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1 NACHRICHENECHNISCHES PRAKIKUM FREQUENZMODULAION UND DEMODULAION ascherecher bitte itbrige 1. heorie der Frequez- ud Phaseodulatio 1.1 Allgeeies Zusaehag zwische FM ud PM Kegröße der FM ud PM Spektru ud Zeigerdiagra bei siusföriger Modulatio Badbreite räger- ud Seitefrequezleistuge Messug der Kegröße aus de Spektru Frequezodulatio 11.1 Allgeeies Frequezdeodulatio Der PLL-Deodulator Phasediskriiator Das Schleifefilter Eigeschwugeer (Eigerasteter) Zustad der digitale PLL-Schaltug Dyaisches Verhalte Aufbau der Versuchsschaltug Modulator 4.1 Schaltugsaufbau Gerätebeschreibug Versuchsprogra Modulator 6 6. Aufbau der Versuchsschaltug Deodulator 7 7. Versuchsprogra Deodulator 8 8. Literatur 9

2 Frequezodulatio ud -deodulatio 1. heorie der Frequez- ud Phaseodulatio Die bekateste aaloge Modulatiosverfahre sid die Aplitudeodulatio (AM) ud die Frequezodulatio (FM). I diese Versuch soll die Frequezodulatio betrachtet werde, wie sie auch heute och i aaloge Hörfuk Verwedug fidet. Die Frequezodulatio ist ei Soderfall der Wikelodulatio, ebeso wie die Phaseodulatio. Sowohl die Frequezodulatio als auch die Phaseodulatio werde i achfolgede Kapitel vorgestellt. Bei der Frequezodulatio wird die Frequez direkt beeiflusst, bei der Phaseodulatio der Phasewikel. Beide Modulatiosverfahre lasse sich ieiader überführe. 1.1 Allgeeies Eie haroische Schwigug der For ( d dt) u ( t) = uˆ cosϕ = uˆ cos dt = ϕ / (1.1) ka i de Größe û, ud ϕ verädert werde. Bei Äderug vo û spricht a vo Aplitudeodulatio (AM), bei Äderug vo ϕ vo Phaseodulatio (PM) ud bei Äderug vo vo Frequezodulatio (FM). 1. Zusaehag zwische FM ud PM Wie a i Folgede erkee wird, besteht ei eger Zusaehag zwische FM ud PM. Die Zeitfuktio der FM bzw. PM lautet allgeei Bei uodulierte räger gilt u( t) = Uˆ cosϕ( t) = Uˆ cos ( t)dt (1.) (rägeraplitude Uˆ = cost.). () t = = cost. () t = () t dt = t + ϕ = ϕ ϕ 0 ϕ 0 : kostate Phaseverschiebug; ϕ 0 = 0 durch geeigete Wahl des Zeitpuktes t = 0. () (1.3) Bei PM wird die Nachricht u t i zeitproportioale Schwakuge der rägerphase ϕ () t ugewadelt, was gleichzeitig zu Frequezschwakuge führt: () t ϕ + K u ( t) ϕ = ϕ (1.4) () t du ( t) dϕ () t = = K + ϕ (1.5) dt dt K ϕ ist ei vo Phaseodulator vorgegebeer kostater Faktor (lieare Modulatioscharakteristik).

3 Frequezodulatio ud -deodulatio 3 () Bei FM wird die Nachricht u t i zeitproportioale Schwakuge der rägerfrequez () t ugewadelt, wodurch gleichzeitig Phaseschwakuge etstehe. () t + K u ( t) (1.6) = Bild 1.1: a) Idirekte FM it Phaseodulator durch Itegratio der Nachricht b) Direkte FM it Frequezodulator ϕ () t = () t dt = t + ϕ + K u ( t) = ϕ + K u 0 ( t) dt K ist ei vo Frequezodulator vorgegebeer kostater Faktor (lieare Modulatioscharakteristik). dt (1.7) Aus Gl. (1.4), (1.6) ud (1.7) erket a, dass bei Modulatio eies Phaseodulators it de Zeititegral der Nachrichtefuktio u ( t) eie frequezodulierte Schwigug etsteht (idirekte FM). Etspreched zeige Gl. (1.4), (1.5) ud (1.6), dass bei Modulatio eies Frequezodulators it der ach der Zeit differezierte Nachricht u ( t) eie phaseodulierte Schwigug etsteht (i der Praxis ohe Bedeutug). Bild 1.1 zeigt i Prizip die Verfahre der direkte ud idirekte FM. 1.3 Kegröße der FM ud PM Bei siusförige Modulatiossigal folgt für die FM ach Gl. (1.6) ud (1.7) ϕ Die Zeitfuktio der FM lautet u () t uˆ cos t = (1.8) () t + cos t = (1.9) u = K ˆ (1.10) =. (1.11) 0 () t t + ϕ + si t = ϕ + ϕ si t

4 Frequezodulatio ud -deodulatio 4 [ ( + cos t) dt] u( t) = Uˆ cos (1.1) Für die PM ergibt sich ach Gl. (1.4) ud (1.5) ϕ () t t + ϕ + ϕ cos t = ϕ + ϕ cos t = (1.13) 0 ˆ ϕ = Kϕ u (1.14) () t ϕ si t = si t ud für die Zeitfuktio der PM folgt = (1.15) u () t Uˆ cos( ϕ + ϕ cos t) =. (1.16) Dabei bezeichet a ϕ als Phasehub (Modulatiosidex) ud f = / π als Frequezhub. Die Beziehug zwische Frequez- ud Phasehub folgt aus der Gl. (1.11) bzw. Gl. (1.15). f = = f ϕ = ϕ. (1.17) π π I abelle I sid die Kegröße der PM ud FM ud ihre Abhägigkeit vo der Sigalaplitude u bei liearer Modulatioskeliie zusaegestellt. ˆ Frequezhub Phasehub FM PM ˆ f ~ u ϕ = f f f = f ϕ ϕ ~ û abelle I: Kegröße vo PM ud FM 1.4 Spektru ud Zeigerdiagra bei siusföriger Modulatio Das vo der AM her bekate Verfahre der Aufspaltug i rägerfrequez ud Seitebäder ka auch bei der FM agewadt werde. Ausgehed vo Gl. (1.1) ergibt sich bei ϕ 0 = 0 : u () t = Uˆ cos( t + ϕ si t) [ cos t cos( ϕ si t) si t si( ϕ si t) ] = Uˆ. (1.18) Die Ausdrücke si( ϕ si t) ud ( ϕ si t) cos sid periodische Fuktioe der Zeit ud als Fourrierreihe darstellbar.

