Vorkurs Theoretische Informatik

Transkript

1 Vorkurs Theoretische Informtik Einführung in reguläre Sprchen Areitskreis Theoretische Informtik Freitg, Fchgruppe Informtik

2 Üersicht 1. Chomsky-Hierchie 2. Automten NEA DEA 3. Grmmtik und Automten 4. Reguläre Ausdrücke Fchgruppe Informtik 2 Vorkurs Theoretische Informtik

3 Chomsky-Hierchie

4 Mnche Sprchen sind schwerer zu eschreien ls ndere Wenn wir unsere Grmmtiken einschränken, können wir nicht mehr lle Sprchen eschreien. Beispiel Mit der Einschränkung Alle Produktionsregeln müssen der Form A oder A B entsprechen, woei A, B V und Σ. können wir Sprchen wie L 1 = { n n N} eschreien, er nicht mehr Sprchen wie L 1 = { n n n N}. Achtung: ist ε L, ist uch S ε erlut, sofern S nicht uf der rechten Seite einer Produktion vorkommt. Sprchen, die wir mit dieser strken Einschränkung eschreien können, nennen wir regulär oder vom Typ 3. Es git weitere Typen Mehr dzu in der Vorlesung Fchgruppe Informtik 4 Vorkurs Theoretische Informtik

5 Mnche Sprchen sind schwerer zu eschreien ls ndere Fchgruppe Informtik 5 Vorkurs Theoretische Informtik

6 Reguläre Grmmtik Aufgen Finde eine reguläre Grmmtik für die folgenden Sprchen Norml L 1 = { 2n n N} L 2 = { n m n, m N} L 3 = {uv u {, }, v {c, d}} L 4 = {w w = 3, w {,, c} } Etws Schwerer L 5 = { n n 1 mod 3} L 6 = {uv u {,,, }, v { }} L 7 = {w {,, c} w = 3, w = 1} Fchgruppe Informtik 6 Vorkurs Theoretische Informtik

7 Lösung P 1 = {S A ε, A B, B A} Fchgruppe Informtik 7 Vorkurs Theoretische Informtik

8 Lösung P 1 = {S A ε, A B, B A} P 2 = {S A B ε, A A B, B B } Fchgruppe Informtik 8 Vorkurs Theoretische Informtik

9 Lösung P 1 = {S A ε, A B, B A} P 2 = {S A B ε, A A B, B B } P 3 = {S S S c d} Fchgruppe Informtik 9 Vorkurs Theoretische Informtik

10 Lösung P 1 = {S A ε, A B, B A} P 2 = {S A B ε, A A B, B B } P 3 = {S S S c d} P 4 = {S A A ca, A B B cb, B c} Fchgruppe Informtik 10 Vorkurs Theoretische Informtik

11 Lösung P 1 = {S A ε, A B, B A} P 2 = {S A B ε, A A B, B B } P 3 = {S S S c d} P 4 = {S A A ca, A B B cb, B c} P 5 = {S A, A B, B S} Fchgruppe Informtik 11 Vorkurs Theoretische Informtik

12 Lösung P 1 = {S A ε, A B, B A} P 2 = {S A B ε, A A B, B B } P 3 = {S S S c d} P 4 = {S A A ca, A B B cb, B c} P 5 = {S A, A B, B S} P 6 = {S S S S S } Fchgruppe Informtik 12 Vorkurs Theoretische Informtik

13 Lösung P 7 = {S cs A 1 B 0, A 1 ca 1 A 2 B 1, A 2 ca 2 A 3 B 2, A 3 ca 3 B 3, B 0 cb 0 B 1, B 1 cb 1 B 2, B 2 cb 2 B 3, B 3 cb 3 cc c, C cc c} Fchgruppe Informtik 13 Vorkurs Theoretische Informtik

14 Murmelpuse Fchgruppe Informtik 14 Vorkurs Theoretische Informtik

15 Automten

16 Reguläre Sprchen nders eschreien Wir können reguläre Sprchen uch grphisch eschreien. Dfür nutzen wir endliche Automten. Ein Automt prüft Wörter und entscheidet, o sie Teil der Sprche sind oder nicht. Wir nennen ds kzeptieren, zw. nicht kzeptieren. Funktionsweise 1. Ein Wort wird in den Automt eingegeen 2. Wort wird zeichenweise gereitet 3. Nch jedem Zeichen wird der Automt in einen Zustnd üerführt, der estimmt, wie fortgefhren wird 4. Befindet sich der Automt in einem Endzustnd, sold ds Wort gereitet wurde, kzeptiert der Automt ds Wort. Fchgruppe Informtik 16 Vorkurs Theoretische Informtik

