2. Nash Equilibria. Das Spiel kann dann beschrieben werden durch

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1 2. Nash Equilibria Situation: n Spieler 1,..., n spielen ein (einzügiges) Spiel. S i 1 i n ist die Menge der Strategien (= Aktionen) von Spieler i. u i : S 1... S n ist die Nutzenfunktion für Spieler i. Das Spiel kann dann beschrieben werden durch G = (n, S 1,... S n, u 1,..., u n ). Definition 2.1: Es sei G = (n, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) ein Spiel. Ein n-tupel (s 1,..., s n ) S 1... S n ist im Nash Equilibrium, falls für alle i {1,..., n} gilt: s i S i : u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n ) u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n ) Im Nash Equilibrium will kein Spieler seine Strategie ändern, solange die anderen Spieler bei ihrer gewählten Strategie bleiben stabiler Zustand Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

2 Beispiele: (Bi-)Matrixspiele Bach-Stravinsky Mozart-Mahler Gefangenendilemma Münzseiten s 21 s 21 s 11 2,1 0,0 s 12 0,0 1,2 s 21 s 21 s 11 2,2 0,0 s 12 0,0 1,1 L G L 1,1 5,0 G 0,5 4,4 K Z K 1,-1-1,1 Z -1,1 1,-1 2 Nash-Equilibria Minderwertiges Nash-Equilibrium eindeutiges Nash-Equilibrium kein Nash-Equilibrium Stein-Schere-Papier St Sch P St 0,0 1,-1-1,1 Sch -1,1 0,0 1,-1 P 1,-1-1,1 0,0 kein Nash-Equilibrium Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

3 Gemischte Nash Equilibria Jeder Spieler randomisiert seine Strategiewahl. Damit verhält sich Spieler i gemäß einer Verteilungsfunktion Π i Strategien S i ( konvexe Menge von Strategien) Spieler i maximiert dann den erwarteten Nutzen auf der Menge seiner u i (Π 1,..., Π n ) = (s 1,...,sn) S 1... Sn n k=1 Π k (s k ) u i (s 1,..., s n ) Definition 2.2: Es sei G = (n, S 1,..., S n, u 1,..., u n ) ein Spiel. Ein n-tupel (Π 1,..., Π n ) ist im gemischten Nash-Equilibrium, falls für alle i {1,..., n} gilt: Π i auf S i : u i (Π 1,..., Π i 1, Π i, Π i+1,..., Π n ) u i (Π 1,..., Π i 1, Π i, Π i+1,..., Π n ) Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

4 2.1 Existenz von Nash Equilibria Satz 2.1: (J. Nash, 1951) Es existiert immer ein gemischtes Nash-Equilibrium. Diagramm für einen Beweis von Nash s Theorem: Sperner s Lemma Brouwer s Fixpunksatz Kakutani s Fixpunktsatz Nash s Theorem Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

5 Rational Choice Theory Rational Choice and Rationale Entscheidung ist eine Sammelbezeichnung für verschiedene Ansätze in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Generell schreiben diese Ansätze handelnden Subjekten rationales Verhalten zu, wobei diese Subjekte aufgrund gewisser Präferenzen ein nutzenmaximierendes (oder kostenminimierendes) Verhalten zeigen. Ziel und Methode Historisch orientieren sich die Theorien der Rationalen Entscheidung an der klassischen Ökonomie Adam Smiths und der erklärenden Soziologie Max Webers. Sie versuchen, komplexe soziale Handlungen mit Hilfe möglichst einfacher Modellannahmen zu fassen. Das angestrebte Ziel der Theoretiker liegt darin, soziale Gesetze zu finden, die einfach und klar wie die der Newtonschen Physik sind. Darüber, wie dieses Ziel zu erreichen ist, herrscht Uneinigkeit. Menschenbilder der Rationalen Entscheidung reichen vom klassischen Homo oeconomicus bis zum PREEM (Restricted Rational Expecting Evaluating Maximising Man) der modernen Soziologie. Über den Rationalitätsbegriff des rationalen Entscheiders gibt es ebenso wie über die Gewichtung und Entstehung der Präferenzen keine Einigkeit. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