5 Frequezodulatio ud -deodulatio 5 Es gilt e j ϕ si t = c = e j t (1.19) it c π 1 = π e π ( ϕ si x x) dx = J ( ϕ ). (1.0) j ( ϕ ) J Für gerade Ordug gilt sid Besselfuktioe erster Art -ter Ordug zu Arguet ϕ. ud für ugerade Ordug Mit ( ϕ ) = J ( ϕ ) = J ( ϕ ) J (1.1) ( ϕ ) = J ( ϕ ) = J ( ϕ ) J. (1.) cos ( ϕ sit) = J0( ϕ ) + J( ϕ ) + J ( ϕ ) cos 4 t cos t (1.3) ud ( si t) = J ( ϕ ) si t + J ( ϕ ) si 3 t... si ϕ (1.4) folgt u = 0 = [ t] () t Uˆ J ( ϕ ) cos t + J ( ϕ ) cos( + ) t + ( 1) cos( ) 1 = ˆ j ( ) + t jt jt U Re e J 0 ϕ J ( ϕ) ( e + ( 1) e ). (1.5) = 1 Gl. (1.5) zeigt, dass die spektrale rägeraplitude vo der Besselfuktio 0. Ordug zu Arguet ϕ abhägt, währed die Seitebadaplitude de Werte der Besselfuktio höherer Ordug etspreche. I de Bilder 1. ud 1.3 sid die für die Aplitudeverteilug der eizele Seitefrequeze ud der rägerfrequez aßgebede J ϕ dargestellt. Besselfuktioe ( )

6 Frequezodulatio ud -deodulatio 6 Bild 1.: Verlauf der Besselfuktio ( χ ) J für = i Abhägigkeit vo Arguet ach Jahke-Ede (Jahke-Ede, afel höherer Fuktioe) Uter Berücksichtigug der Beziehug (1.5) erket a, dass die Spektralverteilug bei gegebee Phasehub ϕ eie Schitt durch das Besselgebirge (Bild 1.3) i Abstad ϕ parallel zur - J -Ebee etspricht. Bild 1.3: Besselfuktioe [ ϕ] J i dreidiesioaler Darstellug (Besselgebirge) Für die Spektralverteilug ist also lediglich der Phasehub aßgebed. Je größer dieser ist, desto ehr Seitefrequeze it icht zu verachlässigeder Aplitude tauche auf. Der Abstad der Spektralliie vo räger f beträgt f.

7 Frequezodulatio ud -deodulatio 7 Bild 1.4: Spektre der Zeigerdiagrae frequezodulierter Schwiguge ( = cost. ) Zeigerdiagrae für jeweils de größte Phasehub ϕ ( t = π ) (Beträge der Aplitude dargestellt) f. Das Spektru weist Aplitudesyetrie auf. Bild 1.4 zeigt eiige Spektre ud Zeigerdiagrae frequezodulierter Schwiguge bei verschiedee = cost.!. Phasehübe ( ) f

8 Frequezodulatio ud -deodulatio 8 Ma sieht i Bild 1.4b, dass der resultierede räger i der Aplitude kostat bleibt ud i der Phase u ϕ gegeüber der Mittellage schwakt. Für kleiere Phasehübe ϕ < 0, folgt aus Gl. (1.5) u ϕ j t j t j t Uˆ ϕ ( ) e + R e 1 e e. (1.6) () t Uˆ cos t + [ cos( + ) t cos( ) t] Dait ergibt sich für kleie Phasehübe eie forale Ählichkeit it der AM. Die Uterschiede sid i Zeigerdiagra (Bild 1.5) zu sehe. Währed sich bei AM die beide Seitefrequeze vektoriell so addiere, dass die Resultierede i die Richtug des rägers fällt, erfolgt bei FM eie Phasedrehug vo 90. Der resultierede räger weist daher bei etwa kostater Größe ( ϕ < 0,) eie Phaseverschiebug vo ϕ auf. Bei der Spektralessug wird a keie Uterschied zwische de Spektru der ϕ feststelle. Für kleie Phasehübe ist eie Uwadlug vo AM i FM durch 90 -Phasedrehug des rägers öglich (Arstrog-Frequezodulator). AM ud de der FM für ( < 0,) Bild 1.5: Zeigerdiagra für u ˆ = 1 a) AM b) FM it ϕ < 0, c) Spektru der FM it ϕ < 0, (Beträge der Aplitude aufgetrage) 1.5 Badbreite Für ideale, verzerrugsfreie FM ist die Badbreite ach Gl. (1.5) uedlich groß. Eie Badbegrezug führt zu Modulatiosverzerruge ud zu eier Stör-Aplitudeodulatio. Es zeigt sich jedoch, dass Seitebadaplitude, die weiter vo der rägerfrequez abliege als es de Frequezhub f etspricht, schell abfalle. Dies geschieht u so ausgeprägter, je größer der Phasehub bei ( f = cost.) ist.