17 Bestndteile eines endlichen Automten Der Automt knn ls gerichteter Grph notiert werden. Wir konstruieren ihn us den folgenden Komponenten: Strtzustnd Im Strtzustnd wird ds Wort eingegeen. strt q 0 Fchgruppe Informtik 17 Vorkurs Theoretische Informtik

18 Bestndteile eines endlichen Automten Der Automt knn ls gerichteter Grph notiert werden. Wir konstruieren ihn us den folgenden Komponenten: Zustndsüergng Wird ds Zeichen uf dem Üergng gelesen, geht der Automt in den folgenden Zustnd üer. q i q j Fchgruppe Informtik 18 Vorkurs Theoretische Informtik

19 Bestndteile eines endlichen Automten Der Automt knn ls gerichteter Grph notiert werden. Wir konstruieren ihn us den folgenden Komponenten: Endzustnd Flls sich der Automt in diesem Zustnd efindet, und ds Wort gereitet ist, wird ds Wort kzeptiert. q E Anmerkung: Unter Umständen sind mehrere hiervon nötig Fchgruppe Informtik 19 Vorkurs Theoretische Informtik

20 Beispiel L = {x x {, } }, strt q 0 q 1 q E Fchgruppe Informtik 20 Vorkurs Theoretische Informtik

21 Beispiel L = {x x {, } }, strt q 0 q 1 q E Worteinge: L? Fchgruppe Informtik 21 Vorkurs Theoretische Informtik

28 Beispiel L = {x x {, } }, strt q 0 q 1 q E Worteinge: L kzeptiert Fchgruppe Informtik 28 Vorkurs Theoretische Informtik

29 Beispiel: Automt Gegeen ist eine Sprche L. Gesucht ist ein Automt M, der genu die Wörter us L kzeptiert. L 1 = {uv u {, }, v {c, d}}, c,d strt q 0 q 1 Fchgruppe Informtik 29 Vorkurs Theoretische Informtik

30 Denkpuse knifflige Aufge Wir entwerfen einen Automt zur Aufzugskontrolle. Der Aufzug ht folgende Möglichkeiten: Σ = { EG 1.OG, EG 2.OG, 1.OG EG, 1.OG 2.OG, 2.OG EG, 2.OG 1.OG, OFF } Der Aufzug strtet vom Erdgeschoss und drf sich nur us Stockwerken ewegen, in denen er sich efindet. Der Aufzug knn nur im Erdgeschoss usgeschltet werden. Er knn dnn keine Bewegung durchführen. Er muss usgeschltet werden. Zeichne einen Automten n, dessen kzeptierte Sprche genu die Menge der korrekten Aläufe ist. Fchgruppe Informtik 30 Vorkurs Theoretische Informtik

31 Lösung q 2 1.OG 2.OG 2.OG 1.OG EG 2.OG q 1 2.OG EG EG 1.OG 1.OG EG strt q 0 OFF q E Fchgruppe Informtik 31 Vorkurs Theoretische Informtik

32 Denkpuse Aufgen Finde Automten, die genu folgende Sprchen erkennen. Norml L 1 = { n m n, m N} L 2 = {w w = 3, w {,, c} } L 3 = {uv u {,,, }, v { }} Etws Schwerer L 4 = { n n 1 mod 3} L 5 = {w {,, c} w = 3, w = 1} L 6 = {w {, } w w mod 3} Fchgruppe Informtik 32 Vorkurs Theoretische Informtik

33 Lösung strt q 0 q 1 Fchgruppe Informtik 33 Vorkurs Theoretische Informtik

34 Lösung strt q 0 q 1,,c,,c,,c strt q 0 q 1 q 2 q 3 Fchgruppe Informtik 34 Vorkurs Theoretische Informtik

35 Lösung strt q 0 q 1,,c,,c,,c strt q 0 q 1 q 2 q 3,,, strt q 0 q 1 Fchgruppe Informtik 35 Vorkurs Theoretische Informtik

