Mildly context-sensitive grammar formalisms: TAG and related frameworks

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1 Mildly context-sensitive grmmr formlisms: TAG nd relted frmeworks Exercise 1 (Due until ) L 2 := { n n n 0} olutions to the exercises Lur Kllmeyer W 2005/2006, Mo Give CFG for L 2 with nested dependencies, i.e., such tht for ech word 1... n 1... n (the suscripts mrk the occurrences of the s nd s respectively) i nd n+1 i re dded y the sme production for ll 1 i n. 2. how tht for L 2 there is no CFG displying cross-seril dependencies, i.e., no CFG such tht for ech word 1... n 1... n, i nd i re dded y the sme production for ll 1 i n. (Hint: Assume tht such CFG exists. Then show tht in this cse CFG for the copy lnguge {ww w {, } } exists. Contrdiciton since this lnguge is not context-free.) 1., 2. Assume tht such CFG exists. Its productions re then ll of the form X αβγ with X N, α, β, γ N such tht if such production is pplied when generting string 1... n 1... n, then the nd of the production necessrily end up t positions i nd n + i for some i, 1 i n. Then replcing ech of these productions X αβγ with X αβγ nd X αβγ leds to CFG generting the copy lnguge. Contrdiction. Exercise 2 (Due until ) imilr to hieer s rgument, one cn pply first homomorphim f, then intersect with some regulr lnguge, nd then pply nother homomorphism g in order to reduce the lnguge of wiss Germn to the copy lnguge {ww w {, } }. Find the corresponding homomorphisms nd the regulr lnguge. A first homomorphism cn e s the f from hieer. In this first homomorphism we need to keep trce of the prts tht go to w, x, y nd z in order to mke sure tht we re only considering constructions of the form s in (8). Then intersect with the regulr lnguge w{, } x{c, d} y. Leds to {wv 1 xv 2 y v 1 {, }, v 2 {c, d} such tht v 1 = v 2 nd for ll i, 1 i v 1 : if the ith symol in v 1 is n ( ), the ith symol in v 2 is c ( d)}. Finlly pply second homomorphism g with g(w) := g(x) := g(y) :=, g() := g(c) :=, g() := g(d) :=. Leds to the copy lnguge. Exercise 3 (Due until ) Consider the following CFG: AD John AD lwys lughs Find TG tht strongly lexiclizes this grmmr. Why is this lexicliztion not stisfying?

2 There re severl possiilities. The simplest one: AD John lwys lughs Unstisfying since the node comes with the lexicl item John even though it is the mximl projection of the ver. A lexiclized TG for the given CFG where the node comes with the ver is not possile. Exercise 4 (Due until ) L 3 := { n n c n n 0} 1. Give TAG (with djunction constrints) tht genertes L how tht TAG without djunction constrints cnnot generte L 3. (Hint: Any elementry tree must contin equl numers of s, s nd c s. And ech uxiliry tree cn e djoined t its own root.) 1. TAG for L 3 : NA NA c 2. Assume tht TAG G for L 3 without djunction constrints exists. Assume without loss of generlity tht G contins no sustitution nodes. G hs t lest one uxiliry tree β with leves leled with terminls. β must contin equl numers of s, s nd c s. (Otherwise one could derive word with different numers of s, s nd c s.) One cn djoin β t its root which leds to derived uxiliry β. If the yield of β is i i c i (i 1), there re the following possiilities for the foot node: () the foot node is left of ll s or right of ll c s using β word with sustring i i c i i i c i cn e derived. Contrdiction. () the foot node is right of the kth for some k, 1 k i using β word with sustring i k i c i i k i c i cn e derived. Contrdiction. (c) the foot node is right of the kth for some k, 1 k i using β word with sustrings i k i k nd i k c i i k c i cn e derived. Contrdiction. (d) the foot node is left of the kth c for some k, 1 k i using β word with sustring i i c k 1 i i c k 1 cn e derived. Contrdiction. Exercise 5 (Due until ) Give n FTAG for the copy lnguge {ww w {, } }. n = no ux = n = no ux = n = yes ux = β 1 n = yes ux = β 2 2