9 Frequezodulatio ud -deodulatio 9 Als otwedige Badbreite ka a je ach de zulässige Verzerruge die Spektralbreite asehe, bei der alle außerhalb auftretede Spektralliie uterhalb eies Grezwertes liege, z.b. 10% der uodulierte rägeraplitude (d.h. 1% der Leistug). Als Näherugsgleichug für die hochfrequete Badbreite B H gilt da ( f ) B +. (1.7) H f Bei große Phasehübe ( ϕ > 0; f << f ) ist f allei ei Maß für die Badbreite f (Wobblug). Für kleie Phasehübe ( f >> f ) B H bestit wie bei AM f die Badbreite BH f. Bei FM wird eie wesetlich höhere Badbreite beötigt als bei AM. Beispielsweise gelte für Rudfukseder folgede Date: FM: UKW ( MHz) ( f ) khz; f = 75 khz; B 180 khz; ax = 15 ax H = AM: MW (0,5... 1,6 MHz) ( ) 4,5 khz; B 9 khz f ax = H =. Durchläuft ei FM-Sigal eie Übertragugsvierpol, der eie ichtkostate Aplitudegag a(f) ud eie ichtlieare Phasegag ϕ( f ) aufweist, so etsteht a Ausgag eie ichtliear verzerrte FM (Phaseodulatiosverzerrug, Stör-AM). Durch Aplitudebegrezug lässt sich die Stör-AM beseitige. Bei syetrischer Däpfugsverzerrug tritt ei kubischer, bei usyetrischer Däpfugsverzerrug auch ei quadratischer Klirrfaktor auf. Ebeso ergebe sich bei zur Mittefrequez f schiefsyetrischer, ichtliearer Phasekurve kubische, bei usyetrischer Phasekurve auch quadratische Verzerruge. I de Grezfälle 0 (quasi-statische Verzerruge) hat der Aplitudegag keie Eifluss auf die Modulatiosverzerruge (Verachlässigug der Eischwigvorgäge). Es trete hier die ichtlieare Verzerruge ur über die Phasekurve auf. 1.6 räger- ud Seitefrequezleistuge Die Gesatleistug des Spektrus bei FM ergibt sich zu P = G U J0 =1 ( ϕ ) + ( ϕ ) ges J (1.8) U G : Leistug des uodulierte rägers it

10 Frequezodulatio ud -deodulatio 10 ( ϕ ) + ( ϕ ) 1. (1.9) 0 J J = = 1 Das bedeutet, dass die Gesatleistug des Seders bei Frequez- ud Phaseodulatio icht geädert wird. Die Leistug wird lediglich etspreched der Aussteuerug ehr oder weiger auf die Seitefrequeze verteilt (Bild 1.6). Bei AM ka die Gesatleistug dagege axial bis auf die 1,5-fache rägerleistug awachse. Bild 1.6: Leistugsverteilug auf räger- ud Seitefrequeze bei FM ( P : rägerleistug, PS : Seitefrequezleistug ) 1.7 Messug der Kegröße aus de Spektru Uter Beutzug der bisher abgeleitete Gesetzäßigkeite lasse sich die Kegröße eier frequezodulierte Schwigug direkt aus de aufgeoee Spektru ablese. A geeigetste zur Messug des Phasehubes sid bei siusföriger Modulatio die Nullstelle des rägers bzw. der Seitefrequeze. Die erste Nullstelle des rägers liegt bei ϕ =,405. (1.30) Dait folgt hier bei bekater Modulatiosfrequez (Abstad zweier beachbarter Spektralliie) f =, 405. (1.31) f

11 Frequezodulatio ud -deodulatio 11 Die Werte der Besselfuktio, die zu eie bestite Phasehub gehöre, bereche sich aus de geessee Aplitudespektru Uˆ û J J ( ϕ ) uˆ / Uˆ 0 = ( ϕ ) = uˆ s / Uˆ : Aplitude des uodulierte rägers : Aplitude des odulierte rägers û s : Aplitude der Seitefrequezbäder it = 1 ; ;3... für f > f = 1 ; ; 3... für f < f. (1.3) (1.33). Frequezodulatio.1 Allgeeies Bei de Verfahre zur Frequezodulatio uterscheidet a zwische direkte ud idirekte Frequezodulatore. Bei direkter FM wird z.b. eie Reaktazstufe (Röhre, rasistor, Kapazitätsdiode) parallel zu frequezbestiede Schwigkreis des Oszillators geschaltet (Nachteil: Oszillatorfrequez ka icht quarzstabilisiert werde. Stabilisierug der rägerittefrequez f durch Phasediskriiator). Bei idirekter FM wird ei Quarzoszillator i der Phase oduliert (PM), wobei die Phasesteuerug it der Itegralfuktio der Nachricht erfolgt. Bild.1: Blockschaltbild eies Phase-Locked-Loop-Kreises zur Modulatio Eie Frequez- oder Phaseodulatio ka auch it eier eifache Phaseregelschleife (Phased-Locked-Loop, PLL) erzeugt werde. I Bild.1 aus [3] ist eie solche Schleife abgebildet die über die zwei Eigäge sowohl Phase- () als auch Frequezodulatio (1) erlaubt. Das Schleifefilter itegriert dabei das phaseodulierte Sigal. Das Prizip der PLL-Schaltug wird bei der Frequezdeodulatio i Kapitel 3 erläutert.