36 Lösung strt q 0 q 1,,c,,c,,c strt q 0 q 1 q 2 q 3,,, strt q 0 q 1 strt q 0 q 1 q 2 Fchgruppe Informtik 36 Vorkurs Theoretische Informtik

37 Lösung c c c c strt q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 c c c c Fchgruppe Informtik 37 Vorkurs Theoretische Informtik

38 Lösung strt q 0 q 1 q 2 Fchgruppe Informtik 38 Vorkurs Theoretische Informtik

40 Verschiedene endliche Automten NEA Beim lesen eines Wortes ist es mnchml unklr, welchen Üergng der Automt nehmen soll. Der Automt ist nichtdeterministisch. DEA Wir können unsere Möglichkeiten so einschränken, dss ei jedem Zeichen eindeutig ist, welcher Üergng genutzt wird. Der Automt ist deterministisch. Fchgruppe Informtik 40 Vorkurs Theoretische Informtik

41 Deterministische endliche Automten Wir eschränken unseren Automten folgendermßen: Von jedem Zustnd muss genu ein Üergng für jedes Σ usgehen. Fchgruppe Informtik 41 Vorkurs Theoretische Informtik

42 Deterministische endliche Automten Wir eschränken unseren Automten folgendermßen: Von jedem Zustnd muss genu ein Üergng für jedes Σ usgehen. Um dies zu ermöglichen führen wir eine neue Komponente ein: Fngzustnd Dieser Zustnd knn nicht verlssen werden. Flls der Automt in diesem Zustnd lndet, kommt er nicht mehr rus. Ds Wort knn nicht kzeptiert werden. x Σ Fchgruppe Informtik 42 Vorkurs Theoretische Informtik

43 Beispiel L = {x x {, } } strt q 0 q 1 q E, Fchgruppe Informtik 43 Vorkurs Theoretische Informtik

44 Beispiel L = {x x {, } } strt q 0 q 1 q E, Worteinge: L? Fchgruppe Informtik 44 Vorkurs Theoretische Informtik

51 Beispiel L = {x x {, } } strt q 0 q 1 q E, Worteinge: L kzeptiert Fchgruppe Informtik 51 Vorkurs Theoretische Informtik

52 Denkpuse Aufgen Finde deterministische endliche Automten (DEAs) für die folgenden Sprchen. Norml L 1 = { 2n n N} üer Σ = {} L 2 = {w {, } w 2} üer Σ = {, } Prüfungsufge: Etws Schwerer L 3 = {w {,, c} w 1 und c ist Suffix von w} üer Σ = {,, c} Prüfungsufge: Schwer L 4 = {in(n) k N : n = 4k, in(n) ist Binärdrstellung von n} üer Σ = {1, 0} Achtung: Keine führenden Nullen. Fchgruppe Informtik 52 Vorkurs Theoretische Informtik

53 Lösung: Norml L 1 = { 2n n N} strt q 0 q 1 Fchgruppe Informtik 53 Vorkurs Theoretische Informtik

54 Lösung: Norml L 1 = { 2n n N} strt q 0 q 1 L 2 = {w {, } w 2}, strt q 0 q 1 q 2 Fchgruppe Informtik 54 Vorkurs Theoretische Informtik

55 Lösung: Prüfungsufge: Etws Schwerer L 3 = {w {,, c} w 1 und c ist Suffix von w},c,c strt q 0 q 1 q 2 q 3 c q 4 q E,c,c,c Fchgruppe Informtik 55 Vorkurs Theoretische Informtik

56 Lösung: Prüfungsufge: Schwer L 4 = {in(n) k N : n = 4k, in(n) ist Binärdrstellung von n} strt q 0 q 1 q 2 q 4 0 0,1 F 1 1 q ,1 Fchgruppe Informtik 56 Vorkurs Theoretische Informtik

57 Scheinklusurufge WS17/18 Gegeen sei folgender NEA M: Nenne Wörter die erknnt werden. strt q 0 q 1, q 2, Fchgruppe Informtik 57 Vorkurs Theoretische Informtik

58 Scheinklusurufge WS17/18 Gegeen sei folgender NEA M: Nenne Wörter die erknnt werden. strt q 0 q 1, q 2,,,,,,... Fchgruppe Informtik 58 Vorkurs Theoretische Informtik