6 Umstrittene Punkte Während Rationale Entscheidung in den Wirtschaftswissenschaften das dominante Paradigma ist, ist sie in Soziologie und Politikwissenschaft stärker umstritten. Einer der Hauptstreitpunkte ist der verwendete methodologische Individualisimus; es ist in der Debatte, ob sich soziales Verhalten und soziale Gesetze wirklich durch das Verhalten vieler einzelner Individuen bestimmen lässt, oder ob das soziale eigene Gesetzmäßigkeiten vorweist. Eine schwächere Version dieser Kritik wirft dem Ansatz der Rationalen Entscheidung vor, soziale Probleme strukturell bedingt unterkomplex zu fassen. Zum anderen steht die starke Modellhaftigkeit des Ansatzes in der Kritik: es lässt sich empirisch einfach beweisen, dass Menschen nur begrenzt rational handeln. Die meisten Theoretiker der Rationalen Entscheidung räumen das ein, machen aber geltend, dass rationale Nutzenmaximierung eine plausible Grundannahme darstellt, von der aus die Modelle bestimmten Situationen angepasst werden können. Trotz den teilweise sehr heftigen Diskussionen ist aber unübersehbar, dass Ansätze, die auf Rationaler Entscheidung basieren, einen immer stärkeren Einfluss sowohl auf die globalen als auch auf die deutschen Sozialwissenschaften haben. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

7 Spezielle Anwendungsgebiete Wahlforschung Public Choice Theory Spieltheorie Prinicipal Agent Theory Bekannte Vertreter Robert Axelrod Gary S. Becker James M. Buchanan Anthony Downs Jon Elster Hartmut Esser Siegwart Lindenberg Mancur Olson Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

8 Literatur M. Baurmann: Der Markt der Tugend. Recht und Moral in der liberalen Gesellschaft. Tübingen, J.C.B. Mohr H.B. Schäfer und K. Wehrt (Hrsg.): Die Ökonomisierung der Sozialwissenschaften; Frankfurt a.m., New York Amartya Sen: Rational Fools. A Critique of the Behavioural Foundations of Economic Theory in: ders. Choice, Welfare and Measurement; Oxford, Blackwell (Kritik. Eine schlechte deutsche Übersetzung ist als -Rationalclowns. Eine Kritik der behavioristischen Grundlagen der Wirtschaftstheorie in: K.P. Markl (Hrsg.): Analytische Politikphilosophie und ökonomische Realität Bd. 2; Opladen, Westdeutscher Verlag erschienen). H.A. Simon. Homo rationalis. Die Vernunft im menschlichen Leben. Frankfurt/New York Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

9 2.2 Aufwand zur Bestimmung von Nash-Equilibrien Der Satz von Nash garantiert die Existenz eines gemischten Nash-Equilibriums. Aber: Betrachte das folgende Problem: MIXED-2-NE: geg.: Ein Spiel G = (2, S 1, S 2, u 1, u 2 ), S 1, S 2 endlich. ges.: Ein gemischtes Nash-Equilibrium (Π 1 (S 1 ), Π 2 (S 2 )) für G. Es ist bis heute offen, ob MIXED-2-NE in P ist. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

10 2.3 Darstellung eines Spiels in Normalform G = (n, S, U) n Anzahl der Spieler s i Strategie von Spieler i, i {1,..., n} s Strategietupel: s = (s 1,..., s n ) s i Strategientupel der Gegenspieler von i, s i = (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ) Wir schreiben: s = (s i, s i ) S i Strategieraum (Menge der Strategien) für Spieler i S = S 1... S n, s S S i = S 1... S i 1 S i+1 S n, s i S i u i Nutzenfunktion von Spieler i u i : S U = (u 1,..., u n ) Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

11 2-Personen Matrix Spiele 2-Personen Matrix Spiele sind Spiele der Form G = (2, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) mit S 1 = {1,..., m}, S 2 = {m + 1,..., m + n}. u 1, u 2 sind gegeben als Matrizen A m n und B m n, mit u 1 (i, j) = A i,j m und u 2 (i, j) = B i,j m, für 1 i m, m + 1 j m + n. Jeder Spieler maximiert seinen Nutzen. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

12 Nash Equilibria S 1 = {s 1 1,..., s1 m }, S 2 = {s 2 1,..., s2 n } x = (x 1,..., x m ), x i [0, 1] y = (y 1,..., y n ), y i [0, 1] m i=1 x i = 1, n i=1 y i = 1 T 1 = {i {1,..., m} ; x i > 0} T 2 = {j {1,..., n} ; y j > 0} Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