12 Frequezodulatio ud -deodulatio 1 3. Frequezdeodulatio 3.1 Der PLL-Deodulator Ei PLL ist ei Regelsyste, desse Aufgabe dari besteht, eie Oszillator i Frequez ud Phase it eie Ausgagssigal zu sychroisiere. I sychroisierte Zustad des PLL ist die Phaseverschiebug zwische Eigagssigal ud Oszillatorsigal ull; sobald aber zwische beide Sigale eie Phaseverschiebug auftritt, wird der Oszillator solage achgeregelt, bis die Phaseverschiebug wieder ull wird. Aus dieser Arbeitsweise ergab sich zwagsläufig der Nae Phaseregelkreis bzw. Phase locked loop. Das Blockschaltbild des PLL lässt sich aus der obige Betrachtug leicht herleite ud ist i Bild 3.1.a dargestellt. Ei PLL besteht grudsätzlich aus drei Fuktiosblöcke, älich: 1. Spaugsgesteuerter Oszillator (voltage cotrolled oscillator = VCO). Phase-Detektor (phase detector = PD) 3. Schleifefilter (Loop Filter = LF) Die iteressierede Sigale bei PLL sid (vgl. Bild 3.1.a): - Eigagssigal (Sychoisatiossigal) ( t) - 1 = Kreisfrequez vo u 1 () t - Referezsigal (= Ausgagssigal des VCO) ( t) - = Kreisfrequez vo u () t - Detektrosigal u d () t - Filtersigal u f ( t) - Phasefehler ϑ e = Phaseverschiebug zwische u 1 u u1 ud u Bild 3.1.a: Blockschaltbild eies Phase-Locked-Loop-Kreises

13 Frequezodulatio ud -deodulatio 13 Bild 3.1.b: Übertragugsverhalte des VCO Arbeitsweise der eizele Blöcke: Der VCO schwigt it eier Kreisfrequez, die durch das Filterausgagssigal u f bestit wird geäss: () t = K u (s. Abbildug 3.1.b) (3.1) f it 0 Ruhefrequez des VCO ud Verstärkugsfaktor des VCO. K 0 Der Phasedetektor PD vergleicht die Phaselage des Eigagssigals it derjeige des Referezsigals ud gibt defiitiosgeäß ei Ausgagssigal t ab, das proportioal zur Phaseverschiebug ϑ e ist: u d u d () () t K ϑe = (3.) d it K d = Verstärkugsfaktor des PD. Die Ausgagsspaug u d des Phasedetektors wird eie iefpassfilter (Schleifefilter) ausgeliefert, der ur die Gleichspaugskopoete (Mittelwert) durchlässt. Betrachte wir u das Zusaewirke der drei Blöcke. Wir ehe zuächst a, das Eigagssigal habe die Kreisfrequez 0 (Bild 3.). Da schwigt der VCO auf seier Ruhefrequez, ud es stellt sich ei Phasefehlerϑ e = 0 ei. We ϑ e = 0 ist, da ist wege (gl. 3.) auch das Detektorsigal ud = 0. Da gilt auchu f = 0. Gerade dies ist aber die Bedigug dafür, dass der VCO auf seier Ruhefrequez schwige ka. Wäre ϑ e afäglich icht 0, so würde a Ausgag des Detektors ud ach eier gewisse Verzögerug auch a Ausgags des Filters ei Korrektursigal u f etstehe, das de VCO so lage scheller oder lagsaer laufe lasse würde, bis sich der Phasefehlerϑ e auf 0 abgebaut hätte. Jetzt werde die Kreisfrequez des Eigagssigals zur Zeit t 0 plötzlich u de Betrag größer. Zwische u 1 ud u etsteht jetzt ei Phasefehlerϑ e, der allählich größer wird (Kurve c). Dezufolge gibt der Phasedetektor ei Sigal t ab, das vo 0 a stetig wächst. Mit eier gewisse Verzögerug u d ()

14 Frequezodulatio ud -deodulatio 14 wird a Ausgag des Filters ebefalls ei Korrektursigal u f etstehe. Dieses Sigal veralasst de VCO u scheller zu schwige. Der Phasefehlerϑe wird allählich wieder abgebaut ud der VCO schwigt auf derselbe Frequez wie das Eigagssigal. Diese Frequez ist u höher als die Ruhefrequez 0, wobei = u f K 0. Ist daher das Eigagssigal ei Frequezoduliertes Sigal, so steht a Ausgag des Filters das deodulierte Sigal a. u 1 () t u ( t) a Eigagsspaug b Referezsigal c Detektorsigal u d (Mittelwert) ud Fehlerwikel ϑ e d Kreisfrequez des VCO e Kreisfrequez 1 des Eigagssigals Bild 3.: Atwort des PLL auf eie Eigagsfrequezsprug

15 Frequezodulatio ud -deodulatio Phasediskriiator Ei Phasediskriiator diet i der PLL-Schaltug als vergleichedes Eleet zwische der Phase des Eigagssigals ud der Phase der itere Regelfrequez der PLL-Schaltug. Das Ausgagssigal etspricht i Idealfall der Phasedifferez der beide Eigagssigale. Phasediskriiatore köe it aaloge ud it digitale Schaltkreise aufgebaut werde. Bei Verwedug vo digitale Schaltuge üsse beide Eigagssigale rechteckförig sei oder aber geüged große Steilheit i de Nulldurchgäge besitze. Bild 3.3 zeigt de Aufbau eies digitale Phasediskriiators, der i Wesetliche aus zwei flakegetriggerte D- Flip-Flops (FF1 ud FF) besteht. Bild 3.3: Digitaler Phasediskriiator Zur Erläuterug der Fuktio wird ageoe, dass beide Flip-Flops gelöscht sid. We die Spaug u der Spaug u1 vorauseilt (ϕ > 0), tritt zuerst eie positive Flake vo u auf. Dadurch wird das FF gesetzt. Es verbleibt i diese Zustad, bis die achfolgede positive Flake vo u 1 das FF1 setzt. Der Zustad, dass beide Flip-Flops gesetzt sid, existiert jedoch ur währed der Sigallaufzeit durch das FF1, da aschließed beide Flip-Flops über das UND-Gatter zurückgesetzt werde. Bild 3.3 zeigt, dass a Ausgag des Subtrahierers ( u D ) eie Folge vo positive Rechteckipulse auftritt. Bild 3.4: Eigags- ud Ausgagssigale des Phasediskriiators