60 Grmmtik und Automten

61 Automten: Forml Ein DEA M lässt sich eschreien durch ein geordnetes 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E) mit: Z: Die Menge der Zustände Σ: Ds Alphet δ: Die Üerführungsfunktion z 0 : Der Strtzustnd E: Die Menge der Endzustände Fchgruppe Informtik 61 Vorkurs Theoretische Informtik

62 Automten: Forml L 1 = { n m n, m N} M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: strt q 0 q 1 F, Fchgruppe Informtik 62 Vorkurs Theoretische Informtik

63 Automten: Forml L 1 = { n m n, m N} M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, F} strt q 0 q 1 F, Fchgruppe Informtik 63 Vorkurs Theoretische Informtik

64 Automten: Forml L 1 = { n m n, m N} M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, F} Σ = {, } strt q 0 q 1 F, Fchgruppe Informtik 64 Vorkurs Theoretische Informtik

65 Automten: Forml L 1 = { n m n, m N} strt q 0 q 1 F, M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, F} Σ = {, } δ: δ(q 0, ) = q 0 δ(q 0, ) = q 1 δ(q 1, ) = F δ(q 1, ) = q 1 δ(f, ) = F δ(f, ) = F Fchgruppe Informtik 65 Vorkurs Theoretische Informtik

66 Automten: Forml L 1 = { n m n, m N} strt q 0 q 1 F, M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, F} Σ = {, } δ: δ(q 0, ) = q 0 δ(q 0, ) = q 1 δ(q 1, ) = F δ(q 1, ) = q 1 δ(f, ) = F δ(f, ) = F E = {q 0, q 1 } Fchgruppe Informtik 66 Vorkurs Theoretische Informtik

67 Kurz selst denken... L 2 = {w {, } w = 3} M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: strt q 0, q 1, q 2 q E,,, F Fchgruppe Informtik 67 Vorkurs Theoretische Informtik

68 Kurz selst denken... L 2 = {w {, } w = 3} M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, q 2, q E, F} strt q 0, q 1, q 2 q E,,, F Fchgruppe Informtik 68 Vorkurs Theoretische Informtik

69 Kurz selst denken... L 2 = {w {, } w = 3} strt q 0 M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, q 2, q E, F} Σ = {, }, q 1, q 2 q E,,, F Fchgruppe Informtik 69 Vorkurs Theoretische Informtik

70 Kurz selst denken... L 2 = {w {, } w = 3} strt q 0 M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, q 2, q E, F} Σ = {, } δ: q 1 q 2 q E,,,,, F δ(q 0, ) = q 1 δ(q 0, ) = q 1 δ(q 1, ) = q 2 δ(q 1, ) = q 2 δ(q 2, ) = q 3 δ(q 2, ) = q 3 δ(q E, ) = F δ(q E, ) = F δ(f, ) = F δ(f, ) = F Fchgruppe Informtik 70 Vorkurs Theoretische Informtik

71 Kurz selst denken... L 2 = {w {, } w = 3} strt q 0 M = (Z, Σ, δ, q 0, E) mit: Z = {q 0, q 1, q 2, q E, F} Σ = {, } δ: q 1 q 2 q E,,,,, F δ(q 0, ) = q 1 δ(q 0, ) = q 1 δ(q 1, ) = q 2 δ(q 1, ) = q 2 δ(q 2, ) = q 3 δ(q 2, ) = q 3 δ(q E, ) = F δ(q E, ) = F δ(f, ) = F δ(f, ) = F E = {q E } Fchgruppe Informtik 71 Vorkurs Theoretische Informtik

72 Automten und Grmmtiken Stz Jede durch endliche Automten erkennre Sprche ist uch regulär (lso Typ 3). Sei A Σ eine Sprche und M ein Automt mit T(M) = A, (d.h. M erkennt die Sprche A). Wir definieren eine Typ 3-Grmmtik G mit L(G)=A, (d.h. die Grmmtik G erzeugt die Sprche A). Es ist G = (V, Σ, P, S) mit: V = Menge der Zustände des Automten (Z) S = Strtzustnd des Automten (z 0 ) Flls ε A, dnn enthält P die Regel z 0 ε Fchgruppe Informtik 72 Vorkurs Theoretische Informtik

