Multivariate Zeitreihenanalyse mit EViews 4.1

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1 Multivariate Zeitreihenanalyse mit EViews 4.1 Unterlagen für LVen des Instituts für Angewandte Statistic (IFAS) Johannes Kepler Universität Linz Stand: 30. Mai 2005, Redaktion: Frühwirth-Schnatter 1 Deskriptive Beschreibung 1.1 Transformation von Zeitreihen Mit Procs/Generate by equation können Sie eine Zeitreihe transformieren, indem Sie bei Enter equation die Transformation der Zeitreihe eintippen. Bei instationären Zeitreihen erhalten Sie mit rseries=dlog(series) die Zeitreihe der logarithmischen Zuwächse. series ist dabei der Name der ursprünglichen Zeitreihe. Die Standardscores der Reihe können Sie mit folgendem Befehl ermitteln: seriessc=(series-@mean(series))/@var(series) ^ Zusammenfassen mehrerer Zeitreihen Mehrere Zeitreihen können in EVIEWS zu einer Gruppe zusammengefasst werden, indem sie unter gleichzeitigem Drücken der Str-Taste einmal mit der Maus angeklickt werden. Doppeltes Anklicken des markierten Feldes führt zur Auswahl verschiedener Optionen. Mit Open group erhalten Sie ein Group-Window. Über View/Descriptive Stats/Individual samples erhalten Sie eine Tabelle mit Mittelwert, Standardabweichung (Std.Dev.) und höheren Momenten, sowie einen Test auf Normalverteilung (letzter sollte allerdings nur in Kombination mit den Histogramm interpretiert werden). Mit Open Multiple Series erhalten Sie für jede Zeitreihe ein eigenes Fenster. Über View/Histogramm, View/Correlogramm und View/Unit Roots können Sie sich ein Bild der individuellen Zeitreihen verschaffen. 1.3 Empirische Korrelationen Die simultane Korrelation erhält man mit View/Correlations/Pairwise Samples. Innerhalb einer Gruppe erhält man die Kreuzkorrelation nur zwischen den ersten zwei Zeitreihen. Mit View/Crosscorrelation erhält man sowohl vorwärts(leads) als auch rückwärts (lag) gerichtete Kreuzkorrelation. Lead und lag für i=0 ist die simultane Korrelation. Hat man mehr als zwei Zeitreihen, so müsste man eine oder mehrere neue Gruppen eröffnen, die nur jeweils nur Zeitreihen enthalten. Eine übersichtliche Darstellung der Kreuzkorrelation mehrerer Zeitreihen erhält man, indem man ein VAR-Modell mit Ordnung 0 schätzt (siehe unten) und dann den button View/Residual Tests/Correlogram mit der Option Graph wählt. 1

2 2 Schätzen eines VAR(p)-Modells 2.1 Das VAR-Window Ein VAR-Modell definiert man am einfachsten, indem alle Zeitreihen, wie im vorigen Abschnitt beschrieben, zu einer Gruppe zusammengefasst werden. Doppeltes Anklicken des markierten Feldes und Wahl der Option Open VAR eröffnet ein VAR-Window. Bei VAR specification bleiben Sie bei der defaultmäßigen Option unrestricted VAR. In der Box Endogenous erscheinen die Zeitreihen, die Sie in der Gruppe ausgewählt haben. Man kann hier bei Bedarf noch weitere Zeitreihen hinzufügen. Als einzige exogene Variable tritt die Konstante auf, die weggeschaltet werden kann (entfernen Sie das OK bei include intercept). Ausserdem ist es möglich, andere Zeitreihen als exogene Variablen aufzunehmen. Diese erscheinen nur als Prädiktoren, nicht aber als endogene Variablen. Schließlich müssen Sie die Ordnung des Modells in der Box Lag intervals wählen, nämlich 1 p für ein VAR(p)-Modell, wenn p>0. Ein VAR(0), d.h. ein Modell, das nur die Konstante enthält, schätzt man, indem man 0 0 eingibt. Mit OK wird eine Schätzung des Modells durchgeführt. Mit dem button Name können Sie das VAR-Window abspeichern. Stellt sich nach Interpretation der Ergebnisse heraus, dass Sie die Modellordnung verändern wollen, so führt der button Estimate wieder zu jener Box zurück, wo das VAR-Modell definiert wird. 2.2 Ablesen der Schätzergebnisse Der Standardoutput nach der Schätzung, der jederzeit mit dem button Stats angezeigt wird, gliedert die Schätzergebnisse folgendermaßen auf: 1. Die Schätzergebnisse der individuellen OLS-Regressionen in Tabellenform. Jede Spalte dieser Tabelle entspricht einer Regressionsgleichung (Zeile) im VAR-Modell (im Tabellenkopf scheint die entsprechende Zeitreihe auf). Jede Zeile im EVIEWS- Output entspricht einer Prädiktorvariablen. Der Name der Prädiktorvariablen ist links ausgewiesen, in Klammer ist der lag angegeben. Die Konstante erscheint am Ende der Tabelle. Der Tabelleneintrag ist die OLS-Schätzung des entsprechenden Parameters, sowie darunter in Klammer die Standardabweichung und in der 3. Zeile in Klammer der t-wert. Beim Ablesen der Elemente der Matrizen Φ 1,...,Φ p ist folgendes zu beachten. Die Koeffizienten in der j-ten Zeile dieser Matrizen werden aus der j-ten Regressionsgleichung bestimmt, diese Gleichung entspricht der j-ten Spalte im EVIEWS-Output. Die Koeffizienten der Matrix Φ k entsprechen vergangenen Werten zum lag k. Diej-te Zeile der Matrix Φ k wird daher im EVIEWS-Output aus der j-ten Spalte abgelesen, und enthält alle jene Koeffizienten in dieser Spalte, die zum lag k gehören, dh. die Bezeichnung (-k) tragen. Mit View/Representations wird das geschätzte Modell in Form von Gleichungen angeschrieben. 2. Es folgen weitere Ergebnisse der individuellen OLS-Regressionen, wie z.b. Bestimmtheitsmaß (R-squared), Fehlerquadratsumme SSR (Sum sq resids), die Standardabweichung Σ jj des Fehlerterms der j.ten Regression (S.E. equation), AIC und Schwarz Criterium(SC). 3. Mit View/Residuals/Covariance Matrix erhält man die aus den OLS-Residuen 2

3 geschätzte Kovarianzmatrix Σ des Fehlerprozesses, die mit View/ Residuals/ Correlation Matrix in (simultane) Korrelationen umgerechnet wird. 2.3 Beurteilen der Stationarität Zur Beurteilung der Staionarität werden die Eigenwerte der Matrix F in der VAR(1)- Darstellung des VAR(p)-Modells herangezogen. Diese Eigenwerte, die auch komplex sein können, müssen alle betragsmäßig kleiner als 1 sein. Mit der Option View/Lag structure/ar Root Table und View/Lag structure/ar Root Graph können die Eigenwerte tabellarisch bzw. graphisch dargestellt werden. Die Zahl der Eigenwerte beträgt mp für ein VAR(p)-Modell mit m Zeitreihen, mehrfache Eigenwerte sind möglich. 2.4 Residuenanalyse Mit dem Button Resids erhält man ein Bild der Residuen der einzelnen individuellen Regressionen. Bei View/ Residuals Test stehen verschiedene Test zur Überprüfung der Residuen zur Verfügung. Die Option View/ Residuals Tests/Correlograms erzeugt empirische Autokorrelogramme und Kreuzkorrelogramme, die je nach Wahl, graphisch oder tabellarisch dargestellt werden können. Mit den Optionen View/Residuals Tests/Pormanteau Autocorrelation Tests und View/Residuals Tests/Normality Tests können die Residuen auf Unkorreliertheit und Normalität gestestet werden. 3 Modellvergleich, Wahl der Modellordung Der Output der VAR-Schätzung enthält eine Bewertung des gesamten Modells am Ende der Tabelle, insbesondere ein aggregiertes AIC und Schwarz Criterium. Diese beiden Kriterien entsprechen minimierten Fehlerquadratsummen mit Straftermen, die von der Zahl der Parameter abhängen. Es wird jenes Modell gewählt, das das kleinste Kriterium besitzt. Besonders bequem ist die Option View/Lag structure/lag length Criteria. Hier werden, ausgehend von einem VAR-Modell mit beliebiger Ordnung, alle Modellordnungen von 1 bis zu jenem lag ermittelt, der hier eingegeben wird, mit verschiedenen Methoden verglichen (auch AIC und SC). 4 Granger Causalitätstest Mit der Option View/ Lag structure/ Pairwise Granger Causality Tests,kanngestestet werden, ob eine bestimmte Zeitreihe eine andere im Sinne von Granger beeinflusst. Dieser Test wird im VAR-Modell zeilenweise für jede Zeitreihe durchgeführt, und zwar paarweise mit allen anderen Zeitreihen. Es erscheint für jede Zeitreihe eine Tabelle, wo für jede andere Zeitreihe im Modell die Nullhypothese,,Keine Beinflussung durch die angegebene Zeitreihe getestet wird, mit einer Prüfgröße, die asymptotisch χ p verteilt ist, und zugehörigen p-werten. 3