16 Frequezodulatio ud -deodulatio 16 Etspreched ergibt sich eie Folge vo egative Ipulse, we die positive Flake vo u ach der vo u1 eitrifft, d.h. we ϕ < 0 ist. Dieses Verhalte lässt sich zusaefassed i For des Zustadsdiagras (Bild 3.4) darstelle. Die Dauer der Ausgagsipulse ist gleich der Zeitdifferez zwische de positive Flake vo u1 ud u. A Ausgag des iefpasses P (Schleifefilter) ergibt sich dait der Mittelwert ˆ t ˆ ϕ u a = U = U. π Da der Betrag der Zeitdifferez proportioal zu ϕ zuit, ergibt sich ei liearer Phaseessbereich vo ± π. Bei Überschreite dieser Greze sprigt die Ausgagsspaug auf Null ud wächst da wieder it de ursprügliche Vorzeiche weiter. Dait ergibt sich die sägezahförige Keliie i Bild 3.4. Wichtig ist, dass die Keliie für ϕ > 0 ier positiv ud für ϕ < 0 ier egativ ist. Bild 3.5: Keliie des Phasediskriiators We älich i Bild 3.4 z.b. die Frequez größer als 1 ist, steigt die Phaseverschiebug proportioal zur Zeit auf ier größere Werte a. Nach Bild 3.4 ergibt sich dadurch für U D eie Spaug it positive Mittelwert. I der PLL-Schaltug ach Bild 3.1.a eriedrigt die Spaug U D die Frequez des VCOs da so lage, bis sie it 1 übereistit Das Schleifefilter Digitale Phasediskriiator-Schaltkreise liefer de Phasefehler als pulsbreiteoduliertes Sigal (s. Bild 3.4) desse Gleichstroateil die eigetliche Iforatio ethält. Der Gleichstroateil lässt sich it Hilfe eies Schleifefilters (s. Bild 3.6) aus de Phasefehler-Sigal zurückgewie.

17 Frequezodulatio ud -deodulatio 17 Bild 3.6: Mögliche Realisierug eies Schleifefilters (PI-Regler) Die Übertragugsfuktio des Schleifefilters lautet F ( p) wobei p der Laplace-Operator ist. U F 1+ pτ = = (3.3) U D pτ1 it τ = R 1C ud τ = R 1 C Eigeschwugeer (Eigerasteter) Zustad der digitale PLL-Schaltug Bild 5.4 zeigt das regeltechische Ersatzschaltbild für de eigeschwugee Zustad der PLL-Schaltug.. Bild 3.7: Ersatzschaltbild des PLL für de Eigeschwugee Zustad Durch de Verstärker v = 1 wird das ivertierede Verhalte des Filters kopesiert. Für das Übertragugsverhalte des restliche drei Blöcke gilt: Für de Phasedeskriiator : U D ( p) = K d φ ( p) e Für das Schleifefilter : Für de VCO : φ ( p) = F ( p) U F 1+ pτ = = U pτ K. U 0 p D ( p F ) 1

18 Frequezodulatio ud -deodulatio 18 Die erste dieser Beziehuge folgt uittelbar aus Gl. 3.. Die zweite Beziehug ist durch Gl. 3.3 gegebe. Die dritte Beziehug lässt sich aus de Verhalte des VCOs geäß Gl. 3.1 herleite: = 0 + K 0 u f () t (Gl. 3.1 wiederholt) Da die Phase φ defiitiosgeäß das Itegral der Kreisfrequez ist, gilt 0. t + φ ( t) = 0. t + K 0 u f ( t) dt t 0 I Frequezbereich ergibt sich daher (Nach Berücksichtigug des ivertierede Verstärkers): K0 U F ( p) φ ( p) = p Ausgehed vo sychroisierte Zustad erhält a da it Bild 3.7 für die Übertragugsfuktio G ( p) Φ = Φ 1 p 1+ D = p p + D + 1 (3.4) it K d K0 = (3.5) τ 1 1 K K D = τ d 0 (3.6) τ ud für de Phaseoffset bezoge auf die Eigagsphase Φ 1 1 Ge ( p) Φ = e Φ1 p = p p + D + 1. (3.7) Außerde ist für de Versuch die Abhägigkeit der Filterausgagsspaug U F vo der Eigagsgröße Φ 1 vo Bedeutug, weil dait der Zusaehag zwische de deodulierte Sigal ud der Eigagsgröße ausgedrückt wird:

19 Frequezodulatio ud -deodulatio 19 H ( p) U = Φ F 1 = p K 0 p p 1+ D p + D + 1 (3.8) verwedet Dyaisches Verhalte I eigerastete Zustad lässt sich das dyaische Verhalte der PLL- Schaltug it de Gleichuge (3.4), (3.7) ud (3.8) beschreibe. Dait lasse sich bei eier bekate Aregug ϕ 1( t) die gewüschte Ausgagsgröße bereche Frequezodulatio it eie Rechteckförige Modulatiossigal We die Periodedauer der Rechteckfuktio so groß ist, dass das Syste ach jede Sprug it Sicherheit wieder de eigeschwugee Zustad erreicht, da ka a das Systeverhalte auch it Hilfe eier Sprugfuktio als Aregug utersuche. Für die Frequez des Eigagssigals gilt da: ( t) 1 = 11 + ε (3.9) it 11 als Frequez des eigeschwugee Zustades ud als Größe des Spruges (ε(t) ist die Sprugfuktio), d.h. die Äderug der Eigagsphase erfolgt ach bzw. als trasforierte Größe ϕ 1 = t (3.10) Φ 1 =. (3.11) p Durch Eisetze vo Gl. (3.11) i Gl. (3.7) ud Gl. (3.8) erhält a U F p Φ e = (3.1) p p p + D + 1 p 1+ D 1 = p. (3.13) K 0 p p p + D + 1