73 Automten und Grmmtiken Unsere Menge der Produktionsregeln P esteht us folgenden Regeln: Jeder δ-anweisung δ(z 1, ) = z 2 ordnen wir folgende Regeln zu. z 1 z 2 Und zusätzlich, flls z 2 E : z 1 Fchgruppe Informtik 73 Vorkurs Theoretische Informtik

74 Automten und Grmmtiken Unsere Menge der Produktionsregeln P esteht us folgenden Regeln: Jeder δ-anweisung δ(z 1, ) = z 2 ordnen wir folgende Regeln zu. z 1 z 2 Und zusätzlich, flls z 2 E : z 1 z 1 z 2 δ(z 1, ) = z 2 Fchgruppe Informtik 74 Vorkurs Theoretische Informtik

75 Automten und Grmmtiken Unsere Menge der Produktionsregeln P esteht us folgenden Regeln: Jeder δ-anweisung δ(z 1, ) = z 2 ordnen wir folgende Regeln zu. z 1 z 2 Und zusätzlich, flls z 2 E : z 1 z 1 z 2 δ(z 1, ) = z 2 Fchgruppe Informtik 75 Vorkurs Theoretische Informtik

76 Automten und Grmmtiken Zu zeigen: x T(M) gdw. x L(G) Dei gilt: x = n Die folgenden Aussgen sind äquivlent: x wird von Automt M erknnt (x T(M)) Es git eine Folge von Zuständen z 0, z 1,..., z n mit: z 0 ist Strtzustnd, z n ist Endzustnd und: i {1,..., n} : δ(z i 1, i ) = z i Es git Folge n Vrilen z 0, z 1,..., z n mit: z 0 ist Strtvrile und x lässt sich von z 0 usgehend leiten. x wird von der Grmmtik G produziert (x L(G)) Fchgruppe Informtik 76 Vorkurs Theoretische Informtik

78 Reguläre Ausdrücke

79 mehr Möglichkeiten reguläre Sprchen zu eschreien Grphen und Bilder sind oft nicht ds optimle Mittel eine Sprche zu eschreien. Die regulären Ausdrücke ieten uns eine Möglichkeit Sprchen schnell und intuitiv zu eschreien. Funktionsweise 1. Wörter können mit einem ngegeenen Muster geglichen werden. 2. Lässt sich ein Wort durch ds Muster eschreien, ist es in der dvon eschrieenen Sprche. Fchgruppe Informtik 79 Vorkurs Theoretische Informtik

80 Reguläre Ausdrücke verwenden Induktive Definition der Syntx und ε sind reguläre Ausdrücke. ist ein regulärer Ausdruck (für lle Σ). Wenn α und β reguläre Ausdrücke sind, dnn sind αβ, (α β) und (α) uch reguläre Ausdrücke. Beispiel γ = (( ) ε) = L(γ) Fchgruppe Informtik 80 Vorkurs Theoretische Informtik

81 Reguläre Ausdrücke verwenden Wie Sprchen und reguläre Ausdrücke zusmmenhängen Wenn γ =, eschreit es die leere Sprche: L(γ) = {} Fchgruppe Informtik 81 Vorkurs Theoretische Informtik

82 Reguläre Ausdrücke verwenden Wie Sprchen und reguläre Ausdrücke zusmmenhängen Wenn γ =, eschreit es die leere Sprche: L(γ) = {} Wenn γ ein einzelnes Wort ist, ist genu dieses Wort in der Sprche enthlten. γ = ε: L(γ) = {ε}, γ = : L(γ) = {} Fchgruppe Informtik 82 Vorkurs Theoretische Informtik

83 Reguläre Ausdrücke verwenden Wie Sprchen und reguläre Ausdrücke zusmmenhängen Wenn γ =, eschreit es die leere Sprche: L(γ) = {} Wenn γ ein einzelnes Wort ist, ist genu dieses Wort in der Sprche enthlten. γ = ε: L(γ) = {ε}, γ = : L(γ) = {} Wenn γ us zwei hintereinndergeschrieen Ausdrücken esteht, repräsentiert Konktention. γ = () () : L(γ) = { n m n, m N} Fchgruppe Informtik 83 Vorkurs Theoretische Informtik