3 Exercise 6 (Due until ) how tht { n n c n m m c m n, m 0} is TAL. Hint: The lnguge L 3 = { n n c n n 0} is TAL. L 3 is TAL with Prop. 11 {w 1 w 2 w 1, w 2 L 3 } = { n n c n m m c m n, m 0} is TAL. Exercise 7 (Due until ) how tht { i j i j i, j 0} is TAL. Hint: The copy lnguge is TAL. The copy lnguge is TAL nd is regulr lnguge with Prop. 15 {ww w {, } } = { i j i j i, j 0} is TAL. Exercise 8 (Due until ) lemm. how tht L := { 2n n 0} is no TAL using the (wek) pumping Assume tht L is TAL. Then the wek pumping lemm holds for some constnt c For ech word w L with w c there is w L with w w + c. Contrdiction since for ll w L with w > c this is not the cse (for ech w L the w L next to it wrt. word length hs twice its length). Exercise 9 (Due until ) L 4 := { n n c n d n n 0}, L 5 := { n n c n d n e n n 0} 1. Give TAG generting L how tht L 5 is not TAL using the wek pumping lemm. Hint: Consider the word w = c+1 c+1 c c+1 d c+1 e c+1 with c eing the constnt from the pumping lemm. 1. TAG for L 4 : α: β: NA d NA c 2. Assume tht L 5 is TAL nd stisfies the wek pumping lemm with some constnt c. Tke w = c+1 c+1 c c+1 d c+1 e c+1. According to the pumping lemm one cn find w 1,... w 4, t lest one of them not empty, such tht they cn e inserted repetedly t 4 positions into w yielding new word in L 5. At lest one of the w 1,... w 4 must contin two different terminls symols since they ltogether must contin equl numers of s, s, c s, d s nd e s. Then, when doing second insertion of the w 1,... w 4, the s, s, c s, d s nd e s get mixed nd the resulting word is not in L 5. Contrdiction. Exercise 10 (Due until ) Give n indexed grmmr for L 4 = { n n c n d n n 0}. 3

4 ee ove for the TAG for L 4. Indexed grmmr for L 4 : trt symol is α,. Productions: 1. Trversl of α without djunction: α, 2. Adjunction t root of α: α, β, 1 α, 3. Trversl of β without djunctions: β, 1... β, 2...d β, 2... β, 3...c 4. Adjunction t β: β, 2... β, 1 β, Going ck from the foot node of β to the tree where β ws djoined: β, 3 α, β, 3 β, 2... β, 3...c Exercise 11 (Due until ) Propose elementry trees for the following sentences: (1) John sw mn with telescope (2) John uys the house tht Bill lives in (3) Mry took decision (1) John sw mn with telescope John sw X X PP P with X=N or X= Concerning the determiners, there re three possiilities: N Det N or Det N or mn mn t : :N mn Det N 4

5 (2) John uys the house tht Bill lives in elementry trees for John, uys nd the house: see (1). t : 1 : lives t : PP : 1 tht Other possiility: Add reltive pronoun first: P in PP t : : tht t : 1 : lives (There re proly other possiilities s well.) (3) Mry took decision t : PP : 1 P in PP took t : :N decision Exercise 12 (Due until ) Consider sententil sujects s in (4) Tht John wins perplexes Bill Do you prefer dding them y sustitution or dding the mtrix ver to the sententil suject y djunction (similr to sententil complements)? (Note tht extrction out of sententil sujects is not llowed.) Give the elementry tree for perplexes tht you would choose. ince extrction out of sententil sujects is not llowed, it mkes sense to dd them y sustitution. Otherwise one could djoin them to sentence with wh-extrcted elements. (Of course such n djunction could lso e prevented within the feture structures.) perplexes Exercise 13 (Due until ) Give the derivtion trees for 5

6 (5) John oviously is likely to win (6) Who do you think Bill sys will win the rce? to win 1 2 John is likely oviously will win who sys the rce 1 Bill do think 221 you Exercise 14 (Due until ) The simplest ver tree fmily in XTAG is Tnx0, the tree fmily for intrnsitive vers such s lugh. Find smple sentences contining uses of forms of lugh in different constructions tht should e included in this tree fmily. (7). John lughs. Who lughs ll the time? c. Lugh! d. John s lughing is irritting. e. Do you pprove of John lughing? f. the mn who lughs ll the time g. the mn tht lughs ll the time h. the plce where everyody ws lughing ll the time i. the dy he lughs out this j. the lughing mn k. he promised me not to lugh l. he prevented me from lughing Exercise 15 (Due until ) 1. how tht the copy lnguge {ww w T } for some lphet T is semiliner using the Prikh- Theorem. 2. how tht { 2n n 0} is not semiliner. Hint: if the lnguge ws semiliner it would stisfy the constnt growth property. how tht this is not the cse. 1. The copy lnguge L := {ww w T } is letter equivlent to L := {wr(w) w T nd r(w) is w in reverse order} which is CFL: it is generted y the CFG with productions nd xx for ll x T. Consequently (with Prikh s theorem) L nd lso L re semiliner. 6

