Einführung in die Zeitreihenanalyse mit EViews

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1 1. Einführung 1 Reinhold Kosfeld und Matthias Türck Einführung in die Zeitreihenanalyse mit EViews 1. Einführung Das Programm "Eviews" ist ein Computerprogramm der Firma "Quantitative Micro Software" für statistische und ökonometrische Analysen. Derzeit ist die Version 6 verfügbar. Die Standardversion kostet 711 (als Hochschullizenz 306 ). Für Studenten ist sie für 28 mit einer Laufzeit von 2 Jahren mit Update-Option verfügbar. 1 Das Programm "Eviews" wird über "Start/Programme/EViews 6" gestartet: 1 Nähere Informationen sind z.b. auf der Homepage der Firma STATCON zu finden (http://www.statcon.de).

2 1. Einführung 2 Nach dem Programmstart erscheint das EViews-Fenster, dass sich aus mehreren Bereichen zusammensetzt. Oben eingeblendet ist die Menüleiste. In das "Befehlsfenster" können Befehle eingetragen und durch Drücken der Enter-Taste ausgeführt werden. In dem Arbeitsbereich stellt EViews die Fenster der verschiedenen Objekte dar, die erzeugt werden können. Menüleiste Befehlsfenster Arbeitsbereich

3 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 3 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 2.1 Dateneingabe Eviews-Dateien werden als Workfile angelegt. Um ein neues Workfile anzulegen, wählen wir im Menü "File" den Eintrag "New/Workfile" aus. Anschließend erscheint ein Popup-Fenster, in dem die Art der Daten festgelegt werden muss: Jahresdaten: Annual Halbjahresdaten: Semi-annual Vierteljahresdaten: Quarterly Monatsdatem: Monthly Wochendaten: Weekly Tagesdaten: Entweder Fünf-Tage-Woche (5 days weeks) oder Sieben-Tage-Woche (7 days week) Andere Daten, z. B. falls keine Zeitreihendaten vorliegen (Käuferdaten etc.): Undated or irregulär.

4 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 4 Bei EViews muss neben der Art der Daten auch ein Datenbereich festgelegt werden. Falls Prognosen zu erstellen sind, sollte das "Datenende" später gewählt werden als der letzte Zeitreihenwert. Für das Beispiel des Kraftfahrzeugbestands (Daten liegen von 1980 bis 1988 vor) wählen wir als Startwert 1980 und als Endwert 1995: Nach Betätigen der OK-Schaltfläche stellt EViews ein Workfile-Fenster im Arbeitsbereich dar. Im Workfile-Fenster sind zwei Icons dargestellt. Die Icons stehen für EViews-Objekte im Workfile.

5 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 5 Durch einen Doppelklick lassen sich diese Objekte öffnen. Das Objekt "c" enthält einen Koeffizienten-Vektor, der für eine Regressionsschätzung benötigt wird. In dem Objekt "resid" werden die Residuen abgespeichert. Da noch kein Modell geschätzt wurde, sind keine Zahlen vorhanden.

6 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 6 Wir speichern das Workfile ab, indem wir im Menü "File" den Eintrag "Save AS " auswählen, einen Dateinamen vergeben und die Schaltfläche "Speichern" auswählen. Variablen, Gleichungen etc. werden in EViews als Objekte aufgefasst. Somit müssen wir in der Datei KFZ zwei Objekte anlegen. Die abhängige Variable, der KFZ-Bestand, wird zuerst definiert. Hierfür ist das Menü "Objects" und dort der Eintrag "New Object " anzuklicken:

7 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 7 In dem sich öffnenden Dialogfenster ist eines der Objekte auszuwählen. Zeitreihendaten werden als "Series"-Objekt abgespeichert. Das Objekt erhält den Namen "Bestand", und die OK-Schaltfläche wird angeklickt: In dem Workfile-Fenster ist ein neues Icon hinzugekommen. Es wird durch das gleiche Symbol wie "resid" gekennzeichnet. Dieses Symbol steht für "Series"-Objekte, also für Zeitreihen oder undatierte Reihen.

8 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 8 Durch einen Doppelklick öffnen wir das Objekt "bestand" und tragen die Zeitreihenwerte ein, nachdem die -Schaltfläche angeklickt wurde: Das Objekt "Bestand" wird anschließend durch Anklicken des Kreuzes an der Fensterecke geschlossen: Auf die gleiche Weise wird ein Objekt für die unabhängige Variable Zeit definiert (Objekt "t"):

9 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 9 Die Variablenwerte müssen nicht eingegeben werden. Stattdessen kann die EView-Funktion genutzt werden. Hierfür wird unter "Quick" "Generate Series" angeklickt: Der Wert in Klammern ist ein Parameter, der der Funktion übergeben wird. Dieser Parameter gibt den Zeitreihenwert an, der mit null kodiert wird.

