5 Branch-and-Bound Verfahren

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1 65 5 Branch-and-Bound Verfahren 5.1 Grundstruktur des Branch-and-Bound Verfahrens Das Branch-and-Bound Verfahren st en exaktes Verfahren für dskrete Optmerungsprobleme. Es wurde n den 60zger Jahren vorgestellt [LaDo60; Dak65]. Durch velfältge Untersuchungen konnte ene stetge Verbesserung erzelt werden. Heute baseren fast alle Optmerungssysteme zur Lösung von gemscht-ganzzahlgen Modellen auf dem Branch-and-Bound bzw. dem m Anschluss vorgestellten Branch-and-Cut Verfahren [Four05]. Im Rahmen des Verfahrens wrd zum Bewes ener optmalen Lösung, deren Exstenz vorausgesetzt, der gesamte Lösungsraum durchsucht. Ausgangspunkt für das Branch-and-Bound Verfahren st de LP-Relaxerung. Der zulässge Berech des Ausgangsproblems wrd n zwe dsunkte Telmengen zerlegt. Damt erfolgt ene Verzwegung des Ausgangsmodells n Telprobleme (branchng). Während des Branch-and-Bound Verfahrens können verscheden Arten von ganzzahlgen Varablen und verschedenen Gruppen von Varablen beachtet werden (vgl. [BeFo78; Be- Fo79; BeTo70; Fre07]). Dazu zählen: Allgemene Integer Varablen. Specal Ordered Sets: Ene Gruppe von Varablen, de alle 0-1 Varablen snd und n der Summe 1 ergeben sollen. Specal Ordered Sets vom Typ 1: Ene Gruppe von Varablen, be denen höchstens ene Varable ncht Null sen darf. Specal Ordered Sets vom Typ 2: Ene Gruppe von Varablen, be denen höchstens zwe, nebenenander legende Varablen ncht Null sen dürfen. Partal Integer Varablen: Varablen, de nur n enem bestmmten Berech ganzzahlg sen müssen. Sem Contnuous Varablen: Varablen, de enen Wert n dem Berech { 0} [ l,u] annehmen müssen. Wobe 0 < l < u und l, u IR.

2 66 Branch-and-Bound Verfahren Sem Integer Varablen: Varablen, de enen Wert n dem Berech { 0} [ l,u] annehmen müssen. Wobe 1 l < u und l, u. Im Weteren soll das Prnzp des Branch-and-Bound Verfahrens an dem enfachen Fall von allgemenen Integer Varablen verdeutlcht werden. Betrachtet wrd folgendes Modell: mn c B x Ax d (P 0 ) x + I Deses Modell wrd relaxert gelöst. Es wrd ene Varable x ausgewählt, für de Ganzzahlgket gefordert st, welche aber be der Lösung der LP-Relaxerung enen fraktonellen Wert x annmmt. Auf der Grundlage des Ausgangsproblems (P 0 ) werden zwe Telprobleme ent- wckelt, ndem enmal de Varable nach unten beschränkt wrd x + 1 Mal nach oben x x Varable x enen Wert zwschen x und das andere. So entstehen de Probleme (P 1 ) und (P 2 ). Der Berech n dem de x und + 1 x annmmt, wrd ausgeschlossen. Alternatv zur Enführung von zusätzlchen Restrktonen, de de Beschränkungen bewrken kann auch de Obergrenze ub bzw. Untergrenze lb der Varablen x angepasst werden. De optmale ganzzahlge Lösung muss sch n enem der beden Telprobleme befnden. De Telprobleme werden relaxert gelöst. Jedes der beden Telprobleme wrd anhand ener neu gewählten Varablen, der Branchng-Varablen, ggf. weder n zwe Telprobleme zerlegt. Deser Prozess kann durch enen Baum (s. Abbldung 5.1) vsualsert werden. P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Abbldung 5.1: En Enumeratonsbaum