13 (x, y) ist NE α, β + mit m j=1 m j=1 m i=1 m i=1 A ij y j = α i T 1 A ij y j α i {1,..., m} B ij x i = β j T 2 B ij x i β j {1,..., m} Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

14 Linear Complementary Problem (LCP) (x, y) ist NE α, β + mit x, y 0 1 T x = 1 1 T y = 1 A y 1 α B T x 1 β x T ( 1 α A y) = 0 y T ( 1 β B T x) = 0 Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

15 Ein Bei-Spiel: S 1 = {1, 2, 3}, S 2 = {4, 5} A = , B = ,1 6,0 2 2,0 5,2 3 3,4 3,3 G hat reines Nash-Equilibrium (3, 4) (Spaltenmaximum in A und Zeilenmaximum in B) s 1 s 2 Bemerkung 1 4 Spieler Spieler Spieler Spieler Nash Equilibrium mit Nutzen u 1 (3, 4) = A 3,1 = 3, u 2 (3, 4) = B 3,1 = Spieler 1 1 Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

16 Die Menge der gemischten Strategien von Spieler 1 ist Die Menge der gemischten Strategien von Spieler 2 ist X := {x m m x i = 1, x i 0} Y := {y n n y i = 1, y i 0} i=1 i=1 = {x m 1 T x = 1, x i 0} = {y n 1 T y = 1, y i 0} x 3 y 2 X x 1 Y X ist Fläche zwischen (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) x 2 Y ist Strecke von (1, 0) nach (0, 1). y 1 Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

17 Bemerkung 2.1: Es sei x eine gemischte Strategie für Spieler 1, y eine gemischte Strategie für Spieler 2. Dann ist der erwartete Nutzen u 1 (x, y) = x T Ay und u 2 (x, y) = x T By. Definition 2.3: a) Es sei y Y fest. x X heißt beste Antwort auf y x T (Ay) ist maximal über X. b) Es sei x X fest. y Y heißt beste Antwort auf x (x T B)y ist maximal über Y. Bemerkung 2.2: a) Eine beste Antwort x (y) ist eine gemischte Strategie mit dem größten erwarteten Nutzen für Spieler 1 (2), wenn Spieler 2 (1) die gemischte Strategie y (x) spielt. b) Ein Nash Equilibrium (x, y) ist dann ein Paar von wechselseitig besten Antworten x und y. Satz 2.2: Es sei y eine gemischte Strategie von Spieler 2. Eine gemischte Strategie x ist beste Antwort auf y genau dann, wenn x nur reine Strategien s i mit positiver Wahrscheinlichkeit spielt, die beste Antworten sind. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

18 2.4 Dominante und Dominierte Strategien Definition 2.4: (Streng dominante Strategie) Eine reine Strategie s i S i ist eine streng dominante Strategie für Spieler i, falls sie eine streng beste Antwort gegen alle Strategientupel s i S i ist, d.h., u i (s i, s i) > u i (s i, s i ), s i S i {s i }, s i S i. Wenn eine streng dominante Strategie s i existiert, wird ein rationaler Spieler sie immer wählen. Ganz gleich, was er über das Verhalten seiner Gegenspieler annimmt, s i ist immer optimal. Beispiel (Gefangenendilemma) L G L -1,-1-5,0 G 0,-5-4,-4 Für beide Spieler ist G (gestehen) eine streng dominante Strategie. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

19 Definition 2.5: (Rationalisierbar) Eine reine Strategie s i S i ist rationalisierbar, wenn für jeden Spieler j N eine Menge Z j = Z j (s i ), Z j S j existiert, so dass s i Z i jede Strategie s j Z j, j N von Spieler j ist eine beste Antwort (unter allen Strategien S j von Spieler j) auf eine Strategie s j (Z j ) der anderen Spieler. Lemma 2.1: Jede Strategie, die in einem Nash Equilibrium mit positiver Wahrscheinlichkeit benutzt wird, ist rationalisierbar. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

