AUFFRISCHERKURS 2. Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören!

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1 AUFFRISCHERKURS 2 AUFGABE 1 Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören! Zahl keine davon ( ) AUFGABE 2 Löse alle vorhandenen Klammern auf und vereinfache die Terme soweit wie möglich! (a) (b) ( ) (c) (d) ( ) (e) ( ) ( ) (f) 1

2 AUFGABE 3 Berechne die folgenden Wurzelterme ohne Taschenrechner! (a) (b) (c) (d) (e) ( ) AUFGABE 4 Bestimme die Definitionsmengen der angegebenen Wurzelterme! (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) AUFGABE 5 Bestimme jeweils die Normalform der angegebenen quadratischen Funktionen! (a) (b) AUFGABE 6 Bestimme jeweils die Scheitelform der angegebenen quadratischen Funktionen! Gib auch jeweils die Koordinaten des Scheitels an! (a) (b) AUFGABE 7 Bestimme jeweils die faktorisierte Form der angegebenen quadratischen Funktionen! (a) (b) AUFGABE 8 Löse die folgenden Gleichungen rechnerisch! (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) AUFGABE 9 Bestimme jeweils rechnerisch die Schnittpunkte der Funktionen und! (a) ; (b) ; 2

3 AUFGABE 10 Bestimme jeweils, für welche Werte des Parameters die angegebene Funktion genau eine Nullstelle, keine Nullstelle oder zwei Nullstellen hat! (a) (b) (c) (d) (e) (f) AUFGABE 11 Bestimme jeweils eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften! (a) Die Gerade geht durch den Ursprung und hat die Steigung. (b) Die lineare Funktion geht durch die beiden Punkte ( ) und ( ). (c) Die lineare Funktion geht durch die beiden Punkte ( ) und ( ). (d) Die quadratische Funktion mit geht durch ( ) und ( ). (e) Die quadratische Funktion mit geht durch ( ), ( ) und ( ). (f) Die quadratische Funktion hat nur die Nullstelle und geht durch ( ). (g) Die quadratische Funktion hat den Scheitel ( ) und geht durch ( ). (h) Die quadratische Funktion hat die Nullstellen und. Ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. (i) Der Graph einer verschobenen Normalparabel ist achsensymmetrisch zu geht durch ( ). und (j) Die Potenzfunktion mit ( und ) geht durch ( ) und ( ). (k) Die Wurzelfunktion mit geht durch den Punkt ( ). AUFGABE 12 Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme mit Hilfe eines jeweils möglichst geschickten rechnerischen Verfahrens! (a) (1) (b) (1) (c) (1) (2) (2) (2) AUFGABE 13 Hannah sagt: Ich denke mir zwei natürliche Zahlen. Ihre Summe ist 70, ihre Quadratzahlen unterscheiden sich um 144. Johannes meint, zwei derartige natürliche Zahlen gäbe es nicht. Entscheide mit Hilfe von Gleichungen, ob Johannes recht hat! 3

4 AUFGABE 14 Die Skizze rechts zeigt den Korbwurf eines Basketballspielers. (a) Begründe, welche der folgenden Funktionen die dargestellte Flugbahn wiedergibt: ; ; (b) Der Ball hat die Hand des Spielers an der Stelle verlassen. Bestimme die Höhe der Hand beim Abwurf! (c) Bestimme den höchsten Punkt der Flugbahn des Balles! (d) Angenommen, der Ball fliegt genau durch die Mitte des Korbringes. Bestimme den -Wert der Korbmitte bei einer Korbhöhe von 2,30m! AUFGABE 15 Lisa und Christoph würfeln mit zwei Würfeln. Lisa gewinnt, wenn die Augensumme höchstens 5 oder mindestens 10 ist. Bestimme, wer die besseren Gewinnchancen hat, und begründe deine Antwort! AUFGABE 16 Wenn zwei Würfel die gleiche Augenzahl zeigen, bezeichnet man dies als Pasch. (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim einmaligen Würfeln mit zwei Würfeln keinen Pasch würfelt. (b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim fünfmaligen Würfeln mit zwei Würfeln mindestens einen Pasch würfelt! AUFGABE 17 Bei Spiel Stein-Schere-Papier gilt: Schere schlägt Papier, Stein schlägt Schere, Papier schlägt Stein. Bei gleichen Ergebnissen hat keiner gewonnen. (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Spiel keiner gewinnt! (b) Nun wird noch die Erweiterung Brunnen hinzugenommen: Brunnen schlägt Schere und Stein, aber Papier schlägt Brunnen. Fritz zeigt immer Brunnen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er nach spätestens zwei Spielen gewonnen hat! AUFGABE 18 Eine repräsentative Umfrage unter deutschen Jugendlichen bezüglich der Boygroup One Direction hat ergeben, dass ca. 30 % große Fans der Band sind, 40 % die Band komplett verabscheuen und der Rest diesbezüglich keine eindeutige Meinung hatte. (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher kein großer Fan der Boygroup One Direction ist! (b) Zwei Jugendliche werden zufällig und unabhängig voneinander befragt. Zeichne ein Baumdiagramm mit allen Antwortmöglichkeiten! (c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter zwei zufällig und unabhängig voneinander befragten Jugendlichen mindestens ein Fan von One Direction ist! 4