3 Grundstruktur des Branch-and-Bound Verfahrens 67 Während das Ausgangsproblem durch den Wurzelknoten des Baums repräsentert wrd, stellt eder wetere Knoten en erzeugtes Telproblem dar. De Kanten zwschen den Knoten symbolseren de Beschränkungen der Branchng-Varablen, durch de der zulässge Berech enes eden relaxerten Telproblems verklenert wrd. Somt stellt eder Knoten entlang enes Pfades en Telproblem dar, das durch de Menge der Restrktonen entlang des Pfades bs zum Wurzelknoten beschränkt wrd. Je tefer sch en Knoten m Enumeratonsbaum befndet, desto klener st der zulässge Berech und damt de Menge möglcher Lösungen des korresponderenden relaxerten Telproblems [GaNe72]. En durch enen Knoten repräsentertes Telproblem, lasst sch allgemen folgendermaßen darstellen: mn I c Ax x d x + I wobe Ax d, de Orgnalrestrktonen Ax d erwetert um de Beschränkungen x x Fu und x x + 1, Fl, Varablen, de nach oben bzw. nach unten beschränkt wurden dar. st. F u und F l stellen de Mengen der Branchng- Wenn also F = und F = entsprcht das obge Modell dem Orgnalmodell. u l An edem Knoten wrd en Telproblem relaxert gelöst. Deses Telproblem stellt das um de Beschränkungen erweterte Orgnalproblem dar. Aufgrund der mt der Tefe des Baumes stegenden Komplextät der Telprobleme st en möglchst klener Baum wünschenswert. Während der Abarbetung der Telprobleme ergeben sch für den Berech, n dem de optmale ganzzahlge Lösung legen kann, neue Ober- und Untergrenzen. Da der Zelfunktonswert der LP-Relaxerung am ersten Knoten mndestens so gut we der der IP-Lösung st, stellt er vorerst ene globale Untergrenze für den Zelfunktonswert des IP-Problems dar. In Kaptel 4 wurde dargestellt, we während des Supernode processngs dese Untergrenze als Ausgangsposton für das Branch-and-Bound Verfahren so wet we möglch heraufgesetzt wrd. Innerhalb des Baumes wrd de globale Untergrenze mmer auf den Wert gesetzt, der mnmal unter den Zelfunktonswerten der LP-Relaxerungen der noch ncht abgearbeteten Knoten st.

4 68 Branch-and-Bound Verfahren Ene globale Obergrenze st nur dann gegeben, wenn ene gültge IP-Lösung bekannt st. Am Ausgangsknoten könnte dese durch Heurstken gefunden worden sen. Alternatv kann durch den Anwender ene auf Erfahrungen baserende IP-Lösung angegeben werden. Steht zu Begnn des Branch-and-Bound Verfahrens kene gültge IP-Lösung zur Verfügung, wrd de globale Obergrenze auf + gesetzt. Sobald ene gültge ganzzahlge Lösung gefunden wrd, wrd de globale Obergrenze durch dese ersetzt. Damt stellt de globale Obergrenze mmer glechzetg de aktuell beste bekannte IP-Lösung dar. Zel st es, de globale Untergrenze und de globale Obergrenze so schnell we möglch gegenenander konvergeren zu lassen. Sehe auch Abbldung 4.4. Inwefern de globale Obergrenze de Größe des Baumes beenflusst, wrd be Betrachtung der verschedenen Gründe, wegen derer en Knoten als untersucht glt, erschtlch. Trtt ener der folgenden dre Fälle en, glt en Telproblem als vollständg untersucht und muss ncht weter verzwegt werden: Unzulässgket: Durch das Hnzufügen der letzten Verzwegungsrestrkton st das Telproblem unzulässg geworden. Wenn es kene zulässge relaxerte Lösung für das Telproblem gbt, gbt es auch kene zulässge ganzzahlge Lösung für das Telproblem. En berets als unzulässg erkanntes Telproblem kann nachträglch ncht zulässg werden, da durch das Branchen auf Varablen der möglche Lösungsraum zusätzlch verklenert wrd. Ganzzahlge Lösung: Wrd nnerhalb des Baumes ene ganzzahlge Lösung gefunden, glt das Telproblem als untersucht. Das heßt allerdngs noch ncht, dass de ganzzahlge Lösung glechzetg de optmale Lösung darstellt. De neu gefundene ganzzahlge Lösung wrd ledglch mt der bsher besten z Best verglchen und ggf. ausgetauscht. Überschretung der Obergrenze: Ist das Ergebns des relaxert gelösten Telproblems schlechter als de bsher beste IP-Lösung z Best, müssen alle folgenden Telprobleme ncht mehr betrachtet werden, da sch durch de zusätzlchen Enschränkungen der Zelfunktonswert nur noch verschlechtern kann. De optmale ganzzahlge Lösung st erst dann gefunden, wenn wrklch alle Knoten abgearbetet wurden.

