Mathematische Probleme, SS 2018 Dienstag 5.6. $Id: dreieck.tex,v /06/05 15:41:51 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
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- Gerhard Solberg
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1 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 $Id: dreiek.tex,v /06/05 15:41:51 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung htten wir den sogennnten Kongruenzstz SSS vollständig ehndelt, dieser zeigt ds ein Dreiek zum einen durh seine Seitenlängen is uf Kongruenz eindeutig festgelegt ist und ds umgekehrt ei gegeenen Seitenlängen genu dnn ein pssendes Dreiek existiert wenn diese Längen die Dreieksungleihung erfüllen. Außerdem werden die Winkel des Dreieks explizit in Termen der Seitenlängen ngegeen. Die effektive Konstruktion eines Dreieks ei gegeenen,, ist jetzt uh leiht möglih. Wollen wir dies mit dem Geodreik tun, so erehnen wir zunähst den Winkel α gemäß der oigen Formel und trgen dnn Streken AB und AC der Längen und im Winkel α zueinnder. Dies git uns ds gesuhte Dreiek. Die Konstruktion mit Zirkel und Linel ist uh leiht möglih, dss gegeen ist edeutet ds wir eine Streke AB der Länge hen, und dnn können wir um A einen Kreis mit Rdius und um B einen Kreis mit Rdius zeihnen und erhlten C ls einen Shnittpunkt der eiden Kreise. Wir shuen uns noh zwei explizite Beispiele zum een ewiesenen Stz n. 1. Seien = 6, = 3 und = 2. Um zu shuen o es ein Dreiek mit diesen Seitenlängen git müssen wir die Dreieksungleihung üerprüfen. Diese ist hier er wegen = 6 > = + offensihtlih verletzt, es git lso kein Dreiek mit diesen Seitenlängen. 2. Nun seien = 4, = 2, = 3. Diesml sind die Dreieksungleihungen erfüllt, es reiht j offenr diese für die längste Seite zu verifizieren und hier hen wir = 4 < 2+3 = +. Es git lso ein Dreiek mit diesen Seitenlängen. Die Winkel in diesem Dreiek ergeen sih jeweils uf zwei Nhkommstellen gerundet ls α = ros β = ros γ = ros = ros , 48, = ros , 96, = ros , 57. Wir kommen nun zum nähsten Typ von Konstruktionufgen ei dem zwei Seiten und ein Winkel vorgegeen sind. Hier git es zwei möglihe Fälle, entweder ist der Winkel der von den eiden Seiten eingeshlossene Winkel oder einer der eiden nderen 13-1
2 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 Winkel. Im ersten Fll spriht mn vom Kongruenzstz SWS, für Seite Winkel Seite, und im zweiten Fll vom Kongruenzstz SSW für Seite Seite Winkel. Diese eiden Fälle untersheiden sih reht deutlih voneinnder und wir eginnen mit dem komplizierteren der eiden, dies ist der SSW-Stz. Angenommen wir wollen in den Stndrdezeihnungen die eiden Seiten, und den Winkel β vorgeen. Dnn trgen wir zunähst eine Streke AB der Länge. Der Winkel β git uns einen Strhl H mit Strtpunkt B vor uf dem der dritte Ekpunkt C des gesuhten Dreieks liegen muss und die Länge git einen Kreis K mit Rdius und Mittelpunkt A uf dem C liegen muss. Der gesuhte dritte Punkt C ist lso ein Shnittpunkt der Hlgerden H mit dem Kreis K. Wir wollen uns hier uf den Fll > eshränken, dss lso der Winkel β der größeren Seite gegenüerliegt. Dnn liegt der Punkt B innerhl des Kreises K und ein von B usgehender Strhl wird K in genu einem Punkt treffen. Die ndere Möglihkeit < ist komplizierter und wird in Aufge 28 ehndelt. Stz 2.2 Dreiekserehnung ei zwei Seiten und einem äußeren Winkel Seien > > 0 und ein Winkel 0 < β < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek = ABC mit AC = und AB = dessen Winkel ei B gleih β ist. In den Stndrdezeihungen hen wir dnn = os β sin 2 β, α = ros γ = ros sin 2 β os β 2 2 sin 2 β C 2 2 os β sin 2 β + os β, A. β B Beweis: Wir eginnen mit der Existenzussge. Zunähst trge eine Streke AB der Länge AB = und ezeihne K den Kreis mit