84 Reguläre Ausdrücke verwenden Wie Sprchen und reguläre Ausdrücke zusmmenhängen Wenn γ =, eschreit es die leere Sprche: L(γ) = {} Wenn γ ein einzelnes Wort ist, ist genu dieses Wort in der Sprche enthlten. γ = ε: L(γ) = {ε}, γ = : L(γ) = {} Wenn γ us zwei hintereinndergeschrieen Ausdrücken esteht, repräsentiert Konktention. γ = () () : L(γ) = { n m n, m N} Wenn γ us zwei mit oder verknüpften Ausdrücken esteht, sind eide Seiten in der Sprche enthlten. γ = ( c): L(γ) = {, c} Fchgruppe Informtik 84 Vorkurs Theoretische Informtik

85 Reguläre Ausdrücke verwenden Wie Sprchen und reguläre Ausdrücke zusmmenhängen Wenn γ =, eschreit es die leere Sprche: L(γ) = {} Wenn γ ein einzelnes Wort ist, ist genu dieses Wort in der Sprche enthlten. γ = ε: L(γ) = {ε}, γ = : L(γ) = {} Wenn γ us zwei hintereinndergeschrieen Ausdrücken esteht, repräsentiert Konktention. γ = () () : L(γ) = { n m n, m N} Wenn γ us zwei mit oder verknüpften Ausdrücken esteht, sind eide Seiten in der Sprche enthlten. γ = ( c): L(γ) = {, c} Wenn γ ein Ausdruck mit einem Stern ist, knn dieser innere Ausdruck elieig oft wiederholt werden (uch null ml). γ = () : L(γ) = {ε,,,,...} = {} Fchgruppe Informtik 85 Vorkurs Theoretische Informtik

86 Reguläre Ausdrücke verwenden Wie Sprchen und reguläre Ausdrücke zusmmenhängen Wenn γ =, eschreit es die leere Sprche: L(γ) = {} Wenn γ ein einzelnes Wort ist, ist genu dieses Wort in der Sprche enthlten. γ = ε: L(γ) = {ε}, γ = : L(γ) = {} Wenn γ us zwei hintereinndergeschrieen Ausdrücken esteht, repräsentiert Konktention. γ = () () : L(γ) = { n m n, m N} Wenn γ us zwei mit oder verknüpften Ausdrücken esteht, sind eide Seiten in der Sprche enthlten. γ = ( c): L(γ) = {, c} Wenn γ ein Ausdruck mit einem Stern ist, knn dieser innere Ausdruck elieig oft wiederholt werden (uch null ml). γ = () : L(γ) = {ε,,,,...} = {} Alles zusmmen γ = (() (c) ): L(γ) = {ε,, c,, cc,,...} = {} {c} Fchgruppe Informtik 86 Vorkurs Theoretische Informtik

87 Reguläre Ausdrücke Aufgen Finde einen regulären Ausdruck für die folgenden Sprchen Norml L(γ 1 ) = { 2n n N} L(γ 2 ) = { n m n, m N} L(γ 3 ) = {uv u {, }, v {c, d}} L(γ 4 ) = {w w = 3, w {,, c} } Etws Schwerer L(γ 5 ) = { n n 1 mod 3} L(γ 6 ) = {uv u {,,, }, v { }} L(γ 7 ) = {w w = 3, w = 1, w {,, c} } Fchgruppe Informtik 87 Vorkurs Theoretische Informtik

88 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () Fchgruppe Informtik 88 Vorkurs Theoretische Informtik

89 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () γ 2 = () () Fchgruppe Informtik 89 Vorkurs Theoretische Informtik

90 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () γ 2 = () () γ 3 = ( ) (c d) Fchgruppe Informtik 90 Vorkurs Theoretische Informtik

91 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () γ 2 = () () γ 3 = ( ) (c d) forml: γ 4 = (( ) c)(( ) c)(( ) c), kurz: γ 4 = ( c)( c)( c) Fchgruppe Informtik 91 Vorkurs Theoretische Informtik

92 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () γ 2 = () () γ 3 = ( ) (c d) forml: γ 4 = (( ) c)(( ) c)(( ) c), kurz: γ 4 = ( c)( c)( c) γ 5 = () Fchgruppe Informtik 92 Vorkurs Theoretische Informtik