10 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 10 Wird das Objekt "t" durch einen Doppelklick auf das Icon im Workfile-Fenster geöffnet, dann sieht man, dass die richtigen Werte bereits eingetragen worden sind. 2.2 Berechnung einer linearen Trendfunktion Mit den definierten Variablen wird eine lineare Trendfunktion geschätzt. Hierfür ist das Menü "Quick/Estimate Equation " aufzurufen:

11 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 11 und die Regressionsgleichung zu formulieren: bzw. alternativ:

12 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 12 Der Output enthält die bereits besprochenen Größen. Die Regressionsgleichung lautet: ŷ t = m = , ,2 t. t Die t-werte (t-statistics) sind deutlich größer als zwei, so dass sie signifikant sind. Dieses wird durch die p-werte bestätigt. Die p-werte (Prob.) liegen bei 0,0000, so dass die Regressionskoeffizienten sogar bei einem Signifikanzniveau von einem Prozent eine Signifkanz aufweisen. Der Determinationskoeffizient (R-quared) gibt den Anteil der erklärten Varianz an. In unserem Beispiel werden 98,8 % der Varianz des Kfz-Bestands erklärt. Jetzt wird das Fenster mit den Ergebnissen der Regressionsschätzung geschlossen, in dem das Kreuz in der oberen rechten Ecke angeklickt wird. Im Popup-Fenster: wird die Schaltfläche "Name" angeklickt und die Gleichung gespeichert. Eine Gleichung ist also auch ein Objekt, das nach dem Speichern im Workfile-Fenster angezeigt wird.

13 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 13 Die gespeicherte Gleichung öffnen wir durch einen Doppelklick und lassen uns die geschätzten Werte der abhängigen Variablen (= Regressionswerte) ausgeben:

14 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 14 Hierfür wird ein neues Objekt mit den Namen "bestandf" (f für forecast) erzeugt: Das neu erzeugt Objekt enthält für den Stützbereich die geschätzten Werte der abhängigen Variablen ŷ t und für den darüber hinaus gehenden Zeitraum Prognosewerte (Hinweis: neue Datierung). Um eine Grafik mit den beobachteten und den geschätzten Werten der abhängigen Variablen zu erhalten, muss eine Gruppe der Objekte "bestand" und "bestandf" gebildet werden. Hierfür sind beide Icons im Workfile-Fenster zu markieren (gegebenenfalls die Steuerung-Taste verwenden). Mit der rechten Maustaste wird der markierte Bereich angeklickt und im Kontextmenü der Eintrag "Open/as Group" ausgewählt:

15 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 15 Mit dieser Objektgruppe lässt sich ein Liniendiagramm erzeugen, indem "View/Graph/Line" ausgewählt wird: Die Trendgerade weicht also nur sehr gering von dem Polygon der Beobachtungswerte (blau) ab. Hier wird abermals bestätigt, dass die Anpassung als sehr positiv zu bewerten ist.

16 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews Berechnung einer exponentiellen Trendfunktion Das auf der vorigen Seite dargestellte Liniendiagramm zeigt, dass die Anpassung der Regressionsgerade an die Verbindungslinie der Beobachungswerte an den Enden und in der Mitte nicht optimal ist. Deshalb soll versucht werden, mit Hilfe einer exponentiellen Trendfunktion einen höheren Anpassungsgrad zu erreichen. Hierfür muss die entsprechende Regressionsgleichung geschätzt werden. Zum einen kann der natürliche Logarithmus (Funktion: "log(x)" oder als auch der dekadische Logarithmus (Funktion: verwendet werden. Dem Output sind die geschätzten logarithmierten Regressionskoeffizienten zu entnehmen. Durch Bildung der Antilogarithmen können die geschätzten Werte für a und b ermittelt werden: 10,17536 lg â = 10,17536 â = e = , 3 0, lg bˆ = 0, â = e = 1, 0276.

