Gekoppelte Pendel an der Hafttafel

Transkript

1 Prinzip Schwingungen treten in der Physik in den verschiedensten Zusammenhängen auf, sie sind bei Schaukeln, Federungen im Auto oder Hängebrücken makroskopisch beobachtbar. In der Natur hat man jedoch in der Regel auf mikroskopischer Skala keine einzelnen Oszillatoren, sondern gekoppelte. Nur so ist es möglich, dass sich Wellen ausbreiten, zum Beispiel Wasserwellen, Schall, Licht oder Erdbeben. In diesem Versuch werden beispielhaft die Eigenfrequenzen und das Phänomen der Schwebung bei zwei gekoppelten Federpendeln behandelt. Material Cobra4 Wireless Manager Cobra4 Wireless-Link Cobra4 Sensor-Unit Kraft ±40 N Demo-Tafel Physik, mit Gestell Muffe auf Träger für Demo-Tafel Schraubenfeder D = 3 N/m Schraubenfeder D = 0 N/m Gewichtsteller für Schlitzgewichte Schlitzgewichte schwarzlackiert, 50 g Software measure für Cobra4 Zusätzlich wird benötigt PC mit USB-Schnittstelle, Windows XP oder höher Abbildung : Versuchsaufbau

2 Hinweis Es ist hilfreich, den Kraftsensor kopfüber aufzubauen und zu montieren, um den An Aus-Taster einfacher erreichen zu können (Abb. ). Aufbau Entsprechend dem Übersichtsfoto (Abb. ) den Versuch aufbauen. Durchführung PC und Windows starten. Cobra4 Wireless Manager in die USB-Schnittstelle des PCs stecken. Softwarepaket measure am PC starten. Den Cobra4 Wireless-Link mit angesteckter Cobra4 Sensor-Unit Kraft 40 N einschalten. Die Sensoren werden nun automatisch erkannt und es wird ihnen je eine IDNummer (0 bzw. 0) zugewiesen, die im Display des Cobra4 Wireless-Link sichtbar ist. Die Kommunikation zwischen dem Cobra4 Wireless Manager und dem Cobra4 Wireless-Link wird über die LED Data angezeigt. Beim Einschalten wird der Kraftsensor tariert, das heißt zu Beginn zeigt er eine Gewichtskraft von 0 N. Experiment in measure laden (Experiment > Experiment öffnen). Es werden nun alle benötigten Voreinstellungen zur Messwertaufnahme gestartet. Messwertaufnahme in measure starten. Es werden insgesamt vier Messungen durchgeführt. Die beiden Federpendel werden zunächst gleich stark angeregt (z. B. durch gleichzeitiges Hochheben mit Hilfe eines Buches), dann entgegengesetzt bei gleichem Betrag, und schließlich wird nur ein Pendel ausgelenkt. Zusätzlich kann die Eigenfrequenz der beiden ungekoppelten Pendel bestimmt werden. Auswertung Lenkt man beide Pendel gleich stark und in gleicher Richtung aus, so schwingen sie gleichphasig. Zwischen ihnen wird keine Energie ausgetauscht, die Frequenz und die Amplitude (bei Vernachlässigung der Reibung) bleiben erhalten (Abb. (a)). Lenkt man sie gleich stark, aber entgegengesetzt aus, schwingen sie gegenphasig (Phasenverschiebung 80 bzw. π). Auch in diesem Fall findet kein Energieaustausch statt (Abb. (b)). Lenkt man nur ein Pendel aus, so kann man beobachten, dass die Amplitude der Schwingung immer weiter abnimmt, bis die Energie vollständig auf das zweite Pendel übertragen worden ist; dann läuft der Prozess in umgekehrter Richtung ab. Die Schwingungsenergie wird periodisch zwischen den beiden Pendeln übertragen (Abb. (c)). Dieses Phänomen wird mit Schwebung bezeichnet. Die in der Realität auftretende schwache Schwebung (d.h. der geringe Energieaustausch) im Fall der gleich- und gegenphasigen Schwingung kommt dadurch zustande, dass die Massen und Federkonstanten der Pendel, d.h. die Eigenfrequenzen, nicht exakt übereinstimmen, und dass es per Hand auch nicht gelingt sie exakt gleich anzuregen.