93 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () γ 2 = () () γ 3 = ( ) (c d) forml: γ 4 = (( ) c)(( ) c)(( ) c), kurz: γ 4 = ( c)( c)( c) γ 5 = () forml: γ 6 = ((( ) ) ), kurz: γ 6 = ( ) Fchgruppe Informtik 93 Vorkurs Theoretische Informtik

94 Lösung Alle Lösungen sind Beispiellösungen, es sind uch ndere möglich. Klmmern die nicht zur Bedeutung eitrgen, dürfen wir für die Kurzschreiweise weglssen. γ 1 = () γ 2 = () () γ 3 = ( ) (c d) forml: γ 4 = (( ) c)(( ) c)(( ) c), kurz: γ 4 = ( c)( c)( c) γ 5 = () forml: γ 6 = ((( ) ) ), kurz: γ 6 = ( ) forml: γ 7 = (c) ((c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) )(c), kurz: γ 7 = c (c c c c c c c c c c c c )c Fchgruppe Informtik 94 Vorkurs Theoretische Informtik

95 Reguläre Ausdrücke Gegeen sei folgender DEA M: strt q 0 q 1 q 2 Welcher reguläre Ausdruck eschreit T(M)? 1. ( () )( ) 2. () 3. ( () )() 4. ( ), Fchgruppe Informtik 95 Vorkurs Theoretische Informtik

96 Reguläre Ausdrücke Gegeen sei folgender DEA M: strt q 0 q 1 q 2 Welcher reguläre Ausdruck eschreit T(M)? 1. ( () )( ) 2. () 3. ( () )() 4. ( ), Fchgruppe Informtik 96 Vorkurs Theoretische Informtik

98 Ds können wir jetzt entworten Mengen Ws ist eine Menge? Wie knn mn zwei Mengen verknüpfen? Wie schreit mn forml Mengen uf? Fchgruppe Informtik 98 Vorkurs Theoretische Informtik

99 Ds können wir jetzt entworten Formle Sprchen Ws ist eine Formle Sprche? Ws ist ein Alphet? Wie zeigt mn, dss zwei Sprchen äquivlent sind? Fchgruppe Informtik 99 Vorkurs Theoretische Informtik

100 Ds können wir jetzt entworten Beweise Ws ist ein direkter Beweis? Wie funktioniert die Kontrposition? Wie funktioniert ein Widerspruchseweis? Wie funktioniert Induktion? Fchgruppe Informtik 100 Vorkurs Theoretische Informtik

101 Ds können wir jetzt entworten Grmmtiken Ws sind Grmmtiken? Ws ist der Zusmmenhng zwischen Grmmtiken und Sprchen? Wie finde ich rus, o ein Wort von einer Grmmtik erknnt wird? Fchgruppe Informtik 101 Vorkurs Theoretische Informtik

102 Ds können wir jetzt entworten Automten Ws sind Automten? Wie wndelt mn Automten zu einer äquivlenten Grmmtik um? Ws mcht einen deterministischen Automten us? Fchgruppe Informtik 102 Vorkurs Theoretische Informtik

103 Noch Frgen? Fchgruppe Informtik 103 Vorkurs Theoretische Informtik

104 Glossr Ak. Bedeutung Ws?! strt q 0 Strtzustnd Hier wird ein Wort eingegeen q i q j Zustndsüergng git n welches Symol eingelesen werden knn um in den Folgezustnd zu üergehen. q E Endzustnd Hier knn ein fertig gelesenes Wort kzeptiert werden. x Σ Fngzustnd wird enotigt um Determinismus zu gewährleisten. In Grphiken oft nicht eingezeichnet, ist er d. Mlt den hin. Fchgruppe Informtik 104 Vorkurs Theoretische Informtik

105 Glossr Ak. Bedeutung Ws?! T(M) Sprche von Automt M Die Sprche die von einem Automt M erknnt wird L(G) Sprche von Grmmtik G Die Sprche die von einer Grmmtik G erzeugt wird γ kleines Gmm oft Bezeichner für regulären Ausdruck L(γ) Sprche von reg. Ausdruck γ Die Sprche die von einem regulärem Ausdruck γ erknnt wird Fchgruppe Informtik 105 Vorkurs Theoretische Informtik