17 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 17 Für eine bessere Anpassung im Vergleich zur linearen Trendfunktion spricht der höhere Determinationskoeffizient (0,994 im Vergleich zu 0,988). Daneben können aber auch Fehlermaße zur Beurteilung der Güte der Anpassung herangezogen werden. Hierfür wird die Regressionsgleich unter dem Namen "eq02" gespeichert (vgl. S. 12). Anschließend wird die Regressionsgleichung (Objekt "eq01") durch einen Dopppelklick im Workfile-Fenster geöffnet und die Prozedur (Menü: Procs) "Forecast" aufgerufen:

18 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 18

19 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 19 Eine solche Vorhersage wird ebenfalls für die zweite Regressionsgleichung erstellt: Die Outputs beider Prognosen werden anschließend verglichen. Hier sieht man, dass die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers (Root Mean Squared Error) 2 und der mittlere 2 n 1 Berechnungsformel für die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers: = ( y ŷ ) 2 RMSE. n t t t= 1

20 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 20 absolute Fehler (Mean Absolute Error) 3 beim linearen Modell (eq02) deutlich größer als beim exponentiellen Modell (eq01) sind. Insofern ist das exponentielle Modell vorzuziehen. Durch Aufruf der Prozedur "Forecast" wurden für die exponentielle Trendfunktion Prognosewerte im Objekt "bestandfe" gespeichert. Diese Prognosewerte können auch manuell berechnet werden: ŷ t t t = m = â bˆ = ,3 1,0276. t In EViews ist dafür die Prozedur (Menü: Quick) "Generate Series" auszuwählen. In das Dialogfenster ist dann die Gleichung einzutragen. Die geschätzten Werte sollen in dem Objekt "bestand_fe" gespeichert werden. Exponenten werden durch Voranstellen von "^" gekennzeichnet: 3 1 Berechnungsformel für den mittleren absoluten Fehler: MAE = y ŷ. n t t n t= 1

21 2. Berechnung von Trendfunktionen mit EViews 21 Durch Doppelklick auf das Icon: im Workfile-Fenster lassen sich die geschätzten Werte anzeigen. In der zweiten Zeile wird die Berechnungsformel angegeben.

22 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 3.1 Einfache 3-gliedrige gleitende Durchschnitte Für das Beispiel der Auftragseingänge werden 3-gliedrige gleitende Durchschnitte berechnet. Hierfür ist zuerst der Datensatz anzulegen. Als Datentyp sind Quartalsdaten auszuwählen: Als nächstes sind in ein neues Objekt (Menü "Objects/New Object") die Zeitreihenwerte einzutragen (vgl. S. 7 f.). Dieses Objekt wird unter dem Namen "Auftrag" abgespeichert. Zur Berechnung der gleitenden Durchschnitte ist die Funktion heranzuziehen, wobei "x" für das Series-Objekt und "n" für die Anzahl der Perioden bei der Durchschnittsbildung steht. Zu beachten ist, dass EViews die Durchschnitte immer nachlaufend bestimmt. So wird beispielsweise der 3-gliedrige gleitende Durchschnitt nicht durch: 3 1 (1) y = ( y + y + y ) t 3 t 1 t t+ 1

23 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 23 sondern nach der Formel: 3 1 (2) ( y ) = ( y + y + y ) t n 3 t 2 t 1 t berechnet. Im Folgenden lassen wir uns die nachfolgenden 3-gliedrigen Durchschnitte berechnen. Wir rufen dafür "Quick/Generate Series " auf. Als Parameter sind der Funktion die Auftragswerte, die im Objekt "Auftrag" gespeichert sind, und die "3", damit 3-gliedrige Durchschnitte berechnet werden, zu übergeben. Die nachfolgenden Durchschnitte sind jetzt in dem neu angelegten Objekt "auftrag_mov_av_n" gespeichert. Die Werte des Objektes lassen wir uns durch einen Doppelklick auf das Icon: im Workfile-Fenster anzeigen. Für die ersten beiden Quartale wurden keine gleitenden Durchschnitte bestimmt, weil für sie keine Quartalswerte für zwei Vorperioden vorliegen.

24 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 24 Zu beachten ist, dass die mit (2) berechneten nachfolgenden gleitenden Durchschnitten den einfachen gleitenden Durchschnitten der Vorperiode entsprechen. Somit müssen die nachfolgenden gleitenden Durchschnitte nur der Vorperiode zugeordnet werden, um die einfachen gleitenden Durchschnitte zu erhalten. Indem in Klammern hinter den Namen eines Series-Objektes eine Eins eingetragen wird, werden die Merkmalswerte um eine Periode nach hinten verschoben: In der Zeitreihenanalyse bezeichnet man die Verschiebung aller Werte einer Zeitreihe in die Vergangenheit (Zukunft) als Lead (Lag)-Bildung. Hier haben wir einen Lead erster Ordnung gebildet.