Rdius und Mittelpunkt A. Wegen AB = < liegt B innerhl des Kreises K. Bezeihne S den Strhl mit Strtpunkt B und A S und trge einen weiteren Strhl H mit Strtpunkt B im Winkel β zu S, es gelte lso S, H = β. D H uneshränkt ist enthält H Punkte die ußerhl von K liegen, der Strtpunkt B von H liegt dgegen innerhl des Kreises K, d H zusmmenhängend ist shneiden sih H und K lso in einem Punkt C. Wegen 0 < β < π ist S H niht kolliner, lso sind uh A, B, C niht kolliner und ABC ist ein Dreiek mit AB = und AC = d der Rdius von K ist. Außerdem ist der Winkel dieses Dreieks ei B gerde der Winkel zwishen S und H lso β. Dmit ist die Existenzussge ewiesen. 13-2
3 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 Sei jetzt umgekehrt ABC ein Dreiek mit AB =, AC = und Winkel β ei B. In den Stndrdezeihnungen liefert der Cosinusstz 1.Stz 30 2 = os β, lso 2 2 os β = 0 Dies ist eine qudrtishe Gleihung für und wir erhlten = os β ± 2 os 2 β = os β ± 2 2 sin 2 β. Wegen > ist uh 2 2 sin 2 β > 2 2 sin 2 β = 2 os 2 β, lso 2 2 sin 2 β > os β und dmit ist = os β sin 2 β. Dies eweist zum einen die Berehnungsformel für und zum nderen ist durh,, β festgelegt, lso ist ds Dreiek ABC nh 1.Stz 36. is uf Kongruenz eindeutig festgelegt. Weiter hen wir sowie 2 = 22 2 os β 2 = os2 β os β 2 2 sin 2 β = sin2 β os β 2 2 sin 2 β, = os β 2 = os β 2 2 = os β sin 2 β + os β und nh Stz 1 gelten α = ros sin 2 β os β 2 2 sin 2 β und 2 2 γ = ros os β sin 2 β + os β. Wir kommen zum nähsten der Konstruktionssätze ei dem zwei Seiten und der von ihnen eingeshlossene Winkel vorgegeen sind. In den Stndrdezeihnungen seien etw die eiden Seiten, > 0 und der von ihnen eingeshlossene Winkel 0 < α < π gegeen. Dss es dnn ein zu diesen Vorgen pssendes Dreiek git ist klr, wir müssen j nur eine Streke AB der Länge und eine Streke AC der Länge im Winkel α trgen, und hen dnn ein Dreiek ABC der gewünshten Art. Dfür 13-3
4 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 müssen wir wieder eine Eindeutigkeitsussge nhweisen, lso zeigen ds ds Dreiek durh,, α is uf Kongruenz eindeutig festgelegt ist, mn spriht dnn uh vom Kongruenzstz SWS für Seite Winkel Seite. All dies läßt sih wieder equem üer den Cosinusstz durhführen. Stz 2.3 Dreiekserehnung ei zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel Seien, > 0 und 0 < α < π gegeen. Dnn existiert ein is uf Kongruenz eindeutiges Dreiek ABC mit AC = und AB = so, dss α der Winkel ei A ist. In den Stndrdezeihnungen gelten weiter = os α, os α β = ros, os α os α γ = ros os α Beweis: Die Existenz eines Dreieks ABC mit den verlngten Eigenshften hen wir ereits eingesehen. Nh dem Cosinusstz 1.Stz 30 gilt in jedem solhen Dreiek in den ülihen Bezeihnungen = os α und insesondere ist ds Dreiek nh Stz 1 is uf Kongruenz eindeutig estimmt. Weiter hen wir = 22 2 os α 2 = os α os α und nh Stz 1 ist dmit os α β = ros os α Die Gleihung für γ ergit sih nlog. Es verleien nur noh die Konstruktionsufgen mit einer vorgegeenen Seite und zwei vorgegeenen Winkeln. Für diese enötigen wir ds die Winkelsumme in einem Dreiek immer π ist. Stz 2.4 Winkelsumme im Dreiek Sei = ABC ein Dreiek und ezeihne α, β, γ die Winkel von in den Stndrdezeihnungen. Dnn gilt α + β + γ = π. Beweis: Dies htten wir ereits im Anshluß n den Beweis des 1.Stz 28 festgehlten. D die Winkelsumme lso stets π ist, spielt es keine Rolle welhe Winkel vorgegeen werden, sind zwei Winkel eknnt so stehen ereits lle drei Winkel fest. Der entstehende Stz ist dnn der sogennnte Kongruenzstz Seite Winkel Winkel, lso SWW, und 13-4
