Unterrichtsskript. Mathematik. Fachhochschulreife

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1 Unterrichtsskript Mathematik Fachhochschulreife Elmar Mönig

2 1 Zahlen Eigenschaften der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Intervalle Zusammenfassung Grundlagen Rechnen mit reellen Zahlen Elementare Rechenregeln Rechnen mit Potenzen Zahlen in Exponentialdarstellung Rechnen mit Wurzeln Doppelbrüche Gleichungen Äquivalenzumformung Quadratische Gleichungen Bruchgleichungen Betragsgleichungen Ungleichungen / Betragsungleichungen / Bruchungleichungen Ungleichungen Betragsungleichungen Bruchungleichungen Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Der Logarithmus Beispiel für das Lösen von Exponentialgleichungen Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen Das Additionsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren Das Einsetzverfahren Der Gauß - Algorithmus Seite 1

3 3 Funktionen Definition und ihre Darstellung Funktionsarten Rationale Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Einführungsbeispiel Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung Zusammenfassung Quadratische Funktionen Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Ganzrationale Funktion n ten Grades Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen Differenzialrechnung Einführung Tangenten Sekantensteigung Einfache Ableitungsregeln Ableitungen höherer Ordnung Diskussion Ganzrationaler Funktionen (GRF) Beispiele für Ganzrationale Funktionen Spezialfälle Kurvendiskussion Beispiel Monotonie und Monotonieverhalten von Funktionen Funktionen aus gegebenen Bedingungen Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung Extremwertaufgaben Integralrechnung Einführung Einführungsbeispiel zur Integralrechnung Vorbetrachtungen zur Flächenfunktion Das Flächenproblem Flächeneinschachtelung Wir suchen die Stammfunktion Die Menge der Stammfunktionen Seite 2

4 5.1.7 Übungen Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen Mehrere Teilflächen zwischen zwei Funktionsgraphen Trigonometrie Bogenmaß des Winkels Gleichung des Ursprungkreises Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis Sinuswerte Kosinuswerte Tangenswerte Sinussatz Kosinussatz Aufgabentypen Trigonometrische Funktionen Goniometrische Gleichungen / Additionstheoreme Die Komplexe Zahlen Die imaginären Zahlen Einführung der komplexen Zahlen (complecti (lat) = umfassen) Darstellung von komplexen Zahlen Arithmetische (kartesische) Form (Addition und Subtraktion) Goniometrische Form (Multiplikation und Division) Exponentialform (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren) Formelsammlung Mathematische Zeichen und Symbole Analysis- Formelsammlung mit einfachen Beispielen Integraltabelle für rationale-, exponential- und Logarithmusfunktionen Analysis- Formelsammlung Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis Seite 3

5 1 Zahlen Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen Wissenschaft sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen. Verfolgen wir genau, was wir beim Zählen der Menge tun: wir beziehen Dinge auf Dinge, bilden ein Ding durch ein Ding ab. Ohne diese Fähigkeit ist überhaupt kein Denken möglich... R. Dedekind, 1887 In der Algebra rechnet man mit Zahlen bzw. mit Variablen, die stellvertretend für Zahlen stehen. Je nach Problemstellung verwendet man natürliche, ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen. Die Menge R der reellen Zahlen ist die umfassenste Zahlenmenge, die in der Schulmathematik verwendet wird. 1.1 Eigenschaften der natürlichen Zahlen { 0,1,2,3,4,... } N = - natürliche Zahlen { 1,2,3,4,... } * N = - positiv natürliche Zahlen 2,4,6,8,... - grade Zahlen; 1,3,5,7,... - ungerade Zahlen Welche Operationen und Relationen werden auf der Menge der natürlichen Zahlen betrachtet? Die Menge der natürlichen Zahlen hat folgende Strukturen und Eigenschaften: Addition, z.b = 30 Multiplikation, z.b. 7 3 = < 30 a < b oder a = b oder a > b Ordnungsrelation, z.b. ( ) Die Addition der Zahlen a und b kann als Aneinanderlegen zweier Pfeile am Zahlenstrahl illustriert werden. Die Zahl a wird durch einen Pfeil repräsentiert, der bei 0 beginnt und bei a endet. Der die Zahl b repräsentierende Pfeil wird zur Spitze des zu a gehörenden Pfeils verschoben und endet dann bei a + b. Der zusammengesetzte Pfeil repräsentiert die Summe a + b. Seite 4