20 Definition 2.6: (Streng dominierte Strategie) Eine reine Strategie ŝ i S i von Spieler i ist streng dominiert, falls eine Strategie s i (S i) existiert, die für jede mögliche Strategienkombination der Gegenspieler echt besser ist als ŝ i, d.h., u i (ŝ i, s i ) < u i (s i, s i), s i S i. Eine streng dominierte Strategie ist nicht rationalisierbar, d.h., sie ist nie eine beste Antwort, ganz gleich, welche Strategien die Gegenspielern wählen. Beispiel: l m r O 1,0 1,2 0,1 U 0,3 0,1 2,0 Iterative Elimination von streng dominierten Strategien. r wird streng dominiert von m Ein rationaler Spieler 2 wird r nicht wählen. Wenn Spieler 1 weiss, dass Spieler 2 rational ist, kann er r eliminieren. Dann ist U streng dominiert. Wenn Spieler 2 weiss, dass Spieler 1 rational ist und dass Spieler 1 weiss, dass Spieler 2 rational ist, kann er U eliminieren. Dann ist l streng dominiert. (O, m) wird gespielt. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

21 Bemerkung: Eine gemischte Strategie kann eine reine Strategie streng dominieren: l r O 3,- 0,- M 0,- 3,- U 1,- 1,- U wird weder von O noch von M dominiert, aber die gemischte Strategie, die O mit Wahrscheinlichkeit 1 2 und M mit 1 2 spielt, dominiert U streng! Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

22 Iterierte Eliminierung von streng dominierten Strategien Sei X = j N X j, X S die Menge von Strategietupeln, die iterative Eliminierung von streng dominierten Strategien überleben. Dann gibt es j N eine Folge von Strategiemengen (X t j )T t=0, so dass X 0 j = S j und X T j = X j X t+1 j X t j für alle t = 0,..., T 1. Jede Strategie s j X t j \Xt+1 j von Spieler j ist streng dominiert in dem Spiel (N, (X t i ), (ut i )) für alle t = 0,..., T 1, wobei u t i für jedes i N die Funktion u i eingeschränkt auf j N X t j ist. Keine Strategie aus X T j ist streng dominiert in dem Spiel (N, (X T i ), (ut i )). Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

23 Die folgenden beiden Definitionen und Lemmas werden für den Beweis von Theorem 2.1 benötigt: Definition 2.7 Sei G = (2, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) ein 2-Personen Nullsummen Matrixspiel mit u 2 = u 1. Die Strategie x S 1 ist ein Maxminimierer für Spieler 1, wenn min u 1 (x, y) min u 1 (x, y) für alle x S 1. y S 2 y S 2 Analog dazu ist y S 2 ist ein Maxminimierer für Spieler 2, wenn min u 2 (x, y ) min u 2 (x, y) für alle y S 2. x S 1 y S 1 Bemerkung: Ein Maxminimierer für Spieler 1 löst das Problem max x S1 min y S2 u 1 (x, y), und ein Maxminimierer für Spieler 2 löst das Problem max y S2 min x S1 u 2 (x, y). Beachte: Es gilt max x S1 min y S2 u 1 (x, y) = min x S1 max y S2 u 2 (x, y), da u 1 (x, y) = u 2 (x, y). Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

24 Lemma 2.2: Sei G = (2, (S 1, S 2 ), (u 1, u 2 )) ein 2-Personen Nullsummen Matrixspiel mit u 2 = u 1 und sei (x, y ) ein (gemischtes) Nash Equilibrium von G. Dann ist max x (S 1 ) min u 1(x, y) = y (S 2 ) min y (S 2 ) max u 1(x, y) = u 1 (x, y ). x (S 1 ) Definition 2.8: Eine reine Strategie s i von Spieler i ist nie eine beste Antwort, wenn es kein Stratigieprofil s i (S i ) gibt, auf das s i eine beste Antwort ist. Lemma 2.3: Eine reine Strategie s i von Spieler i ist nie eine beste Antwort genau dann wenn s i streng dominiert ist. Theorem 2.1: Wenn X = j N X j die iterative Eliminierung von streng dominierten Strategien überlebt, dann ist X j die Menge der rationalisierbaren Strategien von Spieler j. Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/

25 Übung: b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 0,7 2,5 7,0 0,1 a 2 5,2 3,3 5,2 0,1 a 3 7,0 2,5 0,7 0,1 a 4 0,0 0,-2 0,0 10,-3 Welche Strategien überleben die iterative Eliminierung von streng dominierten Strategien? Welche Strategien sind rationalisierbar? Besitzt dieses Spiel ein reines Nash Equilibrium? Wenn ja, welches? Universität Paderborn Äquilibria in Strategischen Spielen WS 2004/