25 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 25 Das Objekt "auftrag_mov_av" enthält die einfachen 3-gliedrigen gleitenden Durchschnitte. 3.2 Zentrierte 4-gliedrige gleitende Durchschnitte Bei Quartalsdaten sind 3-gliedrige gleitende Durchschnitte in der Regel nicht geeignet. Das erste Quartal kann z.b. einen relativ niedrigen und das vierte Quartal einen deutlich überhöhten Zeitreihenwert auf. Mit Hilfe der gleitenden Durchschnitte sollen die Quartalsschwankungen geglättet werden. Somit sind bei Quartalszahlen 4-gliedrige gleitende Durchschnitte zu bilden, wobei zwei Zeitreihenwerte jeweils mit 0,5 gewichtet werden: (3) y = y + y + y + y + y t t 2 t 1 t t+ 1 t Wir verwenden den vorbereiteten Datensatz "lohnq.wf1" und berechnen die gleitenden Durchschnitte unter Verwendung von "Quick/Generate Series ":

26 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 26 Deutlich umfangreicher sind die Berechnungen, wenn die Funktion verwendet wird. Zuerst sind die 4-gliedrigen nachfolgenden gleitenden Durchschnitte zu ermitteln: Anschließend sind die Werte von "lohn_mov_av_n" mit ihren Werten der Vorperiode zu mitteln, wobei eine Verschiebung um ein und zwei Perioden vorgenommen werden muss:

27 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 27 Die ursprünglichen und geglätteten Werte sollen zum Vergleich in einem Linendiagramm dargestellt werden.

28 3. Berechnung von gleitenden Durchschnitten mit EViews 28 Dem Liniendiagramm ist zu entnehmen, dass die Quartalsausschläge geglättet sind. Das Verfahren der gleitenden Durchschnitte hat allerdings den Nachteil, dass keine geglätteten Werte für die beiden ersten und letzten Quartale vorliegen. Darüber hinaus ist eine Prognose nicht unmittelbar möglich.

29 4. Berechnung einer exponentiellen Glättung Berechnung einer exponentiellen Glättung Die exponentielle Glättung ist ein Verfahren, dass selbst bei wenigen Zeitreihenwerten angewendet werden kann. Darüber hinaus eignet sich die exponentielle Glättung für Prognosen. Im Gegensatz zu Trendfunktionen führt das Verfahren eine Eigenkorrektur durch. Fällt der Prognosewert zu niedrig (hoch) aus, dann wird der nächste Prognosewert um den mit α gewichteten Prognosefehler nach oben (unten) korrigiert: (4) ŷ t,1 = ŷ t 1,1 + α e t. Ein Problem besteht darin, dass der Parameter α vorgegeben werden muss. In der Praxis haben sich Werte zwischen 0,1 und 0,3 bewährt. Daneben kann der Parameter α auch von EViews berechnet werden. Eviews bestimmt α dann so, dass der mittlere quadratische Fehler minimiert wird. Dadurch wird aber keineswegs gewährleistet, dass ein sinnvoller Wert für α geschätzt wird, wie wir im Folgenden sehen werden. Wir rufen den Datensatz "umsatz.wf1" auf, die Jahreswerte enthält, und öffnen das Objekt "umsatz" durch einen Doppelklick auf das entsprechende Icon im Workfile-Fenster: und führen dann die Prozedur "Exponential Smoothing" durch:

30 4. Berechnung einer exponentiellen Glättung 30 Als Methode ist "single" auszuwählen. Schließlich soll eine einfache exponentielle Glättung durchgeführt werden. Die Schätzwerte sind in dem Objekt "umsatzsm" zu speichern. Für die Perioden eins bis zehn soll eine Schätzung durchgeführt werden. Die Anzahl der Perioden pro Jahr ist bei einer einfachen exponentiellen Glättung nicht entscheidend. Ein Alpha-Wert wird nicht vorgegeben. Im Output sieht man, dass EViews ein Alpha von 0,001 verwendet. An der Rekursionsformel: ŷ = 1 α ŷ + α y (5) ( ) t,1 t 1,1 t wird deutlich, dass bei einem derartig kleinem Alpha die aktuellen Beobachtungswerte praktisch nicht berücksichtigt werden. Ein derart geringer Wert empfiehlt sich nicht.