5 AUFFRISCHERKURS 2 LÖSUNGEN AUFGABE 1 Zahl keine davon (Mathematiker sind sich uneinig, ob die 0 eine natürliche Zahl ist) () ( ) (periodische Dezimalzahlen lassen sich als Bruch schreiben, und eine Potenz eines Bruchs ist auch wieder ein Bruch) (in kann aus negativen Zahlen nicht die Wurzel gezogen werden) (Die Wurzel aus 2 ist irrational) (in kann aus negativen Zahlen nicht die Wurzel gezogen werden) (Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf) (periodische Dezimalzahlen lassen sich als Bruch schreiben) irrational) (nicht abbrechend, nicht periodisch (Die Kreiszahl ist nicht abbrechend und nicht periodisch irrational) 5

6 AUFGABE 2 (a) (b) ( ) (c) (d) ( ) ( ) (e) ( ) ( ) (Dritte Binomische Formel) (f) AUFGABE 3 (a) (b) (c) (d) (e) ( ) AUFGABE 4 (a) { } (b) { } (c) { } (d) { } (e) { } (f) Es können nur diejenigen Werte für eingesetzt werden, für die beide Radikanden sind. Erster Wurzelausdruck: Zweiter Wurzelausdruck: Also gibt es keinen Wert der Variable, der gleichzeitig für beide Wurzelausdrücke zugelassen ist { } 6

7 (g) Es können nur diejenigen Werte für eingesetzt werden, für die beide Radikanden sind. Erster Wurzelausdruck: (1) Zweiter Wurzelausdruck: (2) Alle Werte der Variable, die Bedingung (1) erfüllen, erfüllen auch die Bedingung (2) { } (h) Strategie: Der Radikand kann als quadratische Funktion in faktorisierter Form aufgefasst werden. Die Nullstellen sind und (nach dem Satz vom Nullprodukt). Da die zugehörige Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Bereich zwischen den Nullstellen oberhalb der -Achse und somit positiv { } AUFGABE 5 (a) (b) AUFGABE 6 (a) [ ] ( ) (b) 1. Möglichkeit: Nullstellen:, (Satz vom Nullprodukt) Der Scheitel liegt genau in der Mitte der Nullstellen: Scheitelform: ; ( ) 2. Möglichkeit: [ ] 7

8 AUFGABE 7 (a) Nullstellen bestimmen: Mitternachtsformel: ; ; Faktorisierte Form: (b) Nullstellen bestimmen: oder ; Faktorisierte Form: AUFGABE 8 (a) { } { } (b) { } (c) oder { } (d) { } (Quadrate sind immer ) (e) { } (Satz vom Nullprodukt) (f) { } (Faktorisieren; Satz vom Nullprodukt) (g) { } (h) { } (Faktorisieren; Satz vom Nullprodukt) (i) Wurzel isolieren Quadrieren Binomische Formel Vereinfachen Vereinfachen; Probe: Linke Seite: Rechte Seite { } 8