5 Grundstruktur des Branch-and-Bound Verfahrens 69 START Löse z = mn { cx : x P} mt P = { Ax d} EXIT Ja De Kanddatenlste st leer K = Nen KANDIDATENLISTE: Wähle Knoten aus Kanddatenlste K und entferne gewählten Knoten LP-RELAXIERUNG Löse das Telproblem relaxert Das Telproblem st lösbar & z < z best Ja De Lösung st nteger Ja Nen Aktualsere z best = z Nen VERZWEIGEN: Wähle Branchng-Varable. De beden neuen Telprobleme kommen n de Kanddatenlste K Abbldung 5.2: Das Branch-and-Bound Verfahren Während der Bearbetung der enzelnen Knoten, werden de noch ncht bearbeteten Knoten n ener Kanddatenlste verwaltet. Nach bestmmten Auswahlregeln werden de n der Kanddatenlste hnterlegten Telprobleme nachenander bearbetet. Für eden Knoten wrd ene Branchng-Varable ausgewählt. Dadurch entstehen zwe neue Telprobleme, de relaxert gelöst werden. Wenn dann ener der dre oben beschrebenen Fälle erfüllt st, glt das entsprechende Telproblem als vollständg untersucht und es wrd ncht weter verzwegt. Anderenfalls wrd das Telproblem der Kanddatenlste hnzugefügt. Erst wenn sch ken Telproblem mehr n der Kanddatenlste befndet, st de Optmaltät ener ganzzahlgen Lösung bewesen.

6 70 Branch-and-Bound Verfahren Wurde bs zu desem Zetpunkt kene ganzzahlge Lösung gefunden, st bewesen, dass kene exstert. Abbldung 5.2 stellt ene Zusammenfassung des Verfahrens dar. Be der vorangegangenen Beschrebung des Branch-and-Bound Verfahrens bleben zwe entschedende Fragen offen: Nach welchen Regeln wrd de Branchng-Entschedung getroffen? Nach welchen Regeln wrd en Knoten aus der Kanddatenlste ausgewählt? Dese beden Entschedungen beenflussen maßgeblch das Lösungsverhalten des Branch-and- Bound Prozesses und sollen aus desem Grund n den folgenden Abschntten besprochen werden. 5.2 Auswahlregeln für ene Branchng-Varable Aufgabe von Auswahlregeln st de Ermttlung ener Branchng-Varablen, über de en Telproblem verzwegt wrd. Im Idealfall geht aus der Lösung der entsprechenden Telprobleme ene neu globale Ober- oder Untergrenze hervor. We berets beschreben, verrngert sch durch de gegensetge Annäherung der Ober- und Untergrenze der Raum, n dem de optmale IP-Lösung legen kann. Im Folgenden soll en kurzer Überblck über enge Auswahlregeln gegeben werden Verzwegen auf de fraktonellste Varable Ene Varable, de n der relaxerten Lösung den fraktonellsten Wert annmmt, wrd ausgewählt. Wenn x 4 5 der Wert st, den de Varable an dem Knoten hat, und x = x + f, wobe f >0, dann wrd ene Varable ausgewählt, de den größten Wert für MF hat, mt MF T = mn f U. Der Vortel deser Regel st hre Enfachhet. Leder gehen daraus kene guten Resultate hervor. In [AcKM04] werden sogar Ergebnsse präsentert, de zegen, dass ene zufällge Wahl der Branchng-Varable verglechbare Resultate erzelen kann.

7 Auswahlregeln für ene Branchng-Varable Strong Branchng Hntergrund des von [ABCC95] vorgestellten strong branchngs st, dass de nteger Varablen mt enem fraktonellen Wert an enem Knoten daraufhn getestet werden, welche von hnen de größte Veränderung des Zelfunktonswertes hervorruft. Dazu wrd auf de Varablen versuchswese gebrancht, bevor ene Varable tatsächlch als Verzwegungs-Varable ausgewählt wrd. Deses Verfahren reduzert vor allem de Anzahl der Knoten. Leder kann edoch de Zet, de an enem Knoten verbraucht wrd, aufgrund der velen zu lösenden LP-Relaxerungen sehr lang sen. Um etwas Zet zu sparen, kann de Menge der Varablen, auf de versuchswese gebrancht wrd, engeschränkt werden oder es wrd ncht de gesamte LP-Relaxerung durchgeführt. Nur ene bestmmte Anzahl an dualen Smplex Iteratonen wrd durchgeführt. De Veränderung des Zelfunktonswertes lässt sch n der Regel schon nach wengen Iteratonen enschätzen Pseudocost Branchng De Veränderung des Zelfunktonswertes, de mt dem Verzwegen ener bestmmten Varablen enhergeht, kann zumndest versuchswese mttels der sogenannten Pseudocosts [BGGH71] prognostzert werden. Unter Pseudocosts wrd de Veränderung des Zelfunktonswertes m Verhältns zur der Veränderung des Wertes ener nteger Varablen bezechnet. So können de Kosten prognostzert werden, de entstehen, wenn ene Varable auf- oder abgerundet wrd. Wenn x 4 5 der Wert st, den de Varable an dem Knoten hat und x = x + f, mt f >0, dann ergeben sch de Pseudocosts für dese Varable aus z f und PC + = z z f f Dabe steht z - für den Zelfunktonswert des Nachfolgerknotens von, wenn der Werteberech der Varable nach oben beschränkt wrd und z + dementsprechend, wenn der Werteberech der Varablen nach unten beschränkt wrd. f