20 Frequezodulatio ud -deodulatio 0 Die Rücktrasforatio vo Gl. (3.1) ud Gl. (3.13) ergibt für D < 1 ϕ e e D t () t = si 1 D t 1 D (3.14) u F () t = K D D t 3 1 e cos 1 D t si 1 D t (3.15) 1 D 0 Die statioäre Edwerte sid: ϕ e st = 0 U F st =. Die Sprugatwort vo ϕ e() t ist i Bild 3.8 für verschiedee Werte vo D dargestellt. Die Diesioierug des Filterkreises ist jetzt so vorzuehe, dass bei der Sprugaregug ϕ e de Wert ϕe = π icht überschreitet, da i diese Augeblick das Syste istabil wird. Diese Bedigug uss auch bei siusföriger Frequezodulatio eigehalte werde. K 0 Bild 3.8: Sprugatwort des Phasefehlers ˆ ( t) ϕ e bei PLL-Deodulator Frequezodulatio it eie Siusförige Modulatiossigal

21 Frequezodulatio ud -deodulatio 1 I diese Fall gilt = + cos t (3.16) 1 11 it als Modulatiosfrequez ud als Frequezhub. Dait erhält a ud Die Filterausgagsspaug ϕ1 = sit (3.17) Φ 1( p) =. (3.18) p + U F ergibt sich da it Gl. (3.8) zu U F ( p) = H ( p) p + (3.19) Nach Abklige der Eischwigvorgäge erhält a li uf t () t = H ( j ) si( t) + θ [ H ( j )] ( ), (3.0) [ wobei θ ( j ) eie Fuktio vo ( j ) H ] H ist. a Filterausgag ergibt sich also eie siusförige Spaug der Modulatiosfrequez. Das axiale Phaseoffset ϕˆ e ist hier gleich de Produkt aus der Aplitude der Eigagsphase ud de Betrag der Übertragugsfuktio G e( p = j ) (aus Gl. (5.9)): ˆ ϕe = Ge( j ). (5.8) Der Verlauf des Scheitelwertes ϕˆ ( ist i Bild 5.6 für verschiedee Werte vo D dargestellt. e )

22 Frequezodulatio ud -deodulatio Bild 5.6: Scheitelwert des Phasefehlers ϕˆ e Die Kurve zeigt ei ausgeprägtes Resoazaxiu bei =, desse Höhe it zueheder Däpfug D abit. I der Praxis sollte daher > ax gewählt werde, dait die Bedigug ˆ ϕe ax < π it Sicherheit eigehalte wird. 4. Aufbau der Versuchsschaltug Modulator 4.1 Schaltugsaufbau Der Messaufbau zur Modulatio besteht aus de Philips Fuktiosgeerator PM 5131 als Modulatiosquelle, aus de FM-Modulator (ud Fuktiosgeerator) HM ud eie ektroix DS-01 Digital Storage Oscilloscope. Das Oszilloskop diet hier zur Aalyse des frequezodulierte Sigals i Zeit- ud Frequezbereich.

23 Frequezodulatio ud -deodulatio 3 Modulator PM 5131 FM-fähiger Fuktiosgeerator HM Frequezdeodulator (I Kapitel 7, Deodulatio) Oszilloskop * DS-01 * Das DS-01 besitzt ur Kaäle, es uss also ier al ugesteckt werde.. 4. Gerätebeschreibug Fuktiosgeerator PM 5131 Der Fuktiosgeerator PM 5131 diet als NF Modulatiosquelle für de Versuch. Das Gerät erzeugt uschaltbar Sius-, Rechteckoder Dreiecksigale i Bereich 0.1 Hz bis MHz. Die Frequezeistellug erfolgt über die Kreisskala it logarithischer eilug sowie 3 Bereichsschalter ( x1, x100, x10k ). Die a der Buchse Output aliegede Sigalaplitude ka über eie Abschwächer Atteuatio ud de Aplituderegler verädert werde.

24 Frequezodulatio ud -deodulatio 4 Fuktiosgeerator HM Der Fuktiosgeerator HM erzeugt die rägerfrequez für die Modulatio ud erzeugt eie FM-Modulatio it de a FM-Eigag aliegede Sigal. (1) 4stellige digitale Frequezazeige, Bereichsidikatore für Hz ud khz () Aplituderegler FM-Eigag. Abschwächug des Modulatiossigals, dadurch Äderug des Frequezhubs. (3) Modulatioseigag (4) Drehkopf zur lieare Frequezeistellug. Regelbereich vo 0.09 bis 1.1 des it (5) gewählte Bereich. (5) Drehschalter für Frequezbereichswahl vo 0.1 Hz bis 1 MHz i 7 dekadische Stufe. (6) Übersteuerugsazeige für Eigagssigal (7) DC-Offset für Ausgagssigal. Bei der Versuchsdurchführug auf kalibriert (=0) zu stelle! (8) Uschalte der Sigalfor: Dreieck, Sius, Rechteck ud Gleichspaug. (9) riggerausgag it L Pegel, astverhältiss 50%. Wird icht beutzt! (10) Sigalausgag (11) Drehkopf für Sigalaplitude, Eistellbereich vo 0 bis 0 db bei 50 Oh Last a Ausgag. (1) zuschaltbare Abschwächer u jeweils 0 db Digitales Speicheroszilloskop DS 01 Das digitale Speicheroszilloskop DS 01 diet i Folgede als Messgerät zur Erfassug der zu essede Sigale i Zeit- ud Frequezbereich. Die Messug i Frequezbereich wird durch eie zeitliche Abtastug des Sigals it aschließeder Berechug eier Fast Fourier rasforatio erreicht. I Folgede soll die Bedieug dieses Messgerätes kurz erläutert werde, i Zweifelsfall ist i der beiliegede Bedieugsaleitug achzulese.

