durch reguläre Ausdrücke bezeichneten Mengen sind reguläre Sprachen, und jede reguläre Sprache läßt sich durch einen regulären Ausdruck bezeichnen.

20 Abkürzende Schreibweisen in regulären Ausdrücken Definition 1. Für einen Teilausdruck r ε, der null- oder einmaliges Auftreten von r symbolisiert, wird auch kurz r? geschrieben. 2. Für einen Teilausdruck c 1 c 2... c k, wobei die c i (1 i k) Zeichen des zugrundeliegenden Alphabets sind, wird auch [ c 1 c 2...c k ] geschrieben. Sind die Zeichen c i aufeinanderfolgende Zeichen im Alphabet, so schreibt man auch [ c 1 c k ].

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