3 Im measure Hauptprogramm kann mit Hilfe der Funktion Vermessen ( ) die Schwingungsdauer T als Abstand zwischen zwei Schwingungsmaxima und daraus die Frequenz f der Schwingung bestimmen. Alternativ kann man sich mittels der Funktion Fourieranalyse ( ) und zusätzlich Peakanalyse ( ) die Frequenz der Grundschwingung anzeigen lassen. In Tabelle sind die Frequenzen der beiden (ungekoppelten) Pendel, der gleich- und der gegenphasigen Schwingung sowie der Schwebung aufgelistet, die mit Hilfe der Fourieranalyse ermittelt wurden. Abbildung : Messung von gleichphasiger Schwingung (a) und gegenphasiger Schwingung (b). 3

4 Abbildung (c): Messung von Schwebung. Tabelle 4 Schwingung f / Hz Pendel, Pendel,0 Gleichphasig,09 Gegenphasig,3 Schwebung,0 &,3 Im Vergleich zum ungekoppelten Pendel sind die Frequenzen der gleich- und gegenphasigen Schwingung leicht verschieden: Die gleichphasige Schwingung hat eine etwas geringere Frequenz als die eines einzelnen Pendels, da die Trägheit der Kopplungsfeder die Schwingung beeinflusst. Die gegenphasige Schwingung ist dagegen etwas hochfrequenter, da die Rückstellkraft durch die Kopplungsfeder leicht erhöht wird. Ein System aus zwei gekoppelten Pendeln besitzt also zwei Eigenfrequenzen. Die Frequenzanalyse der Schwebung liefert zwei Frequenzen, die im Rahmen der Messgenauigkeit mit den Frequenzen der gleich- und gegenphasigen Schwingung übereinstimmen. Daraus wird ersichtlich, dass die Schwebung mathematisch als Überlagerung von zwei Schwingungen mit (leicht) unterschiedlichen Frequenzen aufgefasst werden kann (s. auch Abb. 3). Mittels der Vermessen -Funktion kann man zusätzlich die eigentliche Frequenz der Schwingung und die Frequenz der Schwebung bestimmen (Abb. 4).

5 Man erhält: T Schwebung = 88,30 s 3,5 s = 56,05 s f Schwebung = 0,0 Hz 5,43 s 38,9 s T Schwingung = = 0,90 s f Schwingung =, Hz 5 Durch Vergleich sieht man, dass ein Zusammenhang zwischen den Frequenzen der gleich- und gegenphasigen Schwingung und den Frequenzen der Schwebung besteht: f Schwebung = f Schwingung = f gegen f gleich f gegen + f gleich,3 Hz,09 Hz = 0,0 Hz,3 Hz+,09 Hz = =, Hz = Aus diesem Grund liefert die Fourieranalyse der Schwebung die Frequenzen der gleich- und gegenphasigen Grundschwingungen. Ein System mit einem Oszillator hat genau eine Eigenfrequenz. Ein System mit zwei Oszillatoren hat dagegen schon zwei Eigenfrequenzen, wie gezeigt. Ein System aus n gekoppelten Oszillatoren hat demnach n Eigenfrequenzen. Auf diese Weise kommen z. B. die sog. Energiebänder im Festkörper zustande (der aus n gebundenen Atomen besteht). Regt man zwei gekoppelte Pendel nicht genau gleich- oder gegenphasig an, tritt Schwebung auf. Sind die Pendel unterschiedlich, oder werden sie unterschiedlich angeregt, so entsteht eine unreine Schwebung, die Energie wird dann nie vollständig ausgetauscht. Im symmetrischen System dagegen (zwei identische Pendel), wenn zu Beginn nur ein Pendel ausgelenkt wird, wird die Energie vollständig übertragen, jedes Pendel hat dann eine Ruhephase in der es nicht schwingt. Wie schnell der Energieaustausch stattfindet hängt von der Stärke der Kopplung ab (was leicht getestet werden kann, indem die Kopplungsfeder durch Veränderung des Abstands etwas mehr oder etwas weniger gespannt wird). Das Phänomen der Schwebung findet sich z. B. in der Akustik (Überlagerung zweier ähnlicher Töne; man hört einen an- und abschwellenden, resultierenden Ton). Auch elektromagnetische Schwingungen können Schwebungen erzeugen, was man sich bei Metalldetektoren oder Diebstahlschleusen in Kaufhäusern zunutze macht. 5

6 Abbildung 3: Veranschaulichung der Entstehung einer reinen Schwebung. Dargestellt sind zwei Schwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen (4 %) und gleichen Amplituden (oben), sowieso die Resultierende der beiden Schwingungen (unten). 6

7 Abbildung 4: Ermittlung der Frequenz der Schwebung (a) und der eigentlichen Schwingung (b). 7