4 5 Vorhersage mit VAR(p)-Modellen 5.1 Vorhersage von stationären Zeitreihen Zur Vorhersage muss ausgehend von einem VAR-Window mit dem Button Procs/Make Model ein Modell definiert werden. EVIEWS eröffnet automatisch ein Model-Window, mit dem Vorhersagen erstellt und ausgewertet werden. Eine Vorhersage initiert man mit dem button Solve. Man kann zwischen deterministischer Vorhersage (nur Punktvorhersage) und stochastischer Vorhersage (Simulation künftiger Werte) wählen. Wählt man eine stochastische Vorhersage, so kann in der gegenüberliegenden Box angegeben werden, ob Standardfehler der Vorhersage (Std Dev) und/oder Vorhersageintervalle (Bounds) ermittelt werden sollen. Wichtig ist die Eingabe der Vorhersagezeitraumes links unten (Solution Sample), d.h. Beginn und Ende der Vorhersage, z.b. bei monatlichen Beobachtungen bis Dezember 2003, geben sie den Bereich 2004:1 bis 2005:12 ein, wenn Sie eine Vorhersage bis Dezember 2005 erstellen wollen. Eine Fehlermeldung deutet darauf hin, dass Sie im workfile den Datenrahmen erweiteren müssen. Das geschieht direkt beim Workfile-Window, indem Sie die Option Proc Change Workfile Range wählen, und das Ende des Datenrahmen dem Vorhersagehorizont anpassen. Mit OK wird die Vorhersage berechnet und in neu generierten Reihen im Workfile abgespeichert. Defaultmäßig wird an die Namen der beobachteten Zeitreihen der Buchstabe 0 angehängt, wenn Sie eine deterministische Vorhersage erstellen. Bei stochastischen Vorhersagen wird der Buchstabe 0m für den Mittelwert, 0s für die Standardabweichung, und 0l und 0m für die untere bzw. die obere Grenze einer Intervallvorhersage angehängt. 5.2 Auswerten der Vorhersage 1. Graphische Darstellung: Mit der Option Proc/Make Graph wird die Vorhersage graphisch dargestellt. In der Box solution series kann im pull-down Menü festgelegt werden, welche Größen von Interesse sind, z.b. Mittelwert plus/minus 2 Standardabweichungen oder Mittelwert plus Intervallvorhersagen. Rechts unten wird der interessierende Zeitausschnitt durch Beginn und Ende in der Box Sample for graph angegeben. Die defaultmäßige Wahl von EVIEWS, mit Beginn und Ende der Beobachtungen, ist in jedem Fall bei Vorhersagen uninteressant. Da man im allgemeinen die Vorhersagen mit den Beobachtungen vergleichen will, wird man den Beginn dieses Bereiches so wählen, das er eine ausreichend lange Beobachtungreihe umfasst, während das Ende sinnvollerweise mit dem Ende des Vorhesagezeitraums übereinstimmen wird. 2. Tabellarische Darstellung: Mit der Option Proc/Make Group/Table wird eine Gruppe mit den vorhergesagten Zeitreihen gebildet. In der Box solution series kann im pull-down Menü festgelegt werden, welche Größen von Interesse sind, z.b. Mittelwert plus/minus 2 Standardabweichungen oder Mittelwert plus Intervallvorhersagen oder alle Ergebnisse einer stochastischen Vorhersage. Mit OK wird eine tabellerische Darstellung der Gruppe in einem eigenem Group-Window erstellt, wobei der defaultmäßige Zeitausschnitt von EVIEWS mit Beginn und Ende der Beobachtungen wiederum bei Vorhersagen uninteressant ist. Im Group-Window kann mit dem 4

5 button Sample der interessierende Zeitausschnitt wie bei der graphischen Darstellung angepasst werden. 5.3 Vorhersage von instationären Zeitreihen Instationäre Zeitreihen kann man vorhersagen, indem man die (logarithmischen) Zuwächse mit einem VAR-Modell modelliert. Man kann die Zuwächse explizit berechnen und als eigene Reihe abspeichern. Die Vorhersage liefert dann Werte für die Zuwächse, aber keine Vorhersage für die ursprüngliche Zeitreihe. Gibt man bei der Definition des VAR-Modells die Zuwächse als Funktion der ursprünglichen Zeitreihe ein, kann man Vorhersagen sowohl für die Zuwächse als auch die ursprüngliche Zeitreihe erstellen. Dazu braucht man ein leeres VAR-Window, das man im äußersten Eviews-Window durch Drücken des buttonquick/estimate VAR eröffnet. Im Fenster endogeneous variable werden die logarithmischen Zuwächse der einzelnen Zeitreihen als Funktion dlog(series1) dlog(series2).. angegeben. Dann werden zum Schätzen des Modells tatsächlich die Zuwächse verwendet. Die Vorhersage wird wie oben mit Make model