25 Frequezodulatio ud -deodulatio 5 A de Eigäge CH 1 ud CH werde die Messleituge ageschlosse. Soll eie Sigalleitug weitergeführt werde sid geeigete BNC -Stücke azubrige. Die aste CH 1 Meu bzw. CH Meu brige das Sigal a etsprechede Eigag zur Azeige. Ei ereuter Druck auf die aste bledet de etsprechede Kaal wieder aus. Mit de Drehsteller Volts/Div der beide Kaäle köe uterschiedliche Verstärkugsfaktore der Eigagsverstärker gewählt werde. Die vertikale Positio des Sigals ka it de jeweilige Regler Positio verädert werde. Mit de Bedieeleete der Sektio Horizotal ka die zeitliche Auflösug der Darstellug für beide Kaäle geeisa geädert werde. I rigger Meu ka der Startpukt der Messwerterfassug it zahlreiche Zusatzbediguge verädert werde, was zur Durchführug des Versuchs jedoch icht ötig sei sollte! Zusätzlich zur Sigalfor eröglicht dieses Messgerät direkt Kewerte für das aliegede Sigal abzulese, z.b. Frequez, Spitzewerte oder it de Cursor Syste ausgewählte Bereiche der Azeige it Agabe für Zeite ud Spaugsdiffereze. Die weitere Bedieug des Oszilloskops erfolgt eügeführt ud wird über die 5 Fuktiostaste a rechte Rad des Displays gesteuert. Nach jede astedruck werde kurzzeitig weitere Optioe bzw. Hilfetexte a utere Bildschirrad eigebledet. Bei Bediefehler oder Verstädisschwierigkeite gibt es die Auto Set aste rechts obe. "Auto Set" setzt das Gerät i eie Betriebsart zurück, die die Azeige beider Kaäle i Zeitbereich erlaubt. Hierbei wählt die Firware des Gerätes selbst die Verstärkugsfaktore, zeitliche Auflösug ud riggerart sowie de riggerkaal, abhägig vo de aliegede Sigale. Dieses Auto Set wählt jedoch icht die für eiige Messuge otwedige Feieistelluge ud der Druck auf diese aste überschreibt auch alle vorher getätigte Eistelluge! Das Gerät stellt außerde eie O-Scree Hilfe zur Verfügug, die Beutzer it Erfahrug i Ugag it kovetioelle Oszilloskope die zusätzliche Eistell- ud Darstellugsöglichkeite ehrsprachig erläutert. Die Besoderheit des DS 01 ist die Möglichkeit die digitalisierte ud gespeicherte Messwerte über feste atheatische Algorithe zur Darstellug aufzubereite, a Wichtigste ist i Folgede die Fast Fourier rasforatio. Sie eröglicht die Darstellug eies Sigals i Frequezbereich, allerdigs gibt es hierbei eiige Eischräkuge zu beachte. Das atheatische Meü welches die FF zugäglich acht, ist über die aste Math Meu erreichbar.

26 Frequezodulatio ud -deodulatio 6 Nebe der Betriebsart FF ist die Art der Festerfuktio auszuwähle. Die Wahl der Saplerate ist etspreched de gewüschte Azeigebereich zu treffe. Dabei gibt es folgede Eischräkug: Die Azahl der Saples beträgt uabhägig vo der zeitliche Auflösug ier 048. Daraus wird ach der FF eie Darstellug i Frequezbereich it 104 Stützpukte. Beötigt a eie hohe Auflösug des Frequezbereichs wird sowohl die Festerbadbreite als auch die axiale Frequez sehr klei, da die iedrigste Frequez des Festers ier 0 Hz ist! Über die Zoo-Fuktio ka ur die Darstellug verfeiert werde; die Messwertauflösug ädert sich dadurch icht. Zur Aufahe vo Messwerte i Zeit- ud Frequezbereich sollte die Curserfuktioe des Messgerätes verwedet werde, so köe relativ eifach Aplitude- ud Frequezwerte exakt veresse werde. Die Darstellug der Aplitude erfolgt grudsätzlich logarithisch! 5. Versuchsprogra Modulator Ziel dieser Messug ist es, ei Sigal auf eie räger per Frequezodulatio aufzuoduliere ud aschließed das Sigal i Zeit- ud i Spektralbereich auf eie sog. FF-Oszilloskop darzustelle. a) Zuächst soll lediglich das uodulierte rägersigal erzeugt ud geesse werde. Wähle Sie a Modulator eie 100 khz räger, lasse Sie dabei de Modulatioseigag ("FM-Iput") zuächst offe. Führe Sie u das Sigal vo Modulator i eie Eigag des Oszilloskops, wähle Sie dort die FF-Darstellug (MAH->FF). Versuche Sie de räger ittig azuzeige, it idestes ca. 10 khz freie Spektru auf beide Seite des rägers. Es sollte u außer de räger keie weitere Sigalateile zu sehe sei! b) Nu soll der räger it eie Nutzsigal frequezoduliert werde. Stelle Sie dazu a Fuktiosgeerator ei si-föriges Sigal der Frequez 1 khz ei, ud verbide Sie de Ausgag des Fuktiosgeerators it de Modulatioseigag des Modulators. Sie sollte u auf de Oszilloskop ebe de räger bereits Seiteliie beidseitig des rägers erkee köe. We icht, üsse sie die Aplitude des zu odulierede Sigals veräder oder de Frequezausschitt i Oszilloskop etspreched wähle. c) Wähle Sie u jeweils die Aplitude des zu odulierede Sigals so, dass ϕ die Werte,4 ud 5,5 ait. Verwede Sie hierzu das Besseldiagra. Wie uss u jeweils das Spektru aussehe? Veresse Sie zuächst die Spektre it de Cursorfuktioe des Oszilloskops. Skizziere Sie da die Spektre i lieare Maßstab, vergleiche Sie es it de theoretische Spektre! Hiweis: Bei der logarithische Darstellug etspreche 0dB eier Verzehfachug der Aplitude. d) Messe Sie die Badbreite des geessee Spektrus bei ϕ =,4, ide Sie ur die äußere Seiteliie it axial 10% der Aplitude des rägers berücksichtige. Bereche Sie aschließed die theoretische Badbreite des Sigals ahad der dafür geeigete Forel! Vergleiche Sie die Ergebisse! e) Veräder Sie u die Frequez des rägers. Was beobachte Sie? Veräder Sie aschließed die Frequez des zu odulierede Sigals. Was ist u zu beobachte? Erkläre Sie das Verhalte it de Zusaehag zwische ϕ, f ud. f