31 4. Berechnung einer exponentiellen Glättung 31 Deshalb wird im Folgenden ein Alpha von 0.3 vorgegeben. Zu beachten ist, dass Eviews als Startwert den Durchschnitt der Beobachtungswerte verwendet. Ein Startwert kann, zumindest bei Verwendung dieser Prozedur, nicht vorgegeben werden. Der Tabelle sind die Summe der quadrierten Residuen ("Sum of Squared Residuals") und die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers ("Root Mean Squared Error") zu entnehmen. Hier

32 4. Berechnung einer exponentiellen Glättung 32 könnte man auch verschiedene Alpha vorgeben und das Modell mit den geringsten Fehlerwerten verwenden. Abschließend sollen die beobachteten und die geschätzten Werte in einem Liniendiagramm dargestellt werden (zum Aufruf vergleiche S. 27 f.). Die Ausschläge des Umsatzes werden durch die geglättete Linie nur zum Teil wiedergegeben. Bei einer Unterschätzung steigt der Schätzwert in der nächsten Periode an und umgekehrt.

33 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung Saisonkomponente und Saisonbereinigung 5.1 Phasendurchschnittsverfahren Für die Saisonbereinigung wird der Datensatz "lohnq2.wm1" verwendet. Die viergliedrigen Durchschnitte der Löhne und Gehälter wurden bereits in Abschnitt 3.2 ermittelt (Series- Objekt "Lohn_mov_av"). Diese sind, ebenso wie die originären Löhne und Gehälter in das neue Workfile kopiert worden. Die trendbereinigten (und konjunkturbereinigten) Zeitreihenwerte berechnet werden: d können als Differenz zwischen den beobachteten und geglätten Werten ij Da die Saisonausschläge nicht mit über den Berichtszeitraum zunehmen, ist das additive Modell der Zeitreihenzerlegung adäquat.

34 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 34 Die unnormierte Saisonkomponente erhält man als Durchschnitt der trendbereinigten Zeitreihenwerte eines Quartals über alle Jahre. Die Summe für das erste Quartal lassen wir uns mit EViews berechnen. Die Multiplikation mit der Funktion bewirkt, dass nur die Zeitreihenwerte des ersten Quartals summiert werden: Entsprechend können auch die Summen für die vier Quartale in einem Schritt ermittelt werden:

35 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 35 Die unnomierten Saisonkomponenten nehmen somit die Werte: 36,25 s * = = 9, ,5125 s * = = 2, ,675 s * = = 2, ,225 s * = = 14, an. Der Durchschnitt der unnomierten Saisonkomponenten: (6) 9,0625 2,378 2, ,056 d = = 0, 054, 4 wird zur Berechnung der normierten Saisonkomponenten verwendet: s 1 = 9,0625 ( 0,054) = 9, 009 s 2 = 2,378 ( 0,054) = 2, 324 s 3 = 2,669 ( 0,054) = 2, 615 s 4 = 14,056 ( 0,054) = 14, 110.

36 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 36 Von den Löhnen muss die jeweilige nomierte Saisonkomponente subtrahiert werden. Die Funktion liefert eine Eins zurück, wenn das x-te Quartal vorliegt und ansonsten eine Null. Bei den Löhnen und Gehältern des ersten Quartals wird somit 9, 009 subtrahiert, bei den Löhnen und Gehältern des zweiten Quartals 2, 324 etc. Somit erhält man folgende saisonbereinigten Löhne und Gehälter:

37 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 37 bei denen keine saisonalen Schwankungen fortbestehen 4 : 5.2 Regressionsverfahren Die Löhne und Gehälter sollen mit einem Trend und Dummy-Variablen für die Quartale erklärt werden. Mit Hilfe der geschätzten Regressionskoeffizienten können dann saisonbereinigten Werte berechnet werden. Als Beispiel verwenden wir die Entwicklung der Löhne und Gehälter in der BRD von 1996 bis Bei der Definition des Workfile-Bereichs geben wir an, dass es sich um Quartalsdaten handelt. 4 Zur Anfertigung eines Liniendiagramms vgl. S. 14 ff.