und solve gestartet. Bei der graphischen bzw. tabellarischen Darstellung, die wie oben mit Proc/Make Graph bzw. Proc/Make Group/Table eingeleitet wird, gibt es dann die option transform, bei der man mit level die ursprüngliche, nicht-stationäre Zeitreihe vorhersagen kann. 6 Kontegration und Fehlerkorrekturmodelle für bivariate Zeitreihen 6.1 Kontegrationstest In EVIEWS kann der Test auf Cointegration nach Johansen durchgeführt werden. Der Test wird entweder ausgehend von einem Group- oder einem VAR-Window über View/Cointegration Test aufgerufen. Sie müssen spezifizieren, ob ihre Zeitreihen keinen Drift haben (VAR assumes no deterministic trend)oderschon(var assumes linear trend in data, default). Weiters müssen Sie sich entscheiden, ob die Kointegrationsbeziehungen einen Intercept haben (Intercept (no trend) in CE, default)odernicht(no intercept or trend in CE). Wenn Sie sich für die Standardeinstellungen (default) entscheiden, brauchen Sie nichts zu verändern. Zum Abschluss wählen Sie die Lag-Länge im VAR-Modell für die Differenzen. Mit OK wird der Test durchgeführt. Der Testoutput enthält in der linken Spalte die der Größe nach sortierten Eigenwerte. Die weiteren Größen in der i.ten Zeile entsprechen dem Testen der Nullhypothese maximal i-1 Cointegrationsbeziehungen (die Hypothesen sind in der Spalte ganz rechts formuliert). In der zweiten Spalte steht die Testgröße, in der dritten und vierten Spalte die kritischen Werte zum 5% bzw. 1%-Niveau. EVIEWS bietet Hilfe bei der Durchführung des Tests an. Ist die Hypothese in der Spalte ganz rechts mit 2 Sternchen versehen, so kann sie mit geringen Risiko einer Fehlentscheidung (kleiner als 1%) verworfen werden, hat sie 1 Sternchen, so kann Sie mit einem Risiko zwischen 1% und 5% verworfen werden. Kein Sternchen bedeutet nicht-verwerfen. Zusammenfassend gilt: 5

6 Besitzt keine der Hypothesen ein Sternchen, so kann die Hypothese Die Zeitreihen sind nicht-stationär und nicht kointegriert nicht verworfen werden. Die Zuwächse der Reihe sollten mit einem VAR-Modell beschrieben werden. Besitzen alle Hypothesen ein oder zwei Sternchen, so müssen alle getesten Hypothesen verworfen werden, und es fällt die Entscheidung zu Gunsten der Hypothese Die Zeitreihen sind stationär aus. Wenn die erste Hypothese verworfen wird, hingegen die zweite nicht (Sternchen nur bei der zweiten Hypothese), so sind die Zeitreihen kointegriert. 6.2 Schätzen eines Fehlerkorrekturmodells bei kointegrierten Zeitreihen Zunächst werden die Zeitreihen unter gleichzeitigem Drücken der Str-Taste einmal mit der Maus angeklickt und zu einer Gruppe zusammengefasst. Doppeltes Anklicken des markierten Feldes und Wahl der Option Open VAR eröffnet ein VAR-Window. Bei VAR specification wählen Sie die Option Vector Error Correction. In der Box Endogenous erscheinen die Zeitreihen, die Sie in der Gruppe ausgewählt haben. Zum Abschluss wählen Sie die Lag-Länge im VAR-Modell für die Differenzen. Bei einem einfachen Fehlerkorrekturmodell wird hier der Bereich 0 0 eingegeben. Mit OK wird die Schätzung durchgeführt. Im Output erscheint zunächst die geschätzte Kointegrationsbeziehung in der Form Y 1,t β 2 Y 2,t c = ε t, d.h. die erste Variable wird automatisch auf die linke Seite der Kointegrationsbeziehung gebracht. Ein Umordnen der Variablen ist in der Box Endogenous möglich. Es folgen die Schätzergebnisse für das Fehlerkorrekturmodell. Jede Spalte entspricht einer Zeile des Modells für die Differenzen. Der erste Parameter (CointEq1 ) gibt den Koeffizienten an, mit dem die Gaps der Kointegrationsbeziehung zum Zeitpunkt t-1 multipliziert wird. Bei Kointegrierten Zeitreihen sollte mindestens einer dieser Parameter signifikant von 0 verschieden sein (t-wert in der 3. Zeile in Klammer). Dann folgen wie bei einem VAR-Modell die Parameter der Differenzen sowie Kenngrößen der einzelnen Modellgleichungen. Ganz am Ende findet man aggregiertes AIC und BIC zum Modellvergleich. Residuendiagnose und Vorhersage läuft wie bei dem VAR-Modell. 6