9 (j) (Binomische Formel) { } (k) Mitternachtsformel: ; { } (l) { } (m) Quadrieren ; Probe für : Linke Seite: Rechte Seite: Probe für : Linke Seite: Rechte Seite: { } (n) Mitternachtsformel: (o) ; { } Ausmultiplizieren Mitternachtsformel: ; { } 9

10 AUFGABE 9 (a) ; Mitternachtsformel: ; { } ( ) ( ) (b) ; ; ( ) ( ) AUFGABE 10 (a) Für entsteht eine gestreckte Normalparabel, für eine gestreckte Normalparabel, die zusätzlich an der -Achse gespiegelt wurde. In beiden Fällen gibt es genau eine Nullstelle. Für entsteht die Funktion mit unendlich vielen Nullstellen. (b) Für entsteht eine gestreckte und nach oben geöffnete Normalparabel, die um zwei Einheiten nach oben verschoben wurde keine Nullstelle Für entsteht eine gestreckte und nach unten geöffnete Normalparabel, die um zwei Einheiten nach oben verschoben wurde zwei Nullstellen Für entsteht die Funktion (Parallele zur -Achse) ohne Nullstelle (c) Für entsteht die Normalparabel genau eine Nullstelle Für bzw. hat die entstehende quadratische Funktion nach dem Satz vom Nullprodukt die beiden Nullstellen und. 10

11 (d) Diskriminante: genau eine Nullstelle zwei Nullstellen keine Nullstelle (e) Diskriminante: ; genau eine Nullstelle oder zwei Nullstellen keine Nullstelle (f) Diskriminante: nicht möglich für alle erfüllt für alle hat die Funktion zwei Nullstellen nicht möglich AUFGABE 11 (a) (b) Aus dem Punkt kann man direkt den -Achsenabschnitt ablesen. Punktprobe mit (c) Punktprobe mit (1) Punktprobe mit (2) (1) (2): (3) (3) in (2): 11

12 (d) Punktprobe mit (1) Punktprobe mit (2) (2) (1): (3) (3) in (1): (e) Punktprobe mit Punktprobe mit (1) Punktprobe mit (2) (2) (1): (3) (3) in (1): (f) Ansatz: Punktprobe mit ( ): (g) Ansatz: Punktprobe mit ( ): (h), ( Beispiel: ) (i) Ansatz: Punktprobe mit ( ): (j) (k) Punktprobe mit ( ): AUFGABE 12 (a) (1) (2) Gleichsetzungsverfahren: (1) (2) (3) (3) in (1): {( )} (b) (1) (2) Einsetzungsverfahren: (2) in (1) (3) (3) in (2): {( )} 12

13 (c) (1) (1ʼ) (2) (2ʼ) Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren: (2ʼ) (1ʼ): (3) (3) in (1): {( )} AUFGABE 13 (1) (2) (1) in (2): Johannes hat Recht. Nur die Zahl natürlich. erfüllt Hannahs Bedingungen, aber diese Zahl ist nicht AUFGABE 14 (a) Die Flugbahn wird durch beschrieben, da der Graph eine gestauchte und nach unten geöffnete Normalparabel ist. (b) (m) (c) [ ] ( ) ist der höchste Punkt der Flugbahn. (d) Mit GTR (linke Seite und rechte Seite als Graphen zeichnen; die Koordinaten des rechten Schnittpunktes berechnen mit 2nd + CALC ; 5: intersect): (m) 13

14 AUFGABE 15 Ergebnismenge: { } Augensumme Realisierungsmöglichkeiten Wahrscheinlichkeit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Antwort: Christoph hat bessere Gewinnchancen als Lisa. AUFGABE 16 (a) (b) P P = Pasch kp = kein Pasch kp kp kp kp kp 14

15 AUFGABE 17 (a) Spieler 1 Spieler 2 Stein Stein Schere Stein Schere Schere Stein Papier Schere Papier (b) Brunnen-Erweiterung Konsequenz: Die Strategie, immer Brunnen zu zeigen, ist vorteilhaft! 15

16 AUFGABE 18 (a) (b) F F V km F V V km F = großer Fan kf = Verabscheuer km = keine Meinung km F V km (c) Variante 1: F F Variante 2: kf F kf kf 16