6 Abbildung 1: Darstellung der Addition der natürloichen Zahlen a + b = b + a das Kommutativgesetz a+ b + c = a+ b+ c das Assoziativgesetz ( ) ( ) Die Multiplikation zweier natürlichen Zahlen a, b wird definiert als a b = b + b+ b b a mal a b = a + a+ a a b mal a b = b a a b c = a b c ( ) ( ) a, b heißen Faktoren des Produkts a b. - das Kommutativgesetz - das Assoziativgesetz Die Subtraktion ist innerhalb der Menge nicht immer ausführbar: 27 6 = 21 N ; 6 27 = 21 N 1.2 Ganze Zahlen Um solche Situationen behandeln zu können, erweitern wir die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen. Abbildung 2: Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden Die negativen Zahlen (..., 3, 2, 1) erweitern den Bereich der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen Z = { 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,... } ganze Zahlen Die ganzen Zahlen können auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen wird nach links erweitert und wir markieren den Punkt links von 0 im Abstand einer Einheit mit 1. Seite 5

7 Abbildung 3: Zur Darstellung des Betrages einer Zahl a Der Betrag einer Zahl a wird gemäß der Darstellung am Zahlenstrahl als Abstand zum Nullpunkt definiert. Definition: Der Betrag a einer Zahl a definiert als a a, a 0 = a, a < 0 Die Menge der ganzen Zahlen hat folgende Strukturen und Verknüpfungen: Addition Multiplikation Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) Unterschied von der Menge der natürlichen Zahlen: Zu jeder ganzen Zahl a gibt es eine eindeutige bestimmte ganze Zahl b, so dass a + b = 0, b = a. b nennt man dann das additive Inverse von a. Ordnungsrelation Die Division ist auf der Menge der ganzen Zahlen nicht immer ausführbar: 6:3 = 2 Z; 1 3:6 = Z Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p, p x =, q 0, p, q Z q lösen können. Wir können uns x als ein geordnetes Paar x ( pq, ) Seite 6 = vorstellen. Solche Zahlen werden auch gebrochene Zahlen, Quotienten genannt. Die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch ist nicht eindeutig! = = =

8 Man kann Brüche kürzen und erweitern, ohne ihren Wert zu verändern. Eine eindeutige Darstellung als Bruch lässt sich durch die Forderung erreichen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Abbrechende Dezimalbrüche: Periodische Dezimalbrüche: 3 0,6 5 = 1 0, ,3 3 = = Die Periode wird durch Überstreichen der Ziffernfolge, die sich periodisch wiederholt, gekennzeichnet: ,7 = ,0531 = Definition: Jede rationale Zahl lässt sich durch einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch darstellen. Umgekehrt lässt sich jeder abbrechende oder periodische Dezimalbruch als Bruch p q darstellen. Die Menge der rationalen Zahlen Q hat folgende Strukturen und Verknüpfungen: Addition Multiplikation Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) Ordnungsrelation Division (Existenz von multiplikativen Inversen) Unterschied von der Menge der ganzen Zahlen: Zu jeder rationalen Zahl a gibt es eine eindeutig bestimmte rationale Zahl b, so dass a b = 1. b nennt man dann das multiplikative Inverse von a a b = 1, b = a 1 Ordnungsrelation Jede Größe, die wir durch Addition, Substraktion, Multiplikation und Division rationaler Zahlen erhalten, entspricht wieder einer rationalen Zahl. Mathematisch gesprochen ist die Menge der rationalen Zahlen abgeschlossen gegenüber arithmetischen Operationen, da diese Operationen nicht aus der Menge herausführen. Seite 7