38 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 38 In ein neues Series-Objekt ("lohnq") werden die Zeitreihenwerte der abhängigen Variablen (Löhne und Gehälter) eingegeben. Die unabhängigen Variablen können mit den EViews-Funktionen und bestimmt werden. Bei der erstgenannten Funktion gibt x das Quartal an, das eine Null zugewiesen bekommt. Somit wird die Trendvariable folgendermaßen gebildet: Daneben werden vier Dummy-Variablen gebildet. Die erste Dummy-Variable "D1" erhält dann eine Eins zugewiesen, wenn das erste Quartal vorliegt. Ansonsten nimmt sie den Wert

39 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 39 null an. Die Funktion kann hier eingesetzt werden, wobei der Parameter x auf 1 gesetzt werden muss: Entsprechend werden die übrigen drei Dummy-Variablen gebildet 5 : Regressionsschätzung mit absolutem Glied Wenn eine Regressionsschätzung mit absolutem Glied durchgeführt wird, können nicht vier Dummy-Variablen in das Regressionsmodell aufgenommen werden. Aufgrund einer perfekten Multikollinearität wäre eine Kleinst-Quadrate-Schätzung nicht möglich. Wir verwenden für das Regressionsmodell deshalb die Dummyvariablen "D2", "D3" und "D4". 5 Die vorbereitete Datei heißt lohn3.wm1.

40 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 40 Der Ausgabe ist zu entnehmen, dass alle Regressionskoeffizienten auf einem α von 5 Prozent signifikant von null verschieden sind. Insbesondere der Trend liefert eine hohe Determination (hoher t-wert). Mit dem Regressionsansatz wird 99 % der Varianz von den Löhnen und Gehältern erklärt. Die geschätzten Regressionskoeffizienten sind als unnormierte Saisonkoeffizienten zu interpretieren. Der unnormierte Saisonkoeffizient der ersten Dummy-Variablen ("D1") ist null. Durch arithmetische Mittelung der unnormierten Saisonkoeffizienten erhält man die Korrekturgröße: (7) d ( 0 + 6, , ,558) 4 = 9, 204 =.

41 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 41 Um diese sind die unnormierten Saisonkoeffizienten zu korregieren: * j (8) S = S d, j damit die Summe der normierten Saisonkoeffizienten null ergibt. Man erhält somit folgende normierten Strukturkoeffizienten: S 1 = 0 9,204 = 9, 204 S 2 = 6,793 9,204 = 2, 411 S 3 = 6,465 9,204 = 2, 739 S 4 = 23,558 9,204 = 14, 354. Mit diesen lassen sich die saisonbereinigten Zeitreihenwerte bestimmen: (9) y * ij Bereinige Löhne = y ij Löhne s. j In EViews wird ein neues Series-Objekt erstellt, dessen Werte sich als Differenz zwischen den Löhnen und Gehältern (Objekt lohn) und den jeweiligen normierten Saisonkomponenten berechnen. Die Dummy-Variablen nehmen immer nur für ein Quartal den Wert eins an. Für Werte des ersten Quartals erhält man somit folgende Bereinigung: * (10) y = y d1 { S d2 1 { S d3 i1 i1 2 { S d4 3 { S = y S 4 i1 1 = 1 = 0 = 0 = 0 Entsprechendes gilt für die übrigen Quartale:

42 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung Regressionsschätzung ohne absolutes Glied Wird kein absolutes Glied berücksichtigt, dann können alle Dummy-Variablen für die Regressionsschätzung verwendet werden. Dann wird folgendes Regressionsmodell berechnet: Auch bei diesem Modell sind alle geschätzten Regressionskoeffizienten signifikant von null verschieden. Die Regressionskoeffizienten sind wiederum als unnormierte Saisonkomponenten zu interpretieren.

43 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 43 Um die normierten Saisonkomponenten zu berechnen, muss der Mittelwert der unnomierten Saisonkomponenten bestimmt werden: (11) d ( 112, , , ,190) 4 = 121, 837 =. Unter Anwendung von Formel (8) erhält man die normierten Saisonkomponenten: S 1 = 112, ,837 = 9, 204 S 2 = 119, ,837 = 2, 412 S 3 = 119, ,837 = 2, 739 S 4 = 136, ,837 = 14, 353, die sich (bis auf rundungsbedingte Abweichungen) nicht von den im vorigen Abschnitt berechneten normierten Saisonkomponenten unterscheiden. Zur Berechnung der saisonbereinigten Zeitreihenwerte ist folgende Gleichung anzuwenden:

44 5. Saisonkomponente und Saisonbereinigung 44 Im Folgenden werden die Löhne und Gehälter sowie ihre saisonbereinigten Werte in einem Liniendiagramm dargestellt (zur Anfertigung eines Liniendiagramms vgl. S. 14 ff.). Hier sieht man, dass die originären Werte deutliche Saisonschwankungen aufweisen. Diese sind durch die Saisonbereinigung eliminiert worden.

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