27 Frequezodulatio ud -deodulatio 7 f) Schalte Sie u das Oszilloskop i die Zeitdarstellug u ud versuche Sie, eiige Schwiguge des räger darzustelle. Vergleiche Sie u das Sigal och eial it de uodulierte räger. Sie sollte i Vergleich eie deutliche Zeituschärfe des odulierte Sigals feststelle. Die Aplitude ist dagege i beide Fälle kostat. 6. Aufbau der Versuchsschaltug Deodulator I diese Versuch soll eie FM-Deodulatio it Hilfe eies IfN-eigee PLL-Deodulators durchgeführt werde. Das Blockschaltbild des gesate Versuchsaufbaus zeigt Bild 6.1. Es ist idetisch it der auf der Abdeckplatte des Laboraufbaus eigravierte Darstellug ud zeigt die eizele Baugruppe der Schaltug. Diese köe durch Kabel so iteiader verbude werde, dass sich die gewüschte Fuktiosweise ergibt. Nebe de PLL-Deodulator ist auch ei Quadraturdeodulator zusaeschaltbar der allerdigs icht Gegestad dieses Versuchs ist. Die für die Messuge beötigte Wechselspaugssigale köe a BNC- Buchse, Gleichspauge a elefobuchse abgegriffe werde. Bild 6.1: Blockschaltbild des Versuchsaufbaus Das Schaltbild des Versuchsaufbaus ist i Bild 6. dargestellt. Die Schaltug arbeitet auf eier Mittefrequez f vo 100 khz. Das Eigagssigal wird it Hilfe des Differezverstärkers 1, begrezt ud da durch de Schitt-rigger I zu eie Rechtecksigal gefort. Mit diese Sigal, das a Buchse I abgegriffe werde ka, wird der Referezeigag I des digitale PDs agesteuert.

28 Frequezodulatio ud -deodulatio 8 Bild 6.: Schaltug des Versuchsaufbaus Frequezdeodulatio Zur Realisierug des PLL-Deodulators wird das VCO-Ausgagssigal (Buchse 3) it de Eigag des PDs verbude. Das PD-Ausgagssigal wird auf de aktive PI-Regler IS gegebe. 8 arbeitet als Verstärker it v = 1. A Collector wird das Steuersigal für de VCO abgegriffe. A Eitter köe durch 9 etkoppelt die iederfrequete Mess-Sigale abgegriffe ud auf de iefpass IS 1 gegebe werde. Über de Spaugsteiler P, R ka a de Steuereigag des VCOs eie variable Gleichspaug gelegt werde, it der die VCO-Frequez verädert werde ka. 7. Versuchsprogra Deodulator I diese Versuchsteil soll das bereits i Kapitel 5 odulierte Sigal wieder deoduliert werde. a) Zuächst uss die Schaltug des PLL-Modulators aufgebaut werde. Richte sie sich hierzu ach der Versuchsbeschreibug aus Kapitel 6. b) Messe Sie u die Frequezkeliie des VCOs aus. Hierzu gebe Sie das Sigal des Sigalabgriffs a VCO direkt auf das Oszilloskop. Als Eigagssigal der PLL-Schaltug wähle Sie eie uodulierte, siusförige rägerschwigug. I welche Frequezbereich ka die PLL stabil betriebe werde? Betrachte Sie aschließed das Sigal auch i Zeitbereich. c) Stelle Sie a Modulator die folgede Werte ei: rägerfrequez 100 khz, Sigalfrequez 1 khz Sius ud ϕ auf,405. Schließe Sie da de Ausgag des Modulators a de Eigag des Deodulators a ud überprüfe Sie das deodulierte Sigal it de Oszilloskop i Zeit- ud Spektralbereich. Stit das deodulierte Sigal it de

29 Frequezodulatio ud -deodulatio 9 Ursprugssigal überei? Messe Sie de Klirrfaktor k äherugsweise als das Verhältis der Sue der Aplitude der größte Oberwelle zur Aplitude der Hauptschwigug i Prozet. d) Messe Sie de verfügbare Frequezbereich der Übertragugsstrecke. Halte Sie hierzu die siusförige rägerfrequez bei 100 khz kostat ud wähle Sie ei siusföriges Modulatiossigal. Skizziere Sie de Verlauf des Ausgags- zu Eigagsaplitudeverhältisses als Fuktio der Modulatiosfrequez i Bereich vo 0-4 khz. Wo liegt die 3 db Grezfrequez? e) Wähle Sie u Dreiecks- ud Rechtecksigale zur Modulatio ud esse Sie ebefalls die Grezfrequez. Auf welche Problee stoße Sie hierbei? 8. Literatur [1] Mäusl, R.: Aaloge Modulatiosverfahre. Hüthig-Verlag, Heidelberg, [] Reiers, U.: Skript ud CD-ROM zur Vorlesug Grudlage der Iforatiostechik. [3] Mäusl, R.; Göbel, J.: Aaloge ud digitale Modulatiosverfahre, Hüthig-Verlag, Heidelberg, 00.