9 2 x = 2, 2 2 1,41 ; x = ±, Was ist 2? x=1, x = 1, Diese Zahl genügt der Gleichung x = 2 mit hoher Genauigkeit, aber nicht exakt. Mit einer endlichen Dezimalentwicklung erhalten wir niemals eine Zahl, die quadriert genau 2 ergibt. Die Länge der Diagonale eines Quadrats der Länge eins, bezeichnet durch die Zahl 2, lässt sich nicht als Bruch zweier natürlichen Zahlen schreiben, d.h. dass 2 keine rationale Zahl ist. Abbildung 4: Zur Darstellung der Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden AC = AB + BC = = 2 AC = Irrationale Zahlen Die irrationalen Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche. Die meisten Funktionswerte der Wurzelfunktionen, logarithmischen Funktionen oder trigonometrischen Funktionen, auch die Zahlen π und e sind irrationale Zahlen. Die Kreiszahl π = 3, Die Eulersche Zahl e = 2, Abbildung 5: Bilder Internet Seite 8

10 1.5 Reelle Zahlen Alle rationalen und irrationalen Zahlen ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen, R. Die Menge der reellen Zahlen entspricht anschaulich der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Die den reellen Zahlen entsprechenden Punkte bedecken die Zahlengerade lückenlos! Abbildung 6: Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl Die Menge der reellen Zahlen hat folgende Strukturen und Verknüpfungen: Addition Multiplikation Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) Division (Existenz von multiplikativen Inversen) Ordnungsrelation Kommutativgesetz: a + b = b + a, a b = b a a b c a b c Assoziativgesetz: ( + ) + = + ( + ), ( a b) c = a ( b c) Distributivgesetz: a ( b+ c) = a b+ a c 1.6 Intervalle Endliche Intervalle ( a < b) ] [ [ [ [ ] 1. offenes Intervall ( ab, ) = { xa < x < b} 2. halboffenes Intervall ) = { < } ab, xa x b 3. Abgeschlossenes Intervall [ ab, ] = { xa x b} ] [ [ 1. a, ) = { xa x < } 2. ( a, ) = { xa < x < } 3. (,b) = { x < x < b} Seite 9

11 R = (, ) 1.7 Zusammenfassung Natürliche Zahlen N N = { 0,1,2,... } Bruchzahlen Q 0 p Q 0 = p, q N und q 0 q 4 zb..0;3; ;1,37;0,3 3 N Q 0 Reelle Zahlen R 5 zb..3; ; π; 4; 3 2 N RZ ; R Q ; RQ ; R 0 Ganze Zahlen Z {..., 2, 1,0,1,2,... } Z = N Z (...ist Teilmenge von...) Rationale Zahlen Q p Q = pq, Z und q 0 q 5 1 zb..1; ;2,5; 0,3; 8 17 N Q Z ; Q Q ; Q 0 Komplexe Zahlen C, ; 2 C = a + biab R i = 1 { } 3 zb..7; ; 4; 1 5 R C Seite 10

12 2 Grundlagen 2.1 Rechnen mit reellen Zahlen Rechenoperation Schreibweise Name der einzelnen Terme Name des Ergebnisses Addieren a+ b ab, : Summanden Summe Subtrahieren Multiplizieren a b a b a :Minuend b : Subtrahend Differenz ab, : Faktoren Produkt Dividieren a: b oder a b a: Dividend (Zähler) b: Divisor (Nenner) Quotient Potenzieren n a a: Basis (Grundzahl) n: Exponent (Hochzahl) Potenz Radizieren (Wurzelziehen) a, allgemein: n a a: Radikant n: Wurzelexponent Wurzel Betrag: Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Er ist daher nie negativ. 4 = 4 (wir lesen: "Betrag von 4 gleich 4") 4 = 4 (wir lesen: "Betrag von -4 gleich 4") In bestimmten Situationen benötigen wir von einer Zahl nur den Betrag, der unabhängig vom Vorzeichen ist. Wenn wir uns z.b. 4 geliehen haben, sagen wir: Ich habe 4 Schulden, obwohl wir uns im Minusbereich befinden. Allgemein: a falls a 0 a = a falls a Elementare Rechenregeln Beispiele Punktrechnung vor Strichrechnung ( ) : = = 5 Seite 11