7 2. Assume tht { 2n n 0} stisfies the constnt growth property with c 0 nd C. Then tke w = 2m with w = 2 m > mx({c 0 } C). Then, ccording to constnt growth, for w = 2m+1 there must e w = 2k with w = w + c for some c C. I.e., 2 m+1 = 2 k + c. Consequently (since k m) c 2 m. Contrdiction. Exercise 16 (Due until ) Give the corresponding LCFR for the TAG for the copy lnguge: α β NA β NA NA NA Productions with denottions nd yields: No djunctions: α f α (), f α () := α, φ(f α ()) :=. β f β (), f β () := β, φ(f β ()) :=,. β f β (), f β () := β, φ(f β ()) :=,. Adjunctions to α: α f α: (β ), α f α: (β ), f α: (t) := α, t, φ(f α: (t)) := w 1 w 2 where φ(t) = w 1, w 2. Adjunctions to β : β f β:1(β ), β f β:1(β ), f β:1(t) := β 1, t, φ(f β:1(t)) := w 1, w 2 where φ(t) = w 1, w 2. Adjunctions to β : β f β :1(β ), β f β :1(β ), f β :1(t) := β 1, t, φ(f β :1(t)) := w 1, w 2 where φ(t) = w 1, w 2. Exercise 17 (Due until ) Consider the following MCTAG: { A B A A NA, } B B NA Which string lnguge does this MCTAG generte if the derivtions re ) tree-locl? ) set-locl? ) {, } ) { n n n 0} 7

8 Exercise 18 (Due until ) Give n MCTAG for the doule copy lnguge {www w {, } }. X Y Z { X Y Z } X NA Y NA Z NA { X Y Z } X NA Y NA Z NA Exercise 19 (Due until ) Wht re the sentences generted y the non-locl MCTAG with dominnce links from Fig. 17, p. 42? The string lnguge L is s follows: the three trees re intil trees, i.e., they re in the tree lnguge: niemnd L den Kühlschrnk L ihm L without using zu versprechen, the three reprieren trees must necessrily e ttched to the three node in the ereit tree: den Kühlschrnk niemnd zu reprieren ereit ist L one djunction of versprechen to ereit, then in the resulting tree three s with dominnce reltions mong them must e found. Leds to den Kühlschrnk ihm zu reprieren niemnd zu versprechen ereit ist L den Kühlschrnk ihm niemnd zu reprieren zu versprechen ereit ist L ihm den Kühlschrnk niemnd zu reprieren zu versprechen ereit ist L ihm niemnd den Kühlschrnk zu reprieren zu versprechen ereit ist L second djunction of versprechen efore djoining reprieren leds to den Kühlschrnk ihm zu reprieren ihm zu versprechen niemnd zu versprechen ereit ist L den Kühlschrnk ihm ihm zu reprieren zu versprechen niemnd zu versprechen ereit ist L ihm den Kühlschrnk ihm zu reprieren zu versprechen niemnd zu versprechen ereit ist L ihm ihm den Kühlschrnk zu reprieren zu versprechen niemnd zu versprechen ereit ist L nd lso den Kühlschrnk ihm zu reprieren ihm niemnd zu versprechen zu versprechen ereit ist L den Kühlschrnk ihm ihm zu reprieren niemnd zu versprechen zu versprechen ereit ist L den Kühlschrnk ihm ihm niemnd zu reprieren zu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm den Kühlschrnk ihm zu reprieren niemnd zu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm den Kühlschrnk ihm niemnd zu reprieren zu versprechen zu versprechen ereit ist L 8

9 ihm ihm den Kühlschrnk niemnd zu reprierenzu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm ihm niemnd den Kühlschrnk zu reprieren zu versprechen zu versprechen ereit ist L nd den Kühlschrnk ihm zu reprieren niemnd ihm zu versprechen zu versprechen ereit ist L den Kühlschrnk ihm niemnd zu reprieren ihm zu versprechen zu versprechen ereit ist L den Kühlschrnk ihm niemnd ihm zu reprieren zu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm den Kühlschrnk niemnd zu reprieren ihm zu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm den Kühlschrnk niemnd ihm zu reprieren zu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm niemnd den Kühlschrnk ihm zu reprierenzu versprechen zu versprechen ereit ist L ihm niemnd ihm den Kühlschrnk zu reprieren zu versprechen zu versprechen ereit ist L In generl, the strings re such tht ll rguments (s nd s) re left of the vers they depend on, niemnd is left of the rightmost versprechen the rightmost versprechen immeditely precedes ereit immeditely left of n there cnnot e ver nd its rgument together t lest three s re left of the leftmost versprechen Exercise 20 (Due until ) Wht re the sentences generted y the MCTAG with dominnce links from Fig. 17 if this MCTAG is considered eing -TAG nd if, dditionlly, ll foot nodes crry NA constrints? The lnguge contins the following strings: niemnd L den Kühlschrnk L ihm L niemnd den Kühlschrnkzu reprieren ereit ist L den Kühlschrnk niemnd zu reprieren ereit ist L den Kühlschrnk zu reprieren niemnd ereit ist L itertively using versprechen, ll scrmling order re possile s well: only condition: ll rguments must precede their vers ecuse of the dominnce links 9

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