5 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 zur Berehnung der fehlenden Seitenlängen verwenden wir den sogennnten Sinusstz, den wir zunähst einml formulieren und eweisen wollen. Hierzu ruhen wir den Begriff der Höhen eines Dreieks, ist ein Dreiek und A eine Eke von so nennt mn ds Lot von A uf die Verindungsgerde l der eiden nderen Eken von die Höhe von durh A eziehungsweise die Höhe von uf l, der Lotfußpunkt H von A uf l heißt dnn der Höhenfußpunkt von uf l. Oft werden uh die Streke H A oder deren Länge h := H A ls die Höhe ezeihnet, dss ds Wort Höhe ddurh mit drei vershiedenen Bedeutungen elegt ist, ist zwr etws unglüklih er ülih. Ist = ABC so ezeihnet mn die Höhenfußpunkte eziehungsweise die Höhen von durh A, B, C in den Stndrdezeihnungen ls H, H, H eziehungsweise h, h, h. Stz 2.5 Der Sinusstz Sei ein Dreiek mit Seiten,, und Winkeln α, β, γ in der Stndrdezeihnung. Dnn gilt = sin β = sin γ und ezeihnet h, h, h die Höhen uf den jeweiligen Seiten,, so hen wir h = sin β = sin γ, h = = sin γ, h = = sin β, Beweis: Wir eginnen mit der Aussge üer die Höhen und dei reiht es h = zu zeigen, die nderen Gleihungen gehen us dieser durh Umezeihnungen hervor. Wir shreien h = h. Im Fll α = π/2 fllen h und zusmmen und wegen sinπ/2 = 1 ist in diesem Fll sofort h =. Wir können lso α π/2 nnehmen und es treten drei möglihe Fälle uf. h h h α p α p p α Fll 1 Fll 2 Fll 3 Im ersten Fll ist 0 < α < π/2 und h liegt im Dreiek. Dnn lesen wir den Sinus von α im links uftuhenden rehtwinkligen Dreiek und hen = h/, lso h =. Im zweiten Fll ist 0 < α < π/2 weiterhin ein spitzer Winkel er h liegt ußerhl des Dreieks. Dnn verlängern wir die Seite wie gezeigt zu einem rehtwinkligen Dreiek und in diesem lesen wir den Sinus von α wieder ls = h/, hen lso wieder h =. Im letzten Fll ist π/2 < α < π ein stumpfer Winkel. Betrhten wir dnn ds links uftuhende rehtwinklige Dreiek ACH woei H der Fußpunkt von h = h uf AB ist, so liegt in diesem ei A der Winkel π α n, lso ist = sinπ α = h lso erneut h =. 13-5
6 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 Der eigentlihe Sinusstz ist jetzt eine unmittelre Folgerung, wegen und wegen sin β = sin γ ist sin β = sin γ = sin γ hen wir uh Dmit ist der Sinusstz vollständig ewiesen. Nun kommen wir zum finlen Kongruenzstz SWW: = sin γ. Stz 2.6 Dreiekserehnung ei einer Seite und zwei Winkeln Seien > 0 und 0 < α, β < π gegeen. Dnn existiert genu dnn ein Dreiek = ABC mit AB = und Winkeln α ei A und β ei B wenn α + β < π ist. In diesem Fll ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt und es gelten = sinα + β, = sin β sinα + β, γ = π α β. Beweis: D die Winkelsumme im Dreiek nh Stz 4 gleih π ist, ist die Bedingung α + β < π notwendig für die Existenz eines pssenden Dreieks. Nun nehme umgekehrt α + β < π n. Dnn trgen wir eine Streke AB der Länge AB = und ilden im Winkel α einen von A usgehenden Strhl und im Winkel β einen von B usgehenden Strhl so, dss diese eiden Strhlen uf derselen Seite H der AB enthltenden Gerden liegen und sih gegenüerliegen. Nh dem Prllelelxiom 1.Stz 28. shneiden sih die eiden Strhlen in einem Punkt C H und dnn ist ABC ein Dreiek mit AB = und Winkel α ei A und β ei B. Dmit ist die Existenzussge ewiesen, und wir kommen nun zur Eindeutigkeit. Sei lso ein elieiges Dreiek des gesuhten Typs gegeen. Dnn ist γ = π α β und mit dem Sinusstz Stz 5 folgen und eenso = sin γ = sinπ α + β = = sin β sin γ = sin β sinα + β. Insesondere ist is uf Kongruenz eindeutig estimmt. sinα + β Zusmmenfssend hen wir dmit die folgenden Kongruenzussgen eingesehen: Zwei Dreieke sind genu dnn kongruent wenn sie 13-6
7 Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 in llen drei Seiten, in zwei Seiten und dem von ihnen eingeshlossenen Winkel, in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüerliegenden Winkel, in einer Seite und zwei Winkeln üereinstimmen. 13-7
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