13 Potenzrechnung vor Punktrechnung = 5 8 = = 5 8 = 40 ( ) ( ) = = = ( ) aber: 2 = 16 4 Klammerrechnung geht vor (von innen nach außen) = 9 = 2 9 = a ( a a) [ a a] = = 2 a = 2a Termumformung Rechengesetze Auflösen von Klammern Multiplikation von Klammern a + b = b+ a a b = b a a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c a ( b c) = ( a b) c a ( b+ c) = a b+ a c a ( b c) = a b a c ( a+ b): c = a: c+ b: c ( c 0) ( a b): c = a: c b: c ( c 0) a+ ( b+ c) = a + b+ c a ( b+ c) = a b c ( a+ b) ( c+ d) = ac+ ad + bc + bd Kommutativgesetz der Addition Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Addition Assoziativgesetz der Multiplikation Distributivgesetz a+ ( b c) = a+ b c a ( b c) = a b+ c Binomische Formeln a + 2 ab+ b = ( a+ b) a 2 ab+ b = ( a b) = ( + )( ) 2 2 a b a b a b a + 3ab+ 3 ab + b = ( a + b) a 3ab+ 3 abb = ( a b) a b = ( a b)( a + ab+ b ) a + b = ( a + b)( a ab+ b ) ( ) = x xy y x y ( ) ( ) = = 9 2 s st t s st t s t 1. binomische Formel 2. binomische Formel 3. binomische Formel + nach 1. binomischer Formel nach 2. binomischer Formel Seite 12

14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a 16 = = ( ) ( ) n n n n n + 1= + 1 = Wir lösen eine Plusklammer auf, indem wir das Pluszeichen vor der Klammer und die Klammer weglassen. Wir lösen eine Minusklammer auf, indem wir das Minuszeichen vor der Klammer weglassen und die Vorzeichen in der Klammer umkehren. Brüche werden multipliziert, indem wir die Zähler und die Nenner jeweils multiplizierten. nach 3. binomischer Formel mit a + b = ( a + b)( a ab+ b ) ( ) ( ) 3+ 3x 7 = 3+ 3x 7 = 3x 4 5a + 4b + 7c = 5a 4b+ 7c ( ) ( ) 3 3x 7 = 3 3x+ 7 = 3x+ 10 5a 4b+ 7c = 5a + 4b 7c a d ad = b c bc Wir dividieren zwei Brüche, indem wir den ersten Bruch mit dem a b Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren. : c d a c a d ad = = = b d b c bc Vorgehensweise Faktorisieren / Klammern auflösen: Faktorisierungsbeispiel: Faktorisieren a.) 2ab+ 6b = 2 b( a+ 3) Beim Ausklammern von 2b teilen wir jeden Summand durch 2b Seite 13

15 b.) 2 5mn 20m+ 15m = Beim Ausklammern eines negativen Terms ändern sich die Vorzeichen der Summanden in der 5 mn ( m) Klammer. c.) x y = ( 1)( x + y) = ( y x) Durch Ausklammern von -1 kann man die Reihenfolge bei einer Differenz vertauschen d.) 3ax bx + 6ay 2by = 1. Ausklammern bei je zwei Summanden x(3 a b) + 2 y(3 a b) = (3 a b)( x + 2 y) 2. Ausklammern der Klammer Aufgaben Seite 14