8 72 Branch-and-Bound Verfahren So ergbt sch als Veränderung (wenn auf de Varable gebrancht wrd): D = PC f und U = PC + ( 1 f ) We dese Pseudocosts ntalsert werden und ob se mmer weder neu von Knoten zu Knoten berechnet werden müssen, wrd n [LSa99] detallert dargestellt. Für de her vorgestellten Vorgehenswesen zur Auswahl ener Branchng-Varable exsteren sowohl verschedene Abwandlungen als auch ene Rehe alternatver Vorgehenswesen. So wrd zum Bespel n enem von [PaCh03] präsenterten Verfahren versucht, ncht de Auswrkung des Verzwegens ener Varablen auf den Zelfunktonswert zu schätzen sondern de Auswrkung auf de aktven Nebenbedngungen. Wetere Verfahren werden n [HoV95] beschreben. 5.3 Regeln zur Knotenauswahl In der Kanddatenlste werden alle bsher noch ncht bearbeteten Knoten gespechert. De Rehenfolge, n der de Knoten abgearbetet werden, hat großen Enfluss auf de Laufzet und auch auf den benötgten Specherplatz. Be der Auswahl enes Knotens snd zwe verschedene Zele abzuwägen. Zum enen st es vortelhaft, so schnell we möglch ene gültge nteger Lösung zu fnden, was dazu führt, dass de globale Obergrenze herunter gesetzt werden kann. Zum andern soll auch de globale Untergrenze heraufgesetzt werden, damt de Optmaltät ener gefundenen Lösung bewesen werden kann. Es gbt verschedene Knotenauswahlregeln, de ene Rehenfolge festlegen. Se lassen sch untertelen n: statsche Regeln auf Schätzungen baserende Regeln zwe-phasen Regeln backtrackng Regeln

9 Regeln zur Knotenauswahl Statsche Regeln De Depth-Frst- Regel und de Best-Frst-Regel snd statsche Knotenauswahlregeln. Be der Depth-Frst-Regel, entwckelt sch der Enumeratonsbaum n der Regel n de Tefe. Dazu wrd mmer der Knoten ausgewählt, der gerade als letzter n de Kanddatenlste aufgenommen wurde (FIFO). En wesentlcher Vortel deser Knotenauswahlregel besteht darn, dass nur relatv wenge Knoten n der Kanddatenlste gespechert werden müssen. Darüber hnaus kann das Telproblem an enem Knoten sehr schnell berechnet werden, da es oft das gleche Problem, we das Vorgängerproblem, ledglch erwetert um ene Verzwegung, darstellt. Der entschedende Nachtel deser Knotenauswahlstratege st, dass ggf. Äste des Enumeratonsbaumes, welche ncht de optmale Lösung enthalten, bs n de Tefe abgearbetet werden. Wäre ene bessere globale Obergrenze bekannt, hätten dese Äste ggf. vorzetg gelöscht werden können. Offenschtlch kann es so dazu kommen, dass sehr vele Telprobleme gelöst werden müssen, was wederum n langen Laufzeten resulteren kann. Be der Best-Frst-Regel wrd das Zel verfolgt, de globale Untergrenze zu erhöhen. En Knoten mt der klensten unteren Grenze, d.h. en Knoten, dessen LP- Relaxerung den klensten Zelfunktonswert hat, wrd als Erster aus der Kanddatenlste ausgewählt. Be Anwendung deser Regel entwckelt sch der Baum eher n de Brete. Das hat wederum zur Folge, dass de Probleme, de nachenander gelöst werden, weng Ähnlchket hnschtlch der Verzwegungen mtenander haben. Dafür wrd de Gefahr reduzert, dass lange n enem Telbaum, welcher ncht de optmale Lösung enthält, gesucht wrd Auf Schätzungen baserende Regeln Weder be der Best-frst-Regel noch be Deep-frst-Regel werden de Knoten danach ausgewählt, ob se möglcherwese zu ener gültgen ganzzahlgen Lösung führen. De d e Best-Proecton-Regel [FoHT74] hat genau das zum Zel. Mt s =X mn f wrd de Summe der Unzulässgketen am Knoten dargestellt. Das st de Summe, de benötgt werden würde, wenn ede fraktonelle Integer Varable auf den nächsten ganzzahlgen Wert auf- oder abgerundet werden sollte. Das Bewertungskrterum für de Best-Proecton-Regel ergbt sch aus: 2I

10 74 Branch-and-Bound Verfahren BP z BEST = z LP + 0 s z 0 LP s Wobe z LP de relaxerte Lösung für das Telproblem des Knotens st. En Knoten, mt dem besten (klensten) BP wrd ausgewählt. Dabe st zu beachten, dass en Wert für de globale Obergrenze z Best bekannt sen muss. Be der Best-Proecton-Regel wrd allerdngs ncht beachtet, we der Enfluss der enzelnen Varablen auf s st und we hoch de entsprechenden Kosten für das Auf- oder Abrunden der Varablen snd. Mt Hlfe der Pseudokosten (s. Kaptel 5.2.3) kann desem Aspekt Beachtung geschenkt werden. Durch de Enführung von Pseudokosten wrd aus der Best-Proecton-Regel de Best-Estmaton-Regel. I + ( PC f, PC ( f ) BE = z + mn 1 LB Vortel deser Regel st, dass ken Wert für de globale Obergrenze z Best bekannt sen muss. Für dese Regel wrd allerdngs angenommen, dass sch ene gültge Integerlösung ergbt, wenn ene fraktonelle Integervarable auf den nächsten ganzzahlgen Wert auf- oder abgerundet wrd. Dese Annahme st scherlch ncht sehr realstsch. Ene realstschere Anpassung der Regel mttels Wahrschenlchketen wrd n [LSa99] beschreben Zwe-Phasen-Regeln We berets enletend erwähnt, trtt be der Auswahl enes Knotens en Zelkonflkt auf. Er besteht darn, dass zum enen ene gute ganzzahlge Lösung gefunden werden soll und zum anderen bewesen werden soll, dass kene bessere Lösung gefunden werden kann. Ene Kombnaton der berets vorgestellten Regeln st somt nahelegend. So kann de Depth-Frst-Regel angewandt werden, bs ene optmale Lösung gefunden st. Danach kann zu der Best-Frst-Regel gewechselt werden, mttels der bewesen werden soll, dass dese gefundene Lösung auch wrklch de beste st. En weterer von [FoHT74] entwckelter Zwe-Phasen-Ansatz nutzt für de erste Phase de Best-Estmaton-Regeln, bs ene gültge ganzzahlge Lösung gefunden wrd. In der zweten Phase soll en Knoten gewählt werden, der den klensten percentage error:

11 Regeln zur Knotenauswahl 75 PE z BE = 100. z z Best LP Best aufwest. Deser soll de Fehlerhaftgket ener Schätzung ausdrücken Backtrackng Methoden Es wrd en E 0 festgelegt, welches enen Schätzwert für den optmalen Zelfunktonswert z IP darstellt. Deser Wert glt als Entschedungskrterum. Ist z < E0, soll de Depth-Frst-Regel zur Anwendung kommen. Sobald z E0, wrd ene andere Regel benutzt. Damt soll das Abarbeten von überflüssgen Knoten vermeden werden. Mt überflüssgen Knoten snd alle Knoten gement, de z > z IP. Hauptkrtkpunkt an der Depth-Frst-Regel war, dass ggf. sehr vele überflüssge Knoten abgearbetet werden. Des kann durch ene Backtrackng Methode vermeden bzw. verrngert werden. Es sollen somt nur de Vortele der Depth-Frst-Regel bezüglch des Specherplatzes und der schnellen Lösung der enzelnen Telprobleme zum Tragen kommen. De Backtrackng Methoden unterscheden sch sowohl hnschtlch der Festlegung von E 0,wofür ene der auf Schätzungen baserenden Methoden herangezogen werden kann, als auch hnschtlch der zweten Regel, de zur Anwendung kommen soll. Vergleche der enzelnen Knotenauswahlregeln snd n [LSa99] zu fnden. Leder kann kene Knotenauswahlregel allgemengültg als de beste dentfzert werden. Ene Knotenauswahlregel, de für en Problem besonders vortelhaft st, kann für en anderes besonders unvortelhaft sen. Daher sollte en Optmerer mmer de Möglchket gewähren, zwschen verschedenen Knotenauswahlregeln zu wählen. Insgesamt schenen allerdngs de Regeln, de mt Pseudocosts arbeten, oft ene gute Wahl zu sen.

12 76 Branch-and-Bound Verfahren

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